（应用数学专业论文）基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控.pdf

摘要 内容摘要：自然资源是人类社会赖以生存和发展的重要物质基础然而，由于人类改造自 然的能力大大加强，对自然资源的过度使用导致一些物种濒i 临灭绝甚至己经灭绝，这严 重破坏了生态平衡，致使生态环境不断恶化如何更有效保护生物资源和生态环境成为 人类迫切需要解决的问题之一。为了能更好地保护生态平衡，实现社会经济的可持续发 展，有必要对生物资源进行科学开发、利用和管理，最优控制是解决这一问题的有效方 法最优控制的核心问题是如何为受控系统选择一个控制目标，使得受控系统本身具有 满意的经济效益和社会效益这一问题的解决，对实现社会经济的可持续发展和环境保 护具有十分重要的价值 目前，种群动力学系统控制问题的研究已取得了一些成果，但是关于基于营养动力 学的种群动力学系统控制问题的研究却相对较少为此，本文将基于营养动力学的种群 动力学系统作为研究对象，对其实施最优调控首先，对单种群营养动力学系统施加捕获 控制，建立合理的性能指标函数，并应用最优控制理论，讨论了最优资源密度的存在条 件，得到了使资源管理者达到可持续利润的最优资源密度和最优捕获量其次，依据不同 的情况，对基于营养动力学的捕食食饵系统建立了三种开发模型，根据不同的生物含义 和经济目的设立了各自的性能指标函数，利用最优控制理论，分别得到了相应的最优资 源密度和最优捕获量最后，对基于营养动力学的三种群食物链系统进行控制，设立合理 的目标函数，同样利用最优控制原理，得到了使系统持续生存并使资源管理者得到最大 经济效益的最优资源密度和最优捕获量这些研究有利于资源管理者制定合理的收获策 略，保持生态环境的持续发展 关键词：最优控制，营养动力学，捕食一食饵系统，最大经济效益 a b s t r a c t c o n t e n t ：n a t u r a lr e s o u r c e sa r et h ei m p o r t a n tb a s i sf o rt h es u r v i v a la n dd e v e l o p m e n to f t h eh u m a ns o c i e t y t h es t r o n gi n t e r f e r e n c ee f f e c t so fh u m a na c t i v i t yo nn a t u r a le c o s y s t e m o ft h ew o r l dl e a dt oe x t i n c t i o n ，t h ee c o l o g i c a lb a l a n c ei sd e s t r o y e ds e r i o u s l y h o wt o p r o t e c tt h eb i o l o g i c a lr e s o u r c e sa n de c o l o g i c a le n v i r o n m e n te f f e c t i v e l yi so u rf u n d a m e n t a l t a s k i no r d e rt op r o t e c te c o l o g i c a lb a l a n c ee f f e c t i v e l ya n dr e a l i z es u s t a i n a b l ed e v e l o p m e n t ， i t i sn e c e s s a r yt ou s ep r o p e r l ya n dc o n t r o ln a t u r a lr e s o u r c e s ，o p t i m a lc o n t r o li st h eb e s t r o a dt od e a lw i t ht h e s ep r o b l e m s p e o p l ek n o wt h a tt h em a i np r o b l e mo fo p t i m a lc o n t r o l i sh o wt od e s i g no b j e c t i v ef u n c t i o n a lw h i c hm a k ep e o p l eo b t a i nt h eg r e a tp r o f i ta n dm a k e t h es y s t e mp e r s i s t e n t t h er e s o l u t i o no ft h e s ep r o b l e m si sb e n e f i tt ot h es u s t a i n a b l e d e v e l o p m e n ta n de n v i r o n m e n tp r o t e c t i o n r e c e n t l y , s o m er e s u l t sh a v eb e e nr e a c h e do nc o n t r o lp r o b l e