（基础数学专业论文）两类不同边值的半线性椭圆方程正解的存在唯一性.pdf

摘要 本文中我们主要研究两个问题： 一，研究以下半空间中带n e u m a n n 边值条件的退化l o g i s t i c 型半线性椭圆方程的j 下解 其中t z ) u 一厶( z ) ，“。， z 丁 z a t ：z o ，( v 2 ) ，n ( z ) ，6 ( z ) 是丁r 上的连续 函数，且满足 6 ( z ) o ，6 ( z ) 0 ；6 ( z ) 三0 ，z q o 是非空有界连通集，记丽= _ 【z 蕊：6 ( z ) = o ) ，a q o 是光滑的礼是卯的单位外法 向量 以往研究的n e u m a l l i l 边值问题有很多结论都是在有界区域得到的，如文【8 】，本文采用 传统的上下解以及一种新的方法得到无界空间中椭圆方程正解的存在唯一性定理 二，研究半空间中有界边值条件的半线性椭圆方程 i 一u = ( z ) 厂( 札) ，z 丁 1 札：仃，z 卯 其中( z ) 是连续函数，( z ) g g ，仃是正常数，( u ) 是 o ，) 上的非线性连续拟 单调函数且满足，( u ) o ，u ( o ，n ) ；，( “) o ，u ( o ，口1 ) ， ( 乱) o ，札( o ，0 2 ) ， 厶( 扎) o ，u ( 口2 ，o o ) ，0 1 0 2 在对，( z ，u ) 加以某些限制的情况下来研究方程 i 一u = ，( z ，札) ， z t i 札= ( z ) ，z 卯 0 o ，u ( o ，o ) ；，( 缸) o ，u ( o ，n 1 ) ， ( t 正) o ，u ( o ，眈) ，止( u ) 0 ，仳( n 2 ，) o o ，札( 0 ，n ) ；，( 仳) 一2 ，和7 ( 一，。) ，存在正常数q 1 ，q 2 p 1 ，岛，使得 q ，= 虹。静心= 瓯静朋= 虹。静，阮= 而静川卸 则 ( 1 ) 方程( 0 1 ) 存在最大正解和最小正解； ( 2 ) 方程( 0 1 ) 存在唯一正解 定理0 2 假设，( u ) 是连续拟单调函数且存在正常数。使 ，( u ) o ，t | ( o ，o ) ；，( u ) 1 定义入1 ( q ，口) 是上述问题的第一特征值此第一特征值是简单的，孤立的，并能够表示 为 吣) - m 饥n 。，哗铲 其相应的特征函数咖在q 中是严格正的，且有i i p = 1 本文取p = 2 引理1 1 ( 文【1 0 ，1 5 ，1 6 】) 考虑函数口( z ) o o ，以及下列特征值问题 一p t 正一口( z ) i t 正i p 一2 u = 入i u i p 一2 u ，z q ，缸i 铀= 0 ，p 1 定义a 1 ( q ，q ) 是上述问题的第特征值则入1 ( q ，n ) 有下列性质： ( a 1 ) ，入1 ( q ，q ) 是关于区域q 的连续递减函数； ( a 2 ) ，入1 ( q ，q ) 关于加权函数。连续； ( a 3 ) ，入1 ( q ，a ) 关于乜l o o ( q ) 连续； ( a 4 ) ，v m 尺，a 1 ( q ，n + m ) = a 1 ( q ，q ) 一m 引理1 2 ( 文【5 】) 假设q 是r 中有界光滑域，a 1 ( q ，n ) 表示具有权函数的p l a p l a c i 趾方程 的第一特征值假设u 1 ，钆2 c 1 ( 豆) 且满足： 一p u l o ( z ) u l p 一1 o 一，t 2 一口( z ) t 正2 p 一1 ，z q ， 如果入l ( q ，口) o ，则u 1 坳，z 孬或者a l ( q ，n ) = o 则u 1 和u 2 都是相对于入1 ( q ，n ) 的特征函数本文中取p = 2 引理1 3 ( 文【l 】定理2 3 ) 假设qcr 是有界光滑区域，并且面cq ，考虑d i r i c l l l e t 问题 一锋二三荽z ) | 让严一2 牡一乡( z ) l u i 口一1 札z ：乞羔 c - ， 其中o ( z ) ，6 ( z ) 是豆中的光滑函数并且6 ( z ) o ，z 孬面；6 ( z ) 三o ，z q o ， p 1 本文中取p = 2 当a 1 ( g ，口) 0 时，方程( 1 1 ) 存在唯一正解；当a l ( g ，q ) 0 或a 1 ( q o ，n ) 0 时方程( 1 1 ) 没有正解 引理1 4 ( 文【l 】) 假定边界a q 被分为两部分r o 和r 1 ，其中1 1 相对于a q 是开的边界爆破 一p u = q ( z ) i u l p 一2 u 一卢( z ) l 训9 _ 1 z q ( 1 2 ) 【 u = 。， z a r 其中a ( z ) ，p ( z ) 属于豆且( z ) o ，z a q 定义d ( z ) = 比5 ( z ，r ) ，如果，u 是方程( 1 2 ) 的一个正解，则对y r 一致有 茁粱，】南u = 黼】南 本文中取p = 2 引理1 5 ( 文【3 】) 对方程 以忙八叻一叫 ( 1 3 ) lu = g z 卯 假设厂( u ) 是连续拟单调函数且存在正常数口使 ，( u ) 0 ，乱( o ，口) ；，( u ) 1 ，n ( z ) ，6 ( z ) 是t 上的连续函数，且6 ( z ) o ，p ( z ) o ，z q ，i i 口( z ) i l l 。 e 2 0 ，记 耽= ( 钍t + 龟) 一1 【( t 2 + e 2 ) 2 一( u 1 + e 1 ) 2 】+ = 1 ，2 q + ( q ，。2 ) = 【z q ，：t 正2 ( z ) + e 2 t 正1 ( z ) + e 1 ) i = 1 ，2 因为在h 1nl o 。范数下，他可以由珥中的俨函数逼近，且耽= o ，z r 1 ，故用替 换岫，( 木) 式仍成立，且厶，在q + ( 。：) 以外都是o 这时( 半) 式左端第一项 6 故 ：一厂( 阮一 ，s2 + ( 6 1 ，2 ) 札+ e 1 u + e 2 d l i +i d l l l 一 札1 + e 1 u 1 + e 2 ，) ? 1 2 1 2 ) 矗zs0 取0 0 ，u 2 0 ，即u 2 让1z q + ( o ，o ) ，这与( 2 5 ) 式矛盾，从而知道m e s q + ( o ，o ) = 0 ，即牡1 抛，z q ，证毕 引理2 2 假设u 1 ，u 2 c 2 ( 面) ，是正的，且在弱意义下满足 u 1 + 口( z ) u 1 6 ( z ) u ； 贝0 u 2 扎1 ，z a q ， 证明与引理2 1 同理 o 1 上2 + 口( z ) u 2 6 ( z ) t 正! ，z q ， 安争宝争， z a q ， 加二加，“o r 定理2 3 当a 1 ( q ，：o ) 0 时，方程( 0 2 ) 有一个正的下解 证明：考虑d i r i c h l e t 问题 一：三：j z ) 一6 ( z ) _ u q z ：乏三： ( 2 6 ) 7 因为条件( o 6 ) 成立，由文【6 】中引理3 1 推知存在一个，厂o o ，使得蕊cq ，并对所有 的r 7 o ，a 1 ( s 2 ，f z ) o 由引理1 3 ，方程( 2 6 ) 有唯一正解u 1 ，则乱1 满足 i 一u 1 = o ( z ) 乱1 6 ( z ) 札；，z q ， 札。：。， z r 。 