（应用数学专业论文）boussinesq方程组解的正则性问题研究.pdf

摘要 本文讨论如下b o u s s i n e s q 方程的c a u c h y 问题 a u + ( u v ) u + v p = u a u + 口， a 日+ ( v ) 0 = p 目， d i v u = 0 ， p l k o = 0 0 ，u l b o = u o ， ( x ，t ) r 3x ( 0 ，。) ， ( z ，t ) r 3 ( 0 ，。) ，、 ( ) ( 甄t ) r 3x ( 0 ，。) ， x r 3 未知向量函数u = u ( x ，t ) 表示流体速度未知函数目= o ( x ，) ， p = p ( 。，t ) 分别表示温度与压力函数，；，( z ，t ) 为已知外力向 量函数 “o = u o ( z ) ，0 0 = o o ( z ) 分别表示初始速度与初始温度 常数v o ，弘o 分别表示流体粘性系数和导热系数 本文主要研究问题( + ) 弱解的正则类以及一类合适弱解的 部分正则性内容分为如下两部分： 1 考虑问题( + ) 弱解的正则类即我们给出两类充分条件来保 证弱解是正则的，得到了b o u s s i n e s q 方程类似于n a v i e r s t o k e s 方程s e r r i n 类的结果 2 考虑问题( + ) 一类合适弱解的部分正则性我们先运用广义 能量不等式和奇异积分理论得到一些无维数量的估计；再 通过合适弱解满足的等式，运用迭代技巧，推导出温度场的 小性估计；最后由尺度分析( s c a l i n ga r g u m e n t s ) 得到了一类合 适弱解的部分正则性 关键词：b o u s s i n e s q 方程，弱解，正则性，部分正则性 a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gc a n c h yp r o b l e mf o rb o u s s i n e s qe q u a t i o n s ： 穗u + ( n v ) u + v p = u a + d + 0 f 0 , 0 + ( “- v ) 0 = m a p d i v u = 0 0 i # o = 0 0 ，i b o = + d o ( z ，t ) r 3 ( 0 ，0 0 ) ， ( z ，t ) r 3 ( 0 ，0 0 ) ，、 ( j ( z ，t ) r 3 ( 0 ，o o ) ， z 帮 t h eu n k n o w nf u n c t i o n su = u 扛，) ，0 = 0 ( x ，t ) a n dp = p ( x ，t ) a r et h e v e l o c i t yf i e l d ，t h es c a l a rt e m p e r a t u r ea n dt h es c a l a rp r e s s u r eo ft h ef l o w r e s p e c t i v e l y ，= ( x ，t ) i st h ek n o w ne x t e r n a lp o t e n t i a l + d o = u o ( x ) a n d o o = o o ( z ) a r et h ei n i t i a lv e l o c i t ya n dt e m p e r a t u r er e s p e c t i v e l y t h ec o n - s t a n t s | ，20a n dp 三0a r et h ev i s c o s i t yc o e f f i c i e n ta n dt h et h e r m a le x p z m - s i o nc o e f f i d e n to ft h ef l o wr e s p e c t i v e l y i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h er e g u l a r i t yo ft h ew e a ks o l u t i o n sa n d t h ep a r t i a lr e g u l a r i t yf o rt h es u i t a b l ew e a ks o l u t i o n st ot h et h r e e - d i m e n s i o n a l i n c o m p r e s s i b l eb o u s s i n e s qe q u a t i o n s t h ec o n t e n t so ft h ep a p e ri n c l u d et w op a r t s ： 1 w bc o n s i d e rt h e “s e r r i nc l a s s ”o ft h ew e a ks o l u t i o n so ft h et h r e e - d i m e n s i o n a li n c o m p r e s s i b l eb o u s s i n e s qe q u a t i o n s w ed i s c u s st w oc l a s s s u f f i c i e n tc o n d i t i o n st og u a r a n t e et h a tt h ew e a ks o l u t i o n sa x er e g u l a r ， w h i c ha l - es i m i l a rt ot h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so ft h en a v i e r - s t o k e se q u a - t i o n s 2 w ec o n s i d e rt h ep a r t i a lr e g u l a r i t yf o rt h es u i t a b l ew e a ks o l u t i o n so f ( ) f i r s t l y , b a s e do nt h eg e n e r a l i z e de n e r g yi n e q u a l i t y ，w eg e te s t i m a t e s o fs o m es c a l e dn o n d i m e n s i o n a lq u a n t i t i e s s e c o n d l y w ee m p l o yt h e i t e r a t i v et e c h n i q u et oo b t a i nt h es m a l l n e s so fs o m es c a l e dq u a n t i t i e s o ft e m p e r a t u r ef i e l d f i n a l l y , b ys c a l i n ga r g u m e n t sw eg e tt h ep a r t i a l r e g u l a r i t yf o rt h es u i t a b l ew e a ks o l u t i o n s k e yw o r d s ：b o u s s i n e s qe q n a t i o n s ，w e a ks o l u t i o n s ，r e g u l a r i t y , p a r t i a lr e g u l a r i t y 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名 摩司同鸯 日期：蛔c 年牛月z 窑日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名： 苍 日冈夹 日期：2 年午月拈日 第一章引言 b o u s s i n e s q 方程是流体方程中一类重要的数学模型它是流 体速度场与温度场耦合而成的方程该方程在天气预报，海洋 生态等领域都有重要的应用背景本文主要讨论如下b o u s s i n e s q 方程的c a u c h y 问题： a 乱+ ( 札v ) “+ v p = u a u 十日， 侥口+ ( “v ) e = p 口， d i v u = 0 ， 口1 k o 。0 0 ，1 f _ o = “o ， ( z ，t ) r 3 ( 0 ，o o ) ， ( z ，t ) r 3 ( 0 ，o 。) ， ( 1 1 ) ( z ，t ) r 3x ( 0 ，。) ， r 3 未知向量函数”= u ( z ，t ) 表示流体速度，未知函数p = e ( x ，t ) ， p = p ( z ，t ) 分别表示温度与压力函数，= ，( 。