（基础数学专业论文）光栅反散射问题的一种数值计算.pdf

摘要 本文首先介绍了一维光栅问题及反问题的数学表述。使用适当的人工边界条件， 这些问题数学上可以用h e l m h 0 1 t z 的方程来描述将散射问题限制在有界空间区域内， 然后将反问题转化为初值问题，并对其进行理论分析，构造了求解反散射问题的方 法。 关键词：光栅，电磁散射与反散射，h e l m h o l t z 方程 第i 页 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rf i r s t l yw ei n t r o d u c et h em a t h e m a t i c a lf o r m so fo n e - d i m e n s i o n a lg r a t i n gp r o b l e ma n di t si n v e r s ep r o b l e ms e c o n d l y , b yc h o o s i n gp r o p e rb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h e s ep r o b l e m sc a nb em a t h e m a t i c a l l yd e s c r i b e db yu s i n gh e l m h o l t ze q u a t i o n s w ep a tt h es c a t t e r i n gp r o b l e mi nab o u n d e ds p a c ea r e a ，t r a n s f o r mt h ei n v e r s ep r o b l e m i n t oa ni n i t i a lv a l u ep r o b l e m ，a n a l y z et h er e s u l tt h c o r e a t i c a l l ya n dt h e nc o n s t r u c ta m e t h o df o rs o l v i n gt h ei n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m f i n a l l y ，w ed i s c c u s s et h ec o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a lc o m p l c m a n t so fc o m p u t a t i o n a la l g o r i t h m k e y w o r d s ：g r a t i n g ，s c a t t e r i n ga n di n v e r s es c a t t e r i n g ，h e l m h o l t ze q u a t i o n 第i i 页 刚口 电磁学的散射和反散射理论是数学物理中的重要研究领域当电磁波在不同介 质中传播时，发生的散射根据介质交界面结构的不同2 1 ，我们可阻将问题分为周期问 题和非周期问题由于周期结构易于实现，因此在实际中有着广泛的应用f 3 1 ( 例如光 学透镜的设计) ，这种周期结构通常称之为光栅随着科技的发展，在地球物理，生命 科学，遥感技术以及材料科学等众多科学领域中，光栅的电磁理论得到越来越多的应 用粗略的说，散射问题是从入射场以及波的运动所满足的微分方程来研究散射场特 别地，如果将总场看做入射场和散射场的叠加，那么散射问题是从入射场以及波的运 动所满足的微分方程来确定散射场4 1 近些年来，由于光学在实际中的大量应用，人们开始着重研究另一类散射问题： 光栅问题由于光栅结构的周期性，有关电磁场的s i l v e r m u l l e r 辐射条件不再成立，其 解的性质也与散射体有界时情况不同c h e n 和f r i e d m a n ，n e d e l e c 和s t a r h n g 分别用了 积分方法研究了光栅问题；随后，b r u n o 年d r e i t i c h 使用同伦方法对光栅的散射问题进行 了讨论；后来b a o 等人通过引入人工边界条件将无界区域问题转化为有界区域上的问 题，然后使用有限元的方法进行求解5 1 ，取得了较好的结果但由于微分方程基本解 的复杂性( 在周期情况下，拟周期基本解是无穷级数) 以及人工边界条件的非局部性， 