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江苏大学硕士学位论文 摘要 变差和维数是刻画曲面粗糙程度的重要参数。本文主要讨论了网格上自反射 及广义的自反射分形插值曲面( 即由镜面反射构造出的分形插值曲面) 的变差与 计盒维数。由于分形曲面插值函数是二元连续函数，所以我们研究了二元连续函 数的振幅与变差的性质。对于二元连续分形插值函数( 它的图即为分形插值曲面) ， 给出了其变差的估计，并根据连续函数的变差与其图像计盒维数之间的关系，得 出了这类自反射分形插值曲面的计盒维数的准确值。通常在文献中考虑的是等距 插值，即剖分网格横向与纵向都是等距的情况，而实际应用中不等距插值更具一 般性。在第五章中，作者在此基础上推广了这一方法，考虑了插值节点对矩形区 域是任意分割的情况，给出了由此得到的广义自反射分形插值曲面存在性、唯一 性和连续性的证明。另外，本章还研究这类分形插值曲面的变差，并利用变差的 方法得到这类分形插值曲面的计盒维数。 第一章绪论中我们简单回顾了分形几何的产生、发展，并概括了本课题的研 究现状和本文研究的主要内容。 第二章我们主要讨论了分形的基本理论与基础知识，包括几种常见的维 数，迭代函数系和分形插值理论。 第三章我们主要研究分形插值函数的变差及其性质和它与计盒维数之间的关 系。 第四章我们利用变差的性质研究了自反射分形插值曲面的计盒维数。 第五章我们研究了广义的自反射分形插值曲面的构造、变差及其计盒维数。 关键词：二元连续函数，迭代函数系，不动点，不变集，图，变差，自反射分形 插值函数，计盒维数，自反射分形插值曲面，广义自反射分形插值曲面 江苏大学硕士学位论文 a bs t r a c t v a r i a t i o na n dd i m e n s i o na r et h ev e r yi m p o r t a n tf a c t o r st ot h es u r f a c e r o u g h n e s s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h es e l f - r e f l e c t i n ga n dt h eg e n e r a l i z e d s e l f - r e f l e c t i n gf r a c t a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c eo nt h er e c t a n g l ea r ed i s c u s s e d t h ef r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o ni sab i v a r i a t ec o n t i n u o u sf u n c t i o n ，s ot h e o s c i l l a t i o na n dv a r i a t i o na n dt h e i rp r o p e r t i e so ft h eb i v a r i a t ec o n t i n u o u s f u n c t i o na r es t u d i e d f o rak i n do fb i v a r i a t ef r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n w h o s eg r a p hi st h ef r a c t a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c e ，t h ev a l u eo fi t sv a r i a t i o ni s e s t i m a t e d b yd e d u c i n gt h er e l a t i o nb e t w e e nt h em i n k o w s k id i m e n s i o no f t h eg r a p ho fc o n t i n u o u sf u n c t i o na n di t sv a r i a t i o n ，t h ee x a c tv a l u eo ft h e m i n k o w s k id i m e n s i o no ft h ef r a c t a l i n t e r p o l a t i o ns u r f a