（基础数学专业论文）一些新的解析函数族.pdf

中文摘要 摘要 解析函数是一类非常重要的函数，它在分析学的研究中扮演着重要的角色 近年来，人们对解析函数类及其子类的研究越来越多，派生了一系列新的分支方 向o w as 和n i s h i w a k ij 等人研究了解析函数的子类m ( q ) 和n ( a ) 的部分性质 本文定义和研究了在单位开圆盘u = z ： 1 ) 的新的解析函数族p 1 ( a ) ，这里讨论了它的许多重要性质，给出了其偏差定 理和系数估计，并且找到了该族极值点进一步地，文中分别推导出了一个 函数属于m ( 口) 或n ( a ) 的充要条件，并且研究了m ( q ) 和n ( a ) 的半径问题和偏 差性质，得到了它们的极值点而且，由p 1 ( 口) 的性质过渡使得文中对于函数 类m ( q ) 和n ( a ) 的系数作了更精确的估计，从而优化了o w as 和n i s h i w a k ij 的相 应结论 关键词：解析函数；偏差定理；系数估计；极值点 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t a n a l y t i cf u n c t i o ni sav e r yi m p o r t a n tc l a s so ff u n c t i o n s i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i nt h es t u d yo fa n a l y s i s r e c e n t l y , a n a l y t i cf u n c t i o na n di t ss u b c l a s s e sh a v eb e e n w i d e l y a n dd e e p l ys t u d i e d d e r i v e das e r i e so fn e wb r a n c h e s o w as a n dn i s h i w a k ij e ta lh a v e s t u d i e ds o m ep r o p e r t i e so fa n a l y t i cf u n c t i o n ss u b c l a s sm ( q ) a n d ( 口) i nt h i sp a p e r , w ed e f i n ea n di n v e s t i g a t ean e wc l a s s 只( 口) o ff u n c t i o n sw h i c h a r ea n a l y t i ci nt h eo p e nu n i td i s ku = 名：h 1 ) w eo b t a i nt h ec o e f f i c i e n te s t i m a t e s 、d i s t o r t i o nt h e o r e m s 、e x t r e m ep o i n t sa n dd i s c u s ss o m eo t h e rp r o p e r t i e so f 只( ) m o r e o v e r , w ef u r t h e r m o r eg i v es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o raf u n c t i o nb e l o n g st om ( a ) o r ( 口) ，a n dd e r i v ed i s t o r t i o nt h e o r e m so ft h et w ok i n d so f c l a s s e s a l s o w es o l v et h er a d i u sp r o b l e m sa n de x t r e m ep o i n t s w i t ht h ep r o p e r t i e s 0 fp l ( a ) ，w eo b t a i nt h es h a r pr e s u l t so nc o e f f i c i e n te s t i m a t e so ft h ec l a s s e sm ( q ) a n d ( 口) ，w h i c he x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so ft h ee a r