mf o rp o p u l a t i o nd y n a m i - c a ls y s t e m s ，b u tt h e r ei sl e s sr e s u l t so nt h ec o n t r o lo fp o p u l a t i o nd y n a m i c ss y s t e m sb a s e d o nn u t r i t i o nd y n a m i c i nt h i sp a p e r ，t h eo p t i m a lc o n t r o lo fp o p u l a t i o nd y n a m i c ss y s t e m s b a s e do nn u t r i t i o nd y n a m i c si sd i s c u s s e d f i r s t ，ac o n t r o lv a r i a b l ei sa d d e dt os i n g l e p o p u l a t i o nn u t r i t i o nd y n a m i c s ，b yd e s i g n i n gp r o p e rp e r f o r m a n c ea n du s i n gt h eo p t i m a l c o n t r o lt h e o r e m ，t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h eo p t i m a ls o l u t i o n sa n d o p t i m a lc o n t r o lw h i c hm a k er e s o u r c e sm a n a g e r sg e tt h eg r e a tp r o f i ta r eo b t a i n e d s e c o n d ，t h r e ec o n t r o lm o d e l so fp r e d a t o r - p r e ys y s t e mb a s e do nn u t r i t i o nd y n a m i c sa r ep u t f o r w a r d a c c o r d i n gt os p e c i f i cb i o l o g i c a lm e a n i n g s ，t h ec o r r e s p o n d i n gp e r f o r m a n c e sa r e s e t ，t h e nb yu s i n gt h eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r e m ，t h ec o r r e s p o n d i n go p t i m a ls o l u t i o n sa n d o p t i m a lc o n t r o la r eg i v e n l a s t ，t h ec o n t r o lm o d e lo fat h r e e - s p e c i e sf o o dc h a i ns y s t e m b a s e do nn u t r i t i o nd y n a m i c si ss t u d i e d ，b ys e t t i n gp r o p e ro b j e c t i v ef u n c t i o n a la n du s - i n gt h eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r e m ，o p t i m a lc o n t r o la tw h i c hr e s o u r c em a n a g e r sc a ng e tt h e g r e a tp r o f i t sa n dt h ep o p u l a t i o nd y n a m i c a l s y s t e mi nq u e s t i o nc a nb ep e r s i s ta r eo b t a i n e d t h e s ew i l lb e n e f i tr e s o u r c em a n a g e r si np l a n n i n gh a r v e s tp o l i c i e sa n dk e e p i n gs u s t a i n a b l e d e v e l o p m e n to fe c o s y s t e m s k e y w o r d s ：o p t i m a lc o n t r o l ；n u t r i t i o nd y n a m i c s ；t h ep r e d a t o r p r e ys y s t e m ；t h e g r e a tp r o f i t l l 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他 同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做出了明确的声明并表示 谢意 学位论文作者签名：童立苤! 