（计算数学专业论文）两步多重分裂迭代法的收敛性及其误差分析.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明t 1 坚持以“求实，创新的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 果 3 ，本论文中除目i 文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果 5 ，其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意 作者签名， 日期t 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文迸人 学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编人有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定 作者签名 日期 中文摘要 摘要 2 0 世纪7 0 年代早期，由于并行计算机系统有很多好的性质，如速度快，容量 大，功能强等等，产生于实际需要同时，这也刺激并推动了数值分析中并行算法的 构造 在这篇文章中，我们首先给出两步迭代法的一些推广，甩对角补偿约化方法研究 了松弛多重分裂和松弛两步迭代法的收敛性，并用数值例子验证了理论结果 我们第二部分研究的主要对象是相窖的奇异线性方程组a z = b 即，b r ( a ) ， 其中r ( a ) 表示a 的值域研究了该类线性方程组两步多重分裂迭代法的精确佳。 用舍入误差分祈技术导出了两步多重分裂迭代法向前稳定或向后稳定的条件 关键词：多重分裂，两步迭代，对角补偿约化，收敛性，舍入误差分析，向前稳 定，向后稳定 3 a b 6 t r a c t a b s t r a c t i nt h ee a r l y1 9 7 0 s ，p a r a l l e lc o m p u t e rs y s t e mt h a th a sm a n yg o o dp r o p e r - t i e ss u c h h i g hs p e e d ，l a r g ec o n t e n t ，a n ds t r o n gf u n c t i o n ，e t c ，a p p e a r e dd u e t ot h ep r a c t i c a lr e q u i r e m e n t s m e a n w h i l e ，t h i sa l s os t i m u l a t e st h ep a r a l l e l i n g c o n s t r u c t i o no ft h en u m e r i c a la n a l y s i s i nt h i sp a p e r ，w eg i v eap r o p e rg e n e r a l i z a t i o no ft w o - s t a g ei t e r a t i v em e t h o d w es t u d yc o n v e r g e n c eo fb o t ht h er e l a x e dm u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o da n d t h er e l a x e dt w o - s t a g em e t h o du s i n gt h ed i a g o n a l l yc o m p e n s a t e dr e d u c t i o na t f i r s t t h i si si l l u s t r a t e dw i t hn u m e r i c a le x p e r i m e n t s t h e n ，w es t u d yt h ef i n i t eb e h a l v o ro f t w o - s t a g em u l t i s p l i t t i u gi t e r a t i v em e t h - o d sf o rs o l v i n gah n e a rs y s t e mw h i c hi sc o n s i s t e n ti nc a s eai 8s i n g u l a r ，i e ， b r ( a ) ，t h er a n g eo fa u s i n gt h er o u n d i n ge r r o ra n a l y s i st e c h n i q u e ，w e d e d u c ec o n d i t i o n su n d e rw h i c ht w o - s t a g em u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o d sa l e f o r w a r ds t a b l eo rb a c k w a r ds t a b l e k e y w o r d s ：m u l t i s p l i t t i n g ，t w o - s t a g ei t e r a t i v e ，d i a g o n a l l yc o m p e n s a t e d 舟 d u e t i o n ，r o u n d i n ge r r o r ，f o r w a r ds t a b l e ，b a c k w a r ds t a b l e 4 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n m a n ya r e a so ft h em o d e r ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , a sw e l la se n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n ，n e e dt oc o m p l e t em u c hm o r ec o m p l i c a t e dl a r g es c a l en u m e r i c a lc o r n - p u t a t i o n sa n di n f o r n m t i o np r o c e s s i n gw i t h i nr e a s o n a b l el i m i t e dt i m e h o w e v e r ， s i n c et h et r a d i t i o n a ls e r i a lc o m p u t e rs y s t e mh a sa t t m n e di t ss a t u r a t i o ns t a t en o t o n l yo nt h ee l e m e n tp h y s i c a lc o n d i t i o n ，b u ta l s oo nt h ee x p l o r a t i o na n du t i l i z a t i o n o fb o t hs y s t e ms o f t w a r ea n dn u m e r i c a