（基础数学专业论文）法形式及i方法在偏微分方程中的应用.pdf

摘要 在本文中，首先我们将致力于应用i 方法研究紧致无边r i e m a n n i a n 流形上 立方非线性s c h r s d i n g e r 方程的性质，然后用法形式方法探讨无限齐次波管r m 上k l e i n g o r d o n 方程光滑小初值解的整体存在性，其中( m ，夕) 是z o l l 流形，或者 是紧致旋转曲面，最后将结合i 方法和类似于法形式方法的共振分解讨论r 2 上径 向对称初值z a k h a r o v 方程组的有限时间破裂解的l 2 一集中现象 作为本文的大前提，我们将概括全空问中s c h r 6 d i n g e r 方程的解的性质，主要 包括日1 一临界、次临界，l 2 一临界、次临界，解的局部和整体性结果、方法的总结 和归纳，以及有限时间破裂解的三2 集中现象的一些基本的想法和发展过程。 之后，我们将考虑紧致无边r i e m a n n i a n 流形上立方非线l 生s c h r s d i n g e r 方程解 的整体性质，包括： 1 高正则性解随时间的演化速度的估计； 2 用i 一方法考虑低正则性解的整体存在性条件。 接着，我们将用法形式方法证明无限齐次波管r m 上k l e i n - g o r d o n 方程光 滑小初值解的整体存在性，其中( m ，夕) 是z o l l 流形，或者是紧致旋转曲面我们还 将对r 2 m 的情形做一个简单的阐述 最后，我们将结合类似于法形式方法的共振分解和i 方法给出r 2 上径向对称 初值z a k h a r o v 方程组的有限时间破裂解的l 2 一范数集中现象的证明并且简单介 绍r 上解的整体存在性结论。从而体现s c h r s d i n g e r 方程和z a k h a r o v 方程组在性质 上的一些类似之处。 关键词：s c h r s d i n g e r 方程，k l e i n g o r d o n 方程，z a k h a r o v 方程组，法形式方法，i 一方 法，紧致无边r i e m a n n i a n 流形，整体存在性，l 2 范数集中现象 v a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ew i l lm a i n l ys t u d yt h eg l o b a lp r o p e r t i e so fc u b i cn o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n so nt h ec o m p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t h o u tb o u n d a r yb y i - m e t h o d ，t h eg l o b a ls o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rk l e i n g o r d o ne q u a t i o n si ni n f i n i t eh o - m o g e n e o u sw a v e g u i d e s ，r m ，w i t hs m o o t ha n ds m a l li n i t i a ld a t ab yt h en o r m a l f o r mm e t h o d ，w h e r e ( m ，g ) i saz o l lm a n i f o l do rac o m p a c tr e v o l u t i o nh y p e r s u r f a c e ， a n df i n a l l y , c o m b i n i n gi - m e t h o da n dt h er e s o n a n td e c o m p o s i t i o n ，w h i c hi ss i m i l a r t ot h en o r m a lf o r mm e t h o d ，t od e a lw i t ht h el 2 - c o n c e n t r a t i o np h e n o m e n o nf o r z a k h a r o vs y s t e mi nr 2 ，w i t hr a d i a li n i t i a ld a t a ，w h i c ha r eb e l o wt h ee n e r g yn o r m s f i r s to fa l l ，w ew i l lt a l ka