瞧 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权辽 宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文 的内容相一致 保密的论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名：童a 苤燃指导教师签名：垂l 盖垒挡 签名日期：年月日 1 引言 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 1 1 种群动力学系统的研究现状 种群动力学是用动力学方法研究种群生态学，它主要研究种群个体数量和结构的变 化规律种群生态学包括对给定物种本身的动力学特性和结构的研究，以及给定物种与 相关种群相互作用下演变规律的研究关于种群动力学系统的研究主要有：( 一) 种群随 时间演变规律的研究( 二) 如何实施人工干预，对种群进行保护、开发和利用的研究【1 1 德国学者海克尔( h a c k e d ) 于1 8 1 6 年创建了生态学，而生态系统的概念是在1 9 世 纪3 0 年代形成的2 0 世纪生物学得到了飞速的发展，在生命现象的研究中，人们最初把生 命物质运动归结为简单的物理学和化学运动，利用比较成熟的物理学和化学知识总结生 命现象的规律性，而且许多生物物理学的先驱者在应用物理方法处理生物学问题时意想 不到的促进了生物数学的发展，这个事实重演了过去物理学及其他自然科学发展导致数 学发展的历史生物数学有三个主要分支：生物统计学，生物动力学，生物控制论而作 为生物数学主要分支的生物控制论在2 0 世纪5 0 年代产生，并得到发展【2 1 2 生物控制论是结合生物学和控制论的交叉学科，用控制理论观点和方法去研究和解 决生物学的问题，并对与生物学有关的控制理论方法进行研究用控制论方法来解决生 物学问题的文章涉及面很广，有的把控制论应用在微生物连续培养模型中f 如4 】；有的用控 制理论去处理药物动力学系统【5 6 j ；有的把最优控制理论应用在癌症的治疗策略中【7 8 1 ， 有的应用到肿块形成原因的分析上【9 】有的应用到化学反应中【1 0 】等等由于种群生态学 是生态学中数学应用最多的分支，种群动力学作为生态学的重要组成部分，控制理论在 其中的应用也相对多些 种群动力学模型的研究经历了一个漫长的历史过程，早在1 6 世纪，我国明朝的徐光 启就曾用数学的方法估算过人口的增长，他说：“头三十年为一世”，即人口人致每3 0 年 增加一倍，这是把数学用于种群生态学的最早实侈l j 1 】1 6 6 2 年，j g r a u n t 研究了人口的出 生率和死亡率，通过计算后他认为：如果略去移民的影响，伦敦的人口每6 4 年将增加一 倍当然，数学生态学的启蒙人，毫无疑问应当是著名的英国神父m a l t h u s ，他于1 7 9 8 年提 出了人口按几何级数增长的理论，即所谓的m a l t h u s 人口模型【1 1 】： 窦：哪古) 出 r ， m a l t h u s 的这一人口理论虽然存在着缺陷和错误，但是，不少统计的数字表明，m a l t h u s 的人口计算公式在一定范围内是正确的，它是整个数学生态学理论发展的基石，这是 把数学用于生态学的最早实例不少地区，例如瑞典1 7 8 0 年至t 1 9 8 0 年的人口统计数据 就与m a l t h u s 的结论相当吻合按昭, , m a l t h u s 的理论，随时间的增加，人口将无限制的增 1 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 象= r z ( 1 - 丢) ，面2 彻石) ， 李d x ( t ) 三一a x - b x 咖y ，, 1 ， 瓢等生物；第1 i 类：咖( z ) = 羔，它适用于无脊椎动物；g g i i i 类：( z ) = ；，它适 -_ln 十j - n t = r z ( 1 - 丢) 一z ( z ) ， ( 1 2 ) = - d y + 可( z ) 2 如一出咖一出，i_lj(，【 为 式 形般一统 系 基于营养动力学的种群动力擘系统的最优调控 随后有很多研究都是在此基础上进行的 研究种群动力学系统的的基本任务之一是：对种群动力学系统实施人为调控，使人 类能更好的保护种群，更好的开发和利用这些种群资源但是很好的完成这一任务，首先 要定量地研究种群的出生率、死亡率、迁入率和迁出率，以便能了解是什么因素影响着 种群波动的范围及种群的发生规律，了解种群波动所围绕的平均密度以及种群衰落和灭 绝的原因，这一切的目的都是为了能够控制种群对种群的合理利用，必须先了解种群的 特性，如捕鱼活动往往要利用种群密度来决定捕获量【朔 近年来，我国近海地区的渔业资源如长江口的鳗鱼和蟹苗遭受了长期滥捕的厄运， 而成千上万的淘金者的疯狂开采使青海的部分地区及北疆草原的植被遭受了严重的破 