la l g o r i t h m i tc a nn o ty e ts a t i s f yt h ep r a c - t i c a lr e q l l i r e 壶e n t so ft h em o d e r ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g yo nt h es p e e d ，c o n t e n t a n df i m c t i o no fc o m p u t e rs y s t e m p a r a l l e lc o m p u t i n gi sf a s tb e c o m i n ga ni n e x p e n s i v ea l t e r n a t i v et ot h es t a n - d a r d - 日f p e r c o m p u t e ra p p r o a c hf o rs o l v i n gl a r g es c a l ep r o b l e m st h a ta r i s ei ns c i e n - t i f i ca n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s s i n c ei t e r a t i v em e t h o d sa r ea p p e a l i n gf o rl a r g e l i n e a rs y s t e m so fe q u a t i o n s ，i ti sn os u r p r i s et h a tt h e ya r et h ep r i m ec a n d i d a t e s f o ri m p l e m e n t a t i o n so np a r a l l e la r c h i t e c t u r e s t h e r eh a v eb e e nt w ot r a d i t i o n a l a p p r o a c h e sf o rd e v e l o p i n gp a r a l l e li t e r a t i v et e c h m q u e st h u sf a r t h ef i r s te x t r a c t s p a r a l l e l i s mw h e n e v e rp o s s i b l ef r o ms t a n d a r da l g o r i t h m s t h ea d v a n t a g eo ft h i s v i e w p o i n ti 8t od e v e l o pa l t e r n a t i v ea l g o r i t h m sw h i c hh a v ee n h a n c e dp a r a l l e l i s m t h o u g ht h ec o n s t r u c t i o no fp a r a l l e la l g o r i t h mi sc o l o r f u la n dv a r i e d “t u r n l a r g ei n t os m a l l ”a n d d i v i d ea n dc o u q u c r i ss u b s t a n t i a l l yo n eo fi t sc o m m o n p r o p e r t i e sa n de l e m e n t a r yp r i n c i p l e s j u s tb a s e do nt h i s ，0 l e a r ya n dw h i t e 【2 2 1 p r e s e n tt h ec o n c e p to fm a t r i xm u l t i s p l i t t i n gr e l a t e dt op a r a l l e ls o l u t i o no ft h e l a r g es p a r es y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n s ： a z = b ，o ，b 舻( 1 ) 触c o n c e p ti sr a t h e rp r a c t i c a la n de f f i c i e n ti nm a n ya s p e c t s s u c ha st h ed e - c o m p o s i t i o no ft h el i n e a rs y s t e m ，a n dt h ed e s i g na n d 印p l i c a t i o no ft h ep a r a l l e l a l g o r i t h m t h i sm e t h o dw a sf l l r t h e rs t u d i e db ym a n ya u t h o r s ( s e e 【4 ，9 ，1 0 ，1 1 ， 5 6 i n t r o d u c t i o n 1 6 ，2 4 ，2 6 ，2 7 ，2 9 d t h em u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o dc a l lb et h o u g h to fa sa n e x t e n s i o na n dp a r a l l e lg e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a lb l o c kj a c o b im e t h o d t w o - s t a g ei t e r a t i v em e t h o d w h i c hi sa l s oc a l l e di n n e r o u t e ri t e r a t i o ns c h 锄e ， w a sf i r s ti n t r o d u c e db yn i c h o l s 【2 l 】，a n ds t u d i e df u r t h e r m o r eb ym a n ya u t h o r s ( s e ee g 【2 ，5 ，6 ，8 ，1 2 ，1 8 ，2 8 】) i nt h i sp a p e r w eg i v eap r o p e rg e n e r a l i z a t i o no ft w o - s t a g ei t e r a t i v em e t h o d 、 ，es t u d yc o n v e r g e n c eo fb o t ht h er e l a x e dm u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o da n d t h er e l a x e dt w o - s t a g em e t h o du s i n gt h ed i a g o n a l l yc o m p e n s a t e dr e d u c t i o na t f i r s t t h i si si l l u s t r a t e dw i t hn u m e