（工程力学专业论文）文克勒弹性地基上中厚扁球壳的弯曲与自由振动.pdf

西安建筑科技大学硕士论文 文克勒弹性地基上中厚扁球壳的弯曲与自由振动 专业：工程力学 研究生：秦于越 指导教师：何芳社 摘要 本文是对文克勒弹性地基上中厚度扁球壳的弯曲与自由振动问题的理论性研 究。首先，由中厚度扁球壳的基本方程出发，引入应力函数f ( ，印和位移函数 z ( r ，0 ) ，并以应力函数，( ，护) 、位移函数z ( r ，0 ) 和壳体的挠度w ( r ，护) 为基本未知 量，利用混合法系统的推导了静力和自由振动时的控制方程组。两个方程组的解 析解均以b e s s e l 函数和调和函数的形式来表达。同时，由方程组的解析解出发， 利用中厚度扁球壳的各个基本关系，分别导出了各内力和位移分量的表达式。 在求得的各内力和位移分量的表达式中共含有十个待定常数，此时只需与相 应的边界条件相结合，便可确定出所有的待定常数。在轴对称弯曲( n = o ) 时，待定 常数为三个，与此时边界条件的数量一致。在非轴对称弯曲中，若n = 1 ，则待定 常数为四个；若” 1 ，则待定常数为五个。分别也与对应的边界条件数量一致。 这样，便可求得所有的内力及位移分量。 通过运用m a t l a b 编制的计算程序，本文计算了在文克勒弹性地基上的底边夹 紧的封顶中厚度圆底扁球壳在轴对称f o ) 和非轴对称弯曲( ，f 1 ) 时的挠度值，并画 出了各自的挠度变化趋势曲线。同时，还计算了自由振动( = 0 时) 的固有频率并画 出了相应的振型变化曲线。所得到的结果均与物理现象相符。 为了验证理论的可行性，分别对 俾取1 5 、1 8 以及1 1 0 时的挠度值和固有频 率进行了计算；对于相同条件下的壳体结构，对比分析了中厚壳理论和薄壳理论 下的挠度值及固有频率。所得结果证明了本文理论的正确性。 关键词：中厚度扁球壳 解析解文克勒弹性地基弯曲 自由振动 论文类型：理论研究 西安建筑科技大学硕士论文 t h e b e n d i n ga n df r e e v i b r a t i o n so f m o d e r a t e l yt h i c k s h a l l o w s p h e r i c a l s h e h so nt h ew i n k l e re l a s t i cf o u n d a t i o n s m a j o r ：e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s p o s t g r a d u a t e ：q i ny u y u e i n s t r u c t o r ：h ef a n g s h e a b s t r a c t t 1 1 i sp a p e ri sc o n c e m e dw i t ht h et h e o r e t i c a li n v e s t i g a t i o no ft h eb e n d i n ga n df r e e s v i b r a t i o n sp r o b l e m so fm o d e r a t e l yt h i c ks h a l l o ws p h e r i c a ls h e l l so nt h ew i n k l e re l a s t i c f o u n d a t i o n s f i r s to fa 1 1 ，f r o mt h ef u n d a m e n t a le q u a t i o n so ft h em o d e r a t e 恤i c ks h a l l o w s p h e r i c a ls h e l l s ，t h r o u 曲i n t r o d u c i n g s t r e s sf u n c t i o nf ( r ，护) a n dd i s p l a c e m e n t f u n c t i o n z ( r ，0 ) ，a n dl o o k e ds t r e s sf u n c t i o nf ( r ，0 ) 、d i s p l a c e m e n tf u n c t i o nz ( r ，0 ) a n d d e f l e c t i o n sf u n c t i o nw ( r ，占) a sb a s i cu n k n o w n s t h e n ，u s i n gt h em i x i n gm e t h o df o r t h ee q u a t i o n so fm o d e r a t e l yt l l i c ks h a l l o ws p h e r i c a ls h e l l so nt h ee l a s t i cf o u n d a t i o n t h e n ，t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n so fq u i e ts t