【筹姐 z 吼 易见，似1 是方程( 0 2 ) 的一个下解 定理2 4 当a 1 ( g ，a ) o 0 矛盾 故j ( u ) 是强制的，则可以得到，( u ) 有一个最小元u o 日1 ( q ，) 设是相应于入1 ( 皿，口) 的特征函数， 由于入1 ( q r ，o ) 0 ， j ( ) = ；厶，i d 驯2 一口( z ) m 1 2 出+ 赤止，6 ( z ) 胁i q + 1 出 = a 1 ( q ，n ) 厶，俐2 出+ 南厶，6 ( z ) 俐州 o = j ( 0 ) 故让o o ，同时i u o i 同样是，( 仳) 的极小元综上，( u ) 有非平凡的临界点，即l u o i 是方 程( 2 7 ) 的一个正解由引理2 1 得i 乱o l 是唯一正解 设让2 = i u o l ，则u 2 满足 z ) 仳2 6 ( z ) u ；， z q ， z r 1 z r 2 由比较原理，让2 是方程( o 2 ) 的上解 定理2 5 当a 1 ( q ，n ) 0 a 1 ( q o ，口) 时，方程( o 2 ) 存在唯一正解 证明：根据定理2 3 和定理2 4 由上下解方法知，当入1 ( q ，口) 0 ，使得屹( 1 + e ) 1 ， 7 ，所以在大半球上应用比较原理且得到 在所有的大半球上有忱( 1 + e ) 1 这说明忱( 1 + e ) l 在整个t 上成立 由于e 是任意的，则屹1 ，z 丁 在以上的讨论中我们将1 ，屹相互替换，也可以得到1 2 这样必须有1 = 忱，即方 程( o 2 ) 至多有一个f 解 故当a 1 ( q ，口) 0 时，方程 有唯一正解 一u 乱 a u 挑 口( z ) t 正 七 0 z q ， z r 1 ( 2 1 0 ) z r 2 证明：取光滑的分段函数 l 妒( z ) 三1 ， z q o 矽( o ) = 1 ， z t 噶 io 咖( z ) l ， 茁q ，q o 对每一个c = 仇o z z 瓦i 口( z ) i ，设n ( z ) = 妒( z ) 口( z ) + c ( 1 一妒( z ) ) ， 显然， 凸+ ( z ) o ( z ) ，z q ，且入l ( q o ，o + ) = a l ( q o ，n ) 由引理1 1 推知，存在r 0 ，使得入1 ( q r ，口) o ，舞= o ，z r 2 r ，r 2cr 2 r ， 从而有象= o ，z r 2 ， 对每个正整数七，取m 1 足够大，使得m u 七，z r 1 ，易见，m u 是方程( 2 1 0 ) 的上 解 又u 三0 是方程( 2 1 0 ) 的下解 由上下解的方法方程( 2 1 0 ) 存在正解 下证正解唯一，设t ，1 ，也是方程的正解，对v e o ，易见，( 1 + e ) 1 是方程( 2 1 0 ) 的一个上 解，由弓i 理2 1 得( 1 + e ) u 12 忱，z q ， 又由e 的任意性得，u 1 砚，z 皿 交换u 1 ，u 2 的位置，同样得到郇1s 2 ，z q ， 则们= 忱，z q ， 1 0 从而有则方程( 2 1 0 ) 有唯一j 下解证毕 口 定理2 7 当入1 ( q o ，n ) 0 时，方程( 0 3 ) 存在唯一正解 证明：设方程( 2 1 0 ) 的正解为“k 且札k 是关于岛的增函数，山正则性理论知q 中任意紧 集kcq 和某个a ( o ，1 ) ，“c 1 ，。( k ) ，如果能取得u 的一个上界，则 仳) 在c 1 ( q ) 中 收敛到方程( o 3 ) 的一个正解现在寻找 妣) 的上界，对q 面中任意一个紧子集k ，存在 开集q 1 ，使得 kcq 1c cq q o ，6 ( z ) o ，z q 1 方程 睡 ) t 正一6 ( z ) q ，z q l z r 1 1 z r 2 1 掣：警：m 警扎z r 2 ， a 几a na 佗。 