使得光栅问题的数值计算存在一定难度在人们提出的多种人工边界条件中，最有效 的是b e r e n d a r y 于1 9 9 4 年在解决电磁学问题时提出的p m l ( p e r f e c t l ym a t h e dl a y e r ) 技 术，现在p m l 技术已经被广泛使用由于光栅的散射问题是复杂并多种多样的，研究 有效的计算方法仍然是当前热门课题之一自2 0 世纪6 0 年代以来，雷达，声纳，地球物 理探测，医学成像和无损探测等领域都提出了另一类问题，人们通常称之为反问题它 们是由效果、表现( 输出) 反求原因、原象( 输入) 的问题由于此类问题有广泛而重要的 应用背景，其理论又具有鲜明特征，因此吸引了国内外许多学者从事该项研究至今， 它已经发展成为具有交叉性的计算数学、应用数学和系统科学中的一个热门研究方 向反散射问题是一类十分重要的反问题它是近些年才发展起来的，反散射问题面临 的两个基本困难是：非线性和不适定性因此它的计算尤为困难 本文的研究内容是在光栅的反散射问题计算上做一点初步研究首先介绍了一维 光栅问题及反问题的数学表述。在使用适当的人工边界条件之后，反问题数学上可以 用h e h n h o l t z 的方程来描述，并将反散射问题限制在有界空间区域内，然后可以将反 问题转化为初值问题，并对其进行理论分析，最后构造了求解反散射问题的方法。 第i v 页 第一章一维光栅问题及反问题的数学表述 在r 3 中，假设光栅结构不依赖于第三个坐标分量，因此代表光波的电磁波 都仅是z - ，x 2 的函数，考虑t m 极化情况下的光栅问题f 6 1 ，所谓t m 极化情况，即 是作为光波的电磁波，磁场垂直于r 3 空间中的某个坐标轴，不失一般性，设磁 场h 上x 3 ，从而电场可表示成e = ( 0 ，0 ，“( z 1 ，x 2 ) ) 。假定光栅沿一个方向为周期结 构，光栅一侧是由良导体充满则问题的数学表述如下：在r 2 中，空间点的坐标 为( x l ，3 2 2 ) ，两种介质的分界线可用曲线z ：= f ( x 1 ) 表示，其中，( z 。) 是以1 为周期的， 记s = ( z 1 ，( x 1 ) ) 一o o 0 为波数，u = “- + s ，这里乱1 表示由光栅上方的入射波，满足h e l m h o l t z 方 程1 + k 2 u 1 = 0 通常u 为平面波u 1 = e “1 一z 脚2 ，这里o = k s i n 日，卢= c o s 口，入 射角口( 一；，；) ，而乱5 为散射波，满足 4 x u 8 + 2 u 5 = 0 ( 1 2 ) 人们要求的是h e l m o l t z 方程形如u ( z l ，x 2 ) = u 。( z l ，x 2 ) e “。的解，其中u 。是关 于z l 以l 为周期的函数，称这样的解u ( x l ，x 2 ) 为拟周期解令： q = ( z 1 ，z 2 ) d0 z 1 1 ) r = 扛l ，x 2 ) s 10sx ls1 ) r f = ( z 1 ，2 ) i z l = 0 ，z 22 ，( z 1 ) ) 1 1 ，= ( z l ，z 2 ) i x l = 1 ，x 2 ，( 。1 ) ) 此时问题转化为：求u 。，使得 “：+ k 2 ：= 0 n a 扣1 ，x 2 ) 1 ，= 0 僻。u 。( 巩z 。) | n = 在q 上 毽。“a ( 。t ) i 第1 页 第章一维光栅问题及反问题的数学表述 成立。由物理背景；有 n = ( 。1 ，z 2 ) l x 2 = b ，0 3 = 1 茎1 ，假设b s u pf ( x 1 ) ) o b ) 和q 6 = n n ( z 1 ，x 2 ) f z 2 b ) 两个部分在q 6 。内，对8 进行f 0 u r i o r 展开有 + o 。 u 8 ( 。z ) = e x p ( i a x l ) ( z 2 ) e x p ( 2 n x i x t ) 其中 + o 。 = u 。( 勋) e x p ( i c r n x l ) o 。= 口+ 2 n t c = k s i n 0 + 2 n l r 姒蚴= 去序沁，蚴e _ l 一出- 量( 掣郴。“h ) 吲2 n r i x l 掣十嘶水：) = 。； 风钱垆篡 + o 。 矿( 钆z 2 ) = 玩e x p ( i 口椭+ i 卢n z 2 ) 第2 页 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 第一章一维光栅问题及反问题的数学表述 i 风风“p ( i d 。