（基础数学专业论文）曲面的clifford定理与零维行列式子概型的cayleybacharach性质.pdf

c z e r o d l j 扣 华东师范大学学位论文原创性声明y 18 4 7 12 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1i i i i l i i i i i i l l1 1 1 1 0 11 l i 郑重声明：本人呈交的学位论文曲面的c l i f f o r d 定理与零维行列式子概型的 a y l e y b a c h a r a c h 性质，是在华东师范大学攻读硕士成z ( 请勾选) 学位期间，在导 r f j 的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 7 本，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 日期：2 口9 年占月7 - 日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 曲面的c l i f f o r d 定理与零维行列式子概型的c a y l e y - a c h a r a c h 性质系本人在 华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完成的硕士博芷( 请勾选) 学位论文，本论文 的研究成果归华东师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学 位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印 刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学 校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标 题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( 、) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名本人签名 亏】必 z 口，年占月2日 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范人学研究生中请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适川 上述授权) 。 孙浩博士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 陈猛教授复旦大学 主席 陈志杰教授华东师范大学 刘治国教授华东师范大学 芮和兵教授华东师范大学 丘成栋教授伊利诺伊大学芝加哥分校 摘要 摘要 b r i l l - n o e t h e r 理论是研究代数曲线上的特殊除子或线性系的经典理论，c l i f f o r d 定理 是这个理论的第一步( 见 3 1 ) 本文的主要目的是想推广代数曲线上的c l i 肋r d 定理到光 滑代数曲面s 上 在代数曲面的研究中，一个基本而重要的问题是研究伴随线性系j + lj 初略 地讲，是研究这个线性系在l 的正性下的行为当l 0 时，我们有著名的r e i d e r 方法 来研究这个问题( 见【8 1 】) 当l = 0 时，典范线性系已经被b e a u v i u e 系统的研究过( 见 f l l l ) 当l 0 时，由r i e m a n n - r o c h 定理，我们很容易得到： 定理设x 为亏格g 的光滑射影曲线， ( 1 ) 如果d e g l 2 ，则j k x + l i 无基点， ( 2 ) 如果d e gl 3 ，则l k x4 - l lv e r ya m p l e 当d e g l = 0 时，我们有熟知的： 定理设x 为亏格夕的光滑射影曲线， ( 1 ) 如果x 是超椭圆的，则i k x i 无基点，并且诱导了x 到有理正则曲线的二次覆盖， ( 2 ) 如果x 是非超椭圆的，则l k x iv e r ya m p l e _ 而当d e gl ， 1 - 其次是连通性定理： 定理 令d ，r 是整数且满足d 1 ，r 0 ，如果 p = g 一( r + 1 ) ( 夕一d + r ) 1 ， 则g ：( x ) 和w l ( x ) 是连通的 一2 w l ( x ) 的典范 一 第一章引言 