，t ) 为已知外力向 量函数，i t 0 = 如( z ) ，= o o ( x ) 分别表示初始速度与初始温度， 常数v 0 ，p 0 分别表示流体粘性系数和导热系数 b o u s s i n e s q 方程与流体方程中的n a v i e r s t o k e s 方程及e u l e r 方 程有着密切的联系当温度为零时，( 1 1 ) 即为齐次n a v i e r - s t o k e s 方程n a v i e r - s t o k e s 方程与e u l e r 方程是描述流体运动的基本方 程其中关于三维n a v i e r - s t o k e s 方程强解的整体存在性及弱解的 唯一性问题仍是当今著名的未解决问题与n a v i e r - s t o k e s 方程及 e u l e r 方程相比较，b o u s s i n e s q 方程多了一个未知温度函数且温 度与速度之间存在着复杂的非线性关系从热力学可知，任何 运动都会产生热量即有温度，而且产生的热量和外力做功之间 必定互相转化因此对该非线性系统的研究更具有实际意义， 也更富有挑战性 有关n a v i e r - s t o k e s 方程解的正则性已有大量的研究结果早 在上世纪六十年代，s e r r i n 1 3 】就证明了：如果u l v ( o ，el q ( r t ) ) ， 当 兰+ ； l ，n g 0 ， 如果满足下列三个条件之一 ( 1 ) ；j 尼，扛。i v u ( z ，驯2 d z d t 或者幻印s u p 。幻；厶。训瞰z ，圳2 d x 是一致有界的，且s u p 去 i u ( z ，0 1 2 d x d t e ； r _ r or 。jj q ，0 0 ，t o ) ( 2 罂；q ，( x o , t o ) i c 训u ( 酬2 揪 e 或者 裟厶撬i v u ( 州) 1 2 删。 e ； ( 3 ) s u pr - 2 i u ( z ，) 1 3 d x d t e ， 那么，u 在点( x o ，t o ) 的某个邻域内是正则的这里b r ( z o ) 表示 第一章引言3 中，5 - 在z o ，半径为r 的三维空间中的球q ，( z o ，t o ) 表示中一5 - 在 ( z o ，t o ) 半径为r 的抛物球具体定义见3 2 节 本文将在【1 6 的基础上，讨论三维不可压b o u s s i n e 8 q 方程一 类合适弱解的部分正则性我们给速度场加的条件与1 6 1 关于 三维不可压n a v i e r s t o k e s 方程中的一样对温度场，我们只给某 些尺度变换下的无维数量加了有界性条件能否进一步将温度 场的条件去掉，仍是待研究的问题 本文第二章将考虑弱解的正则类 记c 器( r 3 ) = uu e 酽( 印) ，d i v u = o ，v 为c 器( 舻) 在s o b o l e v 空间1 ，2 ( r 3 ) 中的完备空间 其主要结果如下： 定理1a ) 设u o ，k ，l 2 ( o ，t ；l 3 ( r 3 ) ) ，( u ( z ，) ，0 ( x ，t ) ) 是 问题( 1 1 ) 在某个时间段【0 ，列( o 3 ； 2 ) u e ( 0 ，司；l 3 ( 舻) ) 1 则，我们有 u 工o 。( o ，t ；h 1 ( r 3 ) ) n l 2 ( o ，r ；h 2 ( r 3 ) ) 以及 i i v u ( o l l l + l i v e ( 堋+ 上( ”桫u ( 堋+ e l i d 2 酬l ! ) sc o ( 1 l v u o l l l + i v e o l l ；) 对任何2 队t i 成立其中常数岛在1 ) 中依赖于o ( i r a ( s ) 惦+ f | ，( s ) d 5 ；在2 ) 中依赖于f l u ( s ) j | 易( f 0 罔( r 。) ) r + 上i i f ( s ) 1 1 3 2 d s b ) 如果对某个p 3 ，咖：e 。l 4 ( r 3 ) ，胪( o ，t ：l ”( r 3 ) ) ，并且 v “酽( o ，t ；l 4 ( 舻) ) ，其中+ 嘉= 1 ，l ns 2 则，我们有 n ，日o o ( o ，r ；l z ( r 3 ) ) ，i “l 学v ，川学v 口l 2 ( o ，t ；l 2 ( r 3 ) ) ， 4硕士毕业生毕业论文2 0 0 6 年 以及 日咿”卢( p 一1 ) 跏“i 学v u ( s ) i i i d s + e 卢( 卢- 1 ) o 口譬v 酬i l d s c ( | | u o i 喀，i i o o i 瞎，f ( 1 i w l l g + i i ，( s ) l i 已) d s ) 对任何t 【0 ，t 】成立 注1s e r r i n 1 3 ，g i g a 5 ，w o l fv o nw n l p 8 i 等在定理1 中a ) 一b ) 的 条件下，对n a v i e r - s t o k e s 方程获得了解的正则性何成和辛周平 【6 1 在条件a ) 一b ) 下研究了m h d 方程解的正则性其中b ) 是1 ) 2 ) 自然的推广但是，临界状况o t = 2 是不同的根据我们的结 果，如果v “l 2 ( o ，e l 3 ( r 3 ) ) ，那么解口，“是正则的然而这是不 能够由1 ) 一2 ) 推出的，因为w 1 ，3 ( 舻) 不能嵌入l o 。