r e n g t ho rf r e ev i b r a t i o nc a nb ed e t e r m i n e d t h e a n a l y t i cs o l u t i o n so fg o v e r n i n ge q u a t i o n s a r ee x p r e s s e db yb e s s e l sf u n c t i o n sa n d h a r m o m cf u n c t i o n s s o ，t h ed i s p l a c e m e n t s 、i n t e r n a lf o r c e sa n dm o m e n t sc a nb e d e t e r m i n e dt o o t h e r ea r et e nu n d e t e r m i n e dc o n s t a n t si nf i n a le x p r e s s i o n s u n d e rt h ec o n d i t i o no f t h ec e r t a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h ec o n s t a n t sc a nb ed e t e r m i n e d t h ea x i a ls y m m e t r y i so u to fs h a p e ，t h e r ea r et h r e et m d e t e r m i n e dc o n s t a n t s q u a n t i t yo fu n d e t e r m i n e d c o n s t a n t si sj u s te q u a lt oq u a n t i t yo ft h ec e r t a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n s s o ，t h e s e c o n s t a n t sc a nb ed e t e r m i n e d i ti sn o tt h ea x i a ls y m m e t r yi so u to fs h a p e ，i fr = 1 ，t h e r e a r ef o u ru n d e t e r m i n e dc o n s t a n t s i f n l ，t h e r ea r ef i v eu n d e t e r m i n e dc o n s t a n t s q u a n t i t y o fu n d e t e r m i n e dc o n s t a n t si se q u a lt oq u a n t i t yo ft h ec e r t a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n st o o t h e s ec o n s t a n t sc a nb ed e t e r m i n e d j u s tl i k et h i s ，t h ed i s p l a c e m e n t s 、i n t e m a lf o r c e sa n d m o m e n t sc a nb ed e t e r m i n e d t r o u g hu s i n gp r o c e d u r eo fm a t l a b t h i sp a p e rc a l c u l a t e st h ed e f l e c t i o n sa n dt h e c u r v eo ft h ed e f l e c t i o n so fm o d e r a t e l yt h i c ks h a l l o ws p h e r i c a ls h e l l sw i t l lt h ec l a m p e d e d g eo nt h ew i n k l e rf o u n d a t i o n t h e a x i a ls y m m e t r yi so u to fs h a p e ( 2 0 ) ，t h e d e f l e c t i o n sa n dt h ec n r v eo f t h ed e f l e c t i o n sc a nd e t e r m i n e d t h ec u r v eo f t h ed e f l e c t i o n s i sp a r a b o l a c u r v eo f t h ed e f l e c t i o n ss u i tf o rt h ep h y s i c a lp h e n o m e n o n i ti sn o tt h ea x i a l 1 1 西安建筑科技大学硕士论文 s y m m e t r yi s o n to fs h a p e ( ”= 