c e i so b t a i n e d e q u a l - i n t e r v a ls e c t i o no ft h er e c t a n g l ei su s u a l l yd i s c u s s e d ，b u ta c t u a l l y i n e q u a l - i n t e r v a l s e c t i o ni sr a t h e rc o m m a n i n c h a p t e r5 ，t h e a u t h o r g e n e r a l i z e dt h i sm e t h o db a s e do nt h ec o n d i t i o no fe q u a l i n t e r v a ls e c t i o n a n dai t e r a t e df u n c t i o ns y s t e ma n daf r a c t a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c ec a nb e c o n s t r u c t e do nr 3 b yt h er e f l e c t i n gm a p p i n g s t h e nt h ea u t h o rg i v et h e p r o o fo fe x i s t e n c e 、u n i q u ep r o p o s i t i o na n dc o n t i n u i t yo ft h i sg e n e r a l i z e d s e l f - r e f l e c t i n gf r a c t a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c e f u r t h e r m o r eb a s e do nt h es t u d y o fi t sv a r i a t i o n ，t h ee x a c tv a l u eo ft h em i n k o w s k id i m e n s i o no ft h e g e n e r a l i z e ds e l f - r e f l e c t i n gf r a c t a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c ei so b t a i n e d i n c h a p t e r1 ，w eb r i e f l yr e v i e w t h ef r a c t a ln a i s s a n c e 、t h e d e v e l o p m e n to ff r a c t a lg e o m e t r ya n dt h ec u r r e n ts i t u a t i o no ft h i sp r o j e c t f u r t h e r m o r et h em a j o rc o n t e n to ft h ep r o j e c ti ss u m m a r i z e d i nc h a p t e r2 ，w em a i n l ys t u d yt h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo ff r a c t a l g e o m e t r yi n c l u d i n gt w od e f i n i t i o n so fd i m e n s i o n ，i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ( i f s ) a n dt h et h e o r yo ff r a c t a li n t e r p o l a t i o n 江苏大学硕士学位论文 i n c h a p t e r3 ，w es t u d y t h eo s c i l l a t i o na n dv a r i a t i o na n dt h e i r p r o p e r t i e so ft h ec o n t i n u o u sf u n c t i o n i n c h a p t e r4a n dc h a p t e r5 ，w ed i s c u s s t h e s