( r 3 ) 本文第三章将研究b o u s s i n e s q 方程的c a u c h y 问题( 1 1 ) 一类 合适弱解的部分正则性 我们先给出问题( 1 ，1 ) 合适弱解的定义： 定义1 如果函数( “，口，p ) 满足： 1 ) p l ( d ) 且对几乎处处的t ， ( + 卵) 出c ， ( i w l 2 + i v o l 2 ) d z d t s c ， 其中，开集dc r 3 矿，d t = d f l 舻0 ) 0 2 ) ( “，t g , p ) 在分布的意义下满足b o u s s i n e s q 方程( 1 1 ) 3 ) 对每一个实值函数庐( 。，) c 扩( d ) ，曲0 ，下面的广义能量不 等式成立： ( i “1 2 + i o l 2 ) 庐d x d t + 2 ( | v 札1 2 + i v 口1 2 ) d x d t j d t jj u s ( | u 1 2 + i p f 2 ) ( a + a 毋) d x d t + d ( “v 庐) ( + l e l 2 + 2 l p l ) d z d t + 2 jl o f 。u c d x d t 4 ) 对任意的x 谨( d ) ，下述方程在分布意义下成立： a ( 目) ( ) 一a ( o x ) = 8 ( 岛x 一) ( ) 一2 v x v 口一x ( u t r e ) 则称( “，目，p ) 为b o u s s i n e s q 方程的合适弱解 对于给定的b o u s s i n e s q 方程的解( “，口，p ) ，我们用下面的记号 来表示尺度变换下的无维数量： 第一章引 言 趵) 铲以s u p 。；k ) m 州妒虹 e v ( 归击也知，m 酬9 蝴 e + ( r ) ；厶，。，。) i v u ( z ，砷1 2 d z a t ， w ( r ) - 1 o 机幻) 脚u ( z ，t ) 1 2 d 础 f ( r ) _ 5 驴r 2 s u p 。；k ，i ( 酬2 如， f p ( r ) z 击j 厶出。川愀z ，驯9 出出， r ( r ) = ；厶小。i v 口( z ，驯2 如出， 。( r ) ；万1 面厶出。向) 瞅z ，驯9 如出 5 第三章主要结果如下： 定理2 设i | ，( z ，t ) l l c ( 舻。脚 0 有 ( 1 ) s u pe 3 ( r ) d l ， o r r l ( 2 ) s u p 只( r ) o 。， o r r l 则存在一个正常数r 45r 1 ，使得对所有的0 rsr 4 ，有 s u p ( i v u ( t ，t ) i + l v o ( x ，t ) 1 ) sc r 一 口 ( 。o ，亡0 ) 定理3 设i l ，( z ，t ) l l g ( r s 。冗) 0 有 ( 1 ) s u pb ( r ) s6 1 或者s u p ，w ( r ) 6 1 ， o r n o r 三n ( 2 ) s u pr ( r ) ( 3 0 ， 0 r r 1 则存在一个正常数r 5 使得对所有的0 0 ，我们有 s u p ( b ( r ) + 只( r ) ) 6 3 其中r 3 r 1 类似于【1 中命题2 的证明我们司以得到u ，目可能奇 异点集的1 维h a u s d o r f f 测度为零 注4 这里c u r l f = 0 只是技术上的要求，是可以去掉的 第二章弱解的正则类 2 1 准备知识 在后面的先验估计中，我们经常用到下面的不等式 引理2 1 ( g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式) 假设q ，r 满足1 g ，r o o ，且j ，1 2 1 是满足0 茎j m 的任意整数若“c 护( 酽) 则有 i | “怯g i l d u 协l 矗。 其中；一i j = 叭；1 一罢) + ( 1 一n ；1 ，杀s 。1 ，c 仅依赖于n ，m ，j ，q ， r ，o 的常数若m j 一一n 是一个非负整数，则上式对上a 0 ，u 可以 分解为“= a 1 + u 2 ，其中i u l l l c ( ( o ，t 弦 印) ) 茎e 和1 1 “2 1 1 l 。o ( ( o ，t ) 。r 3 ) s e ( e ，i l u l l c ( ( o ，卅；口( 印) ) ) 证明：为此，我们先引入截断函数 ( z ) c 铲( 印) ，它满足： 0 e ( z ) 1 ；在1 8 is1 上，“z ) i1 ；在i s i 4 上，( ( z ) 10 定义 靠( z ) = ( ( 掣) ，且函数族“对k 是单调上升的我们令 u l = ( 1 一靠( i ”f ) ) u ；u 2 = 白( i u i ) t 由假设条件知，对于l i l u l ( ，- ) l l p 是连续的而且指标为k 的函数 族i i u l ( r ) 在闭区间【0 ，卅上，关于k 是单调递减的并且对每一 个固定的r ，由l e b e s g u e 控制收敛定理知，当一o o 时，| | u l ( r ) 怯 是收敛到0 的因此，由d i n i 定理知当k o 。