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周云菊：三阶线性微分系统的反射矩阵 三阶线性微分系统的反射矩阵 摘要 物理和工程技术中有许多问题都可以转化为讨论周期线性微分系统 工= a ( t ) x ，t r ，x r _ - - ( 石l ，x 2 ，x 3 x 。) 尺”，彳o + 砷= 么o ) ( 1 ) 解的性态问题，就是用非线性微分方程描述的周期运动许多实际方法也是围绕上述系统 ( 1 ) 来讨论的总之，无论从理论和实用方面，周期线性微分方程组解的稳定性的研究都 有重要的意义 文献 4 中用l y a p u n o v 变换将周期线性系统( 1 ) 化为常系数系统来研究其解的性态， 讨论了特征方程和特征值对于系统稳定性的影响这对研究周期系统具有很大的帮助。 但由于此方法的局限性，实际操作就比较困难1 9 8 0 年，前苏联微分方程专家m i r o n e n k o 创建的反射函数方法给我们提供了一种新的途径来研究周期系统( 1 ) 解的几何性态反 射函数理论提供了求周期微分系统的p o i n c a r 6 映射的新方法经过多年的深入研究，专家 们已经取得了很多崭新的结论，这些结果为进一步的解释物体的复杂运动规律提供新的 理论依据和新的判定准则 本文在已有文献 2 3 3 3 研究的基础上，进一步研究三阶线性微分系统的反射矩阵 的形式首先讨论三阶系统x 7a ( t ) x ，t r ，x r = ( x l ，x 2 ，黾) r 3( 2 ) 的反射矩阵f ( f ) 何时满足f ( ) = f7 ( f ) ，f ( f ) = f ( f ) 的充要条件其次讨论( 2 ) 的反射矩阵，( f ) ，何时 满足，( f ) ，7 ( f ) = 2 ( f ) e ，通过假设，( ，) = p 烈。g ( ，) ，口( ，) = 一 f t r ( a ( f ) + 尔石) d f 从而 将问题转化为研究系统 x = ( 彳( f ) + 等e ) z ，f 尺，z t = ( 五，x 2 ，z 3 ) er 3 ( 3 ) 的反射矩阵g ( t ) ，何时满足g ( t ) g r ( ，) = e ，并且根据反射矩阵的定义和性质推出此时 g ( ，) 的具体表达式以及g ( t ) 的元素和系数矩阵之间的关系而后讨论了周期解稳定的判 扬州人学硕+ 学位论文 定方法 在文章的最后我们给出例子以验证上面结论的f 确性 关键词微分系统；反射函数；反射矩阵；周期解；充要条件 2 一 周云菊：三阶线性微分系统的反射矩阵 t h er e f l e c t i v em a t r i xo ft h i r d - o r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m s a b s t r a c t m a n yo ft h ei s s u e s i np h y s i c sa n de n g i n e e r i n gt e c h n o l o g yc a nb ec o n v e r t e di n t o d i s c u s s i n gt h eb e h a v i o rp r o b l e m so ft h es o l u t i o n so ft h ep e r i o d i cl i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m x = a ( t ) x ，f r ，x7 = ( x 1 ，x 2 ，x 3 x n ) r ”，彳( f + 丁) = a q )( 1 ) an u m b e ro fp r a c t i c a lw a y so fp e r i o d i cm o t i o nd e s c r i b e db yn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u m i o n s a r ea l s od i s c u s s e da r o u n dt h es y s t e m ( 1 ) i ns h o r t ，i nt e r m so ft h e o r yb u tap r a c t i c a lc o n t e x t ， t h es t a b i l i t yo ft h es o l u t i o n st op e r i o d i cl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ei m p o r t a n tf o rt h e r e s e a r c h i n 【4 】，u s i n gl y a p u n o vt r a n s f o r m a t i o n ，t h ep e r i o d i cl i n e a rs y s t e m ( 1 ) i sc o n v e r t e di