（基础数学专业论文）高中生“空间向量与立体几何”学习中典型错误及归因研究.pdf

f 拳 f 摘要 目录 1 问题的提出。 l 1 1 研究背景l 1 2 研究问题及意义2 2 文献综述 2 1 相关概念界定4 2 2 传统立体几何课程对学生能力培养的定位5 2 3 向量进入立体几何课程的价值取向6 2 4 中学生学习“空间向量与立体几何”的认知基础8 2 5 “空间向量与立体几何”教与学的相关研究8 3 研究的设计与实施 3 1 研究的思路与方法。l l 3 2 课常观察的结果与分析。1 1 3 3 作业情况的收集与分析一1 2 3 4 测试问卷的编制与实施一1 3 4 测试的结果与归因分析 1 7 4 1 空间向量概念理解的典型错误与归因。1 7 4 2 空间向量的线性运算与坐标表示的典型错误与归因2 0 4 3 用数学语言表示立体几何元素与关系的典型错误与归因2 l 4 4 用向量证明有关线、面位置关系的典型错误与归因。2 4 4 5 用向量方法解决空间角问题的典型错误与归因2 5 5 研究的结论与教学建议 2 9 5 1 研究的结论与局限性2 9 5 2 教学建议3l 参考文献 附 后 录 3 5 3 7 毋 r 西南大学硕士学位论文 摘要 高中生“空间向量与立体几何学习中 典型错误及归因研究 基础数学专业硕士研究生龚华梅 指导教师刘静副教授 摘要 随着新课程改革的推进，空间向量逐渐融入到立体几何课程，并受到前所未有的重视， 但学生在学习和应用方面仍存在许多问题。本研究力求通过高中生在空间向量学习中的典型 错误及其原因来反映高中向量的教学情况，以期为教师的教学提供一定的参考依据。 本研究关注的是高二理科生在学完“空间向量与立体几何”的内容后存在的典型错误及 错误的原因。笔者通过文献分析、课堂观察以及学生作业找出学生存在的典型错误，再参考 相关资料编制测试问卷，并以重庆、四川、山西三个地区的三所不同层次学校的3 1 0 名学生 为样本进行测试，根据测试的结果和学生的访谈情况对存在的错误进行归因分析。 调查结果显示，高二理科生在“空间向量与立体几何”的学习中存在如下典型错误： 1 大多数学生不能很好的理解向量数量积的几何意义，容易混同一些关系较密切的概念。 2 学生对已知条件较明确题目中的线性运算与坐标表示不存在问题，但在综合性强、图 形元素关系较复杂的题目中，容易出现建系错误和向量坐标运算错误。 3 学生的作图能力不佳，分析解决问题的能力不强，忽视主观操作题，大多数学生有“高 考不考、平时不必练”的错误观念。 4 考查利用向量证明有关线、面的位置关系时，学生易虚假论据，凭主观想象拼凑出使 结论成立的条件，或将未知结论已知化来用。 5 对于用向量法解决空间角问题的考查，发现学生经常审题不全面，对一些条件“视而 不见”，不清楚所求量：在用向量法求线面角时，思路不清晰，机械套用公式：方法选取不当， 对向量法盲目崇拜。 学生出现的错误类型多属于知识性错误和策略性错误，前者产生的原因是对概念理解、 辨别不清，后者是因为学生在解决问题时审题不全面、对一些条件“视而不见”，从而无法 正确识别数学模式。当然还有一些错误类型属于典型的逻辑性错误和心理性错误。 另外，教材编写上的变化使得学生的作图能力有了明显提高；普通班的学生比实验班的 学生更倾向于用向量法解决立体几何问题。 基于上述研究结论，笔者为高中“空间向量与立体几何”的教学提出了一些相关建议。 关键词：高中生空间向量立体几何典型错误归因 ， 卜 f 臻 s t u d e n t s s p a c ev e c t o ra n dt h r e e d i m e n s i o n a lg e o m e t r y m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ? m a t h e m a t i c se d u c a t i o n 。 a j p r o f li u , l i n g s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t e l ud l n g a u t h o r ：g o n gh u a m e i a b s t r a c t w i t t lt h ea d v a n c eo ft h en e wc u r r i c u l u mr e f o r m ，s p a c ev e c t o rh a sg r a d u a l l yb l e n d e di nw i t ht h e t h r e e d i m e n s i o n a lg e o m e t r yc o u r s e sa n dr e c e i v e du n p r e c e d e n t e da t t e n t i o n s ，b u ts t u d e n t s l e a r n i n g a n da p p l i c a t i o ns t i l lh a v em a n yp r o b l e m s t h i sr e s e a r c ht r i e st of i n