1 ) ，u n s y m m e t r i c a ll o a do ns h e l l s j u s tf o r i t ，a n u n s y m m e t r i c a lc u l w eo ft h ed e f l e c t i o n sd e t e r m i n e d s oc h i v eo ft h ed e f l e c t i o n ss u i tf o r t h ep h y s i c a lp h e n o m e n o nt o o t h i sp a p e rc a l c u l a t e st h en a t u r a lf r e q u e n c ya n di n s p i r i n g c u r v ei n s p i r i n gc u r v es u i t e df o rt h ep h y s i c a lp h e n o m e n o n a tl a s t ，t h i sp a p e rc a l c u l a t e st h ed i f f e r e n td e f l e c t i o n sa n dt h en a t u r a l 疳e q u e n c y w i t hd i f f e r e n tt h i c k n e s s ( h r = 1 5 、h r = 1 8 、h r = 1 1 0 ) t h ec u r v e so f t h ed e f l e c t i o n a n di n s p i r i n gc u r v e sa c c o r dw i t ht h ep h y s i c a lp h e n o m e n o n f o rt e s t i n gt h ee x a c t n e s so f t h e o r yt h a td e t e r m i n e db yt h i sp a p e r , t h ed e f l e c t i o n sa n dn a t u r a l 丘e q u e n c yu n d e rt h e t h e o r yo fm o d e r a t e “c ks h e l l sc o m p a r e dw i t ht h ed e f l e c t i o n sa n dn a t u r a lf r e q u e n c y u n d e rt h et h e o r yo f t h i ns h e l l s s o ，r e s u l t sc a nv e r i f yt h ec o r r e c t n e s so f t h et h e o r y k e y w o r d s ：m o d e r a t e l yt h i c ks h a l l o ws p h e r i c a ls h e l l s ，a n a l y t i cs o l u t i o n s ，w i n l d e re l a s t i c f o u n d a t i o n ；b e n d i n g ，f r e ev i b r a t i o n s 1 y p eo f t h et h e s i s ：t h e o r yr e s e a r c h 1 1 1 声明 i r9 7 0 6 3 2 本人郑重声明我所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人或其他 人在其它单位已申请学位或为其它用途使用过的成果。与我一同工作的同 志对本研究所做的所有贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：勇时越 关于论文使用授权的说明 日期：j 即g 。二t 歹 本人完全了解西安建筑科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或者其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在论文解密后应遵守此规定) 论文作者签名躺越翩虢佰雩社魄知蕾6 厂 注：请将此页附在论文首页。 西安建筑科技大学硕士论文 1 1 概述 1 绪论 壳体结构作为一种特殊的结构形式，在工程实际中具有非常重要的应用价值 并拥有广阔的应用前景。它在各种地下基础工程、水利工程、大型容器制造、航 空、造船以及导弹、空间技术、化学工业等各个领域种都得到了广泛的应用，并 且随着新技术、新材料的涌现，各种壳体结构更是得到了前所未有的重视和发展。 扁壳即扁平的壳体。它的中面矢高远小于其中面的平面尺寸。而扁球壳又是扁壳 结构中常见的一种，扁球壳的矢高和底面直径之比即厂2 a 一般应小于1 5 。当扁 球壳的壳厚与中面半径之比即 r 大于1 2 0 时称为中厚度扁球壳。