r i c a le x p e r i m e n t s t h e n ，w es t u d yt h ef i n i t eb e h a v i o ro ft w o - s t a g em u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h - o d sf o rs o l v i n gal i n e a rs y s t e mw h i c hi sc o n s i s t e n ti nc a s eai ss i n g u l a r ，i e ， b r ) ，t h er a n g eo fa u s i n gt h er o u n d i n ge r r o ra n a l y s i st e c h n i q u e ，w e d e d u c ec o n d i t i o n su n d e rw h i c ht w o - s t a g em u l t i s p l i t t i n gi t e r a t i v em e t h o d sa r e f o r w a r ds t a b l eo rb a c k w a r ds t a b l e c h a p t e r2c o n v e r g e n c eo fr e l a x e dt w o - s t a g em u l t i s p l i t t i n g c h a p t e r2 c o n v e r g e n c e o fr e l a x e dt w o - s t a g em u l t i s p l i t t i n g i t e r a t i v em e t h o d s 2 1i n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t e r 。w ec o n s i d e rt h ee a s ew h e nt h ec o e f f i c i e n tm a t r i xai s 玛m p m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t e d e f i n i t i o n2 1 l e ta ，帆，吼，g ，帆a n dbb en nm a t r i c e s l e te k 0 b ed i a g o n a l t h e n ( m k ，b k ，g ，g k ，e k ) ( k = 1 ，k ) i sc a l l e dat w o - s t a g e m u l t i s p l i t t i n gi f ( i ) a = 地一n k ，k = 1 ，一，k ，i sas p l i t t i n go f a ； ( i i ) e k = ，； ( i i i ) m k = b k g ，k = 1 ，k ，i s as p l i t t i n go f 慨 t h et w o - s t a g em u l t i s p l i t t i n gi sa sf o l l o w s ： a l g o r i t h m1 ( t w o - s t a g em u l t i s p l i t t i n ga l g o r i t h m ) g i v e nt h ei n i t i a lv e c t o rx 0 f o ri = 0 ，1 ，2 ，u n t i lc o n v e r g e n c e f o rk = 1 t o k 挑0 = f o rj = 0 t o p 一1 b k y k j + l = 仇y k j + 帆鼢+ b i + l = e k y k k = l c l e a r l y , t h i sa l g o r i t h mr e d u c e dt ot h em u l t i s p l i t t i n gm e t h o dw h e np = 1 a n d t ot h et w o - s t a g em e t h o dw h e n 奄= 1 i ft h es i x t hl i n ei na l g o r i t h m1i sr e p l a c e d 7 8 c o n v e r g e n c eo fr e l a x e dt w o - s t a g em u l t i s p l i t t i n g b y 玑j + l = u 露1 ( c k y k ，+ n k x l + 6 ) + ( 1 一w ) y k j t h e nw eo b t a i nr e l a x e ds t a t i o n a r yt w o - s t a g em u l t i s p l i t t i n gm e t h o d ，t h a t w ec a l l a s a l g o r i t h m2 ，t h 舀t i 8 a l g o r i t h m2 ( r e l a x e dt w o - s t a g em u l t i s p l i t t i n ga l g o r i t h m ) g i 哪t h ei n i t i a lv e c t o ro o f o r t = 0 ，1 ，2 ，- ，u n t i lc o n v e r g e n c e f o rk = 1 t o k 鲰0 2x i f o r j = 0 t o p 一1 鲰j + 1 = u b f l ( e k y k a + 眠轧+ 6 ) + ( 1 一u ) y k j 础，l = 最弧 p k = - - i t h ei t e 跆土i v em a t r i c e 8o fa l g o r i t h m1a n da l g o r i t h m2c a nb er e s p e c t i v e l y w r i t t e na 8 kk t = 取死= 段【( 巧1 瓯) + ( ，一( b f l g ) 9 ) 峰1 帆l w h e r e 晟= ( ，一磺) 圻1 ， r k = u j 1 氕+ ( 1 一u ) ， 风= 磁+ ( j 一磁) 嵋1 肌 n o wl e tu st u r nt ot h ec o n c e p t i o no ft h ed i a g o n a lc o m p e n s a t i o nr e d u c t i o n ， t h ed e s c r i p t i o no ft h em e t h o do fd i a g o n a lc o m p e n s a t i o nr e d u c t i o ni st a k e nw o r d b yw o r df r o m 【1 1 】 帆崂 磷 一 u 十 磺 既 。