n t oa c o n s t a n tc o e f f i c i e n ts y s t e mt os t u d yt h eb e h a v i o ro fi t ss o l u t i o n ，a n dt od i s c u s st h ev a l u eo ft h e c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o na n dt h ec h a r a c t e r i s t i c sf o rt h es y s t e ms t a b i l i t y , w h i c hi sh e l p f u lf o r s t u d y i n gp e r i o d i cs y s t e m b u t ，i t sd i f f i c u l tt om a n i p u l a t ef o rt h em e t h o d s l i m i t a t i o n i n19 8 0 ， t h er u s s i a nm a t h e m a t i c i a nm i r o n e n k of i r s te s t a b l i s h e dt h em e t h o do fr e f l e c t i n gf u n c t i o n w h i c hp r o v i d e dan e 、w a yt os t u d yt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n so ft h ep e r i o d i c s y s t e m t h et h e o r yo fr e f l e c t i n gf u n c t i o np r o v i d e dan e wm e t h o df o rl o o k i n gf o rt h ep o i n c a r 6 m a p p i n go fs y s t e m a f t e ry e a r so fi n t e n s i v er e s e a r c h ，e x p e r t sh a v em a d em a n yn e wt i m i n g s ， w h i c ho f f e rt h en e wt h e o r e t i c a lb a s i sa n de v a l u a t i o nc r i t e r i af o rf u r t h e re x p l a i n i n gt h ec o m p l e x m o t i o nl a wo ft h eo b j e c t s o nt h eb a s i so fw o r kw h i c hh a sb e e nd o n ei nl i t e r a t u r e 2 3 】 3 3 】，t h i sa r t i c l ew i l lf u r t h e r s t u d yt h ef o r mo ft h er e f l e c t i o nm a t r i xo ft h i r d - o r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m f i r s t l y , i t 5 i s c u s s e st h er e f l c t i v em a t r i x f ( t ) o fx a ( t ) x ，t 尺，x r = g i ，x 2 ，x 3 ) r 3 ( 2 ) w h e nt o m e e tf ( t ) = f 7 ( ，) ，f ( f ) ：f 丽s e c o n d l y ，f u r t h e rs t u d i e s f ( t ) w h e nt om e e tf ( t ) f r ( f ) = 2o ) e ， 咖e r e 刑= 删= 一j 1 c 驴( 爿( r ) + 而) d r f l ( o ) = 1 ，i n 。r d e r t 。t r a n s f o 珊m e 3 一 扬州人学硕十学位论文 p r o b l e mi n t os t u d y i n gt h er e f l e c t i v em a t r i cg ( t ) o ft h es y s t e m x = ( 彳( f ) + 旦2 二e ) x ，f 尺，x r = ( x l ，屯，石，) r 3 ( 3 ) w h e nt om e e tg ( t ) g7 ( f ) = e a n da c c o r d i n gt ot h ed e f i n i t i o na n dn a t u r eo ft h er e f l e c t i v e m a t r i x ，w eh a v ei n t r o d u c e dt h