时，| | u l ( 删b 在 【o ，卸上，是一致收敛到0 的另一方面，对于任意的r 0 ，卅， 圳州= l e ( 等) 釉4 k 引理证毕 引理2 3 如果u 是方程 一a u + ( “v ) “+ v p 一0 8 硕士毕业生毕业论文2 0 0 6 年 的光滑解，记= c u r l u ，j ( z ) j 2 d x o o ( acr 3 ) ，s u p1 w ( z ) l 3 ，即p = 面 通过分部积分，利用g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式和y o u n g 不等式， 我们有 i 五f = 1 2 ( 国“v ) “t o i u d x l j e | t i i v i i d 2 u c l l , , l l q i i w , i i 旦f i d 2 训1 2 c l l 。i i 。i i v 训一桫。舻； s 割d 2 “帕+ c 嚣| | v u 悖 类似的，我们有 和 z = l = 1 2f o , u v 0 o i o d x i 0 ，i i 可 以分解为n = ? 2 1 + u 2 ，其中i l u d l c ( 1 0 x l ；l a ( r 3 ) 1 e 和f l u 2 1 1 p ( ( o ，t 1 。r 3 ) 茎 e ( e ，i l u l l c ( t o ，7 1 ；口( 带) ) ) 我们对厶进行如下估计 1 j 1 l ：1 2 ，慨。v ) 。8 i u d 。i j c | u l l v u l l d 2 训 c l l u l l l 3 1 1 x 7 u l l 6 l i d 2 u 1 1 2 + c l l , u 2 i i 。i i v , u l l 2 l i d 2 u l l 2 c e i i d 2 幢4 - c 1 1 - 2 1 1 。i i v u i m i d 2 1 1 2 s 百p i i u 2 u i l 2 2 + g i i “2 | | 蝥i i v 札肥 上面，我们取e 适当小类似的，有 1 1 2 1 = 1 2f 岛u v o a 日如l c , , i i v 0 1 1 d 2 口i c l i u l l h l i v o i m i d 2 口1 1 2 + c l l u 2 t l 。i l w l h l i d 2 p l l 2 c e i i d 2 0 1 1 2 2 + c 1 1 , , 2 1 1 。i l v o l l 2 l i d 2 0 1 1 2 芒l l _ d 2 0 1 1 2 2 + c l i , - , 2 1 1 l i i v o l l l 再结合( 2 5 ) ，我们得到 触v u | | i + i t v o l l l ) + v i i d 2 “| | ；+ 肛渺目眩 c ( 1 l “l l c ( t o ，t i ；护( 。) ) + i l f l l ) ( 1 t v ”l t l + i l v o l t l ) 由g r o n w a l l 不等式即得定理1 中a ) 的第二种情形 3 ) 当v l a ( o ，t ；l 4 ( 斧) ) ，其中言+ 寺= l ，l a 2 即 3 卢 3 0 我们对( 2 3 ) 中的第二个方程两边同时乘以川口一2 日，在 第二章弱解的正则类 兄。上积分 厶。( o , e l o l 胪2 u v ) e l o l 肛2 0 ) d x = 厶p , e l o l 肛2 鲥z 其中 上。a 卵1 4 - 2 0 如= ；瑰厶川4 出， 厶( u v ) 叩1 9 - 2 0 d a s = 厶u v ( 扣h 如= 厶d h “( 加n 如= 。 上面，我们利用了d i v u = 0 厶脚旷2 毗一p 厶。w _ v o l o l 9 - 2 + 孵盯v i o l 肛2 d 。 = 州川) 上。o o # r 矿0 0 2 电 结合上面四个式子，我们得到 ；岛厶吲4 如+ 朋一) 厶( 川学i v 口1 ) 2 出= o ， 再对时间积分，得 归i l g 埘( 芦_ 1 ) j ：麒。