z 1 + i 风她) 此即为在n 上的d n 映射，这里n 表示a 的外法向量在以上讨论的基础上，光栅问 题( 散射问题) 可表述为：求拟周期解u = u 1 十u 8 ，使 其中 “+ k 2 u = 0 ，在n b 上 l ，= 0 塞卜t u 5 + ， 出，) 一毫e x p ( 1 a x l - - i 胁) = 邓e x p ( i o r x l - - i 胁) ( 11 0 ) 对于解这类问题，计算u n g = 强数值方法有：p m m ( p o i n tm a t c h i n gm e t h o d ) ，f s m f f o u r i e rs e r i e sm e t h o d ) $ | i v m ( v a r i a t i o n a lm e t h o d ) 等 本文所考虑的光栅问题的反问题( 反散射问题) 可表述如下：现在我们假设有一 束频率为q 的平面波，满足外行波条件，并在f 2 b 巾满足h e l m h o l t z 方程“+ k 2 u = 0 ， 己知“( z ，z 。) 在n 上的值为“。 糕南n n ( x l , x 2 ) ，求解r 第3 页 算经【 ，6 庄开展hku“为之称 一 以 5 = 所 = ， s 一2 札 丝锄 提 托ly” 是早最开 子 展 算 种 义 这 定 于 中 由有 其 第二章将反问题转换成初值问题 我们考虑将u ( l ，x 2 ) 一e i a x l u 。( z 1 ，x 2 ) 带入到h e l m h 0 1 t z 方程( 11 ) 中，得 簧+ 凳铷n 筹水2a z 抛；一& 1 ”“ 令v ( x 1 ，t ) = u 。( z l ，b 一) ，为记方便将1 用z 表示，此时可将h e l m h o l t z ( 11 ) 方程转化成 关于t 的方程 嘉= 一筹删。塞+ ( o r 2 - k 2 n ( 2 。) 百万2 一百一2 。o 瓦+ ) ”， l 五纠 光栅问题的反问题可以转化成为求 s = ( z ，t ) iv ( x ，t ) = o ) 其中 ( z ，t ) 是方程( 22 ) 满足初始条件 u ( 。，o ) = v o ( x ) 鲁( 圳) 讪( z ) 的解，其中 v o ( x ) l ( z ) 第4 页 ( 2 3 ) ( 2 4 ) “堕孤 第三章f - - 题的适定性分析 令宝= ”，则( 2 2 ) 转化为关于的一阶方程组 震 一象。恚+ ( o l 2 - k 2 ) ” w ( x ，0 ) = v l ( x ) ( 31 ) 此时，方程( 2 1 ) 则转换成为关于”，w 的初值问题。定义算子 工：h ；( o ，1 ) ，l ；( o ，1 ) ： l 一一孬a 2 锄n + ( ”一哟， ( 32 ) 其中h ；( o ，1 ) 是以p 为周期的二阶s o b o l e v 空问 8 】，l ；( o ，1 ) 为以p 为周期的l 2 ( o ，1 ) 空间， 本文中p 取1 ，则( 31 ) 可以写成 a 挑 ( ：) = 4 ( ：) m ，t ) ， ( ，t ) ) ：h 瓢1 ) q ( o ，1 ) 一l 瓢1 ) 。l 瓢1 ) 为分析方程( 3 3 ) 初值问题的适定性，首先对算子a 的谱做一分析 龇c ，a ( ：) 娟) 懈 4 ( ( ：) 南f 3 4 1 式知： 第5 页 ( 3 3 ) ( 34 ) ( 35 ) 、 1 o 0 l ，i、 | l 4 中其 第三章 问题的适定性分析 从而当a 为4 的谱( a 口( 一4 ) ) 时，a 2 为工的谱( a 2 口( l ) ) 、 进步由( 3 1 ) ，( 33 ) ，( 35 ) 可以得到二阶常系数微分方程 一筹q 缸塞小2 “) ”甜”， 迸一步可整理为 象秘n 赛+ ( 3 2 + k 2 _ a 2 胪。， ( 3 。) ( 36 ) 的特征方程是2 + 2 i + ( a 2 + 2 一o t 2 ) = 0 ， 解出特征值6 = i 岛u = 1 ，2 ) ，其中 卢l ：= 一q + 、石f 砑，岛= 一。一、磊丁二 -f 3 7 1 所以方程( 3 6 ) 的通解表达式为 u ( z ) = c 1 e 姚。