中厚度扁球壳 一方面保留了壳体结构受力性能优越( 能充分发挥材料的强度) ，刚度大( 主要表 现为空间剐度) ，结构形式上更为合理等优良特性；另一方面，与其它壳体结构相 比较，它又具有施工、制造较为简便等优点。因此，在实际工程中广泛采用中厚 度扁球壳这一结构形式，将其广泛应用于地下基础工程和大型容器等领域，具有 显著的经济效益和实用价值。如今，随着各领域的不断发展，对扁球壳这一结构 的强度和稳定性也有了更高的要求，这也使得中厚度扁球壳得到了前所未有的广 泛运用，因此，对中厚度扁球壳的研究在当今也显得尤为迫切。 1 2 板壳理论发展简史 关于板壳理论的研究历史，成祥生在应用板壳理论1 1 1 中曾有过详细介绍，以下 仅做一简单介绍。1 7 6 6 年欧拉( l e u l e r ) 研究薄膜的振动开始的。他认为薄膜是由 互相垂直并张紧的弦线组成的，从而得到薄膜横向振动微分方程式最古老的形式： 崇= 卯窘+ 窘面剐e 面+ 由丽 式中：z 为挠度：e e ，f f 为常数；f 为时间。 而后，伯努利( j b e r n o u l l i ) ，启拉弟( e f f c h l a d n i ) ，柯西( c a u c h ya ) ，泊松 ( p o s s i o ns ) ，李兹( w r i t z ) ，伽辽金( b n r a j i e p i ( h 珏) 以及钱伟长等都对薄板理论的发 展做出了众多的努力。 阿龙( a i - i r o n )以克希霍夫( g k i r c h h o f 0 的薄板假设为基础来建立壳体的理 论，但有很多不准确的地方。后来，首先被拉甫( a e h l o v e ) 所纠正，但拉甫对微 小量的处理，前后不一致，并且对内力、力矩和中面变形的几何方程没有一个标 西安建筑科技大学硕士论文 准的写法。此后被伽辽金确定了下来，他用弹性理论较一般的方法研究了厚壁壳 体。伽辽金独创的方法又为卢里叶( a h n y p b e ) 所利用，并推导出薄壳的有关方程， 但未给简化这些方程以适当的准则。后来由诺沃日洛夫( b b h o b o 玳i i j i o b ) 建立了这 下准则，并说明了柯希荷夫的薄板假设在薄壳理论中引起的误差，证明了这种误 差具有壳厚与中面半径之比即h r 的数量级，用该假设对于建立薄壳理论式足够精 确的。 拉甫是最早研究柱形壳的学者，他提出了薄壳弯曲的一般理论。弗吕格 ( w f l u g g e ) 曾建立比较精确的圆柱壳弯曲的方程。唐奈尔( l l d o l l n e l l ) 则将圆柱壳 弯曲的方程简化为一个八阶的微分方程，但他没有引用位移函数。符拉索夫 ( b 3 b j i a c o b ) 提出了使用位移函数，并且进一步求出当三个方向的面力不等于零时 的特殊积分，他对扁壳作了较深入的研究，他认为壳体的矢高与底面半径之比即 肋小于1 5 的开1 2 1 壳即属于扁壳的范围。他还提出了解决正交异性圆柱壳的半无 矩理论。1 9 3 0 年左右，艾勒斯( e h l e r s ) 仓i 立了用以解决一般柱形壳体或圆柱壳体的 褶板结构计算法，其中所用的方法是采用结构力学的方法，后来为符拉索夫等人 加以补充和完善。凯勒( h k e l l e r ) 首先应用有限差分法对壳体进行应力分析，瑞斯 纳( h r e i s s n e r ) 首先将球形壳体的方程简化为只剩两个变量的两个二阶微分方程， 后来迈斯纳( e m e i s s n e r ) 将此方法推广并应用到各种特殊情况。1 9 1 7 年，杜波伊斯 ( f d u b o i s ) 首先研究勒圆柱壳，1 9 4 1 年康托诺维奇扎勃( 3 丑k a h t o h o b h q ) 用贝塞尔 函数的渐进式来解圆柱壳，1 9 3 0 年盖克勒( j w g e c k e l e r ) 研究了圆柱壳体在极点受 集中力的问题。1 9 3 9 年左右，冯卡f q f v k a r m a n ) 和钱学森研究了受均布外压作用 的球壳及受轴向压缩的圆柱壳的稳定性。1 9 3 9 年高里金维塞( a j 1 r o t l t ) 且e h b e f i 3 e p ) 首先叙述了壳体变形的连续性条件，并揭示了引入应力函数以使平衡条件化为恒 等式的可能性。1 9 4 6 年诺伏齐洛夫证明了可将壳体理论的方程表示成复变函数的 形式。此外，阿巴楚米扬( c a a m 6 a p a y m a ) 研究了各向异性壳体。近来，人们对 结构的优化设计很重视，对于板或壳的优化设计也提出了各种问题。 1 9 3 8 年穆什塔里( ) ( m m y u l t a p l t ) 研究过柔韧壳体的一般情形。符拉索夫在 基于变形是局部的假设之下列出了柔韧壳体的平衡方程，并引入了应力函数，他 将布勃诺夫一伽辽金法应用到柔韧壳体中去。他建议使用梁函数，并指出，这种 方程是联合使用了虚位移原理和虚应力变分原理。 伏耳米尔( a c b o j n , m u p ) 对柔韧壳体的稳定性及超i 临界变形作了大量的理论研 究，并得到了许多实验数据，他还致力于研究一系列有关柔韧板和柔韧壳的动力 学问题。 近代，由于高层建筑、高速运载工具及电子计算机等的发展，促使人们创造 性地使用了有限单元法来解决大量的板和壳的、静力和动力的、线性和非线性的 数值计算问题。