e l f - r e f l e c t i n g a n d g e n e r a l i z e ds e l f - r e f l e c t i n g f r a c t a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c eo nt h er e c t a n g l e t h e i rv a r i a t i o na n dt h ep r o p e r t i e sa r es t u d i e da n dt h ee x a c tv a l u eo ft h e m i n k o w s k id i m e n s i o no ft h e mi s ( m t a i n e d k e y w o r d s ：b i v a r i a t ec o n t i n u o u sf u n c t i o n ；i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ( i f s ) ； f i x e dp o i n t ；i n v a r i a n ts e t ；g r a p h ；v a r i a t i o n ；s e l f - r e f l e c t i n gf r a c t a l i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n ；m i n k o w s md i m e n s i o n ；s e l f - r e f l e c t i n g f r a c t a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c e ；g e n e r a l i z e ds e l f - r e f l e c t i n gf r a c t a l i n t e r p o l a t i o ns u r f a c e 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的 规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权江苏大学可以 将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文 保密口，在年解密后适用本授权书 本学位论文属于， 不保密酣 学位论文作者签名：气乔- - 乳4 - 。、 冽年l x 月lbe t 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果除文中已注明引用的 内容以外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 己在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果 由本人承担 学位论文作者签名： 日期： 猢年i 月lb 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1分形理论的产生与发展 分形几何萌芽于1 9 世纪未2 0 世纪初，正式成为一门独立的学科则是在2 0 世 纪7 0 、8 0 年代。其研究对象为自然界和社会活动中广为存在的复杂无序而又具有 某种规律的系统。分形理论为研究具有自相似性特性的物体和不规则现象提供了 新的方法，使人们对于诸如布朗( b r o w n ) 运动，湍流( t u r b u l e n c e ) 等大自然中 的众多复杂现象有了更加深刻地认识，并在物理学、生物学、动力学、化学等多 个学科中被广泛应用，作为当前三大前沿学科之一的分形理论被誉为大自然的几 何学，近年来，不论是在理论上还是应用上都取得了迅猛的发展。 客观自然界中的许多事物具有自相似的“层次”结构在理想情况下，具有 无穷层次，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现 象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量力里长 城，嫌太短，用尺来测量分子长度，又嫌太长，从而产生了特征长度，还有的事 物没有特征长度，就必须同时考虑从小到大的许许多多的尺度( 或称为标度) ，这 就是“标度性 问题。 