十岛e 衄( 0 1 ，岛为任意常数) ，”( 。) h ：( o ，1 ) ( 3 8 ) 要想使特征函数u ( z ) 有周期解，则卢l ，岛必须是实数，即a 2 必须是实数或纯虚 数a = 咖( 此时还须旷k 2 ) 。这说明谱点在整个实轴上，或虚轴上( 且满足川k ) 。 对特征函数v ( x ) ，不妨令e l = 1 ，日o v ( z ) = e i g - 。+ 岛e 他z ，又由于 ( z ) 以1 为周 期：v ( x + 1 ) = ( z ) ，故有 e 2 卢一1 = c 生e 。( 胁岛) 。( 1 一e 甩) 显然历岛，所以g = 0 ，此时 u 扛) = e 叫p ， 且口l = 2 n 7 r ， ( 扎= 土o ，土1 ，士3 )( 3 9 ) 又卢。满足方程 卢；+ 2 p l + ( 2 一2 一a 2 ) = 0 ， 解得 a 2 = 群+ 2 岛+ a 2 k 。 一( 卢l + a ) 2 一七2 = ( 2 n 7 r + o ) 2 一七2 ，卢l = 2 n 7 r ，n = 0 ，1 ，2 所以4 特征值为 ， ，、i 土i x k 2 一( 2 n t v + 口) 21 2 n 7 c + q i 南 由谱点可以看出其构不成半群或者群，方程f 3 3 1 不是对任意的初值都有解，也就 是说，反问题不适定。 第6 页 第四章近似方法 ：5 - 法- - 下面我们使用差分法对周期问题( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) 作近似计算 9 1o 。 取空f 司；b - 向差分步长h = v n ，和时间方向差分步长r = t m ，令z ，= j h ，j = 0 ，1 ，2 ，一，及扩= n 7 - ，n = 0 ，1 ，2 ，m ，t 为终止时间，这里，m 为正整数，定 义厅= ，( 巧，铲) 。使用中心差商近似替代方程( 2 2 ) 中的关于时间变量的求导运算 0 2 v ( g ：j ，“坚n t l j n 生n 1 使用中心差商近似替代方程( 2 2 ) 中的关于空间变量的各项求导运算 丝o x ( 彬弘盟 丽0 2 v ( ，t n ) z 盟挚h a 一、。”7 2 得到如下逼近问题( 22 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) 的显式三层差分格式 竺兰_ = 掣：一! 亟三二学一z i a 学+ ( 。2 其中哆为精确解”( j ，n t ) ( j = 0 ，1 ，2 ，n n = 1 ，2 ，) 的近似。 令 。? ：! n _ _ v 于- i 则可将上式写成等价的双层差分格式 堕：二笪：。，n “， 婶“一叼 堕! 二鲨坚! 危2 丐0 = v o ( x j ) ， 掣讪_ l 。， 筹l x = 0 0 = 筹b 1 m o ， 抚l0 t “l z ：。一 将( 4 1 ) ，( 42 ) 式整理为 叼+ 1 = 哼+ r h 2 嵋“ 嵋“= ( i c t h r r ) 哆 z 妇学n 小2 2 ) 哼 ( 4 1 ) 2 ) u ? ，( 4 2 ) ( 43 ) ( 44 ) ( 4 5 ) ( 46 ) 1 + ( 2 r + 0 2 九2 rk 2 2 r ) 嵋一( r + i r ) t 。n + l 十叼 ( 4 7 ) 第7 页 第四章近似方法 其中r 。去为网比 定理4 i 设函数口( z ，t ) 充分光滑，则由( 41 ) 一( 4 5 ) 式定义的显式差分格式的局部截断 误差为碍= o ( t 2 + h 2 ) 。 证明：在网点( ，护) 处将u ( 。j + ，t ”) 及 ( 码，t ”1 ) ，i = 一l ，0 ，1 ；j = l ，2 ，3 ，展 成t a y l o r 级数 v ( x j t “) = v ( z j v ( x 3 ，f “+ 1 ) = v ( z j+ 熹等掣州 卅+ 妾! k t 幽o t k 州0 ) 将以上二式代入误差公式 r 2 = l , a v ( x j , t n ) 一( 丽0 2 v 。 。n ) 一驯圳”) ) ， 得到局部截断误差为碍= d ( r 2 十愚2 ) 其中三。哆为差分算子，其定义如下 l 。哼 嵋“1 2 哼+ 哆一1 嵋￥，一2 哆+ 哆l l 9 - 2。h2 + z i n 学一( 。2 一k 2 ) 哆 口 我们使用f o u r i e r 方法可证明以上显格式是不稳定的。