此外，还有杂交法、混合法、有限条法等，它们都是随现代生产 西安建筑科技大学硕士论文 的发展而诞生的，从而进一步推动了板壳理论的发展。 1 3 扁壳的国内外研究现状 在引出本文的工作之前，我们首先回顾和评述下前人在扁壳动，静力方面 所做的工作，我们会看到，国内外的一大批优秀学者对发展和完善壳体理论所付 出的艰苦劳动和不懈努力，以及在该领域遗留的尚待解决的问题。 扁壳的解析解法，国内外学者对此做过许多研究。早在1 9 5 9 年， b m j 1 h k l ! i b p e e b 2 1 提出了在不变竖向荷载作用下的无弯矩扁壳计算方法，他对下列 六种边界条件分别给出了薄膜内力的计算公式：( 1 ) 四边简支；( 2 ) - - 边简支，一 边固支；( 3 ) 一对边简支，一支边固支；( 4 ) 二邻边简支，两邻边固支；( 5 ) 一 边简支，三边固支。b m j i h k r i b p e e b 的工作，填补了在任意边界扁球壳在计算上的 空白点，且可用来解决多跨多波连续扁球壳的计算问题。但此法为薄膜理论解， 对壳体中弯曲的影响未能在公式中反映。 6 0 年代初，何广乾嘲等学者提出了四边简支常曲率双曲扁壳的简化计算方法。 壳体的内力王，五及s 按薄膜理论求得，编制了相应的薄膜内力值系数表，对壳体 内弯矩也做了考虑，给出了计算简捷，实用的四边简支扁壳的数值计算方法。此 法在1 9 6 5 年被编入我国结构计算规程b i g1 6 6 5 1 4 l ，成为国内常用的双曲扁壳的 计算方法。 1 9 8 2 年，冯良径等【5 1 在1 0 个2 4 m 2 4 m 的两跨多波扁球壳屋盖工程中，用无 矩理论计算薄膜内力，再以边缘效应计算附加内力，最后将其迭加的方法计算了 三边固支，一边简支和两邻边固支，两邻边简支的扁球壳内力。从发光的计算结 果分析，可以看出剪力在角点出现了不合理的峰值，作者根据其内点的剪力分布 对角点进行了修正。 1 9 8 6 年，汪国斌【6 1 等对多跨多波扁球壳的基础设计与计算作了研究，当边柱 网采用筏式平板基础，内部柱网采用多向连续扁球壳基础时，所有壳体的边界均 可视为四边固定条件。对这种壳体，汪国斌建议将这种应力函数中及位移函数w 取 为： w = w o + 死 m = o 。+ 中。 其中：w o ，巾。为四边简支扁球壳的解；呒，西。为考虑边缘约束的解，吃面。采 用双重三角级数的形式，以满足四边简支的边界条件。最后，应用边界条件计算 w ，中。这里，应力函数。的边界条件采用了近似的表达式，且未考虑薄膜力的约 束影响。 s i n h a 和d a t t a 用b e r g e r 假定分别解决了弹性地基上圆底扁球壳及圆板的大挠 西安建筑科技大学硕士论文 度问题。叶开源、刘人怀l t , s l 等，用修正迭加法解决了圆底扁球壳的非线性稳定问 题。d a t t a 用b m j i n k l 4 b p e e b 法解决了弹性地基上各向异性椭圆板的大挠度问题。 但是对于弹性地基上的扁球壳问题，修正迭代法会遇到一定困难，而 b m j _ i h k r i b p e e b 法又存在着求解非线性方程组的问题。1 9 9 1 年，林家骥【9 1 等从k 6 r m 6 n 型非线性基本微分方程出发，提出了将修正迭代法和b m n n r d a b p e e b 法联合 应用，分析了p a s t e r n a k 弹性地基上周边固定凹圆底扁球壳在均匀压力作用下的非 线性弯曲问题，给出了荷载与挠度间的数学表达式。 1 9 9 5 年，何芳社、黄义“”对双参数地基上圆底扁球壳的非轴对称问题进行了 研究，将通解以调和函数和b e s s e l 函数的形式来表示。这一结论弥补了以前大量 文献所遗漏了的调和函数，指出在n = 0 和n = 1 时，通解包含6 个待定常数；在n l 时，通解则包含有八个待定常数。这便使得壳体的全部边界条件都能够得到满足。 此时，对扁球壳的研究许多学者仅限于静力计算方面。随着生产的发展，扁 球壳的动力问题日益显得重要，特别是对于广泛用于基础工程的弹性地基上的扁 球壳的动力问题的系统研究更是迫在眉睫。1 9 9 4 年，黄义、何芳社“”研究了双参 数地基上扁球壳的自由振动频率和振型，推导了不计地基惯性力影响的扁壳自由 振动控制方程。方程的精确解以b e s s e l 函数表示。同时，分别导出了壳的经向、 环向和横向位移分量的表达式。 回顾前人的成果，我们发现对扁球壳的研究多限于薄壳。对于中厚度扁球壳 的解析解至今尚不多见。因此，针对前人已有的研究和理论的发展现状，作者将 “文克勒弹性地基上中厚度扁球壳的弯曲与自由振动”作为课题加以研究，无疑 是很有价值的。本文将采用将壳体基本方程化为一个十阶方程组( 轴对称时为八 阶) 的方法，分别对文克勒弹性地基模型上的中厚度扁球壳进行动、静力分析， 建立相应的控制微分方程，并求得其解析解。通过m a t l a b 语言编制的计算程序， 列出了夹支边中厚扁球壳弯曲与自由振动的数值计算结果。 