我们也有维数定理： 定理若x 为一条亏格g 的一般曲线令d ，r 是整数且满足d 1 ，r 0 ，如果 p = g p + 1 ) 0 一d + r ) 0 时，我们有著名的r e i d e r 方法来研究这个问题( 见【8 1 】) ，即 定理( r e i d e r )对于光滑代数曲面s 上的n e f 除子l 有 ( 1 ) 如果l 2 5 并且p 是l 聪+ l l 的一个基点，则存在s 上的一个有效除子d 经过点 p 并且满足下列条件之一 ( a ) d l = 0 ，d 2 = - 1 ， 4 一 第一章引言 ( b ) d l = 1 ，d 2 = 0 ( 2 ) 如果l 2 9 并且p 和g 不被l 聪+ 己f 区分0 和口可以无限接近) ，则存在s 上的 一个有效除子d 经过点p 和q 并且满足下列条件之一 ( a ) d l = 0 ，d 2 = 一1 或一2 ， ( b ) d l = 1 ，d 2 = 0 或一l ， ( c ) d l = 2 ，d 2 = 0 ， ( d ) d l = 3 ，d 2 = 0 ，l 三3 d ，l 2 = 9 _ 谈胜利教授将这个定理推广到更一般的情形( 见【9 4 】) ： 定理( t a n )令a 为s 上的一个n e f 和b i g 除子，今t 为任何一个固定的除子，并 且令k 为一个非负整数假设要么n k + p ( a ，t ) ，要么当k = 0 时，几f l ( a ，t ) 并且 t 三k s + a a 对于某个入q ，这里 f i ( a ，丁) = ( ( k s - 砑t ) 广a + 一2 ) 2 一( k s t - t 一) 2 如果i n a + t i 不是( k 一1 ) 一v e r ya m p l e 则存在一个有效除子d 0 包含a 且满足 ：三二三2 一珞。七 当l = 0 时，典范线性系已经被b e a u v i l l e 系统的研究过( 见【1 1 】) 我们有如下的定理： 定理( b e a u v i l l e )若s 为一般型极小曲面，记y 为s 在典范映射下的像，如果 d i m y = 2 ，则下列情形之一发生 ( 1 ) 岛( y ) = 0 ， ( 2 ) 鳓( s ) = p g ( y ) ，并且y 是典范曲面 - 当l 0 以及 o ( 玩一l ) 0 由 九o ( l ) + h 0 ( k s l ) h 0 ( k s ) + 1 ， 以及r i e m a n n - r o c h 定理 胪( 三) 一九1 ( 三) + 2 ( l ) = 丢讹一k s ) + x ( 仇) 7 第一章引言 刈知 1 h 1 ( l ) q + 去l ( 聪一工) ( 1 一1 ) 二 如果l = 0 或者k s ，则这个不等式显然成立和曲线上的情形一样，刻画等号成立的情 形是一个不平凡的问题我们的第一个结果是对于曲面j s 和除子l 找到了这样的条件 我们现在假设l 0 以及一l 0 定理1 1 如果( 1 一1 ) 中的等式成立，则要么l 包含珞的移动部分，要么l 包含在 k s 的固定部分中，或者下面情形之一发生 ( 1 ) i k s l 由有理线束构成并且l 的移动部分是这个线束中一些纤维的和 ( 2 ) i k s i 由非有理椭圆线束构成，对应的椭圆纤维化是，：s _ c 使得g ( c ) 2 ，c 上有两个线丛a 和b 使得广a 和广b 分别是l 和珞一l 的移动部分，并且c 的 c l i f f o r d 指标小于等于1 确切地说，我们有以下几种情形： ( a ) 0 x ( o s ) 2 ，c 是超椭圆的并且a 和b 中有一个是醍的某个倍数； ( b ) x ( o s ) = 0 ，q = 9 ( c ) ，c 是平面光滑五次曲线并且a 和b 都是超平面截口； ( c ) x ( o s ) = 0 ，口= g ( c ) ，c 是三点式曲线并且a 和b 中有一个是以 这个定理可以看作是c l i f f o r d 定理的一种推广我们考虑c l i f f o r d 定理的另外的形 式可以得到一个不同的推广 定理1 2若x 是一个复光滑极小射影一般型曲面，l 为x 上的一个除子，使得 o ( 三) 0 ，h o ( k x l ) 0 并且l 和k x ，则h o ( l ) g x 2l + 1 若不等式等号成立，则 下面的情形之一成立 ( 1 ) h o ( l ) = 1 并且l 是一些( 一2 ) 一曲线的和 ( 2 ) i l i 的移动部分无基点并且钆：x p 1 是一个射影满态射，它的一般纤维是光滑 不可约亏格二曲线 ( 3 ) i l l 的移动部分无基点并且钆是一个到p 护( l ) 一1 中极小次数曲面的一般二次覆盖 我们将证明定理1 1 的技巧做进一步的推广，可以得到高维代数簇的一些数值不等 式首先我们有： 一8 第一章引言 定理1 3设x 是一个n 2 维正规射影簇，l 是它上面的一个c a r t i e r 除子令妒 为线性系i l i 定义的有理映射如果d i m 妒( x ) = k ，则有 九。