do u ts o m et y p i c a lm i s t a k e sa n d t h ea t t r i b u t i o ni ns t u d e n t s s p a c ev e c t o rl e a r n i n gt os h o wt h ec u r r e n ts i t u a t i o no fh i 【曲s c h o o ls p a c e v e c t o rt e a c h i n g ，w i t hav i e wt op r o v i d es o m er e f e r e n c e sf o rt e a c h e r s t e a c h i n g t h ef o c u so ft h i ss t u d yi so ns o m et y p i c a lm i s t a k e sa n dt h ea t t r i b u t i o no ft h es c i e n c es t u d e n t s f o r ms e n i o r2 ，w h oh a v ef i n i s h e dt h e i rh i g h - s c h o o ls p a c ev e c t o rl e a r n i n g b a s e do nt h ed o c u m e n t s a n a l y s i s ，c l a s s r o o mo b s e r v a t i o na n ds t u d e n t s h o m e w o r k , t h ea u t h o rf i n d so u tt h em i s t a k e sa n d t h e n w o r k so u tt h et e s tw i t hr e l e v a n td a t a t h et e s ti sc a r r i e do u tt h r o u g h310s t u d e n t sf r o mt h r e ed i f f e r e n t l e v e l so fs c h o o l si nc h o n g q i n g ，s i c h u a n , s h a n x i t h e nt h ea u t h o rm a k e st h ea t t r i b u t i v ea n a l y s i s a c c o r d i n gt ot h et e s tr e s u l t sa n ds t u d e n t s i n t e r v i e w i n v e s t i g a t i o nr e s u l t ss h o wt y p i c a lm i s t a k e s i ns t u d e n t s l e a r n i n gw h i c ha r ea sf o l l o w s ： i m o s ts t u d e n t sc a nn o tu n d e r s t a n dt h eg e o m e t r i cm e a n i n go fs c a l a rm u l t i p l i c a t i o nv e r yg o o d ， a n da r ee a s i l yt oc o n f u s et h ec o n c e p tw i t hs o m eo t h e rr e l a t e do n e s 2 t h o u g hs t u d e n t ss a yt h a tt h e yh a v en op r o b l e m si nu n d e r s t a n d i n gt h el i n e a ro p e r a t i o n sw h i c h c o o r d i n a t e sw i t ht h ec o m p r e h e n s i v es t r o n ga n dt h eg r a p h i ce l e m e n t sr e l a t i o n s h i pi nm o r ec o m p l e x t a s k si nt h em o r ec l e a rt i t l e s ，t h e ya r ep r o n et om a k ev e c t o rc o o r d i n a t em i s t a k e so rs p a c ec a r t e s i a n c o o r d i n a t es y s t e me l t o r s 3 s t u d e n t sd r a w i n ga b i l i t ya n dt h ea n a l y s i sa n dp r o b l e ms o l v i n ga b i l i t ya 他n o ts t r o n g ；t h e y t e n dt oi g n o r es u b j e c t