（应用数学专业论文）existence+results+for+a+semilinear+parabolic+equation.pdf

摘要 本文讨论如下初值问题： 饥+ 壹掣州扣酏i n ( o 问) 彤 具有初始值 乱( z ，o ) = ( z ) ， o n 舻 并且假设函数，满足如下条件： l 五( 钆) l 冬g 1 u 尸，l 一( u ) l g l 似l p 一1 ，主= 1 ，佗 i 如( 乱) l 岛l u l 7 ，l 矗( 乱) l 醌l u r l 这里g ，岛是正常数。p ，7 1 为给定参数 如果g = 啦产 1 ，并且b 充分小，那么所讨论的问题在 空间口有整体解存在 关键词：半线性抛物型方程；整体解；存在性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w e8 t u d yt h e 酉o b a l le ) 【i s t e n c eo fs o l u t i o no ft h ef o l l r i n gs e m i l i n e a r p a r a b 0 1 i cc a u c h yp r o b l e m 时喜掣州垆酏 w i t ht h ei n i t i a l n 出t i o n i n ( 0 ，+ 。o ) r ” ( z ，o ) = ( z ) ， o nr “ i nl 9 ( r ”) ，w h e r e ( 仳) c 1 ，i = 0 ，1 ，n w bm a k et h ef 0 1 l o 而n ga s s u m p t i o l l s ： ( u ) i g l t l 尸，i 爿( u ) i g l u 尸，i = 1 ，n 兀( t ) i 岛i 让1 7 ，i 矗( 仳) i 岛l 缸1 7 一， w h e r eg ，ga r es o m ep o s i t i v ec o n s t a n t sa n dp ，7 1a r e 丘x e dp a r a m e t e r s a s s 眦e 口= 丛等尘 1 ，a n dt h a t 百v e na n y 曲b ei nl g ( 舻) ，w h e r el l 咖i i l 。i ss u f i l c i e n t l y s m a u ，t h e nt h e r e 耐s t sag l o b a ls o l u t i o ni nl 9 k e yw o r d s ：s e l i l i n e 缸p a r a b o l i ce q u a t i o n ；g l o b a ls o l u t i o n ；e ) c i s t e n c e i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：么l 肌 日期：2 0 口g 年f 月2 宁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：4 乙 f 胁 日期：三知苫年s 月2 s 日 孙始萝，扒 日期：年月 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程中的 规定享受相关权益。回童途塞握銮厦澄卮! 旦坐生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：么f 。“批 日期：2 a 舀年f 月2 f 日 锄张多扯 日期：年月 日 1i n t r o d u c t i o na n dm a i nt h e o r e m t h ep a r t i a ld i 艉r e n t i a le q u a t i o n st h e o r ) r ( p d e s ) 、7 l r i t ht i m e ( t ) a u so n eo ft h ei n d e p e n d e n tv a d a b l e s ，h a sb e c o m eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n ts t u d 姐gf i e l d si nt h e m a t h e m a t i c a la n a l y s i s t h i si sd u et ot h e 右治q u e n to c c u r r e n c eo fs u c he q u a t i o n s i nm a yd i s c i p l i n 髑o fp h y s i c s ，e n g i n e e r i n ga n do t h e rs c i e n c e s ，s u c h 嬲，n o n l i n e 村 r e a c t i o n - d 证恼i o ne q u a t i o n sf r o mh e a tt r a n s f b 瑙a n db i o l o 舀c a ls c i e n c 箦 i nf a c t ，w ec a ns a yt h a te v e 珂e q u a t i o nf o r m e di nt h ep 如i c a lm a t h e m a t i c se n t a i l s t h es o l u t i o no fap a r t i a ld i 能r e n t i a le q u a t i o n ，i na d d i t i o nt ot h ee x i s t e n c eo fl i n e a r o rn o n l i n e 盯e q u a t i o n s r e s u l t sr e v e a l e db yp r e v i o u ss t u 击铝i ns o l v i n gt h en o n l i n e a r p a r t i a ld i 能r e n t i a le q u a t i o n sa r ef b w e ri nc o m p a r i s o n 丽t ht h er e s u l t si nt h el i n e a r s c h e m 铅t h e s ew e r e 百v e nm o r ea