l yw o r k k e yw o r d s ：a n a l y t i cf u n c t i o n ；d i s t o r t i o nt h e o r e m s ；c o e f f i c i e n te s t i m a t e s ；e x t r e m ep o i n t 一 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导卜独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文f i 包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贞献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名：王欢 签名日期：彻c 7 年占月2 1 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完令了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本：学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校町以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 论文作者签名：王欢 签名日期：叼年箩月2 1 日 -i-illi口j，晶、 j 厶r 击中 名期签日师名导签 第一章引言及预备知识 1 1 引言 第一章引言及预备知识 对函数类进行研究一直以来都是复分析方向的研究内容之一在数学研究 中会遇到各种不同的极值问题及不等式，而根据k r e i n m i l m a n 定理，许多极值问 题都可以利用极值点理论得到解决从1 9 7 0 年，泛函分析中凸技巧应用到某些解 析函数类中，由此产生了一般极值问题的研究h a l l e n b e c kd j ，m a c g r e g o rt h ， w i l k e nr ，b r i c k m a nl 等国外数学家相继研究了标准化单叶解析函数族s ，星形 函数族伊，凸函数族圮近于凸函数族c ，正实部函数族p 等这一系列的经典函数 类随着后继研究工作的不断开展和深入，除了对函数族固有的数学特性如系 数、偏差、映射情况等做了大量具体工作外，还通过引入拓扑结构和测度积分知 识，建立了函数族极值点和支撑点等方面的探索其中【1 - 3 - - - 本著作对这一研究 现状作了全面的归纳和总结 立足于先前已研究的比较完整的函数类研究体系中，有不少数学工作者 还定义和研究了s ，k 的不同子类【4 - 1 5 】在研究函数族s 驴，k 的过程中还建 立了另一个小分支，它所研究的中心对象是与p 族函数，k 族函数相对应的实 部小于o t 的解析函数的子类m ( q ) ，( q ) f 1 6 _ 2 7 】u r a l e g a d d i 等数学工作者对集类 m ( a ) 与n ( a ) 的子类m 2 ( o o 与2 ( a ) 当1 a 时的情况已经研究过，找 到- j m ( a ) 与n ( a ) 中函数的充分条件【1 6 以8 】近年来，o w as 与s r i v a s t a v ah m 对 m ( a ) 及( o ) 相对应的函数类m k ( a ) 与帆( q ) 在k = 2 的情况已研究过f 捌 o w as 与n i s h i w a k ij 对m ( a ) 与( q ) 中函数的系数进行了粗略的估计f 2 7 | 本文分为四个部分，第一部分为预备知识，主要介绍一些基本概念并综述 了o w as 和n i s h i w a k ij 的主要结论 第二部分是在p 族函数中引进新的函数类p 1 ( q ) ，在形式上和内容上建立 了尸与r ( n ) 之间的联系，给出了他们之间的转化形式文中推导出p 1 ( q ) 的一些 性质，估计系数并进一步研究其偏差定理，找出极值点 第三部分是在p 1 ( q ) 的基础上研究m ( a ) 的一些性质及偏差定理，找出极值 点，估计系数，找到- 了m ( a ) 中函数的充要条件，并确定了星形半径和凸半径 第四部分是在m ( q ) 的基础上研究n ( a ) 的一些性质及偏差定理，找出极值 点，估计系数，找到- j n ( a ) 中函数的充要条件，并确定了星形半径和凸半径 湖北大学硕士学位论文 1 2 预备知识 本节主要介绍文章中涉及到的有关函数类先介绍一些函数类的记号： 设u 表示单位开圆盘 z ：引 1 】记集合 a = ，( 名) ：，( z ) 在u 内解析且，( z ) = z + a n z n ， l n - - 2 j m ( a ) = 似) ：化) a 且m 搿) 锄，。