在二十世纪七十年代，美籍法裔数学家曼德尔勃罗特n 2 3 ( b b m a n d e l b r o t ) 提出了英国的海岸线有多长? 这个问题及时依赖于测量时所用的尺度。数学家科 赫( k o c h ) 从一个正方形的“岛出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线 变成无限曲线，其长度也不断的增加，并趋向无穷大。以后可以看到，分形维数 才是“科赫岛 海岸线的确定的特征量，即海岸线的分形维数均介于1 到2 之间这 些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系。譬如：银河系中的若断若 续的星体分布就是具有分形维数的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的流 体模型、1 8 2 7 年发现的布朗( r b r o w n ) 运动的运动轨迹的复杂性、化学中酶的构 造、生物学中细胞的生长以及工程技术中的信号处理等等。传统的经典几何学难 以描述其复杂性，伴随着多个学科类似问题的出现及研究，这就促使数学家进一 江苏大学硕士学位论文 步的研究，因而就诞生了一门新的学科分形几何学。 关于分形几何学的产生，一般认为：1 9 7 5 年，数学家曼德尔勃罗特 ( b b m a n d e l b r o t ) 的名著分形：形式，机遇和维数( f r a c t y a l ：f o r m ，c h a n c e a n dd i m e n s i o n ) 的问世标志着一个崭新的数学分支分形几何学由此诞生。“分 形( f r a c t a l ) 一词，也是曼德尔勃罗特提出来的，它源于拉丁语“f r a c t u s ，含 有“不规则 和“破碎 的意义。f a l c o n e r ，4 i 、e d g a r 6 1 对分形都给出粗略的定 义。实际上，分形的思想以及分形集在数学上的存在已逾百年。c a n t o r ， w e i e r s t r a s s ，p e a n o ，h a u d o r f f ，k o c h 等人的杰出工作为以后分形概念和分形 理论的产生奠定了基础。分形几何问世后，立刻被广泛应用于自然科学和社会科 学的众多领域。因此，分形被认为是二十世纪数学科学的最重要发现之一。 1 2 本课题研究现状及本文研究的主要内容 分形插值是由美国数学家b a r n s l e y 口3 于1 9 8 6 年首先提出。对于给定的插值节 点，通过在r 2 的子集上构造压缩的迭代函数系( i f s ) ，可以得到一个连续的插值 函数，它的图像是i f s 的不变集隅9 1 0 1 。通常这样的插值函数是处处不可微的，而 且它的图像的计盒维数是大于1 小于2 的非整数。因此，它被称为分形插值函数 ( f i f ) 。 针对分形插值曲线的生成和性质，许多文献已经作了详细的研究。但是，同 时在自然界中大量存在着一类曲面，称之为分形曲面，如山脉，地形，岩石，材 料断口等都是具体的实例。通过分形曲面的研究可以拟合出实际应用中景物表面 形态的逼真效果。在实际工作中，往往已知分形曲面上的部分信息( 例如，材料断 口的某几条迹线、断面上的某些特征) ，需要通过这部分信息和特征，拟合出分形 曲面的整体形态，从而对分形体的整体进行研究。这就需要用到分形插值曲面的理 论和方法。 介绍分形曲面的研究方法和分形曲面的插值、构造的文献近年来也有许多， 但是由于多元问题所特有的复杂性，其研究进展的取得要比曲线的情形困难。通 过迭代函数系统构造分形插值曲面是p r m a s s o p u s t n 妇( 1 9 9 0 ) 在数学分析和应 用杂志的题为“f r a c t a ls u r f a c e s 的文章中首先引进的。p r m a s s o p u s t n l 1 2 1 考虑了在三角形区域上引入二元迭代函数系来构造分形曲面( f i s ) 问题。他在三 2 江苏大学硕士学位论文 角形区域边界插值节点共面的情况下，构造出了分形插值曲面。g e r o n i m o 和 h a r d i n n 3 1 研究了多边形( 包括三角形) 区域上任意插值节点的自仿射分形插值曲 面。随后谢和平，孙洪泉等，l d a l l a 等人对矩形区域上的分形插值曲面的建立 做了一定的工作。对于矩形区域上的插值节点，谢和平、孙洪泉等人n 蚰给出了f i s 的数学模型，并且对于插值节点等距的情况给出了维数公式。d a l l a 鄙考察了矩形 区域边界插值节点共线的情况，证明了i f s 的不变集是一连续的插值函数。