t t e n t i o n ，a 8t h es t u d i e so nt h e mh a eb e c 0 m em o r e c o m p l e t e d e a l i n gw i t ht h el i n e a rp 盯t i a l ld i 丑 e r e n t i a le q u a t i o n si se 鹊i e rt h a nd e a l i n gw i t ht h e n o n l i n e a ro n e s a ne v o l u t i o ne q u a t i o nu s u a u ym e a n sap a r t i a ld i 仃e r e n t i a le q u a t i o n w i t ho eo ft h ei n d e p e n d e n tv a r i a b l e sb e i n gt i m e ( 亡) t h es i t u a t i o nf o rn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si sf a l ri n o r ec o m p l i c a t e dt h a nl i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o 璐t h i sc o m p l 两t yo fn o n l i n e 甜e v o l u t i o ne q u a t i o 璐a n dc h a l l e n g e s i nt h e i rt h e o r e t i c a ls t u d yh a ea t t r a u c t e dal o to fi n t e r e s t sf r o mm 甜l ym a t h e m a t i c i a n s a n ds c i e n t i s t si nn o n l i n e a rs c i e n c e s t h e 丑r s tq u e s t i o nt oa s ki nt h et h e o r e t i c ds t u d yi sw h e t h e rf o ran o n l i n e a re 静 1 u t i o ne q u a t i o nw i t h 舀v e ni n i t i a ld a t at h e r ei sas o l u t i o na tl e a s tl o c a n yi nt i i n e ， a n dw h e t h e ri ti su n i q u ei nt h ec o n s i d e r e dc l a 鹃g e n e r a l l ys p e a 妇n g ，t l l i sp r o b l e m h 够b e e n8 0 l v e df 研a 耐d ec l a s so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sb yt w ，0p 弧伧r f u l m e t h o d s 【1 2 】i nn o n h e a ra n a l y s i s ，i e ，t h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gt h e o r e ma n dt h e l e r a t y - s c h a u d e r6 x e d p o i n tt h e o r e m r d u g h l ys p e a l 【i n 禹s i n c et h e1 9 6 0 s ，n m c l lm o r e a t t e n t i o nh 鹄b e e np 越dt ot h e 西o b “e 】【i s t e n c ea j l du i q u e n e 鼹o fas 0 1 u t i o n ，i e ， w h e nal o c “s o l u t i o nc 缸b ee ) 【t e n d e dt obe c i 眦eag l o b 越o n ei nt i m e f i t l r t h e 咖o r e ， i ft h e r ei sag l o b a ls o l u t i o nf o rag i v e nn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，o n ea l s ow a n t s t ok n o a b o u tt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r0 ft h es 0 1 u t i o na st i m eg o e st oi n 丘n i t y f o rag i v e nn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，d o e sn o ta l 啪y se ) 【i s ta9 1 0 b 甜s o l u t i o nf o r a r b i t r 甜i l yg i v e ni n i t i a ld a t a 。i nm o r et h a nf o u rd e c a d e sa g o ，m u c h1 i t e r a t u r eh a s b e e nd e v e l 叩e dc o n c e m i n gt h en o n 面8 t e n e eo fg l o b a l 幽u t i o n0 rb l o w - u pi n 缸i t e t i i n e f 0 ri n s t a n c e ，s e e 【1 】，【7 】一【8 】a j l d 【1o 】w h e r em o s tc o n c l u s i o n sc o n c e r l l i n gt h e n o n e ) 【i s t e n c eo f 百o b ds o l u t i o no rb l a w - u pi n 缸t et i m ew e r ed r 鲫l ，nu n d e rt h