坏等等，这些现象的发生都是人们为了追求经济利益过度开发这些资源，而没有考虑到 生态系统的承受能力，导致了资源的灭绝多年来，从经济学与生物学的角度出发，学者 们都在寻求一种达到可再生资源的最大化可持续产量的方法，这个概念的含义是：在某 个特定环境下的牛物存量应该维持在某一水平上，高出这一标准的部分被称作剩余产量， 应该全部被收获如果不能及时收获这部分剩余产量，对应的生物存量就会增加，最终达 到或超过环境的容纳量，从而破坏了环境，导致资源的灭绝这样就需要寻求一个最优 捕获率，既能使资源拥有者获得最大的资源回报率又能使生态系统永久持续下去，控制 论中的最优控制原理是解决这一问题的途径之一最优控制原理中的p o n t r y a g i n 最大值 原理是解决最优开发问题的主用工具，如g o h 把最优控制技术应用于渔业资源、复杂生 态系统、温室作物等种群的最优管理中，使p o n t r y a g i n 的最大值原理有了更加广阔的施 展空洲1 8 】c l a r k 在对再生性资源种群进行最优管理时，不仅考虑了生态平衡的问题，还 考虑了经济效益问题，把种群动力学系统的控制问题与经济学问题有机地结合在一起， 形成一种特殊的模型一生物经济动力学模型关于这类问题的研究，不仅对生物学，而且 对经济学的发展都具有一定的促进作用，同时也给最优控制原理的应用增添了新的色 彩【1 9 1 随后，还有一些学者把最优控制原理应用在更复杂的种群动力学系统中，范猛等 把最优控制理论应用在具有周期系数的单种群控制系统中，得到了使系统在周期解处渐 近稳定的最优捕获策略【2 0 1 张兴安等用最优控制理论研究了具有阶段结构的捕食与被捕 食系统的捕获问题，得到最优捕获率和使系统持续发展的控制阈值【2 1 | 2 1 宋新宇等用最优 控制理论研究了具有极端结构的两竞争中种群的捕获问题，得到了对成年种群的最优捕 获率 2 2 1 文献2 3 】把最大值原理应用在l o t k a - v o l t e r r a 捕食与被捕食模型的最优搜寻问题 中等等所有这些都说明作为控制理论的核心问题最优控制理论在种群动力学系统中， 不仅有很广泛的应用范围，而且也达到了很深的程度 利用微分博弈论也能完成对种群动力学系统的最优控制，上面所列的一些文章处理 的模型只针对一个性能指标进行的，但在实际问题中，人类需要对种群动力学系统进行 双重控制( 即两个控制) ，而且对两个控制分别提出相应的性能指标，对于这类问题的处 理，博弈论是比较有效的办法n i c o l 等考虑两个渔业集团捕获同一鱼种群的非线性动态 3 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 博弈，得到了已知一个管理者的控制水平，另一个管理者所管辖渔业的最优稳定状态存 储水平，并且把这一结论应用到一类鲱鱼的管理中【2 4 1 g e o r g e 等研究了一个捕食与被捕 食的控制系统，并把其中的两种群看成两个博弈者，在寻求相互冲突的增长目标时，对两 者设计一组合作策略，以使它们的密度都达到理想的水平【2 5 】 1 2 种群动力学系统的研究现状 营养动力学是生物学科的一个分支【2 6 】，它从物理学和化学中的基本概念和理论出 发，运用数学和数学模型的手段，处理生物学中不同层次上的问题，研究生物生长如何依 赖于环境中的营养物质、种类、数量，更本质地说就是研究生命元素如何地在生物系统 中运动和转移的方向、速度和范围的一门科学从2 0 世纪8 0 年代才开始，营养动力学进 入到数学建模阶段8 0 年代崔启武曾应用酶动力学中关于酶活性与低物浓度的关系和微 生物种群动力学的连续发酵理论到生态学中，探讨了种群生长与营养的关系，发展了一 个种群生长的新数学模型，其微分形式为 7兰 掣歪 ( 1 - 3 ) 一 z 仍 崔- - l a w s o n 模型认为种群增长的密度制约关系是由种群的营养一生长关系所决定的它 从营养一生长关系的角度重新解释了生态学历史上著名的l o g i s t i c 方程，从而开辟了一条 以营养动力学为基础构造生态学模型的新途径对于模型( 1 3 ) ， 当z 二= z m 时，模型变为按几何级数增长的m a l t h u s 人口模型 窦：p z ( 亡) 面一p z 忖 当z 二z m 时，模型( 1 3 ) 变为l o g i s t i c 增长模型 d x ，z 、 面2p z ( 1 一i ) 在模型( 1 3 ) 中，0 0 在下面的讨论中，令 1 一三 f ( x ) = p z 争 引理3 1 3 0 孥表示生物的营养利用率，它的值大于。小于1 1 3 蔓哇 z 肛 =、，一 一亡掣 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 由最大值原理，构造哈密顿函数 日= e 。 