b o u tt h el o c a la n dg l o b a lr e s u l t sa n dm e t h o d so f s c h r s d i n g e re q u a t i o n si nt h ew h o l es p a c e s ，m a i n l ya b o u th 1 一c r i t i c a l ，s u b c r i t i c a l a n dl 2 c r i t i c a l ，s u b c r i t i c a lc a s e s ，a l s oa b o u tt h el 2 一c o n c e n t r a t i o np h e n o m e n o n f o rf i n i t et i m eb l o wu ps o l u t i o n st ot h el 2 - c r i t i c a ln o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n s w h i c hw o u l dg i v es o m eb a s i ci d e a so ft h i sp a p e r s e c o n d l y , w ew i l ls t u d yt h ec u b i cn o n l i n e a rs c h s d i n g e re q u a t i o n so nt h ec o m - p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t h o u tb o u n d a r y , m a i n l ya b o u t ： 1 t h ee s t i m a t eo ft h eg r o w t hs p e e do ft h eh i g hs o b o l e vn o r m s ； 2 t h eg l o b a le x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n sw i t ht h ei n i t i a ld a t ab e l o wh 1b yt h e i - m e t h o d t h i r d l y , w ew i l lu s et h en o r m a lf o r mm e t h o dt op r o v et h eg l o b a ls o l u t i o n s f o rn o n l i n e a rk l e i n - g o r d o ne q u a t i o n si ni n f i n i t eh o m o g e n e o u sw a v e g u i d e s ，r m ， w i t hs m o o t ha n ds m a l li n i t i a ld a t a ，w h e r e ( m ，g ) i saz o um a n i f o l do rac o m p a c t r e v o l u t i o nh y p e r s u r f a c e i nt h a tc h a p t e r ，w ew i l ls t a t et h er 2 mc a s eb r i e f l y f i n a l l y ，f o rt h el a s tc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，w ew i l lg i v et h ep r o o ff o rt h el 2 c o n c e n t r a t i o np h e n o m e n o nf o rz a k h a r o vs y s t e mi nr 2 ，w i t hr a d i a li n i t i a ld a t a ， b e l o wt h ee n e r g yn o r m s ，b yc o m b i n i n gt h er e s o n a n td e c o m p o s i t i o n ，w h i c hi sal i t t l e s i m i l a rt ot h en o r m a lf o r mm e t h o d ，w i t ht h ei - m e t h o d ，a n dw ew i l la l s oi n t r o d u c e t h eg l o b a lr e s u l to frc a s eb r i e f l y a l lo ft