i v eo p e r a t i n gq u e s t i o n ；m o s ts t u d e n t sh a v et h ew r o n gi d e at h a t 铈e yd on o t h a v et op r a c t i c et h et y p eo f t i t l e si f t h eu n i v e r s i t ye n t r a n c ee x a n ld o e sn o tt e s t 1 卜 n 幡 西南大学硕士学位论文 摘要 4 w h e nu s i n gv e c t o rt op r o v et h ep o s i t i o nr e l a t i o n so fl i n ea n dp l a n e ，s t u d e n t sa r ee a s i l yt o i m a g i n ef a l s ea r g u m e n t ss u b j e c t i v e l y ，o rw i l ln o tp r o v et h ec o n c l u s i o na sc o n d i t i o n s 5 b yu s i n gv e c t o rm e t h o dt os o l v ep r o b l e m sr e l a t e dt os p a c ea n g l e ，t h ea u t h o rf i n d st h a t s t u d e n t sd on o to f t e no v e r a l le x a m i n et h et i t l e ，o ro n l ye x a m i n et h et o p i cw i t ha b l i n de y e ”，n o t a w a r et h ea m o u n tt h a ti sa s k e d w h e nu s i n gv e c t o rm e t h o di nl i n ea n dp l a n ea n g l e ，t h e ya r en o tc l e a r a b o u tt h ei d e a sa n da p p l yt h ef o r m u l am e c h a n i c a l l y ；t h e yc a l ln o ta d o p tt h er i g h tm e t h o da n d a p p r e c i a t et h ev e c t o rm e t h o di m p r o p e r l y m o s to ft h e s em i s t a k e sb e l o n gt ot h ek n o w l e d g et y p ea n ds t r a t e g i c a lo n e t h ef o r m e ri sd u et o c o n c e p tc o n f u s i o no rv a g u ec o n c e p t ；t h el a t t e ri sa t t r i b u t e dt ot h eo n e - s i d e du n d e r s t a n d i n go f t h et i t l e ， w h i c hl e a d st ot h ei g n o r a n c eo ft h er i g h tm a t h e m a t i c a lm o d e l c e r t a i n l y , t h e r ea r es t i l ls o m eo t h e r t y p e so fe r r o r st h a tb e l o n gt ol o g i c a lo n ea n dp s y c h o l o g yo n e b e s i d e s ，t h ec h a n g eo ft e x t b o o k sm a k e ss t u d e n t s m a p p i gc a p a c i t yo b v i o u s l yi m p r o v e d ；t h e a v e r a g es t u d e n ti sm o r ei n c l i n e dt ou s ev e c t o rm e t h o ds o l v i n gt h r e e d i m e n s i o n a lg e o m e t r yp r o b l e m s t h a nt h eg o o ds t u d e n t b a s e do nt h ea b o v er e s e a r c hc o n c l u s i o n , t h ea u t h o rp u t sf o r w a r ds o m er e l a t e dp r o p o s a l sf o r s p a c ev e c t o rt e a c h i n g k e yw o r d s ：h i g h s c h o o ls t u d e n t s s p a c e v e c t o rt h r e e d i m e n s i o n a l g e o m e t r yt y p i c a lm i s t a k e s a t t r i b u t i o n i i i 、 卜 谯 西南大学硕士学位论文 1 问题的提出 1 问题的提出 1 1 研究背景 2 0 世纪8 0 年代以来，各国在数学课程改革中都对几何内容进行了大胆改革，但都把几何 作为中学数学的主要内容。