e 瓣 8 u m p t i o no ni n i t i a ld a t at h a tt h ea p p r o p r i a t e ”e n e r 酣f u n c t i o n i s e g a t i v ea t 亡= 0 i ti sw e l ll 【i l 佣r i lt h a tt h e 舀o b a le ) ( i s t e n c eo rn o n e 妇s t e n c eo fs o l u t i o nf o rt h ei i l i t i a l v a l u ep r o b l e mo fn o n l i e a rp a r a b o l i ce q u a t i o ni st i g h t l yc o 皿e c t e d 丽t ht h e 出m e n - s i o n ( 绍) o fs p a c ev a 矗a b l 髂 t h e r ei sav 弱tl i t e r a t u r ei nt h eg e n e r a la r e ao fs e m i l i n e a rp a r a b o l i cp a r t i a ld i 丑h e i 卜 t i a le q u a t i o n s ，a n dm u c ho ft h el i t e r a t u r ei sd e v o t e dt o1 0 c a l le x i s t e n c eo fs o l u t i o st o v 嘶o u sp r o b l e m s as u n r e yo f 也o s ep a p e r sd e v o t e dt og l o b a le x i s t e n c er e v e a l st h a t q l l i t ea1 0 to f r o r l 【sh a v eb e e np u ti n t ot h es e 血l i n e a rh e a te q u a t i o n ： t 正t 一钍= i t 正1 7 ，y 1 t h eu s u a ll i n eo fi n q u 时i 8w h e t h e rs o l u t i o i l se ) c i s tf o ra l lt 岫e so rb l o w - u pi n 矗n i t e t i i n e ；r o o t so ft h i s8 t u d yg ob a c kt of u j i t a h i sr e s u l t sa r ea sf 0 1 l o 粥： i f2 产 1 ，t h e ng l o b a l ls o l u t i o n sd oe = 凼tf o ra n yn o n n e g a t i v ei n i t i a ld a t a d o m i n a t e d1 b yas u 伍c i e n t l ys m a l lg a u s s i a n t h es t u d yo ft h i s 垴n do fp r o b l e mc o n t i i l u 鹤诵t hv a r i o u sm o d i f i c a t i o n si nt h en o n l i n e a r i t y v a r i o l l sc h o i c o fd i m e i l s i o n a n dd o m a i n ，a n ds oo n s e ef o re x 锄p l e ， 5 】b ym o r r i s ；【1 1 】b yd a 五，l p e i z h u a n dy g u o z h e n g ；【1 2 】b yz h e n g ；【1 3 】b yz h e n ga n dc h e n ，e t c i n 8 】w b i 豁l e ra l s os h o w e dt h a ti ft h ei n i t i dv a l u ei ss u 毋c i e n t l ys m a ui n 工9 ( 舻) ， w h e r e 口= 掣产 1 ，t h e n t h es o i u t i o ni sg l o b a l l 2 i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h e9 1 0 b a le 】d s t e n c eo f s 0 1 u t i o no ft h ef o l l o 奶n gs 锄i l i n e a r p a r a b o l i cc a u c h yp r o b l 咖 u t + 喜掣恻地，i n ( o i + 咖r n ( 1 1 ) w i t ht h ei n i t i a lc o n 击t i o n u ( z ，o ) = ( z ) ， o nr n i nl 9 ( 舯) ，w h e r e ( t 1 ) c 1 ，z = o ，1 ，n w bm a l 【et h ef o l l 响r i n ga s s u m p t i o n s ： 五( 乱) i g i u i 卢，i 爿( u ) i g i u 尸，i = 1 ，n 而( u ) i g l n l 7 ，1 名( 缸) f g | 缸1 7 一， ( 1 2 ) ( 1 3 ) w h e r eg ，岛a 托s o m ep o s i t i v ec o n s t a n t sa n d 卢，7 1a r ef i x e dp 甜a m e t e r s r e m a r k t h eq u a n t 畸g = 巫专尘p l a y sac r i t i c a lr o l ef o ri n i t i a lv a l u ep r o b i 锄 t h ep r e s e n tp 印e ri l l u s t r 曲皓o n ew a yt ou s et h ec o n t r a u c t i o nm 印p i n ga r g u m e n t ， w 蜘c hi so n eo ft h ep 册，e r f l l lm e t h o d su s e