h e s ew o u l dr e l e a s et h es i m i l a rp r o p e r t i e s v n l l b e t w e e ns c h s d i n g e re q u a t i o n sa n dz a k h a r o vs y s t e m s k e y w o r d s s c h r s d i n g e re q u a t i o n s ，k l e i n - g o r d o ne q u a t i o n s ，z a k h a r o vs y s t e m s ， n o r m a lf o r mm e t h o d ，i - m e t h o d ，c o m p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t h o u tb o u n d a r y , g l o b a le x i s t e n c e ，l 2 - c o n c e n t r a t i o np h e n o m e n o n 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者躲屏层礁 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留并向国家有关部门或机构送交 本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据厍进行检索和传播，司以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 、7 学位论文作者躲袱段翩签名：彳够鬈- 签字日期：w 年歹月日签字日期：j o o 年莎j 影日 致谢 值此论文完成之际，我谨在此向多年来给予我关心和帮助的老师同学、朋友 和家人表示衷心的感谢! 衷心感谢我的导师，方道元教授。是他将我引领进偏微分方程这一奇妙的领 域方老师的严谨、踏实的作风，不仅为我打下了扎实的学术基础，而且在为人处 世上为我树立了很好的榜样。感谢方老师的谆谆教导，感谢方老师在学 - - j 和生活 上对我的关心和帮助，感谢方老师对我的信心和支持。 衷心感谢我的合作导师，n i c o l a sb u r q 教授。感谢他在我在法期间给予我学习 和生活上的帮助。感谢他在流形上s c h r s d i n g e r 方程这一内容上给我的大量指导 和讨论，感谢他给我机会参加各种交流会议，得以向各位出色的数学家请教。 衷心感谢自我进入数学系的第一天开始，教导过我，给予我帮助的每一位老 师。衷心感谢蔡天新，陈豪，陈建国，陈杰诚，戴佳玲，董胜鹤，韩东，何勇，黄兆 镇，贾厚玉，金蒙伟，李秉政，李方，李俊杰，卢涤明，卢兴江，骆亚华，沈一兵，盛 为民，苏中根，孙利民，孙林法，许洪伟，叶懋冬，应坚剐，张彩伢，张希，张振跃 等老师，感谢薛儒英老师这几年来对我科研上的帮助和启迪 衷心感谢t h i e r r yc a z e n a v e ，p a t r i c kg 6 r a r d ，c l a u d yz u i l y 教授及r a m o n aa n - t o n ，m o n i c av i s a n ，l a u r e n tt h o m a n n 等给予我在科研上的交流和指导 衷心感谢中法博士生学院项目，感谢巴黎十一大，及数学系的友好接 待感谢e d u a r d oc e r p a ，m a r i a n n ec h a p o u l y ，v a l e r i el a v i g n e ，v a h a g nn e r s - e s y a n ，c a t h e r i n ep o u p o n ，a s s i as o u a l a h ，m o h a m e d m a d h it e k i t e k 等的许多帮 助。 衷心感谢我的师兄弟妹。韦明俊，张挺，徐江，王成波，李太龙，胡素芬，洪裕 祥，童常青，陈平，方琳，张启迪，吕小俊，葛丽艳，谢剑，章林子，王素梅，韩征 和朱磊，跟他们的讨论和交流使我的学习生活更加丰富多彩，受益匪浅。 衷心感谢我的同学、朋友，感谢他们曾经给予我的关怀和支持，陪伴我走到今 天。他们是陈爱莲，蔡颖，高莉，李芳，李慧芳，李昀，陆莹，沈益，沈圆圆，石宜 双，石瑜，孙佳蕾，谈淑琼，吴聪颖，夏琦，谢玮玮，杨晓蓉，周东君等。因为拥有 这些友谊，让我在困难的时候坚强。 最后，衷心感谢我的父母他们给予我生命，给予我最初的人生教育，给予我 毫无保留的爱他们给予我信任，给予我独立选择的权力，永远在那与我一起承担 选择的结果。