es p e c i f i ce x p r e s s i o no f g ( t ) a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ng ( f ) a n dt h ec o e f f i c i e n tm a t r i x ，t h e nd i s c u s s e st h ed e t e r m i n i n gm e t h o do ft h es t a b i l i t yo fp e r i o d i c s o l u t i o n f i n a l l y , w eg i v es o m ee x a m p l e st ov e r i f yt h ec o r r e c t n e s so f t h ec o n c l u s i o na b o v e k e y w o r d s d i f f e r e n t i a ls y s t e m ；r e f l e c t i n gf u n c t i o n ；r e f l e c t i v em a t r i x ； p e r i o d i cs o l u t i o n s ；n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s 4 一 周云菊：三阶线性微分系统的反射矩阵 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果 除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果对本 文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律结果由本人 承担 学位论文作者签名： 1 虱云角 4 签字日期：y l o 年j 月莎日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关 部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅本人授权扬州大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录 到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务 学位论文作者虢俅萄 签字日期： 凇口年j , e l 坊日 导师签名： 签字日期： 毋纱哆 扣胪如c ，日 周云菊：三阶线性微分系统的反射矩阵 第一章引言 众所周知，要研究客观世界中一些物体的运动规律，常常归结为研究微分系统 x x ( t ，x )( 1 1 ) 解的几何性态。而一般情况下，这样的微分系统是无法求出其解的。p o i n c a r 6 1 1 l 【4 】【6 1 首先 提出根据方程本身的特性去分析研究该微分系统解的几何形态，从而开创了微分方程定 性理论的先河。l y a p u n o v 提出了借助于一个辅助函数，称为l y a p u n o v 函数4 1 6 j 的方法 去研究这个微分系统解的关于初值的依赖性，从而产生了微分方程稳定性理论这门数学 分支。 当然在研究复杂系统解的性态之前，我们首先要讨论其取简单系统即线性系统时解 的性态，它对非线性系统的研究起着至关重要的作用。如l y a p u n o v 第一方法中就告诉我 们线性近似系统平衡点的性态有时就决定了非线性系统平衡点的性态。自治的线性系统， 我们可以直接求出其解，而变系数( 非自治) 的线性系统在一般情况下也是无法求出其 解。例如二阶线性系统等价于一个r i c c a t i 方程，而在十八世纪中期，l i o u v i l l e f 3 】就证明 r i c c a t i 方程一般情况下是无法求出其解析解的。因此，在无法求解的情况下去研究线性 系统解的性态是有很大的理论价值的。但是对于一般的线性系统( 非自治) 研究起来也 不是件容易的事。如x = a ( t ) x ，a ( t ) = a ( t + 2 c o ) ，在l y a p u n o v 变换下可将它化为常系 数系统，但这个变化紧紧依赖于其基解矩阵，实际操作就比较困难。前苏联微分方程专 家m i r o n e n k o 7 - 1 8 】在二十世纪八十年代创建的反射函数方法给我们提供了一种新的途径 来去寻找周期系统的p o i n c a r 6 映射，从而达到研究其解的性态的目的。经过多年的深入 研究，微分方程专家a l i s e v i c h l l 9 - 2 l l 、 v e r e s o v i c h 2 2 - 2 3 l 、d u b l o c s k e y a 2 4 l 、m u s a f i r o v 【3 4 - 3 6 】 等在此方面作了深入研究，取得了一些崭新的好结果。这些结果为进一步的解释物体的 复杂运动规律提供新的理论依据和新的判定准则。 