1 4 地基模式的选取 为了解决“文克勒弹性地基上中厚扁球壳的弯曲与自由振动”这一课题，首 先便砸i 临着选择弹性地基模式的问题，然后在此基础上方可进行以后的工作。 1 1 地基模式的选用 实际工程中扁球壳的弯曲与自由振动问题与弹性地基有关。因此，在确定了 壳体理论之后，我们便面临着选取地基模式的问题。弹性地基上扁球壳的弯曲问 题实质是属于土与结构的动力相互作用，所以问题是相当复杂的。而弹性地基的 处理在结构计算中直是个比较困难的问题。因此如何对结构下部的地基作适 当的简化处理，并使其因简化而产生的误差限制在可以接受的范围之内这一课题， 西安建筑科技大学硕士论文 一直受到工程界及理论界研究者的关注。近百年来，随着工程实践的增多和科学 研究的深入，已经形成了弹性地基的各种各样的简化计算模型，而文克勒地基模 式就是这其中较为常用的一种。这一模型虽然离弹性地基实际模式还有一段相当 大的距离，但是作为工程实用计算，还是被普遍接受和采用。 几种常见的地基模式 1 文克勒弹性地基模式 文克勒弹性地基模式是捷克工程师文克勒( 、i n k l e r ) 于1 8 6 7 年首先提出的种 非常简便的地基反力计算模型。这一模型的基本内容是：把地基土视作一种均质， 各项同性的线弹性材料，地基表面上任一点的地基反力吼( 工，y ) 仅于该点的挠度 w ( x ，y ) 成正比，而与其它各点的挠度无关，而且，比例系数( 基床系数) 只和地 基土材料特性有关，在各处是常数。这一模型实质上把地基土作为一种侧面没 有摩阻力的土柱体系( 图l 一1 a ) ，即将其简化为一系列紧密排列，互不相关的具有 相同弹簧系数的离散，垂直线性弹簧( 图1 1 b ) 。文克勒弹性地基模式中，地基反 力与地基位移的关系为： g t ( z ，y ) = 一后w ( x ，y ) ( 1 1 ) 其中： q a x ，y ) 地基反力， 力长度2 】； w ( x ，y ) 吼作用点位置上的挠度，【长度】 克文克勒弹性地基模量或地基基床系数， 地基表面 荷载 瞰 【力长度3 。 荷载 瞰) 图1 1 文克勒弹性地基模型 ( b ) 需要指出的是，弹性地基基床系数k 实际上受到多种因素的影响，比如地基 土的性质，塑性区的大小，地基的形状及刚度等等。但为了简化计算，由以往的 工程经验和大量实验的统计分析，给出了大致数值范围，使其成为常数。弹性基 床系数k 的值一般可参考表1 1 选用。 西安建筑科技大学硕士论文 表1 1 基床系数k 值 土的名称 状态 k ( k n m 5 ) 淤泥质土，有机质或新填土 0 1 1 04 0 5 1 0 4 软弱粘土 0 5 1 04 1 0 1 0 4 软塑 1 0 1 0 4 2 0 x 1 0 4 天 粘土，粉质粘土 可塑 2 0 1 0 4 4 0 1 0 4 然 硬塑 4 0 x 1 0 4 1 0 0 x 1 0 4 地 松散 1 0 0 x 1 0 4 1 5 1 0 4 基 砂土 中密1 5 1 0 4 2 5 1 0 4 密实 2 5 1 0 4 4 0 x 1 0 4 砾石中密 2 5 1 0 4 4 o 1 0 4 黄土及黄土类粉质粘土 4 0 x 1 0 4 5 0 x 1 0 4 桩软弱土层内摩擦桩 1 0 1 0 4 5 0 1 0 4 基 穿过软弱土层达到密实砂层或粘性土层的桩 5 0 x 1 0 4 1 5 0 1 0 4 达到岩层的支承桩 8 0 0 1 0 4 文克勒弹性地基模式的计算模型很简单，力学表达清晰，便于计算各种形状 复杂的结构物的受力特性。尽管它存在定的不足之处，但从问世以来便在工程 实践中得到了极为广泛的应用。比如一般的钢筋混凝土条形基础的设计以及许多 浅基础地基结构的分析，浮式结构的分析等实际工程问题，实践表明，应用该模 式进行工程实用计算还是有效的。 当然，文克勒地基模式也存在难以克服的不足之处，即文克勒地基模式认为 地基的位移仅发生在基底范围( 即受荷区) 以内，而在地基范围以外没有沉降。 这与地基的实际变形情况是不符合的。地基的实际变形情况可参见图1 2 ，由图中 我们可以看出，地基不仅在受荷区发生沉陷，而且在临近地区也会发生沉陷。这 就表明了文克勒地基模式与弹性地基实际模型存在着显著差异。这种差异是由于 将连续土体简化为离散弹簧，忽略地基中的剪应力引起的。 受荷区 图12 地基实际变形情况 西安建筑科技大学硕士论文 在近百年的工程实践中，人们逐渐总结处文克勒弹性地基模式的适用范围， 大致分为以下几点： a 适用于高压缩性的软土地基，薄的破碎性岩层或不均匀土层。当地基的压 缩性质越差时，文克勒模式就越接近于实际情况。 b 对于抗剪强度很底低的半液态地基土( 如淤泥，软粘土等) 或基底下塑性区 相对较大时，适用与文克勒地基模式。 c 地基压缩层很薄时( 对于条形基础，应小于基础宽度；对于板，不超过短 边宽度之半) ，适用于文克勒地基模式。 2 双参数弹性地基模式 为了弥补与修正文克勒地基模式的固有缺陷，适当考虑土体连续性质，曾发 展过许多文克勒修正模型，即双参数弹性地基模式。这种模式计入了地基剪切作 用的影响，修正了文克勒地基模式的一些不足之处，使地基变形趋于和实际变形 相符。