感谢我的父亲对我的期望，让我有了对自然科学原始的喜爱，虽然他 已经不在我的身边，但是他带给我的乐观、坚强的人生态度，会陪伴我走过一生 感谢我的母亲在生活上的无微不至，特别是在父亲去世后，支持我继续完成学业 感谢我的父母，感谢他们的管教，感谢他们的自豪 谨以此文献给我最最亲爱的父亲和母亲 钟思佳 公元二零零八年三月于求是园 第一章绪论 在几何、物理中有大量的偏微分方程，女v l a p l a c e 方程，d i r a c 方程，调和映照 方程，y a n g - m i l l s 方程，波动方程，k d v 方程，k l e i n g o r d o n 方程，s c h r s d i n g e r 方 程，n a v i e r s t o k e s 方程组，z a k h a r o v 方程组等几何中研究方程的目的是通过对它 们的研究来寻找具有最优几何性质的对象；而在物理中，人们试图通过对它们的 研究来解释和预测一些物理现象或认识物质运动的本质。这些模型方程的导得往 往利用对称，l a g r a n g i a n ：变分原理，物质运动所服从的规律以及对现实中基本方 程( 组) 通过添加进一步的假设，取极限等方法简化得到。 不同的方程之间还存在某些形式和本质上的内在联系。 例如，对相对论意义下的n + 1 维波动方程击钟让一u = 0 ，其中c 是光速，在 一定的光滑性假设下，做变换u ( t ，z 1 ，x n , z n + 1 ) = e 半u ( ，z 。，z n ) ， 就 成为n 维k l e i n g o r d o n 方程 知一u + 警 ：o 的解，这里质量m 0 ，壳 o 是p l a n c k g 数。如果再做变换，令u = e 竿叫，就可 以得到 i o t w + 朵叫= 嘉砰加 于是当取极限c o o 时，上述方程就收敛于s c h r s d i n g e r 方程了。 又例如，考虑离子声速c 的z a k h a r o v 方程组 ii a u + a u = 仃u ， 【1 吨2 n 一x n = a l u l 2 ， 当c _ 时，它就演化为聚焦型立方非线性s c h r s d i n g e r 方程 i a u + a u = 一l u l 2 1 1 , 这样的例子不胜枚举，具体还可以参见【】等。 另一方面，由于方程之间这些内在的联系，使得一些方程在性质上具有类似 性，从而也导致在研究方法上可以相互学习和借鉴 1 21 1 非线性s c h r o d i n g e r 方程 鉴于上述内容，本文将使用i 方法和法形式方法考虑：s c h r s d i n g e r 方程，k l e i n - g o r d o n 方程以及z a k h a r o v 方程组 1 1 非线性s c h r s d i n g e r 方程 非线性s e h r s d i n g e r 方程( n l s ) 用于描述不同物理背景下的非线性波，比如激 光束在一种折射率对波幅敏感的介质中的传播；水波在理想流体表面的传播； 以及等离子体波的传播。它提供了对这样一个动力学包络的规范描述：一个具 有小波幅的色散关系t e e ( * x 一矾) ( e ；，( 出 自 】) ，而根据j c o l l i a n d e r ，m k e e l ，g s t a f f i l a n i ，h t a k a o k a 和t t a o 在f 卜一 文中的断言，用已有的方法，这个结果可以被改进到丧；当n = 3 时，s 篮警；n 4 时，s - ( n - 2 ) + 型( n 。- 2 ) z + s ( n - 2 ) ，( 这两个结果都出自【】) 在它们的方法中，j 一方 法，共振分解，m o r a w e t z 估计，v i r i e l 恒等式等，被大量地使用 再次，对聚焦型的情况，即肚= - 1 的情形 当8 = 1 时，有例子显示存在一些解会在有限时问破裂，也就是说其极大生命 区间 0 ，t + ) ，t o o ，当t _ t + 时，解i l u ( t ) i h ，一并且伴随着有限时间破裂的 解，它有l 2 范数集中现象即 l i m 卵i 掣 幽s j u p c 渺 ( 加如汗删堋b ， ( 1 1 - 6 ) s 如( ，) i 1 ，而且结果是最优的 6 1 1 非线性s c h r o d i n g e r 方程 值得一提的是，在 】中，他们在一个双线性s t r i c h a r t z 估计( 只。) 的假设下，( 定 义详见第三章定x 3 1 1 ) ，证明了如果( 氏) 对某个s o 成立，那么对8 s o ，是有局 部适定性的并且他们还证明，了对s 2 ，s o = + ，此时( r 。) 