且 l i m d ( 。，r 1 1 ) ( 乱女一y ( z ) ) 0 ， z r 1 1 ， 一y ( z ) o ( z ) y ( z ) 一6 ( z ) y ( z ) 9 ， z q l ， 由比较原理得u 七y ( z ) z q 1 如果能够在q o 的一个小邻域中找到七的上界，则 可以得到札= l i m u 七是方程( 0 3 ) 的解 故设表示q o 在q 中的7 7 邻域，瓦cq ，由引理1 1 ，因为 入1 ( q o ，o ) 0 ， 取叼足够小，可以使得 a 1 ( ，口) 0 ， 由上面的证明可以找到y 7 ( z ) ，使得对所有的七和z a 2 ，有“七y 7 ( z ) 设妒是a 1 ( ，口) 对应的正特征函数，选择正常数，使得 妒 y 7 ( z ) ，z a j 7 v 2 ， 则 一妒一n ( z ) 妒= a 1 ( ，n ) 妒 0 ，z 罢， 一? 一r 上( z ) t 船= b ( ：) t z 2 o ，z 且对所有的骨 1 。 t 妒u 七，z a 昙 由引理1 2 知道，对所有z 丽，u 七t 妒 综上所述，在q 任何紧子集上 “七) 有上界， 故方程( 0 3 ) 至少存在一个正解 下面证明正解的唯一性 设让+ ，u ”都是方程( 0 3 ) 的正解，由引理1 4 得出 1 h n r 。告= 1 ， 筹= 筹= o ，z r 2 则对e 0 ，有( 1 + e ) u + 是方程( o 3 ) 的一个上解， 由弓i 理2 1 得( 1 + e ) t 正u ，z q ， 由e 的任意性得，t 牡”z q ， 交换u + 和u “，同样可以得出u ”u ，z q ， 从而有矿= 矿，z q ，进而方程( 0 3 ) 有唯一正解 口 2 3 定理o 1 的证明 证明：对方程( o 2 ) ，因为条件( o 6 ) 式成立，由文【6 】知道：存在风 o ，使得而cq 硒，且对所 有的7 岛，入1 ( q ，n ) 岛，且当n _ o o 时_ 。o 显然，当7 = h 时，方程( 0 2 ) 有唯一正解，记为 由比较原理得+ 1 如果我们在任意固定的q ，上找到的上界，通过正则性的论证让= l i i - ( z ) 在t 上有意义，且是方程( 0 1 ) 的一个正解 为了找到这样的上界，我们考虑 i 一u = 口( z ) 牡一6 ( z ) 舻， z q ， t 煮= o ， 倒q ， q j 2 由定理2 4 知道r 时，方程( 2 1 2 ) 有唯一正解，记为 由比较原理得： 对所有使得 7 的几，有，z q ， 足 从而方程( 0 1 ) j 下解的存在性得证 从礼。? + 1 ，对每个n ，有1 以= l i h h 。o o t ( z ) t ( z ) o 则乱+ 是方程( 0 1 ) 的一个正解 对方程( o 1 ) 的任何一个正解u ，满足 l 一“= n ( z ) u 一6 ( z ) u 9 ，z q ，。 l 仳 o ，z r l ” 【爱o ， z 吨n 由比较原理，对每个礼，有u u n ，z q 则u u 。= l i n h - o o 。( z ) ， 从而札。是方程( 0 1 ) 的最小正解 下面证明方程( o 1 ) 有最大正解 同样选择一串单调递增的实数，使得当礼- 。时，一。o 且磊cq ” 考虑方程 i 一u = 口( z ) t 正一6 ( z ) t 护， z q h l u = o o ，z r l n ( 2 1 3 ) 【是- o ， z 吨” 由2 2 的讨论方程( 2 1 3 ) 有唯一正解 记u 。= l i - + ，由比较原理，当n 1 时，+ 1 u 由正则性理论知道仳。是方程( o 1 ) 的正解，且仳。