1 ， 脚) = 似) ：北) a 且酬1 + 错) o ) 贝j j f ( z ) m ( a ) 当且仅当g ( z ) = 错p 1 ( q ) 事实上，一方面，若，( z ) m ( 口) ，则，( 名) 在u 内的零点为g ( z ) = 掣簿在u 内 的可去奇点，即 g ( 彳) 在矽内解析，且g ( o ) = 1 ，r e q ( z ) = r e 兰辜7 畀 ，故g ( z ) b ( 口) 另一方面，若口( z ) p 1 ( q ) ，则可以m q ( z ) = 锵计算出 ，( z ) = z e 印z 名亟瓮砒，可知，( 名) 在u 内解析，又有r e 等静= 咒e g ( 名) 0 ，v ( o ) = 1 ，贝u q ( o ) = q + ( 1 一 q 汩( o ) = l _ 且r e q ( z ) = r e a + ( 1 一q 切( z ) 】 0 ，g p p ( z ) p 下面为几种常见的特殊的s 族子类，可参考文献【1 ，1 4 ，1 5 ，2 6 ，3 1 】： ( i ) s = ，( z ) ：，( z ) 在矿内单叶解析r f ( z ) = z + 扩 ； ( 筇似捌= 似) ：m ) s 且错 雠，一l b a 1 ； a 】s 【1 ，一l 】兰s 为星形函数族； 第一章引言及预备知识 嗍p 1 2 0 l ，一1 】兰s + ( a ) 表示q ( o q a ； ( i i i 冽邶】= * ) ：f ( z ) s 且1 + 错 燧，一1 b a 1 ) ； c 】g 1 ，一1 】三k 为凸函数族； 嘲k 1 2 q ，- 1 】三k ( q ) 为q ( o q 比 定义1 2 1 【1 设函数，( z ) ，g ( z ) 在u 内解析，若存在一个施瓦兹函数砂( z ) ，( 名) 在u 内解析，且满足咖( o ) = 0 ，l ( z ) l 1 ，z u 使得f ( z ) = 夕( ( z ) ) ，则称，从属 于g ，记为，- - 4g 用s ( f ) 表示集合 厂：f 只f a ) 定义1 2 2 i x 设x 为线性拓扑空间，u 是x 的一个非空子集，z o 是u 的一个元 素如果z o 不能表示成的两个不同元素的真线性凸组合，则称z o 为u 的一个极 值点记u 的极值点集为e u “ 定义1 2 3 1 2 8 】令厂( z ) = z + a n z 竹，f ( z ) = 名+ a n 扩，若，( z ) 与f ( z ) 在e r = z ：h o m 收敛，且每一个整数n 0 ，有i o n i a n ，则称，( z ) 受控 于f ( 名) ( 或f ( 名) 控制，( 名) ) ，记作f ( z ) f ( z ) 命题1 2 1 2 s 设，( 名) = z + a n z 竹，f ( 名) = z + a n 扩，若，( z ) f ( z ) ，则 ( 1 ) a n 0 ，( 礼= 0 ，1 ，2 ，) ； ( 2 ) t f ( z ) i f ( r ) ，0 i z i = r r ； ( 3 ) f 7 ( 名) f ，( 名) ； ( 4 ) f ( u ) d u f ( u ) d u ； ( 5 ) 若在某些圆盘e r 中e s ( z e f ( 引，且i f ( 名) i 1 ，则一l n ( 1 一，( z ) ) ，贝1 j b z 七f ( z ) b z 七f ( 名) ，且 厂( z ) 】七 f ( 名) 】七；若f ( z ) f ( 名) ，g ( z ) g ( 名) ，则厂( 名) + 9 ( 名) f ( z ) + g ( z ) ，f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) 命题1 2 2 【1 】让e u 的充分必要条件是若0 t 1 ，乱，z ，y u 且乱= t x + ( 1 一t ) y ，则z = y 一3 湖北大学硕士学位论文 命题1 2 3 p 设，( z ) 与夕( z ) 在u 内解析，9 ( z ) 在u 内单叶，若f ( o ) = 夕( o ) 且厂( u ) c9 ( u ) ，则在u 内， g 命题1 2 4 【1 