美、英、法、日、俄等国家更是把立体几何作为高中数学的一条 主线，打破欧式几何的体系，改造传统几何的内容结构，强调几何与其他数学内容的融合以 及几何直观作用。在改革中，美国注重在从日常生活中提出问题，引导学生猜测、尝试、分 析、综合、推理、论证，强调用坐标、向量、函数的运动观点描述几何对象，以培养学生的 几何直观能力。日本采取螺旋式的安排，先介绍有关线、面的位置关系，再学习立体几何的 有关计算，最后引入空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何问题。俄罗斯采用的立体 几何体系为沙雷金的运动变换观点，公理的概念在教材中没有明确提出。尽管在内容的处理 上各国各有特点，但一直以来，几何课程改革都是数学教育界进行课程改革的焦点。 2 0 世纪之前，人们所说的几何都是欧式几何，但自从1 9 0 1 年英国数学家贝利发表了“论 数学教学”的著名演讲，提出要充分利用坐标系、多教些包括画法几何的立体几何后，数学 教育界开始掀起了波及多国的立体几何课程设置改革活动。其中，将向量引入高中数学教材， 是几十年来国外数学课程改革的一个主要特征。2 0 世纪6 0 年代，美国的新数学运动在处理几 何教学内容时，将坐标几何引入s m s g 教材，在l o 年级的几何教学中重视了坐标观点的运用。 日本在六、七十年代的中学数学教科书上就有了“向量”的内容，并同大学数学课程相接轨。 前苏联1 9 6 9 年开始使用的一套教材中，7 年级增加了向量的概念与运算，8 年级给学生介绍 立体几何的初步知识并讲授向量坐标的概念，减少了9 、1 0 年级立体几何中的内容，但教学 质量一直没有提升。为了提高教学水平，前苏联又在1 9 8 5 年公布了新的教学大纲，编著了新 的几何教科书，为了有效简化和缩短传统课程，在恢复了综合法证明的同时仍逐步引进坐标 法。英国在高中数学教材改革中，注重代数、几何、函数的融合，呈现了崭新的内容结构， 把向量知识和方法作为连接其三者的纽带。 在国外立体几何课程设置改革的启示下，我国高中数学教材中的立体几何内容在数学课 程改革中也做了很大的调整。从上个世纪九十年代以后开始的近二十年高中数学课程改革中， 我国高中立体几何课程已经进行了三次大胆改革：1 9 8 6 年，全日制中学数学教学大纲( 以 下简称大纲) 中“立体几何”内容单独成立体几何一册，与代数( 上册) 同时开设， 在高一两个学期完成；1 9 9 7 年，大纲把“立体几何”的内容合编为一章“直线、平面、简 单几何体”，开始引入了空间向量，使立体几何的问题有了几何与代数两种解决工具；在2 0 0 2 年制定的大纲中，除了包含必修的“平面向量”，还在“直线、平面、简单几何体”中增 添了新的方案，“空间向量”在该方案中占有重要地位。2 0 0 3 年，普通高中数学课程标准( 实 验稿) ( 以下简称标准) 把立体几何的内容，放在数学必修2 “立体几何初步 、选修2 1 ， p ： 西南大学硕十学位论文1 问题的提出 皇曼曼曼曼曼曼鼍量曼曼毫曼鼍曼曼曼詈皇曼寰量鼍寰曼曼曼曼鼍曼曼曼曼皇曼曼曼量皇曼皇曼曼曼皇曼鼍曼葛量曼曼皇鼍曼曼量量量曼曼曼曼曼皇曼曼曼量曼量曼曼曼i i 一_ “空间向量与立体几何”及选修系列3 、4 的部分专题中。在标准中，明确提出了空间向 量的正交分解的概念，在空间向量的应用上有了很大变化：掌握空间向量的的线性运算及其 坐标表示；理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表示线线、线面、面面的垂 直、平行关系；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理；能用向量方法解决线线、 线面、面面的夹角的计算问题。【1 】以后相继出版的普通高中课程标准试验教科书也相应的 凸显了向量的应用。向量作为新课程内容被引入中学数学教材，有着巨大的教育价值：有助 于发展学生的运算能力和推理能力；有助于学生认识数学内容间的联系，体验数学的发现和 创造过程；有助于学生体会数学与实际背景的联系，以及数学在解决实际问题中的作用。【2 】 随着空间向量进入高中数学进程的推进，人们对空间向量的重视程度日益加强，空间向 量的教与学问题也逐步暴露出来，尤其是反映在学生的学习上。由于从初中的平面几何过渡 到高中的立体几何时，所涉及到的基本概念集中、抽象，知识点难度大、方法新，要求学生 有一定的空间想象能力和演绎推理能力，分析问题、解决问题的能力，所以在高中“空间向 量与立体几何”的学习中，学生普遍反映难学，加上高中数学课堂教学内容量大、进度快， 尽管学生有必修2 中的“立体几何初步”为基础，但在实际的学习过程中还存在很大的问题。 