( 2 l ) ( 忌+ 1 ) 九。( l ) 一l k ( k + 1 ) 这个定理再结合一般型极小g o r e n s t e i n 射影簇的多重亏格的计算公式，便可以得到一些 数值不等式例如我们有： 推论1 1设x 是一个三维极小一般型g o r e n s t e i n 射影簇，若其典范映射的像的 维数为三，则 k 曼2 码+ 6 h 2 ( o x ) 一6 h 1 ( o x ) 一6 这个不等式可以看作是b o m b i e r i 关于曲面的一个不等式的推广( 见【1 6 】) 陈猛教授在 【2 0 】中得到7 - - 维极小代数簇的n o e t h e r 型不等式，若这个三维代数簇满足我们推论中 的条件，这可以看作是含有其它不变量的n o e t h e r 型不等式 另外，对于n 维光滑复射影簇x ，我们利用谈胜利的方法【8 8 】，并结合e a g o n - n o r t h c o t t 复形，便得到零维行列式子概型的c a y l e y - b a c h a r a c h 性质 定理1 4对于x 上一个固定的除子l 以及两个正整数k 和r ，这里r 佗，下面 的条件是等价的 ( 1 ) e 是一个秩r 向量丛，它有r n + 1 个整体截面8 1 ，8 r - n + l 使得z = z ( 8 1a a 8 ，一n + 1 ) 是一个零维子概型，并且令f id e te l i 如果f 经过z 的一个次 数d e gz k 的予概型z ，则f 经过z ( 2 ) i k x + l i 是( k 一1 ) v e r ya m p l e 作为应用，我们给出了通过余维数为二的闭子概型构造高秩自反层和向量丛的方法这 推广了h a r t s h o r n e - s e r r e 对应( 见定理9 1 和定理9 2 ) 并且我们还可以得到由向量丛的 一些整体截面的外积定义的零维概型对应的代数几何码的最小距离的下界估计 本文的内容安排如下： 在第二章中，我们介绍一些预备知识 在第三章中，我们证明定理1 1 和1 2 9 第一章引言 在第四章中，我们利用定理1 1 和1 2 给出了一般型极小曲面上两个c l i f f o r d 型指标 q 和p ，并且研究了它们的基本性质当q 和p 较小时，我们对这样的曲面给出了详细的 描述( 定理4 1 ，定理4 2 和定理4 3 ) 在第五章中，我们利用我们的不等式给出曲面模空间的维数的一个上界估计( 定理 5 2 ) 在第六章中，我们将证明定理l 。3 和推论1 1 从第七章开始我们研究代数簇的c a y l e y b a c h a r a c h 性质在第六章中，我们回顾了 e a g o n n o r t h c o t t 复形，并用其得到一个正合列( 定理7 1 ) 在第八章中，我们通过解一个方程得到了由一个秩r n 向量丛的r 一亿+ 1 个整 体截面的外积定义的零维子概型的c a y l e y - b a c h a r a c h 性质( 定理9 1 ) 在第九章中，我们给出了通过余维数为二的闭子概型构造高秩自反层和向量丛的方 法 在第十章中，作为应用，我们得到由向量丛的一些整体截面的外积定义的零维概型 对应的代数几何码的最小距离的下界估计( 定理1 0 1 ) 在第十一章中，我们提出一些后续问题 1 3 符号说明 设s 是一个光滑复射影代数曲面在s 上有一些重要的层： o s ：s 上的全纯函数层： q s ：s 上的全纯微分1 一形式层； 垤= o s ( g s ) ：s 上的全纯微分2 一形式层，即典范层； 妒= o s ( m g s ) ：胁典范层 对于s 上的一个层芦，我们用( s ，歹) 或者( 一表示d i m h ( s ，一除子之间的线性 等价记为一，而数值等价记为三在本文中我们不区分光滑代数簇上的除子和线丛 若三是s 上一个除子，我们记钆为线性系定义的有理映射 s 上的除子d 被称为n e f ，如果对于s 上的任何不可约曲线c 有d c 0 d 被称 为n e f 和b i g 的，如果d 是n e