】设p 只且p ( z ) = 1 + p n z n ( i z l 1 ) ，贝j j i p , * l 2 ( n = n = l 1 ，2 ，3 ) 定理1 2 1 1 1 】如果i ( z ) 夕( 名) 和0 7 1 ，则i 厂7 ( o ) i i 矿( o ) l 且，( 名：h r ) ) c 夕( z ：川 7 ) ) 定理1 2 2 3 0 1 ( k r e i n m i l n l f l l i l 定理) 如果x 是一个h a u s d 蝴部凸拓扑空间， k 是x 的一个非空紧子集，则k 包含在其极值点的闭凸包中特别地，当k 是一个 凸紧子集时，k 就是其极值点集的闭凸包 的主要结论吲： 定理1 2 3 设f ( z ) a ，其中，( z ) = 名+ z 住a ，f z f l ，贝0 ，( z ) n = 2 m ( a ) 推论1 2 1 设，( z ) = z + a m z n a ，且满足( 扎一口) l i ( q 一1 ) ，其 中1 口量，贝1 j f ( z ) m ( q ) 定理1 2 4 设f ( z ) a ，其中，( 名) o o 足仃 ( 礼一k ) + i 凡+ k 一2 q i ) 1 0 t l i 2 ( q n = 2 ( q ) o o = z + o m z n n - - - - 2 1 ) ，其中0 k a ，h 1 ，贝u f ( z ) 推论1 2 2 设，( z ) = 名+ 曼口礼z n a ，且满足曼礼一a ) l a n l ( 。一1 ) ，其 n = 2 n = 2 中1 q ；，贝u f ( z ) ( q ) 定理1 2 5i 发f ( z ) a ，其中，( z ) = z + a n z n a ，例 1 ，且 满足曼 ( 礼一七) + i n + k 一2 q 口，l i 2 ( a 1 ) ，其中( 1 q 盟护 曼) ，贝w j ( z ) p ( 争三爱) 设i ( z ) = z + a n z n a ，且满足扎 ( 礼一k ) + i n + k 一2 q l l a i 2 ( a 1 ) ，其中( 1 q 半差) ，则，( z ) 叫k ：硒4 - 3 a ，x 定理1 2 6 若，( z ) ：名+ 墨z n m ( a ) ，贝! j l l 里鱼篙兰豢f 旦，( n 定理1 若，( z ) = 名+ z n m ( a ) ，则l l = 巨崔彳一，( n n = 2 一 第二章p i ( o ) 的性质及极值点问题 第二章 只( q ) 的性质及极值点问题 2 1 只( q ) 的一些性质 引理2 1 1 设g ( z ) p 1 ( q ) ，则g ( z ) _ 三二擎 证明 因为q ( z ) p 1 ( q ) ，所以g ( 0 ) = 1 ，r e q ( z ) 1 ，则p 1 ( q 1 ) c 只( q 2 ) 证明取任意的q ( z ) e p l ( a 1 ) ，下面证明g ( 名) b ( q 2 ) 因为q ( z ) e b ( 0 1 1 ) ，所 以r e q ( z ) q l 1 ，故r e q ( z ) a 2 ，所以口( z ) p 1 ( a 2 ) ，即p 1 ( q 1 ) c 只( q 2 ) 证毕 2 2p 1 ( q ) 中的系数估计及偏差定理 o o 定理2 2 1 若g ( z ) 只( q ) ，q ( z ) = 1 + z n ，则i q n i 2 ( q 一1 ) ，( 几= n = l 1 ，2 ，3 ) 证明 因为q ( z ) 只( 口) ，所以存在p ( z ) p ，使 q ( z ) = 口+ ( 1 一口) p ( 名) ( 2 1 ) 设p ( z ) = 1 + p n z n ，通过比较( 2 1 ) 式两边系数得q n - ( 1 一a ) p n ，( 佗= n = l 1 ，2 ，3 ) ，因为p ( z ) e p , 由命题1 2 4 有i i 2 ，( 扎= l ，2 ，3 ) 所以l l = i ( 1 一q ) m i 2 ( q 一1 )( 几= 1 ，2 ，3 ) 证毕 注：使等号成立的函数为口1 ( 名) = 生二学 湖北大学硕士学位论文 引理2 2 1 如果p ( z ) = z + ，量肌z 竹p 则彬( 圳尚，( 七= 1 ，2 ，) ， ( 1 z i = r 1 ) 证明 n 为p ( z ) = 名+ 扩p 所p a i p f 2 ，所p a p ( z ) 竖由 命题1 2 1 