u 。 0 对方程( 0 1 ) 的每个正解，满 一u = n ( z ) u 一6 ( z ) t 正9 ， t 器 由比较原理得到钆，z q h ， 程( o 1 ) 的最大正解证毕 2 4 方程( o 1 ) 正解的唯一性 z q r 。 z r l n z r 2 n n 1 所以u = l i k 。仳，进而。是方 口 证明：设u 1 = 札( z 1 ，z 2 ，z ) ，z o 是方程( o 1 ) 的一个正解，取7 o 足够大，使得蕊c b ，对所有的尺 r ，记r = j e 7 兄n 订，q l = j e 7 rn 丁，q 2 = b rn ( r 丁) ，j e i 尺= q luq 2 易见u l l n 。是方程 博矽嚣 1 3 1 4 的j 下解记 的正解 考虑方程 令 仳2 对坳c 字( ) ，因为 ( 一乱，妒) l 2 ( ) = k 一札妒如 f 一言至三：z ) 一6 ( z ) “g z ：挲 i t 1 i n l ，z q 1 地f 啦，z q 2 2 j b r d u d 节d z i 8 b r 瓮咿如 2 厶。d 扎d 妒+ 厶：d 托d 妒如 2 母，一：- 1 妒出+ 。静妒如+ 厶。一扎2 妒如+ ：一静妒如 2 如t 【o ( z ) u 1 6 ( z ) 乱；j 妒如+ 氏陋( z ) 坳一6 ( z ) 蝴妒如 2j b 兄 o ( z ) t 正一6 ( z ) u 1 妒口b 2 ( 口( z ) “一6 ( z ) 俨，妒) 工2 ( b r ) 所以“是方程( 2 1 4 ) 的正解 将让延拓到冗上记为t ， 则u 是方程 t i 2 牡1 ， t ，2 ( 【= “：， z r z 丁 一让= n ( z ) 缸一6 ( z ) t 正叮， z r 的一个正解 由文【l 】，上述方程有唯一正解，从而乱l 唯一，方程( 0 1 ) 正解的唯一性得证证毕 ( 2 1 4 ) 0 ，3 程一 妊 方o ，是沁 b p 屹 一 则砖卜“ q 啊 = l i 一她抛鼽一幺丝鼽 刍，。j、_，您r-、【 饥 “ = 吻 3 有界边值问题正解的存在唯一性 3 1 定理o 2 的证明 本文改进了文【2 】，【3 】中方程右端函数只与，( 札) 有关且边值是非负常数或o 。的情况，研 究右端是与有z 关的非自治函数且边值取有界变量的情况在假设条件下，强极值原理并 不成立，所以借鉴文 2 】用w e a ks w e e p i n g 砸n c i p l e 先引入w e a l ( s w e e p i n gp r i n c i p l e ( 文【1 1 】) ， 引理3 1 ( w 色a ks w e e p i n gp r i n c i p l e ) 假设dcr 是有界光滑区域，对s ( 一，) ， ( s ) 是连续且局部拟单调的设让和仇， 1 ，2 】，u ，仇日1 ( d ) nc ( 万) ，且( 在弱的意义下) 满 足：对某个e 0 ， 一t 上h ( u ) ，一仇 ( 仇) 一e ，z d ，v 1 ，2 】， t 正仇+ ，z a d ， 1 ，t 2 】 特别地，若对某个t o 1 ，2 】和_ 魄。，有札，z d 是从 1 ，2 】到c ( 面) 上连续 的，则u t ，z d ，v 陋1 ，2 】 引理3 2 ( 文【3 】) 设，( u ) 在 o ，) 上是拟单调连续的且存在正常数。