m | i 帆 p + 磁 取 x m ： 巩瓯 嚣随 = h 竹 磺 一 u瓯 芷脚 = 耳砭 一倒 玩 x 柚 u = p c h a o t e r2 9 l e tab es y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t e ，a n dl e tr b es y m m e t r i ca n dn o n n e g - a t i v e c o n s i d e rt h er e d u c e dm a t r i x b = a r a n d ( a r b i t r a r i l y ) s e l e c tap o s i t i v e ( w e i g h t i n g ) v e c t o r 口，t h e nd e f i n et h ed i a g o n a l l y c o m p e n s a t e dr e d u c e dm a t r i xo fa ： a = d + b ， w h e r edi sad i a g o n a lm a t r i xd e f i n e db y d v r v t h em a t r i xdh e r ei sa l s oc a l l e dt h ed i a g o n a lc o m p e n s a t i o nm a t r i xf o rt h er e d u c e d e n t r ym a t r i xr n o t et h a td 0a n d 五t ，a v ，t h e na b e c o m e ss p l i ta 8 a = a 一( d r ) s i n c ed20 ，r20a n d ( d r ) v 0 ，d ri sp o s i t i v es e m i d e f i n i t e h e n c e 五一ai sp o s i t i v es e m i d e f i n i t e ，a n df o ra n ye i g e n v a l u e 知( 五一1 a ) w eh a v e ( 五- 1 a ) s 1 m o r e o v e r 1 e t a ；m 一 b eas y m m e t r i cs p l i t t i n gw i t has y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xm t h e n i t h o l d st h ef o l l o w i n gc o n v e r g e n c er e s u l t l e m m a2 1f 1 1 l e tab en ns y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xa n dl e t a = d + bb ead i a g o n a l l yc o m p e n s a t e dr e d u c e dm a t r i xo fa t h e n 0 ( 吖一1 ) s2 3 ( m 一1 a ) ，j = 1 ，一，n ， a n dt h u s ，t h es p l i t t i n g a = m j v i sc o n v e r g e n ti ft h es p l i t t i n ga = m ni sc o n v e r g e n t 1 0 c o n v e r g e n c eo fr e l a x e dt w o - s t a g em u l t l s p l i t t i n g w jn o t et h a ti ft h er e d u c e dm a t r i xbi saz - m a t r i xf e g a l lp o s i t i v eo f f d i a g - o n a le n t r i e so f aa r er e d u c e db y t h er e d u c e de n t r y m a t r i xr ) ，t h e n a = d + b i s az - m a t r i xt o o s i n c ea ai sp o s i t i v es e m i d e f i n i t e ，ai sas t i e l t j e sm a t r i x ( i e ， ai sas y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t ez - m a t r i x ) h e n c e ，ai sas y m m e t r i cp o s i t i v e d e f i n i t em - m a t r i x t h u st h e p r o b l e mo fc o n s t r u c t i n gac o n v e r g e n ts p l i t t i n gf o ra l l s y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x ，o w i n gt ol e m m a2 1 ，c a na l w a y sb er e d u c e d t ot h a tf o ras t i e l t j e sm a t r i xw h i c hi sas y m m e t r i cp o s i t i v ed 出n i t em - m a t r i x h e n c e f o r t h ，w h e nw ec o n s t r u c tad i a g o n a l l yc o m p e n s a t e dr e d u c e dm a t r i xaf r o m as y m m e t r i cp o s i t i v ed e 矗n i t em a t r i xaw ew i l la l w a y sm a k eaas t i e l t j e sm a t r i x d e f i n i t i o n2 2t h es p l i t t i n ga = m 一i sc a l l e d ( i ) s y m m e t r i cs p l i t t i n gi fm i ss y m m e t r i ca n d n o n s i n g u l a r ； ( i i ) p r e g u l a ri fm + + n i sp o s i t i v ed e f i n i t e l e m m a2 31 2 0 ll e tab ep o s i t i v ed e f i n i t e a n dl e tt h es p l i t t i n ga = m n b ep r e g u l a r t h e nmi sp o s i t i v ed e f i n i t e l e m m a2 4 【2 3 】f o ra ，h 印“l e tab es y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t e i f a 日。