的( 3 ) 可删( z ) ( 鸶) 7 ，即p 7 ( 名) 南再由命题1 2 1 的( 2 ) 得i ( z ) i 瓦兰砰呦( z ) 西兰砰重复利用命题1 2 1 的( 2 ) 和( 3 ) 即可得 到拶( z ) i 不等高，( 后= 1 ，2 ，) 证毕 定理2 2 2 若口( z ) 蜀( q ) ，且= r 1 ，则有 警i 口( 圳掣， ( 2 2 ) 这个界是最好的，可在函数9 2 ( z ) = 生| 铲于点名一r e 印，o 妒2 7 r 取 得 一圳2 ( q _ 1 ) 赤转，( 七- l ，2 ，) ( 2 3 ) 证明 因为口( 名) 只( q ) ，所以口( 名) 9 ( z ) ，其中9 ( 名) = 旦二擎 所以 州ii 州c 9 ( 圳z i = ：i 叫一掣i 掣) ， 故 警妯i 掣 t i 正( 2 3 ) 式，i 刍q ( z ) b ( 口) 知存向( z ) p 使g ( 名) = a + ( 1 一口) p ( z ) 所 以口( 忌( z ) = ( 1 一q ) p ( 七( z ) ，( 南= 1 ，2 ) ，胞a i q ( 七( z ) i ( 口一1 ) l p ( 七( z ) l ，由引 理2 2 1 可得 证毕 揪圳( 口- 1 ) 南= 2 ( q - 1 ) 示爷，( 七= 1 2 ) 第二章只( a ) 的性质及极值点闯题 2 3 局( 乜) 的极值点 定理2 3 1 集合p l ( o ) 是a 上的紧子集 证明设函数列 m ) 属于只( a ) ，且在例卯畸有l i m = p ，贝j j r e p ( z ) 口，z u 若存在如使r e p ( z o ) = q ，其中l 1 ，由调和函数最大模原理可 知p ( z ) 是常数，且是实部为大于1 的常数口，这与p ( o ) = l i r am ( 0 ) = 1 矛盾 故r e p ( z ) q ，z u 所以p ( z ) p 1 ( q ) ，即p 1 ( q ) 为a 上的闭子集在7 内，由 定理2 2 2 可知对任意g ( z ) p 1 ( o ) 有i g ( z ) i 生丛缈，即只( 口) 是内闭一致 有界，故i = 面p t ( q ) 是a 内的紧子集证毕 命题2 3 1 【1 】e h p = p ( 名) ：p ( z ) a ，v ( z ) = 畿，= 1 l 一 一， 定理2 3 2e h p l ( q ) ： g ( z ) ：g ( z ) a ，g ( 名) ：址华挚，i x l ：1 l 。 j 证明 在p 与p 1 ( q ) 之间建立映射为q ( z ) = o t + ( 1 一q ) p ( z ) ，其中q ( z ) p 1 ( q ) ，p ( z ) 尸此映射在p 与p 1 ( 口) 之间是一一对应的，下证在e 日p 与 e 日p 1 ( a ) 之间也是一一对应关系 一方面，设g ( z ) e h p i ( a ) ，下证p ( z ) = 罨墨圭茅e h p 令p ( z ) = t p l ( 名) + ( 1 一亡) p 2 ( z ) ，这里p a ( z ) = 组涩专旦，耽( 名) = 丝鬯亏# ，p a ( z ) ，p 2 ( z ) p ，o t 1 其中g l ( z ) ，q 2 ( z ) 只( q ) 故有 里字兰i 竺= p ( 名) = 印，( 名) + ( 1 一t ) p ：( 名) = 垫垡兰l 兰 三半 所以q ( z ) = t q l ( z ) + ( 1 一t ) q 2 ( z ) ，因为q ( z ) e 日r ( q ) ，所以口1 ( 名) = 9 2 ( z ) ，t 友p l ( z ) = 肋( z ) ，艮p p ( z ) e 日尸 另一方面，设p ( z ) e e h p ，下证q ( z ) - - - - o l + ( 1 一a ) p ( z ) e e h p l ( a ) 令g ( 彳) = t q l ( z ) + ( 1 一t ) q 2 ( z ) 这里q l ( z ) ，口2 ( z ) r ( 口) ，0 t 1 其 中q l ( z ) = o l + ( 1 一q ) p 1 ( z ) ，q 2 ( z ) = a + ( 1 一o ) p 2 ( z ) 其中p l ( 2 ) ，p 2 ( z ) p 故有 q + ( 1 一a ) p ( z ) = q ( z ) = t q l ( z ) + ( 1 一t ) q 2 ( z ) = q + ( 1 一口) 【印1 ( z ) + ( 1 一芒) p 2 ( z ) 】， 所以p ( z ) = t p l ( z ) + ( 1 一t ) p 2 ( z ) 因为p ( z ) e 日p ，所以p l ( z ) = p 2 ( z ) 故有q l ( z ) = q 2 ( z ) ， 湖北大学硕士学位论文 耳p q ( z ) e h r ( q ) ，且 北) = 口+ ( 1 刊忑1 + x z = 掣学凇| _ l 艇矿 i k 毕 命题2 3 2 【1 】奶( 名) p 当且仅当存在u 边界上的一个概率测度肛使p ( z ) = 丘阻 兰兰批( z ) ，名矿这里p 与u 边界上的概率测度集 p ) 是一一对应的 定理2 3 3 设g ( z ) 只( 口) 当且仅当存在矿边界上的一个概率测度使g ( z ) = 名目生弓学毗( 矾名m 这里p 1 ( 口) 与u 边界上的概率测度集 p ) 是一 一对应的 证明 设口( z ) p 1 ( q ) 当且仅当存在p ( 名) p 使9 ( 彳) 亍a + ( 1 一a ) p ( 名) 由命 题2 3 2 知存在u 边界上的一个概率测度p 铷( z ) 2 丘阿 毫中 ) ，故有 证毕 q ( z ) = q + ( 1 刊l 嵩州z ) a l 忡，+ l 掣 l 业堕学 五i ：。兰= 学d p ( z ) 1 + z 石1 z z 8 咖( z ) 础( z ) 第三章 m ( a ) 的性质及极值点问题 第三章 m ( q ) 的性质及极值点问题 3 1 m ( a ) 中的偏差定理及一些性质 定理3 1 1 设厂( z ) m ( q ) ，且h = r 1 ，则7 i ( 1 一r ) 2 ( 。一1 i 厂( z ) f r ( 1 + r ) 2 ( 。一，这个界是最好的，可在函数f l ( z ) = z ( 1 一名) 2 ( 。一1 ) 于点名= r e 坩，0 p 2 7 r 得到 证明因为，( z ) m ( q ) ，所以存在g ( 名) p 1 ( a ) 使g ( z ) = 粤静，故有 f ( z 1 = f z ze x pl 3 0 口( 札) 一1 弛) i = 1 名 e x p ( r e f 0 1 半d t ) ， m ) l 吲唧 f 0 1m a x ( r e 塑p ) d t 】 因为i g ( 名) i 生上学，所以协m 睁a x 。r e 掣= 糌，所以 厂( z ) l ，1 e x p | 3 0 2 r ( a 一1 ) l + 庀 同理可得i ，( 名) l r ( 1 一r ) 2 ( a 一证毕 引理3 1 1 对任意的厂( z ) 且靴毗i1 元z 2 ”l f ( r e i a ) l d o 出= 7 ( 1 十r ) 2 ( 。一 m ( q ) ，若厂( z ) 在矿内除原点z = 0 外无其他零点 ( 1 + r ) 2 a 一1 ( 2 q 一1 ) a n z n ，贝l j h ( z ) 在u 内解析由定 理3 1 1 对任意f ( z ) m ( q ) 有i f ( z ) i r ( 1 + r ) 2 ( 口一1 1 ，因此得到 ( 名) l r ( 1 + 7 2 ) 口一，( i z i = r 1 ) 也即危( z ) 将圆盘 名：h r ) 共形映射成区域 d r = w ：i w i r ( 1 + 7 2 ) 。一1 ) ) 9 湖北大学硕士学位论文 设区域的面积为a ，则4 7 r r 2 ( 1 + r 2 ) 2 一 另一方面， 故得 即 o o n = l f ；= 1 i 石 i o f 危钕) f 2 d x d y 7 ( z ) 7 ( z ) d x d y 撕d p 厂 qj 8 厂r 2 霄 ，0d 0 h i ( r e 坩) 丽p d p 危7 ( r e 徊) f 2 p d o d p ：f l ( 2 手 ，o 鲁 i n 1 2 p 2 住_ 2 ) p d p = 万n l c 1 2 p n = l n l c 1 2 r 2 n r 9 ( 1 + r 2 ) 2 ( 口一，0 r 1 训c n l 2 r 2 n 一1 r ( 1 + r 2 ) 2 ( 。一，0 r 1 对上面不等式从0 到r 积分得 而 l 2 r n = 1钟 旨 h ( r e i e ) 1 2 d o = 髟p 州础 o o 川2 r 加 n = l 一1 0 厂厂酶 厂厂 厂，厂 第三章m f 口) 的性质及极值点问题 故有 等价于 主歹i ( r e 硼) i ：d p 量! ! 