使 ，( u ) 0 ，1 l ( 0 ，n ) ；，( ) o ，使得u k ，z t ， k m 设是一= 1 ，z b l ( o ) ，= o ，z a b l ( o ) ( o ) = f l 对任意给定的7 7 o ， 由定理的假设条件得 岛：= 一7 n 口z s 【 f + 叩，k + 町】，( z ，s ) o ( 3 1 ) 对任意z o t ，0 和a 0 ，定义 ， ( z ) = k + 叩一( a 一1 ( z z o ) ) ，z b a ( z o ) 设1 = o ，2 = 等尝，显然，对 1 ，2 】有 m + 叩九，a ( z ) k + 叩，z b a ( z o ) 且 一仇，a ( z ) = 一嘉一聂，z b a ( z o ) 1 5 通过( 2 2 1 ) 式得到：如果a ( 番) ；z 2 ；，则 一， 厂( z ，a ) + 誓，z b ( z o ) ，旺1 ，f 2 】 显然， t 。， ( z ) = k + 叩乱( z ) ，z 男a ( 如) nt ， t ，a ( z ) = k + 7 7 u ( z ) + 叩，z a b a ( z o ) nt ，口1 ，2 】， f ，a ( z ) = m + 叼，z b a ( z o ) na t ，t 陋l ，2 】， 因此，如果a ( 杀) ；2 ；，由引理3 1 ( w ，e a ks w e e p i n gp d n c i p l e ) 得到 u 砂t ，a ，z b a ( z o ) n 丁，t 陋1 ，2 】 特别地，u ( 知) 也：，a = m + 叩因为z o l 刀 o 是任意的，故u ( z ) m ，z t 同理可证，乱( z ) m 锄 c ，口) 口 下面证明定理0 2 证明( 定理o 2 ) ：设r o ，珏= 丁n 如( o ) ，k = 踯( o ) n 卯，= a 如( o ) n t 由引理1 5 推知方程 一u = c 0 ，( u ) ， z j r r ，t 正= 盯，z m ， 有有界正解，记为u 由引理3 2 知u m n z 盯，口) = r ( 1 ) 我们考虑 - 肛烈功八叻一蚴 ( 3 - 2 ) i 札= 讯( z ) ， z a 珏 其中 讯( z ) ) 芒1cc ( r ru ) 是使得o 饥( z ) 盯且饥( z ) 饥+ l ( z ) 的序列此 外，饥( z ) 三o ，z a 如。( o ) n 珏且饥 ) 三仃，z 吼。( o ) na 珏，其中墩= r 一 显然，让三0 和札= u 是方程( 3 2 ) 的下解和上解 因此由引理1 6 ，方程( 3 2 ) 有最小正解u 盏c o ，丁】显然，u 铲1 是方程( 3 2 ) 的上解，因此，方 程在区间 o ，乱铲1 】c o ，丁】上有正解，这说明乱盏札铲1 丁， z 由正则性的讨 论札兄= l i m 七啪u 臭在7 1 r 上有定义且是方程 i 一缸= 砂( z ) ，( u ) ，z j 隆 t 正= 仃，z r 兄 ( 3 3 ) 【 札：。，z 的正解 对方程( 3 3 ) 的任意正解略，易见u 盏= m 讥 u ，札欠) 是方程( 3 2 ) 的一个上解，故由上下解 方法方程( 3 3 ) 在区间【o ，婶】c 【0 ，7 - 】上有正解，这说明u 瓮s 乱瓷略，z ，因此，u r 是( 3 3 ) 的 最小正解 现在对v r l r ，我们得到 i 一“= ( z ) ，( u ) z 。 i乱= 一y k ( z ) ，z a 丁k i 的一个最小正解u 兄。 o ，7 】，显然r 。1 是方程( 3 3 ) 的一个上解因此方程( 3 3 ) 在 o ，u r 。 c o ，丁】上有正解这说明u r u r 。，z 因此，如果我们选择单增序列 心 ，尺。_ ，当几_ 记u n = 扎如且已= 强，则7 u 。+ 12u n ，z 瓦，1 由正则性理论型= l i m 。札n ( z ) 在丁上有意义且是方程( o 4 ) 的正解 下证笪是方程( o 4 ) 的最小有界正解 对方程( o 4 ) 的任意有界正解“，u 7 ，且满足 一u = ( z ) ，( u ) ，z l ；t 上l r r 。