j r q ( 亡) ) 4 - a ( 亡) f ( z ) 一u ( 亡) 】 其中a ( t ) 是伴随变量哈密顿函数日表示总资产的总增长率，伴随变量a ( 亡) 反映了财 产值不是它的直接出售价，而是将来生产率所提供的值在任何情况下，a ( t ) 表示在t 时 财产的边际值最大值原理则断言我们寻找的最优控制乱( 亡) 必须使总资产的增长率达到 最大值在随后的讨论中参数的意义是一样的 根据 1 9 中的方法，协态方程为 心垆一筹， 整理得 a ( 亡) = - a ( t ) f ( z ) ( 3 3 ) 耦合方程 器_ e - s t p _ 印m ) 显然控制变量乱( t ) 在哈密顿函数h ( x ，u ，a ，t ) 中是线性表出的，这让我们意识到此 问题是奇异最优控制问题，仅仅依靠最大值原理求奇异控制是不行的，所以引入广 义l e g e n d r e - c l e b s c h 条件【2 剐来辅助最大值原理，这样奇异控制问题就迎刃而解了 奇异最优控制的存在性讨论： 器_ e - a t p - c 训_ 0 ， 可得 入( 亡) = e - 。i t i f q ， 和 风缸= 0 ， 爰( 等) = 一万e - s t p _ q ， ( 3 4 ) 将式( 3 。3 ) 代入式( 3 4 ) 可得 爰( 筹) = 一6 e - s t p _ q 刈妒协 ( 3 5 ) 否o u n d 艺( o a h 钆) = o ， 一 l = i a u n 艺a 钆7 j v 丽d 2 ( 否o h i ) = 6 2 e - s t 【p c 】+ 入( 亡) 7 f ( z ) + 入( t ) f 7 7 ( z ) z ( 3 6 ) 将式( 3 3 ) 代入式( 3 6 ) 可得 夏d 2 。( 0 a i 秕- t ) = 6 2 e - s t 尸一c 一a ( ) f 7 ( z ) f 7 ( z ) + 入( z ) f n ( z ) 【f ( z ) 一u ( t ) 】， ( 3 7 ) 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 石0 u d 百2 。( o 口h u ) ) = 一入( 亡) ，7 ( z ) ( 3 8 ) 其中 叫粤x m x m 筹1 争， ( 3 9 ) 【一了厂 = 2 p _ x m 而- - x 再m x m x m ，( 3 1 0 ) 【上一广j 。 要使熹 嘉( 筹) ) o ，即厂( z ) 6 时，系统( 3 2 ) 的最优资源密度为 ， x o p t i m a l2z m z m 由式( 3 7 ) 可得到相应于最优资源密度的最优收获率乱+ ( 亡) 3 3 生物意义 对符合营养动力学模型的增长函数的单一种群进行开发时，使用量值为饥+ ( t ) 的捕 获率，这样的开发策略在保证最大经济利润的同时，可以使种群的资源密度达到理想的 最优资源平衡密度，既在经济上得到了最大的投资回报率又能使生态系统持续生存下去 1 5 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 4 基于营养动力学的捕食一食饵模型的最优控制 4 1 模型介绍 在捕食者一食饵系统中，捕食者均匀地散布在食饵种群中，而捕食者种群中的个体 只分为两种状态，饱和状态和饥饿状态在捕食食饵时，捕食者处于饥饿状态，捕食食饵 后它转化为饱和状态，而且一直停留在它重新捕食食饵时，都处于这个状态这种非饥即 饱和非饱即饥的捕食者种群结构当然是一种简化了的模式，捕食者种群通过这种反复转 换，与环境中的食饵不断发生作用，将食饵转化为自身，从而使种群不断增殖扩大动物 种群系统一般是个远离平衡的开放系统，其捕食一食饵生态系统的l o t k a - - v o l t e r r a 方程 在一定条件下等价于化学振荡的二分子反应模型崔启武和l a w s o n 首先从化学动力学角 度出发，认为种群增长与资源限制本质上是非线性的关系，应创建一种新的种群增长数 学模型，新模型是对l o g i s t i c 3 1 3 2 矛f i m a l t h u s 1 9 】指数方程的扩展崔启武等进一步发展了 以营养动力学为基础的捕食模型，其捕食者和食饵种群密度随时间的变化由下列微分方 程表示 r ld x ( t ) j1 厂 、 i d y ( t ) l d t =p，z趋一p2瓦x再y1 t， 一 j 、z ：弘72旦一弘3影，k2 弘x + x 一弘3 影 ( 4 1 ) 其中z 和可分别表示了物种a 和物种b 的密度；z m 是现有环境所容许的种群可能达到的 最大值，是有限资源所允许的种群最大密度，不再是指某一种具体的养分所能全部转化 成的种群密度值；z 二是崔模型的一种特有参数，是和营养总量及生物对它的利用效率有 关的参数；肛l p 2 ，肛：! 和p 3 都是正常数，是捕获率这就是由崔启武及其合作者所发 展的以营养动力学为基础的捕食模型，即食饵和种群密度变化所满足的微分学方程【3 3 】3 3 接下来我们对崔启武及其合作者所发展的以营养动力学为基础的捕食模型施加捕 获量，建立相应的开发模型，并设立一个符合其模型的性能指标，应用最优控制原理找出 能使该系统持续下去并使资源管理者获得最大可持续经济利润的最优捕获率 4 2 开发模型一 掣z 讹最怕， 2 ， 百d y ( t ) = p 2 , 而x y p 3 y - u 2 ( ) ， 其中u ，( t ) 和u 2 ( ) 都是正值，是资源管理者所加控制 1 6 基于营养动力擘的种群动力学系统的最优调控 应用【1 9 】中的方法，我们定义如下目标函数 j = m a x e - s t 一g u l ( 亡) + 【p 2 一c 2 u 2 ( t ) d t ， ，0 其中6 是贴现率；p 2 指资源的市场单价；g 和q 分别指资源的单位投入成本 在生态保护中，不可能兼顾一切利益，在未来与眼前利益的比较中，经济学上处理这 种问题的方法是使用时间折扣。