f ，并且d 2 0 1 n 一 1 1 第二章预备知识 第二章预备知识 弟一早 耿亩刘伏 本章介绍一些预备知识，帮助读者回忆一些我们以后要用到的结果 2 1曲面的双有理分类 曲面的分类主要是对曲面的双有理等价类进行分类，或者说是对双有理等价类中的 极小曲面进行分类令s 为光滑复射影曲面，如果s 不是双有理直纹面，则s 的双有理 等价类中存在唯一的一个极小模型极小模型的唯一性使我们在分类中不仅可以利用曲 面的双有理不变量如p g ，口，k ，也, - i p a 讨论并非双有理不变的陈数日，c 2 等 下面的定理概括了在k o d a i r a 维数的意义下，曲面双有理分类的主要结果 定理2 1如果s 为极小的，则必为下列情形之一： 仡( s ) = 一o o ：这时s 要么是射影平面p 2 ，要么是某条曲线上的直纹面曲面s 属 于这种情形当且仅当p 1 2 ( s ) = 0 仡( s ) = 0 ：这是我们有k 2 = 0 ，且s ) 0 - f 歹0 四种曲面之一： 一k 3 曲面：这是满足k = 0 ，且为拓扑单连通的曲面因此p g = 1 ，q = 0 一e n r i q u e s 曲面：2 k = 0 p g = q = 0 一a b e l 曲面，即s 同时为a b e l 簇这时鳓= 1 ，q = 2 ，k = 0 一双椭圆曲面，即存在两条椭圆曲线e ，f 以及同时作用于e 和f 的一个 有限群g ，g 在e 上作用为平移，在f 上的作用使f g 为有理曲线，使得 s = e x 州g 这时p g = 0 ，q = 1 k ( s ) = l ：这时s 为椭圆曲面在这种情形k 2 = 0 ，x ( o s ) 0 ，并且存在一个态射 ，：s - c ，这里c 是一条曲线，的一般纤维是椭圆曲线 k ( s ) = 2 ：这时s 称为一般型曲面，这种情形当且仅当对于任一札5 ，s 的m 典范 映射是一个双有理态射 1 2 第二章预舒知识 在某种意义下说，绝大多数的曲面都是一般型曲面，在这种情形我们有 定理2 2 ( g i e s e k e r )设z ，y 为两个整数则所有满足x ( o s ) = z ，k 2 = y 的一般 型曲面构成的模空间是一个拟射影代数簇 2 2 曲面上的一些不等式 在本节中，我们回忆复射影光滑曲面s 上的一些重要的数值不等式这些不等式在 一般型曲面的分类，以及地理学等问题上扮演了很重要的角色 如果s 为一般型极小曲面，则我们有下面这些不等式 霹1 x ( o s ) 1 b e a u v i l l e 不等式：p g22 q 一4 n o e t h e r 不等式：略2 p g 一4 c a s t e l n u o v o 不等式：如果s 的典范映射是双有理的，则略3 p g 一7 + q b o m b i e r i 的不等式：如果s 的典范映射的像是曲面，则霹2 如一4 + q 肖刚的不等式：如果s 的典范映射的像是曲线，则赡4 鳓一7 ，并且有g = b = l ， 或者b = 0 ，q 2 ，这里b 是基曲线的亏格 d e b a r r e 的不等式：如果g 0 ，则霹2 p g m i y a o k a - y a u 不等式：磁9 x ( o s ) 如果s 的a l b a n e s e 映射的像是曲面，我们有s e v e r i 不等式：磁4 x ( o s ) 如果s 有一个到光滑射影曲线b 的纤维化，即存在满态射，：s _ b ，并且使得纤 维都是连通的我们假设，是相对极小的，即，的纤维中不含( 一1 ) 一曲线设基曲线b 的 亏格为b ，而，的一般纤维的亏格为g 2 我们有下面的不等式 霹：= 碣一8 0 1 ) ( 6 1 ) 0 x ，：= x ( o s ) 一( g 一1 ) ( 6 一1 ) 0 一1 3 第二章预备知识 e f ：= c 2 ( s ) 一4 ( g 一1 ) ( 6 1 ) 0 b q b + g 肖刚不等式： 一( 4 一；) x ，霹1 2 x 一如果q b ，则碍4 x ! 