设哆= w e 0 1 ，q = v ? e ”7 ，其中i = 丁，1 2 p t r h ，p = 0 ，- t - 1 ，- t - 2 ，土3 ，。将嵋及叼的表达式代入( 46 ) 和 ( 47 ) 式，消去公因子e 巧，得到 ( ) ( = ( 引：) ( ( 1 + ) 其中：c = 2 + q 2 h 2 一k 2 h 22c o s + 2 c ￥hs i n 3 ，差分格式( 46 ) ，( 4 7 ) 的增长矩阵 ，= ( 1 + 第8 页 第四章近似方法 增长矩阵g ( ，r ) 的特征方程为 l + r 。牛 2 一f 2 + r 2 h 2 c 1 a + 1 = 0 这里特征方程的系数都是实数，则其根按模小于等于l 的充要条件应该是f 2 + r 2 h 2 c l 2 ，即一4s r 2 h 2 cs0 ，事实上这是不可能的，因为r ， 都大于零，且当 充分 小时，c 也大于零，所以增长矩阵g ( z p ，7 - ) 的谱半径p ( g ) 不满足v o nn e u m a n n 条件，也 就是说使用传统的显式差分格式是不稳定的。 使用向后差商及中心差商分别近似替代方程中的关于时间变量、空间变量的各 项求导运算，得到如下逼近问题( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) 的隐式差分格式 丁33+1 n n 1 ：一兰窭兰二= _ 掣一2 i 。掣n + l + ( a 2 - k 。) v ，n + r 2九2 2 一 将上式写成等价的双层差分格式 其中 哼“一哼 ( 4 8 ) 了w?+in ：一竺茎王二兰掣一2 i n 兰n 学+ - 1 n + l + ( 。一。) 哼+ ，( 49 ) t凡。z n 。 将( 48 ) ，( 4 9 ) 式整理为 其中r2 壶为网比 谚= 伽( 巧) 田一呵1 2 r o m v i o t mi 。：o蒙b m - o ， 哼哆- 1 ( 4 1 0 ) 七2 2 r ) 叼十1 一r + 2 。 r ) v j n t + ，1 + 嵋 ( 4l1 ) 第9 页 矿 p娶 铲 一 弘 j j | | 哼q 第四章近似方法 定理4 2 设函数 ( z ；t ) 充分光滑，则由( 48 ) ，( 49 ) ，( 44 ) ，( 45 ) 式定义的隐式差分格式 的局部截断误差为研= 0 阿+ h 2 ) 。 证明：定j 、- ，f 。，n + 1 为 只矿- ：型掣+ 堕n + l f n + l + v n + l 数 铷n 学n + l n + l 将v ( z j 俨) 及口( ，护) 在网点( q ，t n - t - 1 ) ，i 一一1 ，0 ，1 ；j = 1 ，2 ，3 ，展成i 时l o r 级 如，纠刮彬州) + 毒譬警+ 0 ( 一)”( ，矿) = ”( q ，t ”1 ) + 鼍 竺+ o ( r ”) k = 1 如x n - p l 一( 州n + 1 ) + 壹等掣+ 。( 俨) k = l 将以上二式代入误差公式 妒1 = f 巾”1 ) 一( 耐0 2 v 哳。n + l j 一l ”( x j it n + 1 ) ) 得到局部截断误差为碍“= d 一+ h 2 ) 口 我们用f 0 u r i e r 方法分析隐格式的稳定性，设哼+ 1 = w + 1 7 ，叼+ 1 = 1 吁+ 1 7 ，其 中i = 二1 ，7 = 2 p t r h ，p = 0 ，4 - 1 ，4 - 2 ，4 - 3 ，。将哼+ 1 及叼+ 1 的表达式代入( 4 1 0 ) ，( 4 1 1 ) 式 消去公因子e 妇1 ，得到 也就是 ( 二。一：胪) ( ( ：) ( 玢去( ( 嚣) 其中：c = 2 + 0 2 h 2 一2 九2 2c o s 7 + 2 a h s i n 7 ，则隐式差分格式( 4 1 0 ) ，( 4 1 1 ) f f ：j t e d 七 ： 矩阵 矿，一高( 二 第1 0 页 第四章近似方法 a t = f 丽1 a 。一再j 鬲1 蕊 显然当 充分小时a l 1 ，这说明增长矩阵g ( x p ，r ) 的谱半径p ( g ) 不满足v b nn e u 方法二将a 堂对应的特征向量记为逍。( z ) ，则可将( 34 ) 写成 ( ；：) 趣 其中w 彗( 。) = a 尘u 彗( z ) ，由上一节的分析及( 3 9 ) 式，知( 33 ) 的解为 i ? 。c z ，= ( 嚣三) = ( a 堂c ，2 。n 。”。i x 。i 。) 一e 2 ( 。