同时若线性系统x = a ( t ) x 的反射矩阵能求出来或其反射矩阵的性质己知，则我们可 以推出这个线性系统解的几何性态，从而知与其等价的线性的和非线性的系统 扬州人学硕七学位论文 x = 彳( ，) x + 口( ，) b ( f ) 石 z = 彳( f ) x + e 叫r 0 ，x ) 一只( f ，o ) x ) 解的几何性态也就清楚了，即研究了线性问题就等于解决了一类等价的非线性系统解的 性态问题。 本文主要是在已有文献 2 3 3 3 的基础上，进一步研究三阶线性微分系统的反射矩 阵的形式。讨论了三阶线性系统 x 7 = a ( t ) x ，f 尺，x7 = ( ) c l ，x 2 ，x 3 ) r 3 ( 1 2 ) 的反射矩阵，( f ) 满足f ( t ) = f r ( ，) ，f ( t ) = f ( t ) 的充要条件。其次讨论( 1 2 ) 的反射矩阵 f ( t ) ，何时满足f ( t ) f7 ( f ) = 2 ( f ) e ，通过变形从而将问题转化为研究系统 x = ( 4 0 ) + 冬e ) x ，尺，x7 = ( x i ，x 2 ，x 3 ) r 3 ( 1 3 ) 的反射矩阵g ( t ) ，满足g ( t ) g r ( f ) = e 的充要条件，以及根据反射矩阵的定义和性质推 出此时g ( t ) 元素和系数矩阵之间的关系，然后给出了该系统为周期系统时周期解稳定性 的判定方法。在文章的最后我们给出例子以验证上面结论的正确性。 6 一 周云菊：三阶线性微分系统的反射矩阵 第二章预备知识 我们知道，绝大多数的微分系统是不可积的，尽管如此，在很多时候，我们可以应 用文 8 中的反射函数的知识，通过求微分系统的反射函数或反射矩阵来讨论微分系统 解的性态 为本文叙述方便，在此首先给出有关的定义及引理 考虑微分系统 x = x ( t ，x ) ，r ，z r ”( 2 1 ) 其中x ( t ，z ) 是连续可微函数且满足解的存在唯一性定理的条件，其c a u c h y 问题的解为 缈( ，；f ，x ) ，i ，表示其解妒( ，；o ，x ) 的存在区间 以下我们记 7 。= 仆，l ) ，d = o ，x ) 卜r ”，硝，佤 2 。1 反射函数及性质 定义2 11 8 】称连续可微函数 f ( t ，x ) ：= o ( - t ；t ，x ) ，o ，x ) d ， 为微分系统( 2 1 ) 的反射函数 系统( 2 1 ) 的反射函数f ( t ，x ) 具有下列性质 1 ) 对微分系统( 2 1 ) 的任一解x ( f ) ，t i ，0 乃宁 f ( t ，石o ) ) = z ( ，) 2 ) 对任一微分系统的连续可微的反射函数f ( t ，x ) 有恒等式 f ( - t ，f ( t ，工) ) = f ( o ，z ) = z 3 ) 可微函数f ：dor ”为微分系统( 2 1 ) 的反射函数，当且仅当它为下面 扬州大学硕士学位论文 c a u c h y 问题 f f ( ，x ) + e ( ，x ) x q ，x ) + x ( 一，( ，x ) ) = 0 ， l f ( o ，x ) = x 的解称( 2 2 ) 式为关于系统( 2 1 ) 的反射函数的基本关系式 示为 ( 2 2 ) 4 ) 若f ( t ，x ) 为( 2 1 ) 的反射函数，则任何以f ( t ，x ) 为反射函数的微分系统均可表 x = x o ，x ) + 巧1 ( f ，x ) r ( t ，x ) 一r ( 一t ，f ( t ，x ) ) ( 2 3 ) 这里r ( t ，x ) 是任意向量函数 引理2 1 ( 8 1 若系统( 2 1 ) 是关于，的2 c o 一周期解，及x ( t + 2 c o ，x ) = x ( t ，x ) ( c o 为大于 零的常数) ，f ( t ，x ) 是( 2 1 ) 反射函数，则微分系统( 2 1 ) 在卜彩，彩】上的p o i n c a r 6 映射 z ( x ) 可以定义为 r ( x ) = f ( - c o ，x ) = ( p ( c o ；- c o ，x ) 从而微分系统( 2 1 ) 在【- 缈，缈】上有定义的解伊( f ；一c o ，x ) 为2 c o 一周期解，当且仅当x 为方 程，( 一c o ，x ) = x 的解 2 2 反射矩阵及其性质 若系统( 2 1 ) 是线性的，即 x = a ( t ) x ，f r ，x r ”( 2 4 ) 这里a ( t ) 是，z x 玎连续矩阵函数 设( f ) 为( 2 4 ) 的基解矩阵，则其通解为妒( f ；气，x o ) = ( f ) 一( ) x o ，反射函数为 f ( t ，x ) = 缈( - f ；f ，x ) = ( o ) 中一1 ( f ) x = f ( t ) x 引理2 2f 1 1 若彳( ，) 是2 c o 一周期，且( ，) 为系统( 2 4 ) 的基解矩阵，则o ( t + 2 c o ) 也是 8 一 周云菊：三阶线性微分系统的反射矩阵 ( 2 4 ) 的基解矩阵，且存在非奇异的常数矩阵c ，使得( ，+ 2 c o ) = ( ，) c ，称c 为关于基解 矩阵( ，) 的根本矩阵，则( 2 4 ) 的任意两个根本矩阵相似 特别地，f ( 一功) = ( 缈) 一( 一缈) = ( 一c o ) c o - 1 ( 一c o ) ，即f ( c o ) 相似于c 定义2 2 1 8 ) 称f ( ，) = ( 一t ) o 一。