王宏勇 等人对于分形曲面的也进行了其他方式构造，并研究了此类曲面的维数及其性质。 边界插值节点共线的条件保证了分形插值曲面的连续性，但这一条件过于严格， 明显限制了分形插值曲面的应用。冯志刚n 阳讨论了一般边界条件下的分形插值曲 面连续性问题，给出了判断条件。对于等距插值节点，r o b e rm a l y s z n 7 1 利用镜面 反射构造了有相同压缩因子的i f s ，给出了构造f i s 新的方法，这种方法不要求插值 节点在边界上共线，但仍能保证分形插值曲面的连续性。 变差n 踟和维数n 9 2 2 1 是刻画曲线和曲面粗糙程度的重要参数。d u b u c 、t r i c o t 及q u i n i o u 阻3 圳等介绍并研究了连续函数的变差问题。利用变差的性质可以计算连 续函数的图的计盒维数，文志英乜2 1 给出了连续函数图像的计盒维数的计算公式。 王磊、冯志刚蜘由连续函数6 一变差的性质入手讨论了分形插值函数6 一变差的性 质，并估计它的阶，用它来重新证明了分形插值曲线盒维数定理。由此得到了分 形插值曲线盒维数定理另一种新的证明方法，这样就提出了计算和证明分形插值 函数图像维数的一种新的思路，对于研究分形插值曲面的维数也有借鉴意义。本 文在第四章中研究由镜面反射构造出的自反射分形插值曲面的变差，并利用变差 与计盒维数之间的关系得到此类分形插值曲面的计盒维数。通常在文献中考虑的 是等距插值，即剖分网格d 横向与纵向都是等距的情况，而实际应用中不等距插 值更具一般性。在第五章中，作者在此基础上推广了这一方法，考虑了插值节点 对矩形区域d 是任意分割的情况，给出了由此得到的广义自反射分形插值曲面的 存在性、唯一性和连续性的证明。另外，本章还研究这类分形插值曲面的变差， 并利用变差的方法得到这类分形插值曲面的计盒维数。 第四、五两章是本文的主要研究成果。结束语中作者对本文的主要工作作了 简要总结，并展望了将来有待进一步深入的课题和方向。 3 江苏大学硕士学位论文 第二章分形基本理论与基础知识 维数是研究几何图形的重要特征量。正如用整数维来刻画欧氏几何中的对象 一样，人们用分形维数来刻画分形集的复杂性。维数乜8 矧是分形的基本理论，同时 也是粗糙轮廓信号设计、评定中十分重要的参数，维数的定义方法很多，如： h a u s d o r f f 维数、计盒维数、自相似维数、功率谱维数等，每种方法都有一定的应 用场合。本章主要介绍几种常见的分形维数，同时也对分形插值理论做初步的阐 述。 2 1 维数n 喇 2 1 1h a u s d o r f f 维数2 3 1 h a u s d o r f f 测度是分形几何中最基本的概念之一。h a u s d o r f f 测度将传统几何 ( 例如：e u c li d 几何、r i e m a n n 几何) 中规则几何形体的长度、面积和体积的概 念，以及整数维空间中l e b e s q u e 测度的概念和计算方法推广到非整数维空间中。 首先回顾一下定义。 如果 u i ) 为可数( 或有限) 个直径不超过万的集构成的覆盖f 的集类，即若 fc u u ，且对每一个f 都有o 0 ，定义 rm、 h ；( f ) = i n f t 艺1 ，1 5 ：妙， 为f 的万一覆盖 。 ( 2 1 1 ) li = l j 当万减小时，式( 2 1 1 ) 中能覆盖，的集类是减少的，从而下确界日；( f ) 随之 增加，且当万一0 时趋于一个极限( 可能为有限，也可能为无穷) ，记 日。伊) = 錾恐日；( f ) 。 ( 2 1 2 ) 、7 占枷 对尺”中的任何子集f 这个极限都存在( 极限值可以是0 或) ，我们称日5 ( f ) 为f 的s 一维h a u s d o r f f 测度。 h a u s d o r f f 测度推广了长度、面积和体积等类似概念。f a l c o n e r 乜一1 证明足一中 4 江苏大学硕士学位论文 任何l e b e s g u e 可测集的n 维h a u s d o r f f 测度与n 维l e b e s g u e 测度( 即通常的n 维体积) 相差一个常数倍。更精确地，若，是n 维e u c l i d 空间中的b o r e l 子集， 则 r 俨) = c n h ”伊) ， ( 2 1 3 ) 这罩常数c 。= h a ( 2 ”f ( 圭，z + 1 ) ) ，即直径为1 的n 维球的体积。