2 3 曲面上的线性系 令d 是光滑复射影曲面s 上的一个有效除子集合 d i ：= e 0 ：e d 称为d 的完全线性系我们可以将i d i 写成i d l = i m i + y ，其中m 是d 的移动部分( 也 称自由部分) ，而y 是d 的固定部分设n = 护( d ) 一1 如果8 0 ，8 n h o ( p s ( d ) ) 为h o ( p s ( d ) ) 的一组基，则我们可以定义有理映射 垆d ：s + p ， zh 【8 0 ( x ) ，s ( z ) 】 我们知道h o ( d ) = h o ( m ) ，妒d = 妒m 下面我们说明通过一系列爆发，可将有理映射妒d 变成一个态射 如果p 1 是l m i 的一个基点，记 a l = m i n 坳，( c ) ) 1 c e i m i ”4 、一 若令盯1 为对s 在p l 的爆发，则 i 盯：m i = i m l l + n l e l ， 1 4 这 如 我 止 这 我们有下面两个简单但是常用的引理 引理2 1如果d i m= 1 ，则存在即约不可约曲线f ，使得f 2 0 ，并且m 兰g f ， 这里a 是一个正整数 引理2 2如果d i m = 2 ，则 m 2 d e g ( p md e g e 1 5 第二章预备知识 2 4 曲面上的消失定理 本节回顾一下曲面上的消失定理令l 是光滑复射影曲面s 上的一个除子，c 为其 对应的线丛我们有下面这些著名的消失定理 定理( k o d a i r a 消失定理)如果a m p l e ，则九1 ( - 1 ) = 0 一 定理( a a l t l a n u j消失定理)如果l 是有效除子，并且满足 ( 1 ) 工是1 连通的，即对于任意的分解l = l i + l 2 ，l 1 0 ，l 2 0 ，都有l 1 l 2 1 ( 2 ) 对于某个佗1 ，有h o ( o s ( n d ) ) 2 ， ( 3 ) 线性系l n d l 不是非有理线束 则h z ( o s ( - d ) ) = 0 定理( m u m f o r d 消失定理)如果对于n 0 ，线丛由整体截面生成并且有三 个独立的代数截面，则 1 ( c _ 1 ) = 0 _ 定理( k a w a m a t a - v i e h w e g 消失定理) 如果对于某个正整数以及某个正常相交 的除子d ，线丛c 魄( 一d ) 是n e fb i g 的，则九1 - 1 ) = 0 - 2 5 二次覆盖的基本理论 二次覆盖理论最早是由h o r i k a w a ( 【4 2 】， 4 3 】) 进行了系统的研究在本文的许多情况 下都需要计算二次覆盖让我们来回顾一下 设y 为光滑射影曲面b 即约偶除子，即存在线丛c 使得2 = o y ( b ) 由c 可以 确定一个二次覆盖 7 r ：x = s p e c ( o voc _ 1 ) 一 由于b 是即约的可以推出x 是正规的设b 有奇点q l y ，p 1 = 7 r 一1 ( q 1 ) 则只是 x 的奇点以q 1 作中心可以作y 的爆发叮1 ：m _ y 令x 1 = k yx 再作正规化 1 6 第二章预备知识 x ( 1 ) _ x 1 ，可得下图： x ( 1 ) 立x l 三x 弋k 少 ( 2 - 2 ) 取q 1 在y 的一个坐标邻域( z ，秒) 设b 的局部方程为8 如果q 1 是b 的n 1 重点 ( r $ 1 2 ) ，则 8 ( x ，y ) = 8 n l ( z ，y ) + s n l + 1 ( z ，可) + 可以选取坐标系使得zfs n 。( z ，剪) ，可i s n 。( z ，y ) 于是可取p 1 在x 的坐标邻域 ( z ，可，伽) ，使得7 1 * x = z ，矿可= y ，以及w 2 = 8 这样就有：咧= c x ，可) 和 p 掣= c x ，y ，叫 ( 叫2 一s ) 在m 上可取q 2 ，使得o 1 ( q 2 ) = q 1 使得q 2 有一个坐标邻域( z ，f ) ，使得y = x t 这 样 盯：( s ) = 矿1 【s n 。( 1 ，t ) + x 8 n 。+ 1 ( 1 ，t ) + 】= x n l 季( z ，) ， 这里吾( o ，0 ) = 0 令p 2 = 7 r f l ( q 2 ) ，则 p 掣= c x ，y ，叫) ( 叫2 一s ) o c 霉，订c x ，) = c x ，t ，彬) ( 叫2 一x n l 吾) 它不是整闭的令w = w x 等l ，则w 7 在p 掣上整从而属于。