( f ) 为( 2 4 ) 的反射矩阵 系统( 2 4 ) 的反射矩阵具有如下性质 1 ) f ( 一t ) f ( t ) = f ( o ) = e ( 2 5 ) 2 ) f ( t ) 是( 2 4 ) 的反射矩阵的充要条件为f ( t ) 是下面c a u c h y 问题 jf o ) 、+ f ( ) 彳o ) + 4 ( 。) f o ) = o ， ( 2 6 ) lf ( 0 ) = e 、。 的解称( 2 6 ) 式为关于系统( 2 4 ) 的反射矩阵的基本关系式 3 ) 对于任一非奇异且满足( 2 5 ) 的连续可微的矩阵f ( t ) ，存在一个线性微分系统 x = 一( ，( f ) + e ) 一1f ( ，) x ( 2 7 ) 以f ( t ) 为反射矩阵方程( 2 7 ) 的通积分为f ( t ) x + x = c 从而对式( 2 7 ) 的任一解 z o ) 有x p ) + x ( - t ) = 2 x ( o ) 4 ) 非奇异的连续可微矩阵，( ，) 为某微分系统的反射矩阵当且仅当f ( t ) 满足 ( 2 5 ) 5 ) 以f ( t ) 为反射矩阵的线性微分系统均可表示为 x = a ( t ) x + f ( - t ) r ( t ) x r ( - t ) f ( t ) x 这里，r ，r ( t ) 为任意连续矩阵函数 2 3 等价类系统 定义2 3 i s l 若微分系统 9 扬州人学硕十学位论文 x = b ( t ) x ，t r ，x r ”( 2 8 ) 与微分系统( 2 4 ) 具有相同的反射矩阵，则称它们是等价的具有相同反射矩阵的微分 系统称为同一等价类则有微分系统( 2 4 ) 与( 2 8 ) 等价( 或属于同一等价类) 的充要条件 是存在f ( ，) 满足 lf7 ( f ) + f ( t ) a ( t ) + a ( - t ) f ( t ) = 0 ， f o ) + f o ) b ( f ) + b ( - t ) f ( t ) = 0 ， if ( o ) = e 定理2 11 8 若f ( f ) 是微分系统( 2 4 ) 的反射矩阵，且满足 f ( t ) r ( t ，x ) + r ( - t ，f ( t ) x ) = 0 ( 2 9 ) 则f ( t ) 也是非线性微分系统 的反射矩阵，这里r ( t ，x ) 为rxr ” x 7 = 彳o ) x + r ( t ，x ) 定理2 21 1 7 】若，( ，) 是微分系统( 2 4 ) 的反射矩阵，矩阵函数b ( ，) 满足， b ( ，) = 么( f ) b o ) 一b ( ，) 彳p ) + f l 女( t ) b ( ，) ， 七= l 则f ( t ) 也是线性微分系统 z = 彳( ，) x + 吼( ，) b ( f 弦 k z l 的反射矩阵这里以( ，) ，吼( f ) 为任意连续可微的奇函数 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 定理2 3 8 1 定理2 1 和定理2 2 条件满足，1 3 。a ( t + 2 0 ) ) ：么( 吐r ( t + 2 c o ，功= r ( t ，功， b ( t + 2 缈，力= b ( ，) ，吼( ，+ 2 c o ) = 吼( ，) ，反o - i - 2 0 ) ) = 鼠( f ) ，则微分系统( 2 4 ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 的周期解的性态是相同的 1 0 _ 一 周云菊：三阶线性微分系统的反射矩阵 考虑线性微分系统 第三章主要结果弟二早土芰三百禾 x = a ( t ) x ，f r ，x r = ( x l ，x 2x 3 ) r 3 ( 3 1 ) 其中彳( f ) = ( ( f ) ) ，。，为连续可微矩阵 由预备知识中定理2 1 、定理2 2 、定理2 3 知，要研究微分系统( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 周期解的性态，只需研究微分系统( 3 1 ) 的反射矩阵而要求出一般的反射矩阵是很困难 的为此，本文主要是寻找( 3 1 ) 具有某些特殊反射矩阵的充要条件 先讨论其反射矩阵f ( t ) 何时满足f ( t ) = f7 ( r ) ，f ( t ) = f ( t ) 我们根据反射矩阵的基本 关系式( 2 6 ) ，可以得到以下的结论 定理3 1系统x = a ( t ) x 的反射矩阵f ( t ) 满足f ( t ) = f7 ( f ) 的充要条件是 f ( f ) c o ) + c ( f 