，) 考虑由矿? ( z ) ，p ( 2 ( z ) 张成的解空间 w = s p m ，f 矿? ( z ) ，矿! o ) n z w n = s p a n 矿? ( 。) ，矿! ( z ) l n z ，i n ) ， 型：4砜(z，t)dt 。 v t ， 引圳，= ( ：) 的解面。( 。，t ) 近似地表示为求上式的解，令 面。( z ，t ) ：( ( t ) 矿? 扣) + 6 9 ( z ) 矿! o ) ) n 1 n 则有 ( ：) = l 纛( 啪吵舻) ( o ) 洲) 第1 1 页 f 4 1 2 1 ( 41 3 ) ( 41 4 ) 由( 34 ) 及( 41 2 ) 女n 将此一阶常微分方程的解 第四章近似方法 地：a露(t)dt i m ( t ) = 篮( o ) e x p ( a p t ) 代入( 4 1 3 ) 得 面，( z ，t ) = 啤( 0 ) 矿? 扛) e x po # t ) + c 堂( ) 矿! 扛) e x p ( a 竺t ) ( 4 1 5 ) h i n 及 则 为求碑( 0 ) 2 2 c ! n ( o ) ，分别用矿? ( z ) ，矿! ( z ) 与( 4 1 4 ) 作内积，即 砧( 批。= 碑( o ) j ，1 ( 声( z ) ) ( 矿p ( z ) ) 出0 、，、， z 1 ( 抄烈x ) d x = c z 1 州) d z 碑( o ) 穆1 ( o ) 代：) 如 z 1 ( 矿) 胞) z 1 ( 矿)( 矿，( z ) ) d z 由此算法，当给定初值“o ，“。时，可计算出砜( z ，t ) 。对于具体算例正在进一步讨 论中。 第1 2 页 、；， 0 l u “ ， ， 茁 叫出 乳 声 第五章结论 本文做了以下研究： 1 、研究了一般光栅的散射和反散射问题。这一问题数学上等价于求解h e l m h o l t z 方 程。我们引入适当的人工边界条件，将反散射问题转化为有界区域上的问题。 2 、研究了将光栅反散射问题转化为初值问题，并对其进行理论分析，构造了求解 反散射问题的方法。最后，讨论了算法的计算机实现由于光栅反散射问题的复杂性 和多样性，对于这些问题做出理论分析并提出切实可行的计算方法是应用数学和计算 数学领域中十分重要的的课题，有待于我们去研究。 第1 3 页 致谢 本学位论文是在导师朴勇杰老师和马富明老师的共同指导下完成的 在攻读硕士的三年中，朴勇杰老师无论在学习上还是生活上都给予了我极大的鼓 励和帮助，并亲自送我到吉林大学进修以进一步提高我的业务水平，为我以后研究方 向的确立奠定了坚实的基础。 感谢吉林大学马富明老师，他严谨求实的治学精神，以及令人折服的人格与修养 无不让我产生由衷的敬佩不论从论文题目的选取，还是文章语言的组织，马富明老 师都给予无私的指导。 感谢延边大学领导及同事对我的学习和生活给予了大力的支持和热情的帮助 感谢我的父母多年来一直对我学业，生活的支持和关心 感谢我的师哥师姐师弟们对我学业的鼎力相助 最后向我所有的朋友以及给予过我关心和帮助的人们表示真诚的谢意 第1 4 页 参考文献 1 】d c o l t o na n dr k r e s s ，i n v e r s ea c o u s t i ca n de l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gt h e o r y s p r i n g e r ，1 9 9 2 f 2 j s a s v e s t a sa n dr e k l e i i m m n ，e l e c t r o m a g n e t i cs c t e r i n gb yi n d e n t e ds c r e e n s i e e et r a n sp r o p a g ，1 9 9 4 ；4 2 ：2 2 3 0 3 】a f r i e d m a n ， m a t h e m a t i c si ni n d u s t r i a l p r o b l e m s ，p a r t3 ，s p r i n g e r v e r - l a g ，h e i d e l b e r g ，1 9 9 0 4 v i c t o ri s a k o v ，i n v e r s ep r o b l e m sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s