到目前为止，我国采取的仍是通过考试选拔人才的制度。数学作为一门重要的学科，在 考试中起着举足轻重的作用，不仅是主科之一，更是许多学生分数段拉开的主要因素。近观 这几年各省的理科数学高考试卷，立体几何大题的普遍得分率偏低，例如：2 0 0 9 年重庆市高 考平均得分为5 3 4 分【3 1 ，2 0 1 0 年全广西高考平均得分为3 1 4 分【4 】，海南近三年( 2 0 0 8 - 2 0 1 0 ) 高考平均得分分别为1 4 1 分、2 3 8 分、0 9 9 分阴( 满分都为1 2 分) 。那么学生在空间向量与 立体几何的学习中究竟犯了哪些错误? 为什么会犯这些错误? 这些都是亟待解决的问题。 1 2 研究问题及意义 目前关于高中立体几何的研究，从所搜集的文献资料来看，多集中在教材比较、教学教 法和课程设置方面，至于对高中生学习立体几何难点的研究也仅停留在认知结构上，很少具 体深入地研究高中阶段学生在所学空间向量与立体几何知识上所犯的错误及出现这些错误的 原因。基于上述考虑，本研究拟定从学生作业及试题中解题的具体步骤入手： ( 1 ) 探讨高中生在运用空间向量解决立体几何问题时存在哪些典型错误。 ( 2 ) 针对学生存在的这些典型错误分析学生在学习“空间向量与立体几何”这一章节存 在哪些困难并分析其原因。 学生在学习中出现错误是学习活动的必然现象，错误的产生必有其内在的原因。因此对 【1 1 中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准( 实验稿) 北京：人民教育出版社。2 0 0 3 【2 1 数学课程标准研制组普通高中数学课程标准( 实验) 解读 m 江苏：江苏教育出版社，2 0 0 4 ( 4 ) p l 张晓斌，邓朝阳2 0 0 9 年高考数学试卷( 重庆卷) 评析【j 】中国数学教育( 高中版) ，2 0 0 9 ( 11 ) 4 1h t t p ：w w w j k s c n s h o w n c w s a s p ? n e w s i d = 7 5 2 1 1 5 j 罗才忠，黄耀国2 0 1 0 年海南省高考数学试卷分析【j j 新教育，2 0 1 0 1 0 2 争 h 西南大学硕士学传论文 1 问题的提出 错误的辨别、剖析和更正、在失败中吸取经验和教训，也应该成为教育和学习过程中一个不 可忽视的、甚至是不可替代的方面【。了解学生在学习空间向量与立体几何一章节可能存在的 困难及原因，有助于教师制定恰当的教学策略和合理安排教学时间，进而为教师的有效教学 提供参考依据，改善高考中立体几何大题得分低的情况。同时，也为新旧课程的衔接提供一 定的参考，进一步促进高中数学课程的完善和发展。 【l l 武坚中学生数学学习中常见错误的分析与研究e d 云南：云南师范大学硕士学位论文，2 0 0 6 3 一 恬 西南大学硕士学位论文 2 文献综述 2 文献综述 2 1 相关概念界定 高中生：普通高中二年级理科学生。 “空间向量与立体几何 指高二理科生所学数学教材中一章节的内容，其中的知识点包 括：空间向量的概念、坐标和运算，直线的方向向量，平面的法向量，共面与平行，直线与 平面的关系，直线与平面、平面与平面所成的角，点到平面的距离等。非新课程地区此内容 位于2 0 0 4 年审核通过的人教版全日制普通中学数学教科书必修第二册( 下b ) 的第九章第三 节“空间向量”，新课程地区此内容位于人教版全日制普通中学数学教科书选修2 1 第三章“空 间向量与立体几何”。虽然新课标的数学教材版本众多，对“空间向量与立体几何”一章的编 排也有所不同，但在内容上都是基本一致的。 “错误”一词在现代汉语词典中解释为不正确的事物、行为。本研究所说“错误” 是指学生在学习“空间向量与立体几何”一章的过程中通过一些途径( 如回答老师提问、课 后作业或单元测试等) 所反映出的与规范的解题理论相冲突的直观知识，它可以是一些主观 的认识或看法，也可以是不成熟或错误的算法。【1 1 许多学生在解题时经常出错，甚至经常出现 同样类型的错误，或同一个学生在解不同类型的题目时犯同样的错误，像这样的错误就定位为 典型错误。1 2 】本研究中的错误不仅倾向于基础知识的错误理解，更倾向于学生的错误思想或行 为。 “归因”就其字面含义来说，是指“原因的归属”，即将行为或事件的结果归属于某种原 因。社会认知心理学研究中将归因理解为一种过程，因此归因是指根据行为或事件的结果， 通过知觉、思维、推断等内部信息加工过程而确定造成该结果之原因的认知活动。有关归因 问题的研究大体可以分为两个方面：一是关于归因认知过程的理论，主要关注人们是如何归 因的，其中的认知过程是什么，受到了哪些因素的影响，这方面的研究着重从理论上阐述归 因认知过程的内在结构；二是关于归因效果及作用的探讨，主要关注不同归因会使人们的情 绪、动机和行为产生哪些变化，这方面的研究为归因理论开拓了广阔的应用前景。p 】本研究的 “归因”侧重于后者，主要是通过高中生在“空间向量与立体几何”学习( 包括听课、作业、 回答提问) 中所反映出来的错误来探究学生出现错误的原因，进而达到避免学生再犯这类错 误，以期指导教师的“教”与学生的“学”。 