掣的整闭包所以p 掣 的整闭包是 c x ，t ，w 7 ) ( 护一x n l - - 2 阻t 2l j 8 、) 注意到例外曲线蜀的方程是z = 0 因此7 r ( 1 ) ：x ( 1 ) 一m 是一个二次覆盖，其分支轨迹 b = 雪+ ( 礼t 一2 国) 毋 = 仃：b 一2 国目 = 2 ( a ：l t - 等l e ) 1 7 这里o r 是一系列爆发的复合，又是光滑曲面亓是一个二次覆盖此时 峻= 矿盯+ ( 蜥+ 三) + ( 1 一【考】) 亓+ 岛， 这里最是盯的爆发过程中例外曲线在矿中的完全原象 1 8 ( 2 - 3 ) x ( 七) 是光 正规射影 以下交换 ( 2 4 ) 第二章预备知识 哦= 矿矿( k v + l ) 当且仅当b 奇点是简单奇点简单奇点是通常二重点或通 常三重点，即在解消过程中不出现高于三次的奇点如果b 只含简单奇点，则x 只含 a d e 奇点 现在我们计算戈的不变量 磺= 2 ( k y + l + z ( 1 一晟) 2 = 2 ( 蜥+ l ) 2 2 ( 固一1 ) 2 由于亓是有限态射，所以序以鲰= 0 ，对于i 0 于是h ( 文，p 贾) 垡h ( p ，以) 由于以= p po ，我们可以得到 所以 x ( o x ) = x ( ) + x ( 一1 ) = 2 x ( o ? ) - 4 - 言三( 硌+ l ) 1 一一 三= l 一固最， 酶= 蜥+ 局 x ( 吼) = 2 x ( o y ) + i ( l 一目n i 最) ( 蜥+ l 一( 固一1 ) e i ) = 2 x ( o y ) + 丢三( 凤+ l ) 一互1 厶【百n i 虿n i 】_ 1 ) 1 9 态射因此 y 为z ) ) 0 ， d i m ( i m ( p ) ) = d i m ( r y l lo j d i ) = h o ( l ) 一h o ( 乃( l ) ) 一1 + h o ( d ) 一h o ( 乃( d ) ) 一1 所以 矿( l + d ) 一h o ( z y ( l + d ) ) 一1 = d i m r y i l + d i 出m ( i m ( p ) ) 2 0 第一章定理1 1 和1 2 的证明 故引理得证 一 注3 1如果我们取y 为一个既约不可约除子，则这个不等式是h o ( l ) - h o ( l y ) + 九o ( d ) 一胪( d y ) 胪( l + d ) 一h o ( l + d - y ) + i 更进一步，如果y 充分a m p l e ，使得 ，沪( l y ) = h o ( d y ) = h o ( l + d y ) = 0 ，则我们得到h o ( 三) + 九o ( d ) h o ( l + d ) + 1 这是众所周知的结果 证明( 定理1 1 的证明)如果忽o ( l ) = 1 或者h o ( k s l ) = 1 ，我们的结论是显然 的因此我们假设 o ( 三) 2 以及h o ( k s 一三) 2 令l l l = i m l + v 将l 分解为自由部分和固定部分的和我们断言h o ( k s l ) h o ( k s l m ) 这是因为如果h o ( k s l ) = h o ( k s 一三一m ) ，则 h o ( k s l ) + h o ( m ) = h o ( k s l m ) + 胪( m ) h o ( k s l ) + 1 因此我们得到h o ( m ) 1 这与假设矛盾，于是断言得证 如果d i m o l ( s ) = 2 ，则允o ( l ) 3 ，并且i m i 中的一般元是既约不可约的由于 h o ( k s l ) h o ( k s l m ) 以及舻( l ) 一九o ( l m ) = 舻( l ) 一1 2 ，所以由引理 3 1 我们有 九o ( l ) 一h o ( 三一m ) + o ( k s l ) 一h o ( k s l m ) h o ( 始) 一7 尹( 一m ) + 1 = 鳓+ 1 一矿( k _ s j 订) 由于舻( l ) + h o ( k s l ) = + 1 ，因此我们得到h o ( k s m ) h o ( k s l m ) + 1 所以h o ( k s l m ) h o ( k s m ) 一1 1 我们得到 h o ( k s m ) 一1 + ，尸( m ) h o ( k s l m ) + ，沪( m ) h o ( k s l ) + 1 所以h o ( k s m ) + h o ( m ) h o ( k s l ) + 2 h o ( m ) 2 这与h o ( m ) = h o ( 己) 3 矛盾 i k s l i 也是线束 由于h o ( k s m ) h o ( k s l ) ，所以 所以是线束类似地，我们能证明 因为h o ( l ) + h o ( k s l ) = 鳓+ 1 ，e pd i mi k s i = d i mi l i + d i mi 风一l i ，所以i k s l 中的每个除子可以表示为i l i 中的一个除子与l 聪一l i 中一个除子的和因此i k s i 也是 线束令7 r ：季_ s 为一系列爆发使得1 7 r + k s i 的移动部分无基点我们能假设7 r 是满足 此性质中爆发次数最少的令否二c 三p v 一1 为。