成立这个结果和前 面的最优s t r i c h a r t z 估计以及局部存在性理论相吻合了除此之外，他们还验证了 对t 2 ，8 0 = o + ，从而与j b o u r g a i n 在 1 中的结论相一致。在 】中，他们证明了 对妒，8 0 = + ，s 2 x s l ，8 0 = i + 一些类似的结论还可以参见 】，【l ，【】，【】等 由此可见这个假设是合理的 另一方面，由于在m 是无边紧致r i e m a n n i a n 流形的条件下，质量守恒和能量 守恒仍然成立，即 m ( u ) = 0 u 0 乞( m ) = l l u o l l i 。( m ) ， ( 1 1 1 2 ) 以叻2 圭厶i v u ( t , x ) 1 2 d x 十壶厶妒2 如却( u o ) ( 1 1 1 3 ) 因此，当0 s o 1 时呢? 假如我们仅使用简单的迭代，由局部存在性的结论，可以得到一个指数增长 的估计 i i 乱( t ) l l h ，se c l 刳，v t r 是否可以将这个结果进行改进? j b o u r g a i n 曾经在【】中对t 2 这种特殊情况做过估计，他将指数控制改进到了 多项式控制，即 i i u ( 0 1 1 h c l t l 2 ( 卜1 ) + f o r t _ o o ，( 1 1 1 4 ) 并且这个估计对r 2 也是成立的之后这个估计又由g s t a f f i l a n i 针对r 2 的情况改进 到i t l ( 卜1 ) + ( 参见【 】) 。我们将在此基础上，对一般的无边紧致r i e m a n n i a n 流形，在 双线性s t r i c h a r t z 估计( 只。) 的假设下，鉴于j b o u r g a i n 的方法，进行估计，得到多 项式控制，并且覆盖他们的结果。 这一部分可以详见第三章 那么对8 1 的情形有所了解之后，我们便好奇s o s 石1 一，在方程是l 2 临界时，解是整体存在的。在同文中， 他还断言对， 2 ，用一般的j 方法，可以证明； o k 一个小参数。 关于这一存在性问题的研究始于受 】的启发之后，在 】里，作者们解决了 如下形式的k g 和波方程的问题 l ( 口+ m 2 ) 钍= q ( u ，让7 ，t 正) ，( t ，z ，y ) r + r n q ， 缸( o ，z ，y ) = e u o ( x ，可) ，侥珏( o ，z ，y ) = s u l ( x ，箩) ， ( 1 2 。1 6 ) 【训a q = o ， 其中口= 碍一z 一q ，g t p ，n 3 ，2 = la 2 如；，q 表示标 准l 印1 a u c i a n 算子n = 名1 铲a 谚，qc 酞d 表示非空有光滑边界a q 的区域，q 是 m r 曲 毛鲶 吣l 磊 彩八以 l i 乳 u l | 哟彩 忍 口印 8 1 3z a k h a r o v 方程组 一个二次函数，关于是仿射线性的，它可以被写作 q ( u ，u i ，让) = a 严o t u o j o k u + u 七o j o k u + r ( u ，让) ， 其中r 是一个关于u 和u 7 的二次函数这里z o = t ，z n + ，= 协，1 j d 在那篇文 章中，作者们用k g 和波动方程的经典理论解决了高维情况下的这个问题，即用 类似于s k l a i n e r m a n 在 】里的一致性估计和能量估计来证明。由于d i r i c h l e t 边界 条件下，l a p a c i a n 算子没有为零的特征值，他们可以把这个问题归约为r r n 里 的k g 方程口r ，+ 。+ p 2 的一致性估计，这里p 1 我们感兴趣的是低维方程( 1 2 1 5 ) 的整体存在性，而此时，上面的方法是不适 用的。 众所周知地，在低维情况下，不是所有的非线性项都可以对应整体解的。 我们的结论之一是：在z o l l 流形m ( 即所有测地线有相同周期的紧致流形) 上，对 几乎所有的m ，在非线性项为f = 护+ q ( u ，u ，7 ) 时，c 解是整体存在的，其 中让7 = ( 侥，良，巩) 札，u = ( u ，) ，q 是至少是关于u ，u t 的四次式，关于u 是仿射线性 的，初值充分小并且紧支我们利用了z o l l 流形的谱和球面的谱是相似的，以及紧 致流形上的正椭圆自共轭算子的特征函数是几乎正交的这一性质 在z o l l 流形上，我们仅能处理的三次非线性项只有缸3 ，困难来源于这种流形 上一。的谱的多重性。那么自然会问，在一些特殊的流形中，以上结论是否对 比u 3 更一般的非线性项都对呢? 我们的答案是肯定的。对于这一点，可以详见第五 章的内容。 