主要模式有：f i l o n e n k o b o r o d i c h ( 1 9 4 0 ，1 9 4 5 ) ，h e t e n y i 模型( 1 9 4 6 ) ，p a s t e m a k 模型( 1 9 5 4 ) ，b j m c o b 模型( 1 9 4 9 ) 。其中，符拉索夫( b a a c o b ) 双参数地基模式是目前 实际工程应用较广的一种。 符拉索夫双参数地基模式以变分法的应用为基础，在各向同性线弹性连续介 质的基本方程中，引入一些能简化方程的位移约束，从而导出该模式中地基反力 与地基变形的关系。以下我们仅列出结果而不加以推证。 地基位移假定为： l “0 ，弘z ) = 0 v ( x ，y ，z ) = 0 ( 1 2 ) 1 w ( x ，y ，z ) = w ( x ，力s h i g ( h z ) l s h ( y h l ) 其中： y 一与地基性质有关的常数； 三一壳体的几何特征参数，通常取l 为壳底部圆的半径； 抒一地基压缩层深度，m 。 地基反力与地基位移的关系为： q k ( x ，) = 一w ( x ，y ) + g p v 2 w ( x ，y ) ( 1 3 ) 其中： 西安建筑科技大学硕士论文 = _ ：鱼_ v 。 h o - 所) g ，2 而e o 丽h 甲q 气= c 等数驾鬻铲 ”c 势数毪糕铲幽 耻禹 “= 惫 当g 。寸0 时，双参数地基模式的表达式退化为： g ( x ，y ) = 一t w ( x ，y ) 这正是文克勒弹性地基模式的表达式。 在( 1 3 ) 式中甄、凰分别是地基的弹性常数和泊松比，它们的值均可由实验得 到。本文根据文献 1 3 给出有代表性土的e 。、风数值以供选用。有代表地基土的 e 。、风值列表如下： 表1 2 有代表性地基土的玛值 土的类别 e s ( k n m 3 ) 土的类别 e s ( k n m 3 ) 极软粘土o 0 3 x 1 0 4 0 _ 3 1 0 4粉土0 2 x 1 0 4 2 0 x 1 0 4 软粘土o 2 x 10 4 0 4 x 10 4粉砂 0 5 x 1 0 4 2 0 10 4 中等粘土 o 4 5 1 0 4 0 9 x 1 0 4 松砂 1 0 x 1 0 4 2 5 1 0 4 硬粘土 o 7 1 0 4 2 0 1 0 4密实砂5 0 x 1 0 4 1 0 0 1 0 4 砂质粘土3 0 x 1 0 4 4 2 5 1 0 4密实砂夹砾石8 0 1 0 4 2 0 0 1 0 4 冰渍土1 0 x 1 0 4 。1 6 x 1 0 4松散砂夹砾石 5 0 x 1 0 4 1 4 0 x 1 0 4 黄土1 5 1 0 4 6 0 1 0 4页岩 1 4 0 x 1 0 4 1 4 0 x 1 0 4 表2 3 有代表性地基土的胁值 土的类别 弘s 土的类别 , u s 饱和粘土 0 4 - 0 5 密实砂 o 2 0 4 未饱和粘土 o 1 o 3 粗砂( 空隙比= o 4 o 7 ) o 1 5 砂质粘土 0 2 o - 3 细砂( 空隙l l = 0 4 - - - 0 7 ) o 2 5 粉土 o 3 o 3 5 岩石 0 1 o 4 ( 跟岩石种类有关) 8 西安建筑科技大学硕士论文 由于符拉索夫双参数地基模式考虑了地基内部介质的剪切作用，并认为地基 反力随地基的深度的改变而变化，较好的符合了地基变形的实际情况，而且该模 式仍是线弹性地基模式，在方程的推导和求解上并没有增加太大的困难。因此， 这种地基模式在工程实际中愈来愈受到重视。 3 其它弹性地基模式 除了上述两种地基模式外，还有一种弹性半空间地基模式。这种模式将地基 看作为均质连续、各向同性的弹性半空间体，地基上任意点的沉降w ( x ，y ) 与整个 基底反力的作用有关。引用弹性理论的数值解，地基沉降w 与基底反力q 。可以用 矩阵形式表示为： w ) = 占) q k )( 1 4 ) 式中f 们一地基的柔度矩阵。 半空间地基模式反映了地基的连续整体性，其中的弹性假设没有反映地基土 的非线性特性，以及地基土层的分层特点等。而且地基反力与地基位移关系的确 定在数学上存在一定的困难，在一般情况下，只可能用数值方法求得近似解答。 所以该模式在应用上受到一定的限制。 综上所述，针对三类较为常见的地基模型，本文认为，文克勒地基模式虽然 本身有其难以克服的缺陷，但考虑到它简洁的形式对于分析研究“弹性地基上中 厚扁球壳的弯曲与自由振动”这一较为复杂的问题比较方便实用，所以仍然选择 了该模型用于后面的研究。 1 5 本文的主要工作 壳体的所有计算理论都是随着工程实际地增多而得到不断发展和完善的。因 而，随着扁球壳在这一过程中的广泛应用，有关扁球壳的静力、动力和稳定性等 多种力学问题的计算理论也迫切地需要充实和完善。对于弹性地基上扁球壳结构 的静、动力分析这一课题，由于它是地基土与结构这两种不同地介质相互作用的 问题，具有相当大地复杂性，因此历来是固体力学中一个较难的课题。就目前对 课题的已有研究来看，大多数还仅限于对扁球壳的静力分析且多局限于数值解法 或近似分析法；对于弹性地基上中厚扁球壳结构的动力分析还不多见。因此，深 入研究弹性地基上中厚扁球壳结构地静力及自由振动问题，显得非常必要。