凤的s t e i n 分解则在c 上存在 2 1 第五章定理1 1 和1 2 的证明 两个无基点的除子a 和b 使得，+ a ，i * b 以及广( a4 - b ) 分别为1 r * l ，矿( k s l ) 以及 矿k s 的移动部分迭i 此h o ( l ) = 胪( 7 r + l ) = o ( ，+ a ) = 胪( a ) ，h o ( k s l ) = 舻( b ) 并且 o ( a 4 - b ) = 鳓 如果g ( c ) = 1 ，则 o ( l ) + h o ( k s l ) = 胪( a ) + 危o ( b ) = d e ga + d e gb = 庇o ( a + b ) = 如 这与我们的假设矛盾如果g ( c ) = 0 ，容易验证h o ( l ) - t - h o ( k s 一三) = 1 + p g 当s 是一 般型时，由肖刚关于夕( c ) 和q 的估计，我们知道g ( c ) = o ，q 2 或者9 ( c ) = q = 1 ( 见 【9 9 】) 因此当s 是一般型时，l k s i 是有理线束 当s 不是一般型时，它必须是椭圆曲面于是l 聪i 的移动部分无基点，否= s # r - e ， 的一般纤维是椭圆曲线如果h l ( a ) = 0 ，则扩( a ) = d e g a 一9 ( c ) + 1 因此我们得到 允o ( b ) = o ( a + b ) + 1jh o ( a ) = d e gb 十1 + h 1 ( a + b ) d e g b + 1 所以9 ( c ) = 0 类似地，如果h 1 ( b ) = 0 ，我们也能得到9 ( c ) = 0 下面我们假设a 和b 都是特殊除子并且g ( c ) 2 由c l i f f o r d 定理，1 y , t t ；f i 鳓+ 1 纠( 卅以耶巡掣+ 2 半+ 2 = 掣+ 2 因此我们得到鳓夕( c ) + 1 q + 1 ，即x ( o s ) 2 如果h o ( a ) = 业2 吐+ 1 或 o ( b ) = 业2+ 1 ，我们立刻得到( a ) 如果胪( a ) 业2 并且舻( b ) 曼学，则 鳓+ 1 ：矿( a ) + 7 严( b ) 掣+ ls 墨t 掣+ 1 所以鳓夕( c ) 一1 q 一1 ，即x ( o s ) 0 因此x ( o s ) = 0 ，夕( c ) = q2 鳓+ 1 ， 胪( a ) = 业2并且胪( b ) 三必2 由代数曲线的经典知识，我们可得到情形( b ) 和 ( c ) 3 2 定理1 2 的证明 在这一节中，我们总假设若x 是一个复光滑极小射影一般型曲面我们首先从另一 2 2 第j 章定理1 1 和1 2 的证明 个角度在曲面上给出一些c l i f f o r d 型不等式 下面的引理是众所周知的 引理3 2令cp 7 ，r 2 为一个非退化即约不可约簇 ( 1 ) 如果d i me = 1 ，则d e ge r ， ( 2 ) 如果d i me = 2 ，则d e g r 一1 ， ( 3 ) 如果d i me = 2 并且不双有理等价于一个直纹面，则d e g2 r 一2 证明 见 n 1 命题3 1 若l 为x 上的一个除子，使得l k x 0 ，则： 以班m a x 等“可( k x l ) 2 + 2 证明 我们可以假设 o ( 三) 3 设i l i = l m i + v 将i l l 分解为自由部分和固定部 分，并且设妒l ：x 一一+ wcp n 是由线性系定义的有理映射，这里w 是映射钆的 像，而礼= h o ( l ) 一1 情形a ：d i mw = 1 这时l 一：1r + v 兰a f + v ，这里a h o ( l ) 一1 ，g s 是映射钆的一些纤维，并 且f 2 0 由于k x 是数值有效的，我们有l k x = a f k x + v k x ( h o ( l ) 一1 ) f k x 所以l k x 2 f k x 当f k x 2 时，我们得到h o ( l ) l k 2 x + 1 当f k x = 1 时，有f 2 酸( f k x ) 2 = 1 以及l k x 2 但是f k x 三f 2 ( m o d2 ) ， 我们得到f 2 = 1 和酸= 1 ，于是 以哪l 鲰+ 1 0 ，所以m k