类似地，对于尺” 中“好的 低维子集，h o ( f ) 是f 中点的个数，h 1 伊) 给出了光滑曲线f 的长度， 若f 为光滑曲面，则日2 伊) = ；x 4a r e a ( f ) ，而h3 伊) = x v o l ( f ) 。 根据h a u s d o r f f 测度的定义可知，对于任意给定的集合e 和0 万 1 ，日；口) 是s 的减函数，从而h a u s d o r f f 测度日。但) t g , 黾s 的减函数。进一步证明可以得到 结论乜1 ：若ecr ”，则存在唯一的一个实数岛【0 ，n 】，使得 邶，= 譬嚣争 ， 图2 1 集e 的日5 俾) x c s 的图。l t a u s d o r f fg 馓d i m 但) 是使得日8 但) 从o 。“跳跃”到0 发生的s 的数值。 由此可知，日5 但) 关于s 的图( 图2 1 ) 表明，存在s 的一个临界点使得胃。 ) 从0 0 “跳跃”到0 。这一临界值称为e 的h a u s d o r f f 维数，记为d i m 日但) 。精确地 d i m h 但) = i n f s ：日5 但) = 田= s u p s ：日3 俾) = 畸。 ( 2 1 5 ) 当s = d i m e 时，即当j 取e 的h a u s d o r f f 维数时，e 的h a u s d o r f f i 贝! i 度h5 但) 可以为零或者无穷或者满足： 0 日5 ( 彤 0 0 ， ( 2 1 6 ) 5 江苏大学硕士学位论文 满足不等式( 2 1 6 ) 的集合e 称为s 一集。 h a u s d o r f f 维数是一个严格的数学概念，它在分形理论的建立和推导过程中起 着十分重要的作用。然而，对于具体的分形结构来说，要确定其h a u s d o r f f 维数却 非常艰难，即使是一些经典的规则分形结构，对于其h a u s d o r f f 维数的计算至今人 们仍然无能为力。因此，在实际应用中人们很少讨论其h a u s d o r f f 维数。为此人们 又引进了计盒维数的概念，人们通常说的分形维数( f r a c t a ld i m e n s i o n ) 就是指的 这一维数。 2 1 2 计盒维数 计盒维数( b o x c o u n t i n gd i m e n s i o n ) 或称盒维数( b o xd i m e n s i o n ) 是应用 最广泛的维数之一，它的普遍应用主要是由于这种维数的计算及经验估计相对容 易一些。这一维数的研究可以追溯n - ：- 十世纪三十年代，并且对它还有许多其它 的称呼：m i n k o w s k id i m e n s i o n 、k o l m o g o r o v 熵、熵维数、容度维数、度量维数、 对数维数和信息维数等等。 定义2 1 1 嘲 设f 是r ”上任意非空有界子集，占伊) 是直径最大为万，可 以覆盖f 的集合的最少个数，则f 的下、上计盒维数分别定义为： 一d i m b f = l 洲i r a 粤竽，( 2 1 1 3 1 0 0 ) j _ o g d i m s f ：l i ml o g n s ( f ) 。 ( 2 1 1 4 ) 占_ o l 0 9 6 如果这两个值相等，则称这个公共值为f 的计盒维数或盒维数，记为： d i m b f = l 洲i m 等乎。 ( 2 1 1 5 ) 通常人们所说的分形维数就是指计盒维数。从定义可知，对于一系列码尺万， 只要确定出相应的盒子数占旷) ，就可以通过公式( 2 1 1 3 ) 一( 2 1 1 5 ) 计算出集合 f 的上、下计盒维数和计盒维数。然而，如何来确定上面定义中的盒子数占伊) ， 这仍然是一个难以解决的问题。为此，人们给出了下面的等价定义。 等价定义嘲尺“上任意非空有界子集f 的下、上计盒维数以及计盒维数分别 由公式( 2 1 1 3 ) 一( 2 1 1 5 ) 给出，其中占( f ) 是下列五个数中的任意一个： 6 江苏大学硕士学位论文 ( i ) 覆盖f 的直径为万的集合的最少个数； ( i i )覆盖f 的半径为万的闭球的最少个数； ( i i i )覆盖f 的边长为万立方体的最少个数； ( i v )中心在f 上半径为万的不交球的最多个数； ( v ) 与f 相交的万一网立方体个数。( 万一网立方体是形如 【万，( + 1 ) 0 9 “，1 2 j ，( + 1 ) 回x m 8 ，( + 1 ) 万) 的立方体，这里m ，是 整数) 2 1 3 函数图像的维数 i 司时具有理论和实际重要性的许多令人感兴趣的分形是以函数图像形式出现 的。确实，当许多现象被绘制成时间的函数时，就显示了分形的特性。