这项 研究不仅对结构工程，也对岩土工程具有同样重要的意义。因为这类研究所提供 的资料既可以用于基础结构的设计，又可以用于分析支承土介质内的应力和变形。 因此，开展这方面的研究并及时总结已有的研究成果，对丰富学科发展是十分重 要的，这也是作者把该课题作为硕士毕业论文的主要原因。 本文对在弹性地基上中厚扁球壳的弯曲与自由振动问题进行了理论及计算方 西安建筑科技大学硕士论文 法的探讨。下面遵循研究的步骤，按照章节的顺序，简要对本文所做的工作进行 说明。 本文在第一章中介绍了板壳理论的发展简史、扁壳的研究现状以及常见的几 种地基模式。第二章详细讨论了如何将一般坐标系下的中厚度扁球壳的基本微分 方程组化为极坐标系下的表达式，并对常见的边界条件进行了介绍。在第三章和 第四章中，均引入了应力函数只r ，臼) 和位移函数z ( r ，口) ，并以应力函数f ( r ，臼) 、 位移函数z ( r ，口) 和壳体的挠度w ( r ，p ) 为基本未知量，利用混合法分别推导了文克 勒地基上中厚度扁球壳弯曲和自由振动时的控制方程组。两个方程组的解析解均 以b e s s e l 函数和调和函数的形式来表达。由解析解出发求得了各内力和位移分量 的表达式。作为该理论的数值分析，作者计算了底边夹紧的封顶圆底中厚度扁球 壳在轴对称变形( 萨0 ) 和非轴对称变形( 舻1 ) 时的挠度变化以及自由振动( 萨0 ) 时的 固有频率和振型方程。并将其计算结果与薄壳理论的计算结果进行了比较。最后， 在第五章中，本人对本文所得出的结论进行了总结。 1 0 西安建筑科技大学硕士论文 2 中厚度扁球壳的基本方程 本章将通过对主曲率坐标。，芦拉密系数爿，b 以及主曲率半径r ，r 的特定代 换将一般坐标系下的中厚度扁球壳的基本方程进行转化，最终得到其方便适用的 极坐标系下的表达形式。 2 1 一般坐标系下中厚度扁球壳的基本方程 幽2l 扁球壳甲向内力内矩矢量图 1 ) 几何关系 铲 罢+ 妥罢+ 兰，驴! 旦+ 生望+ 旦，q 2 j 石+ 否万+ 百一：4 i 万+ 右面+ i ， w = i a 面0 与u ) + j b 石39 v ， ( 2 1 ) ：三塑+ 盟丝，k ：三堕+ 旦堕 1 aa aa ba 毋j | ba 8 a ba ： r = 鲁去( + j b 石0 。( p 2 式中的s 。，：，茁，j r ：，r 为壳体中面各点处的应变或曲率，扭率的变化量； “，v ，w 为壳体中面的经向，环向和法向位移分量；吼，妒：为当计及横向剪切变 形时，壳体中面内任一点的法线在“一w 和v w 面内的转角；r ，恐为主曲率 半径；a ，b 为拉密系数。 平衡方稗 罟一罢正+ 掣+ a b ( q 1 训= o ao a d a 8 “ 等一塑0 3no ( a b s 2 ) + 彻( q ：- p 2 ) ；o a 口a 口 、 。 1 1 西安建筑科技大学硕士论文 爿曰鼍爿b 乏一杀 警( 仍+ i l 瓦o w ) 】_ 刍下a g h ( 仍+ 百l 万o w ) ( z 2 ) 一a b ( q 。一p 。) = 0 笋+ 警一嚣m + 罢h 一删i g hc 仍+ 一l 矽o w b ，= 。 8 8 8 旺 a 8 l 0 饯 1 k ，8 8 。 掣+ 警一瓦o b 鸠+ 面o a h 一爿硭( 旷id o 口w ) a = oa 饶8 8 a 晓 。 a 8k ， o 式中的q l , q ：，吼分别为荷载的经向，环向和法向分量；p lp ：，p 。依次为地基反力的 经向，环向和法向分量。 物理关系 王：k ( q + 肛：) ，疋：足( 岛+ 毛) ，s ：! 丢丝k m = d ( k + q ) ，m 2 = d ( x 2 + 一) ，日= 生历 ( 2 3 ) q l = c ( 纯+ 土a 塑o c t ) ，q 2 = c ( 仍+ 百l 历o w ) 式中的正，正，s ，m ，m ：，日，q ，幺为壳体的内力分量，k = f 型为壳体的抗拉刚 度；。= 瓦署兰去为壳体的抗弯刚度；c = 詈为壳体的抗剪刚度；e ，g ，为材料 的弹性模量，切变模量和泊松比：h 为壳体的厚度；r ，为中厚壳体的剪切系数。 2 2 极坐标系下中厚度扁球壳的基本方程 对于圆底扁球壳，其位移与坐标的关系可见图2 2 ( a ) 图2 2 弹- 生地基上扁球壳几何关系图 1 2 西安建筑科技大学硕士论文 取矢量r o ( x ，y ，z ) f x = r s i n6 p c o s o r o ( x ，y ，z ) y = rs i n ( p s i n 0 z = r s i n ( o r o = r ( s i n q ，c o s o i + s i nc p s i n o j + c o s ( p k 、 取r 和臼作为中面的主曲率坐标，即 鼍= ： ( 2 4 ) 【= 臼 、 则相应的拉密系数为 a 22 r 0 ，口1 r o ，q 2 r o ，r r o ，r = s i nc p c o s o ，s i nr p s i n o ，c o s 妒 s i n 妒c o s o ，s i n f a