x 并且胪( 一v ) = h o ( m l ) = h o ( k x l ) 0 于是v = 0 ，l = m k x 这与我们的假设l 和戤矛 盾所以h o ( l ) 必2 + 2 如果h o ( 三) = 必2 + 2 ，有k x l = 2 h o ( l ) 一3 当d i m = 1 时，我们得到 k x l = 2 h o ( l ) 一3 ( ，产( l ) 一1 ) f k x 2 6 第三章定理1 1 和1 2 的证明 于是f k x = 1 因为f 2 k x 2 ( f k x ) 2 = 1 以及f k x 兰f 2 ( r o o d2 ) ，有f 2 = 酸= f k 支= 1 所以f 2 k 曼= ( f k x ) 2 = 1 于是f 三k x 由h o ( k x f ) h o ( k x l ) 0 ，我们得到f 一圾于是三一k x 任然得到矛盾当d i mw = 2 ，有 m 2 2 h o ( l ) 一4 = k x l 一1 k x m 一1 由m 2 三m k x ( r o o d2 ) ，有m 2 k x m 因为h o ( k x m ) 2h o ( k x l ) 0 ，所以( k x m ) m 0 以及( k x m ) k x 0 于是m 2 磁m 酸因此m 2 = k x m 酸由h o d g e 指标定理得m 2 酸 ( k x m ) 2 = ( 舻) 2 ，即酸m 2 所以酸= m 2 = k x m 以及舻酸= ( k x m ) 2 于 是m 三玩由于h o ( k x m ) 0 ，有m k x 所以m k x 一二得到矛盾 所以 矿( l ) 塾岩+ 2 ：下k x l + 1 现在假设等号成立，即圾l = 2 h o ( l ) 一2 如果h o ( 三) = 1 ，则k x l = 0 因此l 是一些( 一2 ) 曲线的和当d i mw = 1 、o 时，我 们有 2 o ( l ) 一2 = l k x = a f k x + v k x ( 胪( 三) 一1 ) f k x 所以k x f 2 如果k x f = 1 ，由i - i o d g e 指标定理知f 2 酸s ( f k x ) 2 = 1 于是 f 2 = 酸= 1 但是酸k x l = 2 h o ( l ) 一2 2 f 4 - n 矛盾所以k x f = 2 ， f 2 酸( f k x ) 2 = 4 因为酸2 并且f k x 兰严( r o o d2 ) ，我们得到f 2 = 0 或者 f 2 = 2 如果严= 2 ，则酸= k x l = 2 于是f 2 酸= ( k x f ) 2 = 4 ，由h o d g e 指标定理得 f 兰k x 但是l 一：1 只+ v ，因此v 一0 以及k x l f 这与假设矛盾 如果f 2 = 0 ，则i l l 的自由部分无基点因为鲰f = 2 ，我们得到口= h o ( l ) 一1 并 且w 笺p 1 9 ( f ) = 壶( f 2 + f k x ) + 1 = 2 所以钆：x _ w 兰p 1 的一般纤维是光滑 不可约亏格二曲线 当d i mw = 2 时，有九o ( l ) 3 以及k x l = 2 h o ( l ) 一2 4 由m 2 2 h o ( 三) 一4 = 酶l 一2 鲰m 一2 ，戤m m 2 以及舻一k x m 是偶数，得m 2 = 戤m 或者 m 2 = 魄m 一2 如果舻= k x m ，由( k x m ) 2 碟m 2 得m 2 酸但是酸k x m = m 2 ，我 们得到k 曼= m 2 = k x m 由h o d g e 指标定理得m 兰k x 由于h o ( i r x m ) 0 ，所 以l m k x 这与假设矛盾 2 7 第i 章定理1 1 和1 2 的证明 如果m 2 = k x m 一2 = 2 胪( m ) 一4 ，则i m i 无基点并且饥是到p 0 ( l ) 一1 中极小次 数曲面的一般二次覆盖 一2 8 第四章曲而 ：的c l i f f o r d 型指标 第四章曲面上的c l i f f o r d 型指标 4 1c l i f f o r d 型指标的定义 8 由定理1 1 和定理1 2 ，我们能在一般型极小曲面x 上定义两个c l i f f o r d 型指标q 和 定义4 1对于x 上的除子厶我们定义三两个指标q ( l ) 和5 ( l ) 如下： q ( l ) = k x l 一2 h o ( l ) + 2 ； 5 ( l ) = g + 丢三( 鲰一l ) 一 1