i 譬l v 0 1 ) 2 揪 0 ，存在一个与r 无关的正常数a 使得 e g r ) 学( r ) f 萨( ，) ( ，) + 岛( ，) 1 ， 其中p f 2 ，1 0 3 1 证明：首先，我们有 厶叫9 d x = g ( 五，2 如) 2 辛( f 1 v u | 2 d x ) “生+ c r 2 ( 五，m 2 如) 1 实际上，对于2 茎p 6 ，由内插不等式，得( 其中n = ；( p 一2 ) ) ： l ，( 酋- ) si l u 峪( b ，删氦吕1 ) 茎c ( 1 l u 慨剐+ 慨慨b 1 ) ) 锄u i l # 砉。) s c ( i i “i i l 。( b ，) + i t v u 吣( 口。) ：。函) 再做变换r 。= y ，把球b 1 变换到球b r ： 硕士毕业生毕业论文 2 0 0 6 正 ( 厶 ir 硝蛳1 ( 厶i u 2 r - 3 d y ) + ( 厶，旧别2 r - 3 d y ) ；( 厶i u l 2 r - 3 d y ) 瓤。黝， 即 r 一瓠“忆一( 耳) sr 一瓠圳f 口( 珥) + r 一；一；+ 誓| f v “羞( b r ) i i 。f 五差 因此，我们有 ，jsc r ( z + p 一冲。( 辟) + c i i v “幢掰枷i i l 一= ( b ，) 在上式中，对时间进行积分，由h 6 1 d e r 不等式我们得到 厶，i 计i 如出 “一爨。( 五，m 2 如) 譬( 2 蝴) 半( o i v 砰黝) 学 彻啼十3 s u 承p - - r 2 。k j b ，i 舻如) 等小阳础 0 ，j j o ，。 c r s - p e 学( r ) ( e 产产( ，) e 了( ，) + 昆( ，) ) 下面，我i l l - d i f f - 与t i 2 函数有关的无维数量 引理3 2 如果，( ，) 三。( 舻) ，对于q ( 1 ，乳卢s ：，存在一个 与p ，p 无关的正常数e 使得 “ 。 马( p ) 兰g ( ：) 和2 。( 如q ( p ) + 岛( p ) ) + g ( ：) 2 口一2 岛( p ) 则 证明：压力函数满足方程 p - 一毫1 最叭撕)0 ，j 2 j p ( x ，t ) = r ( z j b 。 = r ( z j 8 8 。 ) 一岛。( “) + ( 户口) 】d s ( ) 第三章一类合适弱解的部分正则性 1 5 厶。屯r ( z 一) ( 一嘞t ( ) + ( g j e ) j ( y ) d y = 日( 州) + 五。屯r ( z 一) ( ) ( y ) 咖+ b pv z f ( z y ) ( ，日) ( ) 咖 其中，r ( z ) 是l a p l a c e 方程 = 0 的基本解固定( 一p 2 ，o ) ，h 是球晚上的调和函数这里的积分是在c a u c h y 主值意义下的 积分再分部积分，得 p ( 马t ) = 一厶， d ：r 扛一) ：u 。u ( f ) + v 。r 扛一们+ ( ，口) ( ) 曲( 32 ) + l u ( z ，圳2 + 日( z ，) 令 p o ( x ，t ) = 一d ：r ( x y ) ：“o “( ) d j b 9 由c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分理论，我们有 岫( b ，) c ( q ) l l uj 1 2 。a ( 日。) ( 3 3 ) 令 p l ( x ，t ) = v 。r ( x y ) ( ，口) ( 口) d y j b 。 由y o u n g 不等式及h s l d e r 不等式，我们得到 i i p l l i l 。( 邬) c t l v 。r l l l - ( b 2 ，) i i i o i i l - ( b ，) o p i i i i l * ( s ，) i i o i i l 。( b ，) ( 3 4 ) 由调和函数平均值性质知，对任意的z b t , ，有 i h ( 酬5 c 厶州酬如 茎筹五。( 坂z ，圳+ i p o ( 。，驯+ i p t ( z ，驯+ l u ( z ，圳2 ) 如 由h s l d e r 不等式我们得到 i i h ( 叫) 1 1 酬吼卜c p - 3 b 。( 驯+ i p o ( 酬 + i p ，( z ，t ) l + 1 “( z ，t ) i 。) d z 。) ； e ( ：) p 慨剐+ 州剐+ 圳h 剐+ 引) ( 3 5 ) 1 6 硕士毕业生毕业论文2 0 0 6 年 结合( 3 2 ) 至( 35 ) ，我们得到 t l p l i l a ( b ，)i l p o l l l e ( b 。) + i l u | | i 。( b 。) + h t l q ( b 。) + e p i i ，i | l 。( b 。) 0 口l i l 。( b 。) 