相应的例 子包括大气压强、容器中液体的水平高度、股票市场的价格等，至少当记录的数 据跨越较长的时间间隔时便是如此。 定义2 1 2 已知连续函数厂：【口，b 卜尺，则平面尺2 上的子集 g r a p h ( f ) ： ( x , 厂( x ) ) l 口x 6 ( 2 1 2 1 ) 称为函数，的图像。 g r a p h ( f ) 是尺2 上的一条连续曲线，它是一个闭集。不少函数图像上下波动比 较剧烈，呈现出分形的特征，其中最著名的例子是w e i e r s t r a s s 函数： w ( x ) = y x ”2 ps i n ( a ”x 1 ， ( 2 1 2 2 ) 其中1 _ l 。现引入记号巧【而，屯】 表示厂在区间【_ ，恐】上的振幅，即 引而，恐】- 辈，i 厂( x ) 一厂( x ”) | o ( 2 1 2 3 ) 毒，并e n ，吃j 7 江苏大学硕士学位论文 引理2 1 1 设厂：【o ，1 】jr 连续，又设o 万 1 ，m 是大于或等于万一的最小整数， 用虬表示万坐标网正方形与g 唧l z ( ) 相交的正方形个数，则有 m - 1m l 8 - 1 z r f i 8 ，( i + 1 ) 8 1 ，函数就是常数； 如果口= 1 ，厂被称为l i p s c h i t z 函数； 如果口 1 ，称这个l i p s c h i t z 函数，具有压缩因子c 。 3 迭代函数系 一个迭代函数系统( 简记为i f s ) 是在一个度量空间( x ，p ) 上有限个连续映射 ：xj x 的集合，其中p 是x 中元素的距离。常被更方便的记i f s 为 x ；c o 。，哆，纨) ，或者更简单的 x ；q 一 。 在珂g ) 上定义一个映射w ：爿( 石) 寸7 - ( 石) 为： r ( e ) = u 俾) ，e 咒( x ) 。 n = 1 w 婵) 是由集合的并组成的，称堤集映射。w 体) 有时候被称为x 上的分形空间， 注意并不是所有x 的元素都是分形。如果蛾是压缩的且相应的压缩因子是 0 1 ( 嚣= 1 2 ) ，那么i f s 被称为双曲的且映射形本身也是压缩的，压缩因子 是s = m a x $ l ，s 2 ，知 。我们称厂七是厂的k 重复合厂。f0 , 0 , 0 厂。 9 江苏大学硕士学位论文 一个双曲的i f s 的唯一的吸引子彳是满足下面条件的唯一的集合： ；i i l l 。仁o ) = 彳。 对于任何集合e o ，吸引子表示e o 在形的连续作用下得到彳，彳也是唯一的h ) 中对不变的集合，也即( 确= 彳。因此从这个意义上我们称彳是i f s 的不变 集。一般来说，i f s 的吸引子是分形。 2 2 2 自相似集和自仿射集 ( 1 ) 自相似集 给定映射族墨，s 2 ，s k ：r “一r “，满足下式 l s ( x ) 一s ( y ) i = q i x - y i ，( 工，y r “) ， ( 2 2 6 ) 其中0 q 1 ( c i 称为s j 的压缩比) 。于是每个墨把r “的子集变换成几何相似集。 在这样的相似变换族之下的不变集f 称为( 严格) 自相似集，它是一些与总体相 似的较小的相似部分的并。 定理2 2 1 对于映射族s l ，s 2 ，s 。：r “_ r “，c i 为s 的压缩比。若s i 满足开 集条件，即存在非空有界开集y 使得对于不交的并，有u s ，) ev ，且对于此映 ，= i 射族的不变集f ，它满足f = u s 妒) ，则d i m h 妒) = d i m b 伊) = s ，其中j 由 l = f c = 1 给出。证明见参考文献口2 引。 ( 2 ) 自仿射集 自仿射集组成一类重要的集类，它包括自相似集作为它的特殊情形。 在尺1 上的仿射变换( a f f i n et r a n s f o r m a t i o n ) 是形如s ( x ) = a x + b 的变换， 其中口和b 是常数，口是压缩因子，d 是平移因子。 在尺2 上的变换缈：尺2 斗r 2 形式为：国( 而，艺) = ( 嘶+ 魄- i - e ，吼+ 出2 + 厂) ，被 称为二维仿射变换。其中a , b ，c ，d ，e 和厂是实数，通常也写为如下形式： l o 江苏大学硕士学位论文 彩c x ，= 国( 兰 = ( ：三 ( 羔 + ( ； = 彳x + ， ( 2 2 7 ) 其中a 是2 x 2 矩阵，是列向量。确定相对于原点的线性变换有：比例变换，旋转 变换，反射变换以及位错变换。 