在第五章中，我们将对一维的情况进行详细的阐述，至于二维的情况，可以参 见 】 口i u n t + ：a a u 。n = 一n u , n ：i “| 2 ( 1 3 1 7 ) 【u ( o ，z ) = u o ( z ) ，n ( o ，z ) = 伽( z ) ，吼( o ，z ) = n l ( z ) ， 这里是指r 2 里的l a p l a c i a n 算子，t 正：【o ，t ) r 2 一c ，n ： o ，t ) r 2 一 r ，u o ，佗o ，n l 是初值。我们考虑h a m i l t o n i a n 的情况，即假设存在 3 0 ：r 2 一r 使 浙江大学博士学位论文 9 得m ( o ) = n 1 = 一a w o 。那么对任意的，存在加( t ) 使得m ( t ) = 一a w ( t ) = 一v 。u ( t ) ， g d e v ( t ) = w o ( t ) 。在这种情况下，( 1 3 1 7 ) 可以被改写为 ii u t + u = 礼u ， m 2 - v - 饥一 ( 1 3 1 8 ) l 仇= - v n v 阡， 、7 【u ( o ，z ) = u o ( x ) ，乱( o ，z ) = n o ( x ) ，v ( o ，。) = v o ( x ) 由【】里的介绍，耗散z a k h a r o v 方程组是用来描述等离子体中l a n g m u i r 波的 湍动的函数u 表示缓慢变化的快速振荡电场的包络；函数n 则用来表示( 局部区 域) 离子密度对平均值的偏离。通常取初值u o h 七，n o h o 以及死1 h 卜1 ，这 里k ，f 都是实数。 由【】里的命题1 1 对这个方程组的局部存在性问题的研究可知，在2 维的情 况下，当2 0 ，2 k 一( z + 1 ) o 时，c a u c h y 问题( 1 3 1 7 ) 在初值为( u o ，死o ，n 1 ) h 七h h 卜1 时是局部适定的。由此可见，( k ，z ) 最小取值为( 石1 ，0 ) 另一方面，如果将( 1 3 1 7 ) 中的口替代为口。= c - 2 如，即考虑离子的情形， 那么当c o o 时，方程组( 1 3 1 7 ) 从形式上会简化为非线性s c h r s d i n g e r 方程 i 地+ a u = 一l u l 2 缸， ( 1 3 1 9 ) 而这正好是2 维时三2 临界聚焦型的情况由前面的叙述已知，对l 2 一临界聚 焦型f i 勺s c h r s d i n g e r 方程，如果它的解是有限时间破裂的，那么会有一个l 2 范数的集中现象。在 】， 】，】及 】中，作者们大量研究了当c o 。时， 与c 有关的z a k h a r o v 方程组的解是如何逼近s c h r s d i n g e r 方程的解的，这是否意 味着s c h r s d i n g e r 方程的l 2 范数的集中现象在这里也会发生? l tg l a n g e t a s 和f 。 m e r l e 在【】和 】中，证明了当( 忌，：) = ( 1 ，o ) 时这一现象是会发生的，此时正好是 能量空间 因此，第六章的目的是将这个结果推广到日8 ( r 2 ) ( s 1 ) 空间上( 在径向对称的 条件下) 。由这个结论，还可以得到一个小初值情况下解的整体存在性的结果我 们将要使用的方法是共振分解和j 一方法相结合的方法。 除此之外，对1 维情况下z a k h a r o v 方程组的低正则性整体解的存在性问题，我 们也将做简单的陈述 1 01 3z a k h a r o v 方程组 如下是一个l 维g 可z a k h a r o v 方程组 l i u t + 以u = 凡t 正， 口n = 侥t 佗一允工n = 以。l u l 2 ， ( 1 3 2 0 ) iu ( o ，z ) = u o ( x ) ，n ( o ，z ) = n o ( x ) ，n t ( o ，z ) = n l ( z ) ， 其中u ：【0 ，t ) r _ c ，几：【o ，t ) r r ，u o ，n o ，n l 是初值 关于这个c a u c h y 问题的局部适定性问题，也可以参见【】从文中的结论可以 看到c a u c h y 问题( 1 3 2 0 ) 是局部适定的，只要如下条件被满足： 11 一言 k z 1 ，2 k f + 去0 而且，在那篇文章里，作者们还证明了在所用到的方法的意义下，这个结果是最优 的。在 】中，j h o l m e r 证明了l 维的局部适定性在如下意义下是最优的：存在一 些不满足 1 中条件的k ，z ，使得这个问题是不适定的。对于这一类的结果，也可以 参考 】等。