尽管对此有很多争议，但是，到目前为止，使用时间折扣 仍然是管理资源的重要手段 为了讨论方便，令 f ( x ，y ) = g ( x ，y ) = 眦薹一p 2 万x 再y ， z m ，x y p 2 五而一p 3 y 由最大值原理，构造哈密顿函数如下 h = e - 6 t 一c l u l ) + p 2 一q 】弘2 ) ) + a l ) f ( z ，y ) + 1 上l ( t ) 1 + a 2 ) g ，y ) 一u 2 ) 】， 其中a a ( t ) 和a 2 ( 亡) 是伴随变量 根据【1 9 】中的方法，协态方程为 ”) i 入衲 整理得 支! ：；三二支： ：；乏二支：；爱： 耦合方程 f ，o h j 否丽 、 a 日 【瓦丽 = a 1 ( t ) 一e - s t c l ， = 一a 2 ( t ) + e - s t 岛一q 】 ( 4 3 ) 显然控制变量乱1 ( 亡) 和毯2 ( 亡) 在哈密顿函数日 ，珏，入，亡) 中是线性表出的，此问题属于奇 异最优控制问题 奇异最优控制的存在性讨论： l8 h j 西丽 、o h 【丽 = a 1 ( 亡) 一e - s t c l = 0 ， = a 2 ( 亡) + e - s t 岛一q = 0 1 7 阳一如阳一动 一 一 = = 可得 和 将式( 4 3 ) 代入式( 4 4 ) 可得 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 e - 6 t 阮一g 】 风1 1 1 = 0 ，皿1 2 u 2 = 0 ， = 5 e 一乳c 1 + a ：( 亡) ， = - s e 。( b c 2 ) 一a ：( 芒) = 6 e 。g a 1 ( 亡) 一a 2 ( 亡) 瓯， = 一5 e 。( b 一岛) + 入1 ( 亡) + a 2 ( 亡) 瓯 石0 u 1 。d 石( 呲o h ) ) = 。， 毫 爰c 差肛。 = - 5 2 e 一乳c a a 1 ( 亡) 7 一a 1 ( z ) z 7 一入2 ( 亡) 7 g ：一a ( ) 2 g ：z ， = 6 2 e 一以 b q 】+ a 1 ( 亡) 7 + a 1 ( 亡) 巧矽7 + a 2 ( 亡) 7 g ：+ 入2 ( 亡) g ：可7 将式( 4 3 ) 代入式( 4 6 ) 中可得 ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 磊d 2 。( c ，o u h 。) = _ 6 2 e - s t g + 入。( 亡) + a 。( 亡) g ：一入。( 亡) f ； ( f - ku 1 ) + a 。( z ) g ：+ a 2 ( t ) g ：g ：一a 2 ( ) g ：( f + 乱1 ) ， 瓦。( ，o u h 。) = 占2 e 砘 岛一q 】一a 。( 亡) 瓦一a 2 ( 亡) g ：+ a ，( 亡) 巧( g 一乱2 ) 一a ，( t ) g ： 一a 2 ( 亡) g ：g ：，+ 入2 ( ) g ：( g 一乱2 ) ( 4 7 ) 1 8 、l，、， 亡 亡 ，ii、 1 2 一 # 2 a 1 , 删 有杀 嘉( 釉 0 由式( 4 5 ) 知 疋( z ，y ) + g ( z ，y ) + 将式，e ，g ：，g y r a t e ( 4 1 0 ) 得 p 1 一扎：警 必一舻2 币c 丽1 】 由上式可得到最优解为 k z + z 一弘3 = 5 。 1 9 p 2 )( 虬+ z ) 2 y= 6 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) g g 入 入 一 一 鬈 舻v 入 入 一 一 l l = 塑挑 塑讹 俨一舻 沪一舻 一1 2 a 一跳 a 一讥，ill，、-_il = = h 皓 塑塑 沪丽 护丽 一1 2 a 一讥 a 一抛 ，-i_j、ll_il z ，可 瓯 乃 鱼 瓦卧一q g 一耻 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 x o p t i m a l = _ 上掣与r ，o p 2 一p 3 6 一肛2 p 2 - c 2 y o p t i m a l 2 一司 ( + z 叫t m n l ) ) 2 瞄警 为了保证最优资源密度是正值，选取足够小的折扣率6 ，使 肌一州 是可以做到的 此时最优资源密度x o p t i m 面 0 和锄t i m n l 0 当且仅当 即满足p ： p 3 + 6 + 即可 + 5 + p 2 a 弘2 p 2 - c 2 恳一岛 由式( 4 7 ) 可得到相应于最优资源密度的最优收获率u i 和“； 4 3 开发模型二 尊id-一pz万x再y#ix 一乱3 ( 亡) ，哥一p 2 万i 一乱3 ( 亡) ， l 一 z p 7 2 舢一 一钆4 ( 亡) ，k i ； p - x 一# 3 y 一钆4 ( 亡) 其中饥3 ( 亡) 和u 4 ( t ) 都是正值，是资源管理者所加控制 应用最大值原理，建立如下性能指标 ，= m a z j f o + 。