dt oo b t a i ne 】【i s t e n c er e s u l t 8f o rr e l a t e d n o n l i n e 甜p r o b l e l s ，i e ，f o rp r o v i n gg l o b a le ) ( i s t e n c eo fs o l u t i o nt oe q u a t i o n ( 1 1 ) w e u s et h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l eo na n 印p r o p r i a t en o n e m p t yc o m p l e t em e t r i c s p a c eo fc u n ，瞄，w er e f e rt o 【1 1 】a n d 【1 2 】a n dr e f e r e n c e st h e r e i n t h e p u r p 0 8 ei 8t os h e ds o m en e wl i g h to nt h ep r o b l e m ；i np a r t i c i l l a r ，f o rp r o 讥n g e x i s t e n c e o u rt r e a t m e n td i r sf r o m 1 1 】，i nt h a t ，eu s e dad i 腩r e n ts p a c e o u rr 豁l l l t sf o rp r 鹤e n tp r o b l e ma r e 血p o s e do ns u c l ls m a 】lc o n d i t i o no ft h ei n i t i a l d a t at og e tc o n t r a c t i o no ft h en o 址n e a rm a p p i n g w b 盯en o wi np o s i t i o nt os t a t eo u rm 面nt h e o r e m t h e o r e m a 鹳u m eg = 翌妇手旦 1 ，a n dt h a tg i v e na n y b ei nl 9 ( r n ) ，w h e r e | | l j 工。 b es u 毋c i e n t l y s m a l l ，t h e nt h e r ee x i s t sg l o b a ls o l u t i o no f t h e p r o b l e m ( 1 1 ) ，硒t hi n i t i a l c o n d i t i o n ( 1 2 ) i 1 1l 。( r n ) ，0 u 0 工口c ，w h e r ec i sac o n s t a n ti n d e p e n d e n to ft 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s i f 五( u ) 三0 ，i = 1 ，仃， t h e r e f o r e ，e q u a t i o n ( 1 1 ) t u r n st ob e ： t i t + ，o ( t 正) = t 正( 1 4 ) w h i c hr e p r e s e n t st h es p e c i a l lc a s eo fo u rc o r r e s p o n d i n gt h e o r e m t h eo u t l i n eo ft h i 8w o r ki sa sf o l l o w s ：c h a p t e r2i 8d e v o t e dt ot h ei n t r o d u c t i o n o f 柚i m p o r t a n tl e 删【i l aw h i c h 诵ub eu s e dt op r o v eo u rm a i nt h e o r e m i nc h a p t e r 3 ，w ep r 0 1 旧t h em a j nt h e o r 唧b yu s i n gt h ec o n t r a c t i o nm 印p i n gp r i n c i p l e ，w h e r ew e s u m m a d z et h ee x i s t e n c er e s u l t so f t h e g l o b a ls o l u t i o nf o rp r o b l e m ( 1 1 ) w i t ht h ei n i t i a l c o n d i t i 0 ( 1 2 ) f 0 rt h i s9 0 出w eb e 百nb ye s t i m a t i n gi l f u f 秒i l 川扩i i f u f 口i l 胛 i na d d i t i o nt oe s t i m a t i n go t h e rn o r m s 鹊丽ub es e e ni nt h es t e p so fp r o o fo fm a i n t b e o r e m 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 2 p r e p a r a t i o n a si ti sas t a n d a r dp r a c t i c e ，w es t u d yt h es o l u t i o no ft h ep r o b l e m ( 1 1 ) ，w i t hi n i t i a j c o n d i t i o n ( 1 2 ) v i at h ec o r r e s p o n d i n gi i l t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a 上i o n 缸= 踯) 一z 踯- s ) 舯) d s o rt h ei n t e g r me q u a t i o n w h e r e 缸= 踯) 一z 。踯刊脚) d s n 小，掣如， 新鼬叫删s ， ( 2 1 ) s ( t ) = 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