= 盯；u i 如。 o ，佗1 因此，u 是方程( 3 2 ) 的上解，故方程( o 4 ) 在 o ，乱】c o ，1 】上有正解由u n 的定义有札 u n ，z 死，n 1 ，因此 札笪= l i m n 。u n 所以型是方程( o 4 ) 所有正解中的最小正解 ( 2 ) 我们考虑 ! 归烈功八一 ( 3 4 ) i = 7 七( z ) ，z a 珏 其中 饥( z ) ) 篷lcc ( r r u 王k ) 是使得o 饥( z ) u 且饥( z ) 饥+ 1 ( z ) 的序列此 外，饥( z ) 三u ，z a 如。( o ) n 且讯( z ) 三盯，z b 吼( o ) n ，其中凡= r 一 显然，u 三0 和u = u 是方程( 3 4 ) 的下解和上解 因此由引理1 6 ，方程( 3 4 ) 有最大正解u 凫c o ，7 _ 】显然，畦是方程 _ 归烈动八一嘶 ( 3 5 ) 【u = 7 m ( z ) ，z 的下解方程( 3 5 ) 在区间 u 臭，u 】c o ，丁】上有正解，这说明u 凫秒铲1 7 - ， z 由正则性的讨论 r = l i m 。口盏在珏上有定义且是方程 的正解 现在对v r l r ，我们得到 一 = 咖( z ) ，( u ) ，z 丁k u = 盯 u = u z r r ( 3 6 ) z h r 1 7 i 一u = 咖( z ) ，( ) ， z 7 k 。 i u = ，y 七( z ) z a 7 k l 的一个正解u j r 。 o ，7 - 】且满足 一u r 。= ( z ) ，( r 。) ，z 丁k 。；u 兄。l 珏讯( z ) 显然u r 。是方程( 3 4 ) 的一个下解因此方程( 3 4 ) 在 r 。，u 】c 【o ，7 - 】上有正解这说明 r 。 咖= l i n k 盏，z 7 k 进一步，对( 1 ) 中的最小有界正解笪有 咖咖l 笪，z 珏 因此，如果我们选择单增序列 心 ，尼。_ ，当n 一记= u 凡且死= 7 k ，则7 - + l ，z 死，1 由正则性理论瓦= l i i ( z ) 在t 上有意义且是方程( 0 4 ) 的正解 下证面是方程( 0 4 ) 的最大有界正解 对方程( o 4 ) 的任意有界正解乱，u 7 ，且对每个礼满足 一u = ( z ) ，( u ) ，z 死；u i r r ，i = 盯；u l 如。su ，佗1 显然，u i 死是方程 ! 一肛烈功，( 一 ( 3 7 ) i = 饥( z ) ，z 吼 的下解，且方程( 3 7 ) 在 u i 晶，7 - 】上有正解 由谚的定义有 也碟，z ，七1 这说明u = h m 七。畦，n 1 且有u u n ，z 死，n l ，所以瓦是方程( o 4 ) 所 有正解中的最小正解证毕 口 3 2 定理0 3 的证明 根据定理o 2 ，对于每一个i = l ，2 方程 一u = 晚( z ) ( 牡) ，z z t = c ：c 其中1 ( z ) ( z ) ，( z ，仳) 枕( z ) 厶( z ) ，晚( z ) 是连续函数，有有界正解啦，t = l ，2 又 ( u ) 是 o ，。o ) 上的连续拟单调函数，存在正常数o 使五( u ) 满足 ( u ) o ，u ( o ，啦) ， ( ) 饥存在常数后使得 us 七u + ， 我们用m a r c u s v e r o n 方法( 文【9 】) ，定义 u = u ，一( 2 后) 。( u 一仳，) ， 显然 f 2 后岫等铵 8 ， 【丽石 + 丽石钍2 u + 因为对比t ，s o ，厂( z ，s ) 是凹函数，由( 3 8 ) 式得 又由u 的定义得 ，( z ，u 。) 