a 日i sp o s i t i v ed e f i n i t e ，t h e np ( h ) 1 l e m m a2 5 【3 0 l e tab eah e r m i t i a np o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x ，a n dl e ta = m n ，w h e r em i sa ni n v e r t i b l eh e r m i t i a nm a t r i x t h e np ( m 一1 n ) 1i fa n d o n l yi ft h em a t r i xm + ni sp o s i t i v ed e f i n i t e 2 2c o n v e r g e n c ea n a l y s i s t h e o r e m2 1l e tab es y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t e a n dl e tt h es p l i t t i n ga = m k n ka n d 地= b k c k ，k = 1 ，一，kb ec o n v e r g e n t m ki ss y m m e t r i c e k = 1 ，e k = o ，0 a 七 册d u 旦( o ，而2 ) p r o o f s i n c eai ss y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t ea n dt h es p l i t t i n ga = m k 一帆 a n dm k = 鼠一c k ，k = 1 ，- ，ka r ec o n v e r g e n t ，b yl e m m a 2 5 ，a = m k n k a n dm k = b k 一瓯，= 1 ，ka r eb o t hp r e g u l a r b yl e m m a2 3 ，m k ，b e ， c h a p t e r2 1 1 k = 1 ，k ，a x e p o s i r i v ed e f i n i t e s ow eh a v e b i l c k = b ( b k m 曲= i b ；1 m k = 圻1 2 ( ，一麒7 2 耳1 碱5 ) 磁胆 h e n c e ，a l le i g e n v a l u e so fb - 1 c ka l er e a l l e th b ea n ye i g e n v a l u e so fb i l c k ， t h e n p 入k + ( 1 一u ) l 1( 2 ) i se q u i v a l e n tt o - 1 u a k + ( 1 一u ) 1 n 0 t e h a t k m ，w h e r e e i su n i t y n o t e t h a t a 一( 何1 i v y ) + a m ；1 n k = a 一( j 一肘f 1 a ) t a ( i 一圻1 a ) = a 峰1 a + ( 】i 钌1 a ) a 一( 何1 ) a ( m f l a ) = ( 蚱1 刚( ( 峰1 a ) 。) a + a a 4 慨一州嵋1 a = ( 蟾1 a ) + ( + 肌) 晦啊 t h e na 一( 岈1 帆) t a m ；1 肌i sp o s i t i v ed e f i n i t e f o rp p 0a n da l lz 舻w i t h z 0 ，w eh a v e z * a z 一矿磁a r 彳k z = ( a 一( 年1 帆) a ( 蜂1 k ) ) 。 一啾( j r 一嵋1 帆) 卅+ a 磁( ，一何1 眠) z 一( 9 1 帆。) a 噬( ，一雌1 肌) z 一【磁( ，一何1 j 怯) 司a m k n k x 。( a 一( 坷1 k ) a ( 行1 j v k ) ) x e ， w h e r e = k 川，一m f l k l + e i a i e i i 一峰1 9 d l z i + 川+ i m ；1 帆i + i a i e i i 一肘i l g k l l z l + i ，一屹1 帆r e i a i i m ；1 9 女l l z l c o n v e r g e n c eo fr e l a x e dt w o - s t a g em u l t i s p l i t t i n g w ec a l ls e l e c tp os u c ht h a t i ss m a l le n o u g hw i t h 矿( a 一( 纭1 ) a ( 屿1 k ) 如 t h u sa h ：a h ki sp o s i t i v ed e f i n i t e ，b yl e m m a2 4 ，p ( 风) 1 f r o mt h ef a c t t h a t i r k = u p b f l 晚) ，r a = ，一h k ，o n eo b t a i n s 风= 1 1 1 一p a a l l a = l i a l 2 ( j p k a ) a 一1 2 1 1 2( 3 ) w h e r ef l 。f | d e n o t e sav e c t o rn o r md e f i n e db y ( z r a 2 ) 1 2f o rav e c t o rz 舻， i i g l hd e n o t e st h ei n d u c e dm a t r i xn o l l t lf o ram a t r i xg 舒“，1 2d e n o t e st h e 如n o r m s i n c eb k ，m ka r es y m m e t r i ca n d 亿= r = 墨= u b i l c k + ( 1 一u v = ，一u ( ，一耳1 c k ) = i u 巧1 帆 i ，( j u b i l 眠) ，】m f l p - 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s t a g em u l t i s p l i t t l n g p r o o f l e t 膏= 噬+ ( ，一娥) m r l 觑b yt h e o r e m2 1 ，p ( 日) 0 f o rk = 1 ，2 ，k s i n c ep ( b f l c k ) 0a n dj r k = u ( ，一巧1 ( k ) ， 一段i sn o n s i n g u l a r b yt h e o r e m2 1 ，户( 取) 1i m p f i e sp ( 噬) 1a n d ( j 一磁) “= 砰 i f 0 h e n a e ， ( 7 ) b yl e m m a s2 3a n d2 5 ，晟，地，k = 1 ，k ，a r es y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t e w h e np = 1 ，t h em a t r i x r = m k ( i 一风) 一1 = u 靠( ，一b i l g ) 一1 = w b k i ss y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t e f i r s t ，c o n s i d e rt h ec a s ew h e np 2i sa ne v e nn u m b e r ，i tg e t s 靠r k = ( b k 一( 魂) ( u 口i 1 ( 氕+ ( 1 一) ) = ( 。c