扩( f ) = 0 ，其中c o ) = 么( f ) 一彳o ) 1 一一r 证明必要性 当f ( t ) = f 7 ( f ) ， 根据( 2 6 ) 得 f 7 ( f ) + f ( t ) a ( t ) + 彳( f ) f ( f ) = 0 ， ( f7 ( f ) ) 7 + a r ( f ) f7 ( f ) + ，7 1 ( f ) 才两r = o ， 将f ( t ) = f r ( f ) 代入上面两个式子作差有 f o ) ( 彳( ，) 一万两7 ) + ( 刁两一a7 ( f ) ) f 0 ) ：0 ， 令c o ) ：彳0 ) 一丽7 ，则得到 ，( ，) c ( ，) + 丽f ( f ) = 0 充分性记u = f ( t ) 一f r ( ，) 则u ( o ) = 0 扬州大学硕士学位论文 u = f 7 ( ，) 一，订t ) ， 即一u ：f ( f ) 彳( f ) + 丽谚( f ) 一a ，( f ) f 7 ( r ) 一f r ( o - j 丽r ：f 0 ) ( 彳u ) 一丽7 ) + ( 万万一a r o ) ) ，u ) + 么r ( f ) ( f o ) 一f r ( f ) ) + ( 尸p ) 一f ，。0 ) ) 万两r ， 因为 f ( f ) c o ) + 否否驴( r ) ：0 ，c o ) ：彳o ) 一j 丽r ， 则 一u ：a r ( ，) u + u 丽r ， 又因为 u ( o ) = 0 ， 根据解的存在唯一性定理有，f ( t ) = f7 1 ( f ) 证毕 注l 当彳0 ) 一丽r ：y ( t ) e y ( f ) 为奇函数，定理3 1 结论仍成立 定理3 2 线性微分系统( 3 1 ) 的反射矩阵f ( t ) 满足f ( f ) = f ( t ) 的充要条件是 f ( t ) c ( t ) + c o ) f 0 ) = 0 ，其中c ( t ) = a ( t ) + 么0 ) 证明必要性当f ( t ) = f ( t ) 时，有 两式作和得 f 7 ( f ) + f ( t ) a ( t ) + a ( t ) f ( t ) = 0 ， 一，一一f ( f ) + f ( t ) a ( t ) + 彳( f ) f ( f ) = 0 ， f ( f ) c ( f ) + c ( f ) f ( f ) = 0 ，c o ) = 彳( f ) + 丽 充分性设u = f ( t ) 一f ( f ) ，则u ( o ) = 0 一u = 一f ( f ) + 翮， 即 一u = f ( t ) a ( t ) + a ( t ) f ( t ) + f ( t ) a ( t ) + a ( t ) f ( t ) = f o ) ( 彳( ，) + 彳( ，) ) + ( 彳0 ) + 彳( ，) ) f ( ，) + 彳( ，) ( f ( ，) 一f 0 ) ) + ( f ( t ) 一f ( ，) ) 彳( ，) 1 2 。一 周云菊：三阶线性微分系统的反射矩阵 因为 则 f o ) c o ) + c ( f ) f o ) = 0 ，c o ) = 彳o ) + 万两， 一u = 一彳o ) u u a ( t ) ， 又因为 u ( o ) = 0 ， 根据解的存在唯一性定理有，f ( t ) = f ( f ) 证毕 现讨论系统( 3 1 ) 的反射矩阵f ( t ) ，何时满足f ( t ) f r ( ，) = 2 ( r ) ep ( o ) = l ，其中f l ( t ) 为纯量函数 下面设刑= 一7 删= 一；1f 护( 彳( f ) + 而) d r 引理3 3 尸( ，) 为系统( 3 1 ) 的反射矩阵，当且仅当，( f ) = 8 呻g ( z l ) ，g ( f ) 为 x ，洲撇射鹏靴”一j 1 卅丽m 肌半船黑 【口3 i ( f ) q 3 2 ( f ) 巩( f ) 丢喜( 删+ i ) ，f = 1 ，2 ，3 证明 根据反射矩阵的基本关系式( 2 6 ) 有： j f ( f ) + f ( f ) 么( f ) + 劢( f ) = o ， 【f ( o ) = e 将，( f ) = p 口( ，) g ( ，) 代入上式得， e 口口，g o ) + g 口g 7 0 ) + e 口g o ) 彳( f ) + j 万口g o ) = 0 ， o t g ( t ) + g ( f ) + g ( f ) 4 ( f ) + 面酌( f ) = 0 ， g ( f ) + g o ) 彳o ) + ( 口留+ j 丽) g p ) = 0 ， g ，( ，) + g ( 砸) + 和+ ( 等e + 丽) g ( ，) = o ， 、， 、，、j、， f f f ，y，l，l 3 3 3 i 2 3 口 口 口 扬州大学硕士学位论文 令b o ) = 彳( ，) + 要e ，则有 g 7 ( f ) + g ( f ) b ( f ) + 葡弦( f ) = 0 ， 所以g 是系统x ，：占。