e - s t 【p 1 由最大值原理，构造哈密顿函数如下 弘2 】 一c 1 u 3 ( t ) + p 2 一c 2 u 4 ( t ) d t ( 4 1 1 ) h = e - s t p 1 一c 1 u 3 ( 亡) + 最一c 之】让4 ( 亡) ) + a 1 ( ) f ( z ，y ) 一u 3 ( 亡) + a 2 ( ) g ( z ，y ) 一u 4 ( ) 】 其中a 1 ( t ) 和a 2 ( t ) 是伴随变量 2 0 芍 ，2 ，2 肛 p ，ii l i l 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 根据 1 9 中的方法，协态方程为 臀； 整理得 ，a ：( 亡) = 一a ，( ) 一a 2 ( 亡) ， i 入：( t ) ：一a 。( 亡) e 一入2 ( 亡) g ：， 8 h o u 3 ( t ) 8 h o u 4 ( t ) = - a l ( t ) + e - s t p 1 一c 1 ， = - 入2 ( t ) + e - 6 t p 2 一g 】 ( 4 1 2 ) 控制变量让3 ( ) 和u 4 ( 亡) 在哈密顿函数日( z ，u ，入，t ) 中是线性表出的，此控制属于奇异控 制问题 奇异最优控制的存在性讨论： 可得 和 f o h j 否丽 、a 日 【一o u 4 ( t ) 将式( 4 1 2 ) 代入式( 4 1 3 ) 可得 fa 1 ( 亡) ta 。( 亡) - - 入l ( t ) + e - a t 【只一a 】= 0 ， 一入2 ( t ) + e - s t 【岛一q 】= 0 e - - s t p 1 一c a ， e - s t 马一q 】 风。u 。= 0 ，三乙。= 0 ， 一6 e 一以 只一c a 】一入：( 亡) ， 一6 e 一& ( 恳一q ) 一入：( ) ( 4 1 3 ) - ( f e 一乳【只一c 1 】+ a 1 ( ) + a 2 ( 艺) g ：， ( 4 1 4 ) 一5 e 一乳( 恳一q ) + 入1 ( t ) + a 2 ( ) g ： 2 1 阳一如阳一曲 一 一 = = ，-、【 程方厶口耦 = 1 1 日一地 日一魄 a a a c 5 d 一出 d 一出，-_-i_，、-_-l = = 日一地 日一啦 塑讹 望讹 d 一出 d 一出，f-iil-j、-iii_i-_一， 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 否0 u 3a d c ( a o u h ；) )a u 3a ca u 3 7 瓦on d c ( 妣o h ) )a 弛n ca u 4 7o = 6 2 e 一& 只一a 】+ a 1 ( 亡) + 入1 ( 亡) z + a 2 ( ) 7 瓯+ 入( t ) 2 g ：z ， = 6 2 e 一鼬 岛一q 】+ 入1 ( 亡) 7 + 入1 ( 亡) 巧+ a 2 ( 亡) g ：+ 入2 ( ) g ：秒7 ( 4 1 5 ) 将式( 4 1 2 ) 代入式( 4 1 5 ) 中可得 丽d 2 ( 瓦o h ) = 铲e 砘【p 1 一g 】一入。( 亡) 一入2 ( 亡) g ：+ 入。( 亡) ( f u ，) 一入，( 亡) e 瓯一 a 2 ( 亡) 瓯瓯+ a 2 ( t ) g ：( f u 1 ) ， 面g a 瓦o h ) = 6 2 e - 6 p 2 一q 卜入，( 亡) 瓦一a 2 ( 亡) 晓+ 入。( 亡) 巧( g 一2 ) 一入。( 亡) e g ： 一入2 ( 亡) g ；g ；+ a z ( 亡) g ：( g 一乱2 ) ( 4 1 6 ) 石0 扎3 甜d 2 ( 毗o h ) ) = 一排) 一批) g ：， ( 4 1 7 ) 瓦0 砸护。