百鲁，( z ，u ) + 互石 f i ，( z ，让) ， 一u = ( 1 + 去) m ，缸。) 一去他m2 m ，吐 则有札。 ，与( 3 8 ) 式矛盾，故方程有唯一正解证毕口 1 9 参考文献 【l 】董卫等，空间中退化的型拟线形椭圆方程正解的存在唯一性，数学学报中文版，2 0 0 6 【2 】d uya n dg u ozm ，j s ：y ，规，n p f 砂扫，p ，4 ，打c 已口“n r f d 甩s 加口i i l 口：印日c 已w f 历d “rj 打d ，l g ”五盘石办竹“，n p r 加c 驴k p r o c e e d i n go ft h er o y a ls o c i e t yo fe d i n b u 唱h ，2 0 0 4 ，l3 4 a ，2 5 9 2 6 9 【3 】d o n gw ，$ ，l 小p r 秒归，幻m 玎砌易幻w 印j d m f 如邶巧p z z 勿如p q “口砌，l j 加口 z n 俨j p 口c b s c i e n c e d i r e c t ，2 0 0 4 ，5 8 ：1 5 9 1 7 3 【4 】l iy a l l dz l l a oc s ，伽比j 舰咖陀万s d m f f d n sf d 口伽jd ，q 阳谢n 聊已却砌肫“砌册p 砌- 跆舢，s c i e n c e 嗽t ，2 0 0 4 【5 】d l i iy 衄dg u oz m ，肋“n 如拶咖w 一印j d 缸砌瑚d 蒯m 已f r 昭p 比口f f d 舢伽口船s f z 加p 口rp 盯f p 砌 叼幽f f d n s j d a n a l y s em a t h ，2 0 0 3 ，8 9 ：2 7 7 3 0 2 6 】d uya n dg u ozm ，l 面i n ，引饴1 ) 矽已，工“z 捃口咒d 已v p 刀n i 口f 月a f n p j sq 厂p d j f “v pj d z “f 勋n s ，b ，p - 却肠c 伽p 口z l 口f f d 舢a d vd i 肼细n s ，2 0 0 2 ，1 2 ( 7 ) ：1 4 7 9 1 5 1 2 【7 】p u c c ip 锄ds e r r i nj 4n d 胞d n 历ej f 加以g ，麟f m “mp ，伽c 咖加扣rp 帅珩盛匏彤n f f z 伽p 鼋船“ 西瞄j m a t i i p u r e sa p p l ，2 0 0 0 ，7 9 ( 1 ) ：5 7 7 1 【8 】d l l lya i l d i u 锄gqg 月f d w 一印j d z f f d n j 如r 口c 缸s sd ，j p m f z 伽已口r 已f f 咖眈口删朋m 幻f f c 叼淞- “册s s i 锄jm a ma n a l ，1 9 9 9 ，3 l ( 1 ) ：l 1 8 【9 】m m a r c u sa n dl v e r o n ，7 抛幻“，l 砌砂抛c pd ，p d s f 矗wj 已虎jd ，5 绷f z 胁印r 已盯咖咖已吁凇砌脚? 舭 s “沈一f f 阳z a r c h r a t i o n a lm e c h a n a l 1 9 9 8 ，1 4 4 ：2 0 l 一2 3 1 【1 0 】c 觚a d aa p r 口沈七只耐g 切肿z 上l ，戤括f 明d ，p 谢ws d m 砌册加，j d m pp m 易跆脚w 触，l d 疗一 砌p 口rd 洳泐l ，t r a i i a m e r m a m s o c ，1 9 9 7 ，3 4 9 ：4 2 3 l 一4 2 4 9 【l