，弦的反射矩阵，其中召：r 受：乏兰三 ， l 口；，j 并且“= 一i 1 善3 ( + i ) 吐= 一吉喜( 吼+ 一a i r ) ，口；3 = a 3 3 - - 6 1 圭i = 1 ( + i ) 此时我们可得到f ( t ) f ”( f ) = e 口c d g ( t ) e 口g7 ( f ) = g ( t ) g7 ( f 弘2 口= 2 ( ，) e 令 e 卯= f l ( t ) ，则推出g ( t ) g r ( r ) = e 同时也很容易验证g ( t ) 满足反射矩阵的性质 g ( t ) g ( t ) = e 从而我们将所要研究的问题转化为讨论线性微分系统 x 7 = b ( t ) x ，t r ，x7 = ( x l ，x 2 ，j c 3 ) r 3 ( 3 2 ) 反射矩阵g ( f ) ，何时满足g ( f ) g7 ( f ) = e ，其中护p ( f ) + 丽) = 0 为书写方便，有时简记a ：= 彳( f ) ，0 _ p ( f ) 依次类推，一a ：= 彳( 一f ) ，否：= b ( 一f ) ， 否：= g ( 一f ) 等 定理3 4 系统x = b ( t ) x 的反射矩阵g ( t ) 满足g ( t ) g7 1 ( f ) = e 的充要条件是 g ( t ) d ( t ) + d ( f ) g ( ，) = 0 ，其中d ( t ) = b ( t ) + b r ( f ) 证明 “j ” g ( t ) g7 p ) = e ， g ( f ) g7 ( f ) + g ( f ) g 门( f ) = 0 ， 将反射矩阵的基本关系式g ( ，) + g ( t ) b ( t ) + b ( t ) a ( t ) = 0 代入上式得， ( + 一b g ) g 7 + g ( g b + - b g ) r = 0 ， 周云菊：三阶线性微分系统的反射矩阵 g ( b + b7 ) g 7 + b g g7 十g g 7b 7 。= 0 ， 把g ( ，) g7 ( ，) = e 代入，再两边同乘以( g 。1 ) r 有 令d = b + b r ，贝0 得至0 g ( b + b7 。) + ( 否+ 百7 ) g ：0 ， g ( t ) d ( t ) + d ( t ) g ( f ) = 0 设u = g g7 一e ， u ( o ) = 0 ， 则 u7 = g g r + g g 7 。， 代入基本关系式有 一u = ( g b + b g ) g7 + g ( g b + b e ) 7 ：g b g r + 一b g g r + g b t g r + g g7 否7 = g ( b + b r ) g r + 否( g g7 一e ) + ( g g r e ) 8 r + 否+ 否7 b n i h ：0 = 一( d ) g g r + b u + u b 7 + d = b u + u b d ( g g7 一e ) ：u 否7 。一否，u 又因为 u ( o ) = 0 ， 限据解的存在唯一性定理有g g7 = e 汪毕 定理3 5 若g ( f ) 为系统( 3 2 ) 的反射矩阵，且满 g ( t ) g 7 ( f ) = e ，b ( t + 2 0 ) ) = b ( t ) ， 则微分系统( 3 2 ) 的零解稳定 证明 当b ( t + 2 0 ) = b ( t ) 时，由文献 8 知，此时( 3 2 ) 的p o i n c a r 6 映射为 r ( x ) = g ( - a , ) x ， 则 l l 丁( 石) 0 2 - - i i g ( 一c o ) x 8 2 = i l x 0 2 ， 扬州火学硕士学位论文 故零解稳定 肌坷= 删2 定理3 6 若b ( f ) + b7 ( f ) = y ( f ) m ( f ) ，矩阵函数m ( f ) = b f ，( f ) ) 3 。连续可微且满足 m 7 ( f ) = b ( f ) m ( f ) 一m ( f ) b ( f ) + 以( f ) m ( f ) ， 则微分系统( 3 2 ) 的反射矩阵g ( t ) 也是 x = b ( t ) x + f l k ( t ) m o 弦 的反射矩阵，且满足g ( f ) g7 ( f ) = e ，这里7 ( f ) ，y 。( f ) ，反( f ) 为纯量奇函数此外若 召( t ) ，m ( t ) ，以( f ) 为2 国一周期函数，则( 3 3 ) 的零解稳定 证明根据定理2 1f 8 】，要说明g o ) 为微分系统( 3 3 ) 的反射矩阵， 只需要验证 则 下令 o ( t ) y 尾( f ) m ( f ) + 尾( 一f ) m ( 一f ) g ( f ) = o ， ( 3 3 ) 窆反( ，) 【g ( f ) m ( ，) 一m ( 一f ) g ( f ) 】= 0 ， ( 3 4 ) u = g ( t ) m ( t ) 一m ( - t ) g ( t ) = g m - m g ，则u ( o ) = 0 u ：g t m + g m l mg m g = 一( g b + b g ) m + g m7 + m ，g + m ( g b 十b g ) = 一( 伽一m g ) b b ( g m m g ) + g m b b m g g b m + m b g + g ( b m m b + 主以m t ) + f 否万一砑否+ 窆万砺1 g = o 七= 0 1 6 - 一 周云菊：三阶线性微分系统的反射矩阵 ：一u b 一面+ 窆儿( 伽一万g ) 七= 0 ：一u b 一动+ n 儿k - ! 