( a o 锃h ：) ) = - a i ( 亡) 巧一批) g ： 悻勰一2 m 1 岛均志“卜脚a 【亳t 嘉c 釉一 蝴柏南均高“卜脚脏o 即毫 嘉( 釉独 2 2 0 o 塑讹 堡舻 丝讹 堡舻 ，i-i-，、-【 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 由式( 4 1 4 ) 知 肌一仲： ，只一g 、 z 【p 2 一p 2 而j 夏而 b q p 1 一c 1 一p 3 = 6 将式，e ，晓，g ：代入方程( 4 1 9 ) 整理得 p - 芝斋等帕 w 幺( 1 一麦) 2 r ， p 1 一c 11 z 2 一p 2 丽j 丽 由上式可得到最优解为 x o p t i m a l = 2 陋+ p 3 】玩 ，易一岛 2 p 1 - c 1 一p 3 = 6 p ：一p 3 6 一p 2 p l m “= - # 1 只一a 岛一q p 2 ) z 乙i m 口z 一2 x 印t l m n f z 二+ z m z 二 w 幺( 1 一百x o p t i m a l ) 2 最优资源密度z 印i m g f 0 和t i m 口f 0 当且仅当 即满足p ： p 3 + 6 + p 2 男一日 b q p ： 肋+ 6 + p 2 肛2 p 2 即可 r c 1 恳一q k z 蕊砑可 = 6 m 南y + 司 尸1 一c 1 b 一岛 = 6 ( 亿+ z 卿 m n f ) 2 啮 由式( 4 1 6 ) 可得到相应于最优资源密度的最优收获率u ；和扎： 4 。4 开发模型三 一q - c 1 p 2 】恐 ( 4 1 9 ) 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 掣z 毫啪丽x y ， z m 百d y ( t ) = p , 2 丽x y 一# 3 y - - u s ( 亡) ， 其中1 t 5 ( ) 是正值，是资源管理者所加控制。 应用最大值原理，建立如下性能指标 ，+ o o j = m a x e 。2 【p c 】钆5 ( 芒) ) 斑 ，0 由最大值原理，构造哈密顿函数 h = e - s t p c 】钆5 ( t ) ) + a ( 亡) g 一5 ( 亡) 】 其中久( t ) 是伴随变量 根据 1 9 】中的方法，协态方程为 心垆一筹， 整理得 入7 ( 亡) = 一入( t ) g 7 ( ) ( 4 2 0 ) 耦合方程 丽o h = e 础 p q 一懈 控制变量u 5 ( t ) 在哈密顿函数h ( x ，钆，a ，t ) h 是线性表出的，此问题是奇异最优控制问 题 奇异最优控制的存在性讨论： 丽o h = e 础 p - c 一= 。，a 钆5 ( 亡) 。 。 一r7 可得 a ( 亡) = e - s t 【p q ， 和 h u 5 u 5 = 0 ， 一d(oh5=-se-&dt o u p q 一脚) ， 5 f 1 。j “。， 将式( 4 2 0 ) 代入式( 4 2 1 ) 口- j 得 旦(望)：一5e-6tpq一川g7()，dto 、u 5 ， 。j一。，一、。 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 石0 u 5 口d 【( o h ) = 。，a z 正5 口【( ，u 5 嘉( 篆2 e 础 p _ q 州g b m g ，( 咖7 将式( 4 2 0 ) 代入式( 4 2 3 ) 可得 嘉( 筹2 e 础 p - q 叫彬g ，( 卅椰) g ，( 可) g - u 5 】， 瓦0t鬲d2瓦ohdt ) ) = 一荆g a u 5 。2 、a u 5 7 一、。7 一 否0 珏5 盼d 2 ( o h ) ) = 。，a 珏5o r a 孔5 7 v 即存在奇异最优控制 从式( 4 2 2 ) 戋h ， 5 = g ： 将式，瓦，g ：，g ：代入式( 4 2 6 ) 整理并由系统的平衡方程可得到最优解为 ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) ( 4 2 6 ) 由式( 4 2 4 ) n - 丁得到相应于最优资源密度的最优收获率u ：( 亡) 4 5 生物意义 对于开发模型一，资源管理者为了得到最大的投资回报率，当物种b 的市场价格昂贵 而物种a 的投入成本又不是很高时，为了收获更多的物种b ，资源管理者应以投放率乱：( 亡) 放养a 物种，以捕获率让；( 艺) 捕获b 物种；对于开发模型二，当物种a 的自身增长超过了物 种b 的捕食能力时，资源管理者可将剩余物种a 以捕获率u ；( 亡) 、物种b 以捕获率u ：( ) 同 时进行捕获，这样资源管理者获得了可持续最大利润；对于开发模型j ，当物种a 自身增 长刚好满足物种b 的捕食能力时，只需以捕获率乱；( ) 对b 物种进行捕获；资源管理者对 可再生资源采取以上的管理政策既在经济上获得了最大利润，又保证了生态系统的持续 生存 2 5 基于营养动力学的种群动力学系统的最优调控 5 基于营养动力学的三种群单食物链模型的最优控制 5 1 模型介绍 食物链一词是英国动物学家埃尔顿( c s e i t o n ) 于1 9 2 7 年首次提出的食物链是一 种食物路径，食物链以生物种群为单位，联系着群落中的不同物种食物链中的能量和 营养素在不同生物间传递着，能量在食物链的传递表现为单向传导、逐级递减的特点 生态系统中贮存于有机物中的化学能在生态系统中层层传导，通俗地讲，是各种生物通 过一系列吃与被吃的关系，把这种生物与那种生物紧密地联系起来，这种生物之间以食 物营养关系彼此联系起来的序列，在生态学上被称为食物链捕食食物链中的单食物链 是研究的重点所谓单