等， 去凡 。1 旧释， b u o 开 j 1 l ，( r e 硇) i d p 量! 静 证毕 设厶( ，) = r 后丌1 厂7 ( r e 徊) i 枷是在映射，( 名) m ( c o - f f 、将弧l z l = r 映射成的像 的长度，利用上面不等式可以得出下面的估计 定理3 1 2 对任意的f ( z ) m ( o o ，若厂( z ) 在u 内除原点z = 0 外无其他零点 且单叶，蚴胚灶掣特掣 证明f h f ( z ) m ( q ) 知存在g ( 名) p i ( q ) ，使q ( z ) = 粤静 南审理2 2 2 得出 再由引理3 1 1 就有 证毕 错f ：i g ( i 列掣 厶( ，) = f 0 2 r1 名，协e t p ) i 硼 = 2 霄锹l 他凇p 1 + ( 2 a 一1 ) r ( 1 + r ) 2 a 一1 1 1 + r ( 2 q 一1 ) 【14 - ( 2 a 一1 ) r 】【( 1 + 7 ) 2 0 一1 1 】 = - - - - - _ - - - - 一 ( 2 q 1 ) ( 1 + r ) 湖北大学硕士学位论文 3 2m ( a ) 中的极值点 定理3 2 1 设，( 石) m ( a ) 当且仅当存在u 边界上的一个概率测度p 满足 对z u ，有，( 名) = z e x p 2 ( q 一1 ) i n ( 1 一x z ) 批( z ) ，这里集合m ( a ) 与u 边 界上的概率测度集 p 的对应关系是一一对应 证明设，( z ) 掰缸) ，则存在g ( 名) p 1 ( ) 使g ( 彳) = 粤静 即 m 一唧z 2 掣批 又q ( z ) 只( 口) ，由定理2 3 3 可知存在u 边界上的概率测度p 使 所以 心) = l 警槲： 弛，= z e x , o o z 掣毗 f = z e x p j o ：班，訾咖( z ) = 名e x p 丘阻2 ( 一1 ) l n ( 1 - - x z ) 州矾 由q ( z ) 与肛的一一对应关系可知f ( z ) 与p 也是一一对应证毕 定理3 2 2 设，( z ) m ( q ) ，夕( z ) ：掣， ( z ) ：( 1 - z ) 2 ( ”1 1 ，则夕( 名) 九( 名) 证明因为f ( z ) m ( o o ，所以存在一概率测度p 使 巡：唧厂2 ( q 一1 ) 1 n ( 1 一z 名) 毗 z ，陋l = 1 4 争k ( z ) = l n ( 1 一z ) ，则后( 名) 在单位圆内是单叶的凸函数，所以 石l _ lh l ( 1 - - x z ) 州z ) “ 1 2 第三章m ( q ) 的性质及极值点问题 故存在一个施瓦兹函数( z ) ，使 f l x l = l i n ( 1 - - x z ) d p ( z ) = l n ( 1 一( 名) ) 所以 盟：e x p2 ( 口一1 ) l n ( 1 一( z ) ) z = ( 1 一妒( z ) ) 2 ( 口一1 1 ， 且p g ( z ) 九( z ) 证毕 定理3 2 3设c 是一个满足条件l c i 1 ，并且c 一1 的复数， 令f o ( z ) = ( 牛鸶) n ，若厂s ( r ) ，g s ( 乃) ，( q 0 ，卢o 且a 与卢同号) ，则 f g s ( r + 口) 证明已知厂s ( r ) ，等价于， r ，等价于厂吉一 局，m f 兄意味 着，( z ) 在 1 内没有零点故有去l n f l i lr 同理可得若9 s ( 昂) ，则 有女l n g _ 一；一互1 + l = 0 ，( i z l 1 ) 所以函数g = i n 局在u 内是单叶的凸函数 令f ( z ) = t ( 丢i n f ) + ( 1 一亡) ( 丢l n g ) ，( 0 t 1 ) ，g ( z ) = l nf 1 ， 下证f ( z ) 一 g ( z ) 首先，j f l ( 名) 与g ( z ) 在u 中单叶解析； 其次，f ( o ) = t ( 三i n 厂( o ) ) + ( 1 一t ) ( 丢i n g ( o ) ) = g ( o ) ； 再次，对任意名u 有f ( 名) = 芒( 丢i nf ( z ) ) + ( 1 一) ( 丢l n g ( z ) ) g ( 矿) 由命 题1 2 3 知f ( z ) = t ( 吉i n f ( z ) ) + ( 