0 ，如果有： ( 1 ) s u pe 3 ( r ) se 1 5 1 ， ( 2 ) s u pb ( r ) o o 则存在一个正常数r 2 r 1 ，使得对所有的0 r 曼t 2 ，有局( r ) 珏 证明：记q ，= ( z ，t ) ih p ，一p 2 t 0 ) 为抛物球取妒( z ，t ) 为光滑截断函数，具有以下性质：0 w ( x ，t ) s1 ；在q ；。上， 妒 ，t ) i1 ；在q p 以外，妒0 ，t ) i9 ；且 v 。地t ) i 石c ，i 侥地t ) i + i v ：地) is 歹c 由合适弱解的定义，我们有 魂( 口妒) 一( 日妒) = 日( 况妒一妒) 一2 v 砂v 目一妒( “v 日) 则对于任意的( z ，t ) 0 i 。，解可以表示成 叫州) = 仁。六。g ( z - y , t - s ) 啦妒一酬一2 v 如( 加p ) h 帕旭 这里g ( z ，t ) 是热方程的基本解通过分部积分，我i f 可以得到 i 巴x - - y ，v 岬i s“p2小vgiiv妒11日i+igiiv；妒11is。c(x-y,t-s)dyf f p 2 i i 妒1 1i i 州s i 上护 v 妒刷d 8 is 厶。( i v g v。+ gv ； 日恸d 8 第三章一类合适弱解的部分正则性1 7 凼此，对于( 。，) q p ，我们确 1 0 ( 酬。五。 g ( x - y , t - s ) 哪以她，圳刊v ；灿劫i ) 一 + 2 1 v a ( z 一，t s ) i f 7 e i n d y d 8 + 。p g ( x - v , t - s ) 母( u v 啪胁 ；1 1 + 1 2 ( 3 6 ) 注意到，当( ，s ) q p u 睇时，有 1 0 8 妒( y ，s ) i + i v 9 妒( ，s ) l = 0 对于任何( z ，t ) ，其中肛s i 2 p ，我们有 e 2 厶舭；， ( t - - a - 2 仲- s ) 1 咖一1 灿 c p - 5 小s ) l d y a s 鳓一s ( 小s 妒州s ) 。嘶q 孝 因此，我们得到了 纠= ( j 厂厶。2 如出) 5 茎g 商耶卵s 一砑1 _ ( 础 ( 3 t ) 为了估计屯，我们引入下面一个命题： 命题：固定t ，如果1 sq p 墨o 。则 i l a ( ，t ) + ”) 怯f 】c i i l l 加t 一 ( ；一p 证明：由卷积的y o u n g 不等式得 i i c ( 州川帆) | i g ( ，驯h 州刑巩( 1 + ；1 = 磊1 + ；) 奠中 1 8 g ( ，圳l m c t 一 = c t 硕士毕业生毕业论文2 0 0 6 年 盼_ y 2 、五m a ，r ( ”= 屉) + 击( 而) n ：c t 一；( h ) 铈题让毕 运用此命题和m i n k o w s k i 不等式 吆9 ( ”) 岘郫) s 上i i g ( ”) 岘引4 5 ， 我们得到如下估计 i i 如忆：( 耶) 曼g 厶。一s ) - 51 1 u i t p ( 巩州v 钏列巩) d 5 对上式关于时问在( 一p 2 ，0 ) 上积分，我们有 纠= ( 。五t , 1 1 2 1 2 d x d t ) 5 厶c 2 枷出 5 ( 驴a t ) 6 卢( 助崛铲出) 5 e p i l1 i uj i l 3 ( q ，) i i v 0 1 1 l 。( q ，) e p p i 2 皤1 ( 功p f ( p ) 这里，我们用到了c a l d e r 6 n - z y g m u n d 不等式：如果 ( t ，) ( 归j 乙浩则 n 峨前zl e 一5j _ 一 i i t f i i l 一_ g 巩；1 = ；+ ；) 将( 3 7 ) ( 3 8 ) 代入( 3 6 ) ，我们有 f 2 ( p ) g ( ；) 2 f 2 ( 卅g ( ：) i 谤( 嘏( 办 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 妨 仉 旧一4 一 一l m 酬嘲 矿警 i 小 ，b 阪 第三章一类合适弱解的部分正则性1 9 令p a p ，( o a ) 固定a ，使得( 3 9 ) 中的c ( ：) 2 茎互1 记 s u p 只( r ) m i ( m 1 是一个绝对常数) 由( 3 9 ) 有 0 r 兰1 f 2 ( a p ) j f 2 ( p ) + c a i 7 q 西， 再迭代k - 1 次后，我们有 f 2 ( a k p ) o ，选择札使得 击盯毛m 1 ， 然后再选择整数k o ，使得 ( i ) 眦) = ( 扣去o 川2 如出 互1 耐3 ， 我们定义r 2 = o r l 对于任意的0 r r 2 ，存在k o ，使得 a 七十1 n r a 1 因此 聊) = 嘉小1 2 d x 出 南k 川2 如出 = i 1 f , 7 a 2 7 1 ) s 托炳) + 普e 一啪】 嘉 ( ；) m 。