砑。( g m 一- m g ) m 一t x i = 一u b 一蔚+ 儿面u m “卜1 _ j - j k = o i = o 又因为u ( o ) = 0 ，则根据解的存在唯一性定理得u ( t ) 兰0 ， 即得到g ( f ) m ( f ) 一m ( - t ) g ( t ) = 0 下面仅需验证 即可 由上面证明知 当尼= 2 时， g ( t ) m ( ，) 一m ( - t ) g ( f ) = 0 g ( f ) m ( f ) 一m ( _ f ) g ( f ) = 0 ， g ( t ) m 2 ( ，) 一m 2 ( - t ) g ( t ) = ( g m m g ) m + m ( g m - m g ) = 0 ， 现假设尼= 疗时，有 g ( t ) m ”( f ) 一m ”( - t ) g ( t ) = 0 ， f 证七= 玎+ 1 成立即司， g ( t ) m 肘1 ( f ) 一m 舯1 ( 一t ) g ( t ) = g ( f ) m 一( f ) 一砺”( f ) g ( f ) p 订( f ) + 砺”( f ) g ( f ) m ( f ) 一砑( f ) g ( f ) 】 = 0 ， 故对一切k 均有 g ( t ) m ( f ) 一m ( 一t ) g ( t ) = 0 从而g ( t ) 为( 3 3 ) 反射矩阵 又b o ) + b 7 o ) ：y ( f ) m ( f ) ，贝i jg ( b + b r ) + ( 否+ 否7 ) g = g y ( t ) m ( t ) m ( t ) y ( t ) g ：y ( ，) ( g m 一劢) ：0 塑型奎堂堕主堂堡垒茎 一坚 _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ ，一一 根据定理3 4 得，g ( t ) g r ( f ) = e 最后由定理3 5 知，系统( 3 3 ) 的零解稳定 下面讨论当g ( t ) g7 ( f ) = e 时，系统x 7 = b ( t ) x 的反射矩阵g ( f ) 的各元素之间的关系 我们要综合以下几个方面考虑，g ( f ) 同时还要满足必要条件g ( f ) g ( ，) = e ，g ( o ) = e f ，g i 。o )9 1 2 )9 1 3 0 ) 、 令g o ) = l9 2 l ( f ) 9 2 2 0 ) 9 2 3 0 ) i g ，o )9 3 ：o )9 3 ，o ) j 因为g ( o ) ：e ，故有g f ，( o ) = 1 ，g u ( o ) = o ，i * j ， f ，= 1 ，2 ，3 又因为g ( t ) g 7 ( f ) = e ，g ( f ) 丽= e ，则可得到 g ，( f ) = - c 6 ， 比较等式两边的元素， 再根据 ( f ) 9 2 1 ( f ) ( f ) 9 2 2 ( f ) p ) g ：，o ) 9 1 ，0 ) 9 1 2 ) 9 1 3 0 ) 1 9 2 l ( f ) 9 2 2 0 ) 9 2 3 ( f ) l ， 9 3 l p ) 9 3 2 9 3 3 ( f ) j 岛( f ) = ( f ) ，f ，_ ，= 1 ，2 ，3 g ( t ) g r ( ，) = e ， f ，蜀。9 1 2 9 1 3 p ) 、g l l i 岛l o ) 1 l9 2 1 0 ) 勤( ) 9 2 ，( ，) l lg j 2 ( 力9 2 2 ( f ) 9 3 2 l 。e i 岛。岛2 ( f ) g ，( f ) 八岛，p ) ， g ，如v g l l ( ，) + 9 1 2 2 0 ) + g l ( ，) = 1 ， g i i ( f ) 9 2 l ( t ) + 9 1 2 ( f ) 9 2 2 ( f ) + 9 1 3 0 ) 9 2 3 ( f ) = 0 ， g i l ( t ) 9 3 l ( f ) + 9 1 2 0 ) 9 3 2 ( f ) + 9 1 3 0 ) 9 3 3 ( t ) = 0 ， 9 2 1 2p ) + 9 2 2 2 【，) + 9 2 3 。( f ) = 1 ， 9 2 1 0 ) 9 3 i o ) + 9 2 2 0 ) 9 3 2 ( r ) + 9 2 3 ( f ) 9 3 3 0 ) = 0 ， 9 3 , 2 0 ) + 9 3 2 2 ( f ) + 9 3 3 2 ( f