1 1 l 李俊中小学概率教与学 m 上海：华东师范大学出版社，2 0 0 3 年1 2 月第二版：7 8 翻王大胄概率解题出现典型错误的心理倾向分析 j 牡丹江教育学院学报，2 0 0 8 ( 2 ) 1 3 1 郭德俊动机心理学：理论与实践 m 人民教育出版社，2 0 0 5 1 0 4 数学能力是指计算能力、逻辑推理与判断能力、空间想象能力、空间观念与思维深刻性、 灵活性、独创性、批判性的有机结合形成的能力。学生在学习数学的过程中，往往是通过推 导、归纳和总结数学中的公式、定理来培养自身的数学能力。由于计算能力在每个学段的数 学学习中都能得到培养，而空间想象能力在其它数学内容中并没有专门性的训练和培养，因 此，立体几何教学对培养学生的空间想象能力有着举足轻重的作用。同时，学生若要熟练运 用立体几何中的各个定理进行推导论证，就需要一定的逻辑推理能力，否则很难将想象的内 容准确严密的推导表达出来，所以这个过程也训练和培养了学生的逻辑推理能力。可以看出， 在立体几何的教学中，主要培养的是学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 对于空间想象能力的概念，不同学者有不同的理解。李洪玉、林崇德根据心理学的观点， 指出“空间想象能力”其实就是经过形象思维与抽象思维的观察、分析、处理而产生新形象 的一种综合性能力。曹才翰、蔡金法先生将空间想象能力解释为：以现实世界为背景，对几 何表象进行加工改造，创造新的形象的能力。而表象则是在知觉基础上头脑内所形成的感性 形象【1 1 。曹才翰先生还指出空间想象能力的特点在于：善于在头脑中构成研究对象的空间形状 和简明的结构，并能将对实物所进行的一些操作，在头脑中进行相应的思考。另一种较为全 面具体的阐释将空间想象能力界定为：“人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的 能力，主要包括：( 1 ) 对基本的几何图形必须非常熟悉，能正确作图。能在头脑中分析出基本 图形的基本元素间的度量关系和位置关系。( 2 ) 能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状 及位置关系。( 3 ) 能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系。( 4 ) 有 熟练的识图能力，即从复杂的图形区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间 的关系。”【2 1 根据中学数学教材教法中对空间想象能力的解释以及相关文献的研究，华东师范大 学的赵莹婷【3 】归纳出，在对学生空间想象能力的培养中，主要包括四个方面的内容要求，三个 层次的能力要求。内容要求为：( 1 ) 正确识图作图，熟悉几何图形的基本元素关系；( 2 ) 正确把 握空间元素的度量关系和位置关系，能借助图形或大脑来分析：( 3 ) 正确理解语言或式子所表 达的空间度量及位置关系，能借助图形来思考；( 4 ) 正确分析图形间相互关系，能从复杂的图 形中区分出基本图形。三个层次分别为：( 1 ) 建立空间观念的能力。即学生能通过对实物的形 状、位置、相互关系等的感性认识，将实物几何化，能在头脑中建立起空间表象，分辨不同 物体所具有的形状特征。( 2 ) 建构几何表象的能力。即学生能根据语言或式子的描述，用图形 或大脑想象建构符合要求的几何体表象。( 3 ) 操作几何表象的能力。即学生能在已建立的表象 1 1 1 张奠宙，宋乃庆数学教育概论f m 北京：高等教育出版社，2 0 0 4 1 0 圆十三院校协编组中学数学教材教法( 第二版) m 高等教育出版社，2 0 0 7 1 2 嘲赵莹婷空阃向量对高中立体几何教学中能力培养影响的研究 d 上海：华东师范大学硕士学位论 文2 0 0 9 5 5 f 。一 同于空间想象能力，逻辑推理能力并非是立体几何教学中独有的内容，在学习其它数学内容 时也可以得到训练和培养。但作为三大数学能力的核心，在立体几何的教学中，对于逻辑推 簟 2 3 向量进入立体几何课程的价值取向 向量( v e c t o r ) 又称矢量，是现代数学、物理学中的一个重要概念，它既有大小又有方向， 是集“数”和“形”于一身的量。英国科学家牛顿是用向量来表示有向线段的第一人，但向 量作为一条有向线段的思想早已在1 8 世纪的天文学文献中出现过。向量加法最早萌芽于“平 行四边形法则”，由古希腊著名学者亚里士多德在研究力学( m e c h a n i c a ) 中发现，但那时 社会发展十分落后，人们没有意识到向量运用的重要性。后来莱布尼茨( g w l e i b n i z ， 1 6 4 6 1 7 1 6 ) 在研究位置几何时发现代数不能给出最简洁的方法，而是需要一种几何的或线性 的能像代数表达量值一样直接表达位置的分析。直到十九世纪末，随着欧洲工业革命中向量 的使用频率越来越高，数学家与物理学家才开始意识到研究向量的重要性。