一般地，仿射变换s ：r “一r “是具有下面形式的映射： s ( o = z + 6 ， ( 2 2 8 ) 其中z 是r “上的线性变换( 可以表示成一个刀刀矩阵) ，而b 是r “中的一个向量。 于是仿射变换是平移、旋转、伸缩，可能还有反射的组合。特别地，s 把球映射成 椭球，把正方形映射成平行四边形等。与相似映射不一样，仿射映射在不同方向 上有不同的伸缩比。如果s 。，s ：，s 研是r “上的仿射压缩映射，则由定理2 3 1 保 证的s 的唯一的紧不变集f 称为自仿射集。c a n t o r 三分集、s i e r p i n s k i 垫片和 k o c h 曲线都是由仿射变换构成的迭代函数系的吸引子。 2 。3分形插值理论 2 3 1 分形插值曲线 分形插值函数首先由b a r n s l e y 口1 给出，它为数据拟合提供了一个新的途径， 具有很强的灵活性，只要适当的调整它的参数值，所生成的曲线的维数就可以是 介于1 到2 之间的任意值。为此分形插值曲线不仅可以用来拟和光滑的曲线，而 且更是在不光滑曲线的拟合中显示出其独特的优越性。在选取不同的尺度的情况 下，我们还可以对于插值误差进行控制侧。分形插值与传统的函数插值既有相同 点也有不同点：相同点在于都需要根据一组给定的插值点( 采样点) 通过一定的 规则构造插值函数；不同点在于传统方法在整个区间内构造出一个函数或一个分 段函数，而分形插值在整个区间内构造出一个i f s ，即从函数空间内的任一初始点 利用i f s 进行迭代，其吸引子为通过这组插值点的函数点图，该图由i f s 而不是 通常的一个解析函数来确定。 一 一般地，下述仿射变换可以作为分形插值需要构造的i f s ： 给定闭区间i = 【口，b 】，令口= x o 而 x n = 6 是，的一个分划，其中n 2 。 江苏大学硕士学位论文 令y o ，y l 一，y u 是任意的一组实数，k = i x r 。 记= 【。，薯】，i = l 2 ，a 令厶是，j t 的一个压缩同胚映射，满足： 厶( 而) = 而一。，厶( x n ) = x j ， ( 2 3 1 ) 并且对某个0 t 1 ，有： i 厶( ) 一厶( 1 1 2 ) i t i “，一 ：j ，v u ，h ：，。 ( 2 3 2 ) 令曩是kjr 的连续函数，满足条件： e ( ，) = 只一。，f ( h ，肌) = 乃， ( 2 3 3 ) 并且对某个0 仍1 ，有： f ( 甜，m ) 一f ( ”，v 2 ) i - q ，l h - v 2 i ， v u ，屹尺， ( 2 3 4 ) 定义映射q ：kj k 哆蝌之鼢i = l 2 , - - , n , 则 k ：q ，i = 9 2 ，n ) 构成一个迭代函数系。 定理2 3 1 存在i 上的连续函数，使得厂的函数图像 g = 聊办( ) = ( x ，厂( x ) ) 睢，) 是迭代函数系 k ：c o ，f = 1 2 ，n ) 的不变集，即g = u 皑( g ) ，并且 i = l 厂( 一) = 以，i = l 2 ，n 。 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 我们称这样的，是对应于 k ：钐，i = 1 ，2 ，n 的分形插值函数( f r a c t a l i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n ，简称f i f ) 。厂的函数图像是一条分形插值曲线。 用h ( k ) 表示由k 表示的非空子集组成的集合，其中k = ix r 。 定理2 3 2 厂是对应于迭代函数系 k ：够，江1 ，2 ，n 的分形插值函数， g = g r a p h ( f ) ，则对于任意的a h ( k ) ，有： ! i m h ( c o ”( 彳) ，g ) = o ， 从而分形插值函数是唯一的。 江苏大学硕士学位论文 特别当厶( x ) 和只( x , y ) 都是线性函数时，( 2 2 7 ) 可以写成如下的形式： q ( ；) = ( 三呈) ( ； + ( ；) ，z = 1 2 ，。 c 2 3 7 ， 这时候有厶( x ) = 哆x + e ；，f ( x ，y ) = c ，x + d ，y + f i ，由条件( 2 2 2 ) 和( 2 。2 4 ) 可知： o l a , l 1 且 ( t ，m ) l ，i = o ，1 ，2 ，n ) 不共线， ( 2 3 1 0 ) 那么对应的自仿射分形插值函数图像的计盒维数j 由下式确定： 一+ ( 1