1 一亡) ( 寺h l g ( 名) ) g ( z ) 由仅，p 同号可取t = 万物，则上式等价于l n ，夕_ ( q + f 1 ) i n f 1 臣 j f g 耳+ 卢= r + 卢证毕 引理3 2 1 l l 】设a 表示单位圆盘u 边界上的概率测度集，则a 的极值点集是由 点质量测度集组成 定理3 2 4 设f 口( z ) = ( 牛鸶) ，当q 1 而此时c 为满足条件i c i 1 并 1 3 湖北大学硕士学位论文 且c 一1 的复数或当d 一1 此时c 为满足条件i c i = 1 且c 一1 的复数时，有 量她) = 弘m ) = l ( 篝) 口d mp a ) ( 3 ) 朋嘏) = f ：，弘m ) = ( 篝) ，l 圳 证明分四种情况讨论： ( 1 ) 首先考虑a = 1 的情况若l c i = 1 且c 一1 ，则表达式 1 + 伽1 + c1 + w1 一c 一：= = 一一+ - - - - - 一 1 一w 21 一叫。2 ( 3 2 ) 建立了p 到s ( r ) 的一个仿射同胚，这里叫= 多( 名) ，j 砂( z ) i 1 设( 叫) = 圭老e h p ，则，( 叫) = 量老上p ( 伽) + 上亏 令- 厂= t + ( 1 一亡) 厶，这里o t 1 ，1 1 ，厶s ( 只) ，设 ( 叫) = 卫笋p 1 ( 叫) + t 1 - - c ，2 ( 叫) = l 笋仇( 叫) + 工尹，其中p l ，耽p 则 芒( 字p ，+ 字) 伸叫( 半纯+ 字) 字( 印，+ ( 1 叫仇) + 丁1 - - c 由于，= 卫笋p + l 产，所以p = 印1 + ( 1 一t ) 阮 又因为p e h p , 所以p 1 = p 2 ，所以 = 五，即，e h s ( f 1 ) 故而若f e h s ( f 1 ) 、则由命题2 3 1 可得 m ) = 字嵩+ 字= 篝 若f 日s ( 只) ，则由命题2 3 2 可得 化) = 半l 忑l + x z 州卅丁1 - - c = l 篝州咄 1 4 第三章m ( n ) 的性质及极值点问题 ( 2 ) 其次考虑a = 一l 的情况若i c i = 1 且c 一1 ，对任意函数凡1 ( z ) = r 1 再- - 面w ， 令例= 一礼则f _ ，( z ) = 鲁，此时表达式 ， 1 + 琵1 1 一z 1 1 + 否1 + z l 21 一z 1 1 一虿 + t 建立了p 到s ( f - 1 ) 的一个仿射同胚，这里叫= ( z ) ，i 矽( z ) i 1 此时2 ；1 = 一伽，其 中1 名1 i 1 设p ( 名，) = 戡e h p ，m u f ( z 1 ) = p ( 名) + 学 令，= f f l + ( 1 一t ) 尼，这里o t 1 的情况设f s ( r ) ，令f = 夕q ，则夕s ( r ) 如果夕不 属于e s ( f 1 ) ，令g = t g l + ( 1 一t ) 9 2 这里夕1 ，9 2 s ( f 1 ) ，0 t 1 则夕1 9 2 又f = g g a 一1 = t 夕1 夕口_ 1 + ( 1 一t ) 9 2 9 a 一1 = t h + ( 1 一t ) k ，由定理3 2 3 可得h = 夕1 夕a 一1 s ( j l a ) ，k = 9 2 9 口一1 s ( 。r ) 因为9 1 9 2 ，所以九k ，即_ 厂不属于e s ( f q ) ，也就是说e h s ( f a ) 内的元素必 须是形如f = 夕。( 其中夕e s ( r ) ) 的函数因为h e h s ( r ) = h ( h s ( f a ) ) ，再 1 5 半 湖北大学硕士学位论文 i 扫k r e i n m j l m a n 定理有日( 日s ( f a ) ) = 日s ( 兄) ，所以日s ( 咒) = h e h s ( f 口) 取任意f h s ( f 口) 存在 ( 后专1 ，2 ，3 n ) e h s ( f , ，) 及t k ( k = 1 ，2 ，n ) ，0 t k l ，使 又 故 l i m ( t l f l + t 2 尼+ + t n 厶) = f t l _ o 。 艺l + 芒2 如+ + 如厶 t ，( 篝) 口一一“( 篝) 。 丘i ：，1 1 + 一c z x z z ，h a d 脚( z ) p n ( z ) a ，而a 是弱星紧子集，故存在n k n + 使 1 i m l i m # - ki x ) = p (