1 7 9 7 年，挪威数 学家威塞尔意识到向量运算可以用具有几何意义的复数运算来进行后，向量进入了数学研究 领域。1 9 世纪中期，英国数学家哈密尔顿用四元数( 包括数量和向量部分) 对空间向量的表示， 为现代向量代数和向量分析的建立奠定了基础，而1 9 世纪8 0 年代的英国学者居伯斯和海维 塞德四元数的向量部分表示为向量，并引进了数量积和向量积这两个向量运算，为向量不断 改善从而发展为有用的数学工具作出了很大的贡献。 向量具有代数和几何的双重身份，其发展有着丰富的实际背景和显著的教育价值。空间 向量的引入，不仅更新了高中数学课程，而且革新了学生处理立体几何内容的方法。2 0 世纪 7 0 年代以前，学生学习立体几何一直都是用“形对形”的几何推理方法，对大多数学生来说 是比较困难的，因为几何推理方法对想象能力和逻辑思维能力都有较高的要求。虽然学生解 立体几何题的基本工具主要是全等三角形和相似三角形，但在许多问题里面并不包含这些图 6 一 o 西南大学硕士学位论文 2 文献综述 形，要用到解题工具，往往需要做辅助线，而学生觉得做辅助线是要靠“直觉”的，如果没 有“直觉”往往就束手无策。另一方面，体积法、面积法、割补法等是立体几何中常见的解 题技巧，但这些技巧难度很大，学生不容易想到，也很难确定究竟选择哪种方法最合适，而 一旦选择错误的方法，不但解题步骤繁琐，计算量增大，而且很难得出正确的答案。所以很 多学生觉得立体几何很难学，学不好，没有兴趣。引入空间向量以后，学生不仅在方法的选 取上有了更多的选择，也为立体几何的计算及证明开辟了一条新的思路，使许多的“形”转 化为“数”，把一些复杂的逻辑推理过程转化为简单的计算，有利于学生克服空间想象能力的 障碍和空间作图的困难，减少了学生对空间形式的依赖和想象，降低了立体几何题的难度， 提高了学生运用数学解决问题的能力。在利用向量处理线面角、异面直线夹角、距离等问题 时，学生思路更清晰，过程更流畅。同时，空间向量的引入充分关注到了不同学生在数学上 的不同需求，符合新课程标准中“选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求的要求， 体现了立体几何课程对全体学生的适应性，是培养新时代新人才的需要。 空间向量的引入带给学生一个便捷的工具，一种多样的选择，同时也更新了学生对空间 形式的思维方式。高中数学课程内容中，立体几何一直是世界各国关注的重点，传统几何对 数学思维的培养是借助实物表象，利用几何法局部地考虑几何图形的性质来实现的。但从一 线教师的实践发现，这种思维的培养方式相当繁杂，学生很难将解决问题的各种方法一一消 化并灵活运用。而利用几何培养学生的思维又是不可替代的，要解决这个问题，就需要发挥 向量几何的工具性作用，因为向量几何首先通过把几何中最基本的量“两点的相对位置( 位 移) ”代数化引入向量的概念，再引入向量的加法、数乘向量和内积三个运算来解决常见的几 何表象操作，如：平移、翻折、旋转等，使得学生可以方便地应用向量及其代数运算来解决 空间图形的位置关系和数量关系。由于向量运算体系与代数运算体系十分接近，学生可以在 他们原有认知结构的基础上掌握空间图形的性质，符合其认知规律。因此，利用向量研究几 何问题，更新了人们处理空间问题的思维方式，使学生的数学思维在不断“以数释形”的过 程中得到充分的培养。另一方面，这种利用向量的数量关系研究空间形式的思维模式也体现 了现代数学发展的方向，不仅为中学生以后进一步学习高等数学奠定直观的基础，也是适应 数字化时代的需要。 随着信息技术的不断发展，许多抽象成数学问题的现实问题需要用计算机辅助处理，而 计算机不能直接处理关于几何图形的问题，需要将几何图形“翻译”成代数语言，再编写程 序输入后才能处理。但向量是一种有效的可以宜接处理几何图形的方法，通过向量教学，能 使学生了解到向量在生活中的数学价值。向量作为连接数学与物理等自然科学的桥梁同时， 也是学生创造性思维的源泉。新课程标准把“数学建模”列为发展学生创新意识的学习活动， 所以学生在建立数学知识与物理知识的联系时，可以将向量作为工具，把物理问题转化为数 学问题，再利用数学模型解释物理现象。因此，向量的引入，激发了学生的学习兴趣，培养 了学生“用数学思维”的良好习惯，进一步强化了高中数学对应用科学的基础性作用。 7 2 文献综述 2 4 中学生学习“空间向量与立体几何”的认知基础 “空间向量与立体几何”的学习是在高二下学期进行，在这之前，非新课程地区的学生 已经在第一册( 下) 第五章学习了平面向量的相关知识，在第二册( 下a ) 第九章第二节学习 了“简单几何体”：新课程地区的学生学习顺序有所不同，先在必修2 第一章了解认识了空间 几何体的知识，后在必修4 第二章学习的平面向量。尽管两个地区的学生都学习了空间几何 体，但对知识点的教学要求存在差异，相较于二下a ，必修2 中的立体几何初步，仅要求认识 柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，而对棱柱、正棱锥、球的性质由掌握降为不作 要求。 平面向量是学生学习空间向量的认知基础，因为空间向量是平面向量的推广，两者除维 数不同外，在几何意义、坐标表示、运算等方面都有一致性，空间向量基本定理与平面向量 基本定理在形式上有着基本一致的内容。