最近，这一类关于局部适定性的问题，又由h p e c h e r 在f1 中针对另一 些范数，作了改进 接着，关于整体适定性的研究，h p e c h e r 做了许多的工作首先，在f 】一 文中，他利用j b o u r g a i n 的高低频分解的方法，证明了对初值( u o ，n o ，n 1 ) h 8 h s _ 1 h ”2 ，杀 s l 时，解的整体适定性然后，在 】中，利用j 一方法，将之改 进到； s 1 接着，在2 0 0 6 年，j c o l l i a n d e r ，j h o l m e r 以及n t z i r a k i s 在1 中 证明了方程组( 1 3 2 0 ) 在( 惫，z ) = ( 0 ，一石1 ) 时是整体适定的。也就是说在上述指标意 义下，这个结果已经是最优了。与h p e c h e r 不同的是，他们利用的并不是能量，而 是让的l 2 _ 范数守恒同时，他们还得到了一个关于解的指数增长的控制，即 i i n ( t ) l l m ；+ i o t n ( t ) l l h j g e x p ( c i 圳咖嵫) m a x l l n 。峙j - t - 慨峙训让。嵫) ( 1 3 2 1 ) 而如果我们借用共振分解和，一方法相结合的方法，可以将h p e c h e r 的结果改 进到i s 1 。这个结论虽然没有j c o l l i a n d e r ，j h o l m e r ，和n t z i r a k i s 在 】中 的好，但是从另一个侧面对解有了更多的了解，而且可以得到关于解的一个多项 式控制， u ( t ) l l 。+ i i n ( t ) l l 。一，+ i i a i 1mi i h 。一- c ( 1 十) 萼等+ ( 1 3 2 2 ) 浙江大学博士学位论文 1 4 本文的结构 在第二章中，我们将对全空间中s c h r s d i n g e r 方程的相关结论有一个更深入和 全面的阐述。第三章主要估计无边紧致r i e m a n n i a n 流形上，立方s c h r 6 d i n g e r 方程 在双线性s t r i c h a r t z 估计( 只。) 的假设下，高正则性整体解的演化速度。第四章主要 讨论低正则性解的整体存在性第五章是关于无限齐次波导管中k l e i n - g o r d o n 方 程光滑解的整体存在性的研究。第六章探讨了2 维z a k h a r o v 方程组的有限时间破裂 解的三2 一范数集中现象和1 维时解的整体存在性的问题。 第二章全空间上非线性s c h r s d i n g e r 方程局部和整体性质的 总结心；口 2 1引言 我们将要考虑如下非线性项为多项式形式 s c h r s d i n g e r 方程： 礁u + a u 2 弘 乱 ( 2 1 1 ) iu ( o ) = 札o ( z ) h 8 ( 酞n ) ， p “7 其中p r ，l a p l a c e 算子= 磷。+ + 磋。 在上述条件下，这个方程有三个守恒量：质量，能量( h a m i l t o n i a n ) 和动量： m ( u ) = l u ( t ) 1 2 d x = i u o l 2 d x ， ( 2 1 2 ) ，r n，r n 脚m ) = 三z 。i v u 1 2 d x + 盎上。j a + 2 d x = e ( 吼 ( 2 1 3 ) i m ( v u ( t ) f t ( t ) d x ) = i m ( v u o f i o d x ) ( 2 1 4 ) ，r n，r n 除以上三个守恒律以外，方程( 2 1 1 ) 还有四个不变性质，即如果u 是方 程( 2 1 1 ) 的解，那么做以下交换后的函数仍然是方程的解： 时空平移变换：珏幻，知= u ( t + t o ，z + z o ) ，t o r ，z o r n ： 相位变换：u 1 = u ( t ，z ) e 竹，7 r ； s c a l i n g 变换：u a2 趸1u l 殍t ，i ) ，入r o ) ； g a l i l e a n 变换：乱口= u ( t ，z 一臃) 鲁( 霉一g t ) ，p 舻。 可以看到，s = 0 和s = 1 作为分别对应质量和能量的指标，有着很重要的研究 意义在接下来的内容中，我们将回顾这两个指标对应的次临界和临界方程的结 论和主要研究方法 本章的结构为：在第2 节，我们将阐述h 1 的情况，在第3 节主要讨论己2 的情况 1 4 2 2h 1 的情况 2 2h 1 的情况 我们之所以首先提及h a 的情况，是因为在对l 2 情形的研究中，很多的想法和 工具都来源于此 如下是- - f - h 1 _ 临界的非线性s c h r 6 d