( ：) b 马( 叫+ 订1 g a j q 晒】 0 ，如果有 ( 1 ) s u pe 3 ( r ) sq 茎以， o r _ r l ( 2 ) s u p 只( r ) 。 0 r r l 则存在一个正常数r 3 茎r l ，使得对所有的0 r r 3 ，有 a a ( r ) = e ( r ) + f ( r ) + e t ( r ) + r ( r ) + 乓p ) 3 ， 硕士毕业生毕业论文 2 0 0 6 年 证明：由合适弱解的定义知：存在绝对常数r 0 ) m o ，使得 a 3 ( t o ) m o 取妒( ，t ) 为光滑截断函数，具有以下性质：0 咖( z ，) 1 ；在 职上，曲( z ，t ) 1 ；在q ，。以外，( z ，) i0 其中，“= 2 n 并且 v 删州) i ，( 州) v ：m ，圳叠c 在广义能量不等式中取检验函数为2 ，我们有 五，( i u | 2 十i 口1 2 ) 扩出出+ 2 尼，。( i v 训2 + l v 卯) 护如出 ( i u l 2 + i 口1 2 ) ( a 庐2 + 2 ) d x d t jj q r + r 厶，( “v 币2 ) ( ”i 2 + 川2 + 2 纠) 如出+ 2 厶，。9 ，扩如班 吕幻砰州i 2 出 + 譬厶，( i u i 3 十i 目1 2 l u i + i u i ) 如出+ z 厶，+ 口，如托 则 a 3 ( r ) c ( 岛( + f 2 ( + 岛( 叫+ r ：2 厶，。( 吲2 j u l + 川i p i ) d x d t 机1 厶。盼础嬲+ 囊+ 下面，对于2 r = r + p r 2 ，我们依次估计上式右端各项： 矿他，徊| 2 m 出。， s r ：2 ( 厶，+ l 。 3 a z 出) j ( 厶，+ l u l 3 d z a ) 3 。，。， 茎r _ 。f _ ，q pi 1 3 d ，a s ) i ( 五，i “1 3 a ，a s ) 5 以及 第三章 一类合适弱解的部分正则性2 1 r i 2 厶，。l n l i p d z d t 曼r = - 2 ( 厂厶，。l ，| i d z a ：) j ( 厶，。l “1 3 a z ? 2 。 。，。， 5 r _ 2 ( 尼，p i ；a v a s ) i ( 厶，i “1 3 a ，a s ) 3 。 g ( ；) 2 霹1 ( p ) 礞( p ) ， 一从，叭删谢 s f f ，忆1 ( 厶，。川2 d ，x d t ) 5 ( 厶，2 出出) 。， s c r f l ( 厶，川2 句幽) 5 ( 乞，川2 咖出) 5 f 3 p ) g f ( r ) ( 磅( r ) f s ( r ) + f 2 p ) ) g 肘；。i + g m 。2 ( 3 1 3 ) q ( r ) e ( ；) 2 ( b ( p ) + ( p ) ) + g ( j ) 名( p ) ( 3 1 4 ) a 3 ( r ) e ( 岛p 。) + 已( “) + e 3 ( “) ，+ g ( ：) 2 西( p ) 露( p ) + e ( ；) 2 霹1 ( p ) 薯2 ( p ) + c ( ：) 奄( p ) 孝( p ) + e ( ；) 2 ( 肠( p ) + 恐( p ) ) + c ( ；) 氇( p ) ( 3 | 1 5 ) g ( 2 q + e 2 ) + e ( ：) 2 e 1 ( 朋彳5 巧1 + 肘彳1 。；) + g ( 前+ g ( 盼e ；+ g ( ；) 2 ( e lj - ( 2 ) 十g ( 籼p ) 然后，运用引理3 3 证明中一样的迭代技巧即可证明引理3 4 的 结诊 硕士毕业生毕业论文2 0 0 6 年 3 3 定理2 和定理3 的证明 为了证明主要的定理，我们先证明下面两个引理 引理3 5 假设s u pi v o ( x ，t ) 1 4 ，则 q 2 ( o ) s u p l v o ( x ，t ) 1 2 d x l s t s uj 甘1 【u j c 厶。( 。) l v 口( z ，t ) 1 2 d x d t4 - c 厶。，i u ( z ，的1 2 d z d t 证明：首先，我们对( 3 1 ) 中的第二个方程两边对x j 求偏导 记h s = 如，口，有 o t h j4 - ( 如，u 2 ) + “巩，h j 一= 0 ( 3 1 6 ) k l h ( 2 一t ) 2 , d z + k 附啦出 k 学( 却+ 酬邶- v 小聃下h2 ( 棚纠卜出( 3 1 7 ) 上面，我们利用了d i v u = 0 由截断函数妒的构