而两套教科书的编写，也正是在“空间几何体”和 “平面向量”的基础上，从向量的数量表示和几何意义入手，将向量及其运算的认识从二维 情形提升到三维情形，是“由此及彼，由浅入深”的认知发展过程，符合学生的认知规律。 在“平面向量”一章中，学生已经学习了向量的代数定义和几何意义，理解了零向量、 单位向量、共线向量、平行向量等相关概念，学习了平面向量的基本定理及其向量的几何、 坐标运算和运算律，以及向量平行、垂直的充要条件，线段的定比分点，平移公式等知识。 这些都将是学生学习空间向量时进行类比归纳的知识基础。在简单几何体的知识结构中，新 课程地区的教材新增了“空间几何体的三视图和直观图”，给学生提供了亲身实践、动手作图 的机会，加强学生的直观感受和空间想象能力。 经过“平面向量”与“空间几何体”的学习，学生在平面图形与立体图形的转化上有一 定的基础能力，但对平面直观图存在一定的误解，绘制图形时缺乏透视原理和空间想象能力， 对运动时表象的合成、分解能力较差。口1 2 5 “空间向量与立体几何 教与学的相关研究 立足于新课程改革，王建明对高中课标和高中大纲的“空间向量与立体几何” 内容进行了比较研究，得出四点结论：标准中的这一章节的内容是供理工科和部分经济类 学生学习的，这种层次化的处理使学生有了选择性；相较于 ：大纲中缺乏对向量工具的论 述和界定，标准进一步强调了“空间向量”的工具作用和应用价值：标准鼓励学生更 多地理解“几何代数化”的发展趋势； b 的表述等。 建系、向量坐标运算错误。从二维平面几何过渡到三维立体几何，学生的空间观念还 没有完成转化过来，导致其不能正确的建立空间直角坐标系。加之学生没有一个良好的解题 习惯，没建坐标系就写点坐标，或还未写出点坐标就开始进行向量坐标的运算，致使整个题 满盘皆错，尽管其思路是正确的。当然，空间想象能力差也是一个重要的原因。 不认真读题，不清楚所求量。这是在学生作业中出现最多的，学生经常忽略题设中的 一些已知条件或要求。如求线面角时，学生求的是直线与法向量的夹角；对“在棱嬲上是 否存在点p ，使得，若存在，求出即的长，若不存在，请说明理由”，有些学生最终得 出的结果却是点尸的空间坐标。不管老师在课堂上怎样强调“看清题意再答题”，这样的错误 还是屡见不鲜。 忽视主观操作题。在学生的作业中，当出现作图或开放性题目时，学生一般都空着， 他们觉得高考中不会考这种类型的题目，去做的话是浪费时间，还不如多练习几道证明题。 有的同学做了，却对基本的作图法缺乏了解，使得作出的图形不够直观，缺乏规范性。 3 4 测试问卷的编制与实施 本节通过问卷测试的方法，着重安排“证错误”的设计与实施，调查重庆市西师附中、 四川省玉章中学及山西沁县中学三所不同类型的学校，包括新课程地区和非新课程地区，共 计3 1 0 名高二理科生，并访谈了几位立体几何学习特别困难的学生，其主要目的是验证学生 在学习“空间向量与立体几何”中是否存在这些典型错误，再对学生的测试情况和访谈结果 分析其错误的原因。下面主要从测试问卷的编制、调查对象的选取、调查实旌的情况及数据 的编码与分析四个方面介绍测试问卷的设计与实施过程。 3 4 1 测试问卷的编制 测试题主要参照标准、人教版数学必修教材第二册( 下b ) 第九章、人教版数学教材 选修2 1 及相关教辅，结合新课程地区与非新课程地区“空间向量与立体几何”的学习情况， 1 3 计与实施 以学生用所学过的立体几何知识定量的讨论点、线、面的位置关系及其度量关系为目的，编 制了测试问卷，因为这些度量关系也是高考的一个重点内容。 测试问卷共有8 道题，其中客观题( 选择题) 1 道，主观题7 道：填空题l 道( 2 个小问) ； 作图题i 道；解答题4 道；问答题l 道。笔者试图从学生呈现出来的解题过程中验证“空间 向量与立体几何”学习中存在的几类典型错误，一个题目也可以同时考查几种错误( 见表3 - 1 ) 。 为了从学生的回答中了解学生的解题过程和思路，考查方式采用选择题、填空题、作图题、 解答题等四种形式，其中要求学生在不会做的情况下写出理由。 表3 - 1 测试问卷中各类题目的数量 测试题目主要来自教辅资料、历年高考题库及一些论文。选取测试题时，笔者对学生可 能出现的错误做了大致的估计，尽量保证每道解答题都能两种方法来解决，以便对学生的思 维有更好的了解。为了凸显学生间的水平层次，测试题以中档题为主。在正式测之前曾在西 师附中选择了3 0 名学生做过小规模预测，预测结果表明：总体计划可行，但时间太短，有部 分学生未做完题目。进行预测的目的有三个：( 1 ) 考查学生对测试题是否有歧义：( 2 ) 考查测试 的时间是否合适：( 3 ) 考查测试题是否能达到所要的效果。根据预测的结果对原测试做了相应 的调整，最终形成测试问卷。( 见附录) 3 4 2 调查对象的选取 本研究主要调查学生在学习完直线、平面、简单几何体和空间向量( 新课程地区为学完 选修2 1 ) 后学生在这一章节所犯的错误。测试的主要地区选取了四川省玉章中学和重庆市西 师附中，同时为了与新课程地区学生的立体几何学习情况对比，又选取了山西省沁县中学作 参照。三所学校属于不同层次的学校，山西沁县中学是县级普通高中