（机械设计及理论专业论文）同轴度下轮毂轴承的疲劳分析及里程与可靠度数学模型分析.pdf

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采取更加合理的划分子系统的方式，特别是纳入了只有轴承返回件才能反映的防 尘盖和密封圈数据。归纳出子系统的相对失效几率是当里程数比较小，内圈 滚子 外圈；当里程数比较大，内圈 外圈 滚子；内侧 外侧。密封圈与防尘盖的可靠 度曲线是一条比较平滑的曲线，与其他子系统曲线明显不同，在里程刚开始就出 l 主塞塑塞 同轴度下轮毂轴承的疲劳分析及里程与町靠度数学模型分析 现失效的概率，其对整个系统可靠度会产生较大的影响。本章建立了全新的里程 可靠度模型，对以往模型具有一定的矫正意义。 关键词：轮毂轴承：同轴度；疲劳仿真；简化串联模型；里程 作者：李金涛 指导老师：卫瑞元 t h ef a t i g u ea n a l y s e o f c o a 。x i a 1 i t ya n dm a t h e m a t i c a lm o d e lo fm i l e a g ea n dr e l i a b i l i t y a b s t r a c t t h ef a t i g u ea n a l y s eo f c o a x i a l i t ya n d m a t h e m a t i c a lm o d e l o f m i l e a g ea n dr e l i a b i l i t y a b s t r a c t a u t o m o b i l eh u b b e a r i n gi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n ta u t o m o b i l ec o m p o n e n t s i t s r e l i a b i l i t ya n df a t i g u el i f e i st h em o s ti m p o r t a n tr e s e a r c h a tp r e s e n t ，t h es i m u l a t i o na n d f a t i g u ea n a l y s i so f a u t o m o b i l eh u b - b e a r i n gs e l d o mr e f e rt ot h ec o a x i a l i t y t h er e l i a b i l i t y m a t h e m a t i c a lm o d e ld o e sn o tc o n s i d e rs h i e l da n ds e a lr i n go fb i gi n f l u e n c i n go ns y s t e m c o m p a r e dw i t ht h ea c t u a lh a sal o to fe r r o r s t h et i m ev a r i a b l ec o l l e c tm o r ed i f f i c u l t v a r i a b l eq u a n t i t yo fm i l e a g ei se a s i e rt oc o l l e c tt h a nt i m ev a r i a b l e t h em a t h e m a t i c a l m o d e lo fm i l e a g ea n dr e l i a b i l i t yc a nb e t t e rr e f l e c tt h ep r o p e r t yo fh u b - b e a r i n g t h em a i n w o r k a n da c h i e v e m e n t sa sf o l l o w s ： 1e s t a b l i s h e dt h ec o n t a c tm e c h a n i c sm o d e l sa n dc a l c u l a t e dt h ei n s i d et r a c kc o n t a c t p o i n t so fs t r e s sa n ds t r a i n b yc h a n g i n gt h ec o a x i a l i t y , t h ef a t i g u es i m u l a t i o nm o d e lw a s p e r f o r m e d t h ef i n a lc o n c l u s i o ni st h et h ea c t i v eb i go rs m a l lo ft h ec o a x i a l i t yh a sab i g e f f e c tt os a f e t yf a c t o r v 矿l l e nc o a x i a l i t yc h a n g eb e y o n do n e s e l fa d j u s tr a n g e ，t h es a f e t y f a c t o ro ft h es l o p ec u r v ec h a n g e sw i l lb ei n c r e a s e d ，f a t i g u ed a m a g ew i l lo b v i o u s l yf a s t e r a n dw o r s e t h ec o a x i a l i t yi st h em a i nf a c t o rt oa f f e c tt h ef a t i g u e w h e nt h ec o a x i a lo f e r r o ri st o ol a r g e ，t h ef a c t o rb e c o m e ss t a b l e 臼e n da n dc l o s et oo re v e nl e s st h a n1 a tt h i s t i m ei no b v i o u sb e a r i n gs e c u r i t yh i d d e nd a n g e ro rf a t i g u e d a m a g et ot h es t a t e 2e s t a b l i s h e dt h es e r i e s s i m p l i f i e dm o d e l ，a c c o r d i n g t ot h et r u n c a t e dt h e m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t es a m p l e a u t o m o b i l eh u b b e a r i n gi sm o r er e a s o n a b l e d i v i d e di n t os u b s y s t e m t h i sm o d e le s p e c i a l l yp u tt ou s ed a t a so fs e a la n ds h i e l d c o l l e c t e df r o mr e t u r np a r t s e s t a b l i s ht h em o d e lf o rv a r i a b l em i l e a g ea n dc a l c u l a t e m o d e lv a r i a b l e sb ym a t l a b t h ec o n c l u s i o ni so b t a i n e dt h a tt h ep r o b a b i l i t yo ff a i l u r e a p p e a rr e l a t i v e l yi sw h e ny o u rm i l e a g ei ss m a l l ，i n n e rr i n g r u n n i n gp u l l e y o u t e rr i n g ； 协ob i gi n n e rr i n g o u t e rr i n g r u n n i n gp u l l e y ；i n s i d e o u t s i d e t h es e a l i n gs y s t e mc a l l h a v eag r e a ti m p a c to ns y s t e m t h ep r o c e s si se a r l ya n ds t e a d y e s t a b l i s h i n gan e w m o d e lh a sac o r r e c tm e a n i n go np r e v i o u sm o d e l h i 中文摘要 同轴度下轮毂轴承的疲劳分析及里程与可靠度数学模型分析 k e yw o r d s ： a u t o m o b i l eh u b b e a t i n g ； s i m p l i f i e dm o d e l ；m i l e a g e i v c o a x i a l i t y ；f a t i g u es i m u l a t i o n ；s e r i e s w r i t t e n b y ：j i n t a o l i s u p e r v i s e db y ：r u i y u a nw e i 第1 章绪论 目录 1 1 1 选题的背景和意义1 1 2 汽车轮毂轴承的发展现状1 1 2 1 第一代轴承简介2 1 2 2 第二代轴承简介2 1 2 3 第三代轴承简介2 1 2 4 第四代轴承简介3 1 3 国内外研究现状4 1 3 1 接触理论及疲劳理论的国内外研究现状4 1 3 2 轴承可靠性建模的发展现状5 1 4 研究的分析方法及主要内容6 第2 章非线性接触及疲劳理论 8 2 1 有限元理论的发展8 2 2 接触问题有限元法的理论知识8 2 2l 接触面的力和位移边界条件 2 5 】9 2 22 一般接触形式的力和边界条件1o 2 2 3 接触问题中拉格朗日乘子法和罚函数法算法1 0 2 2 4 摩擦滑动接触问题的有限元方程 2 7 】1 3 2 2 5 摩擦滑动接触问题的有限元求法1 4 2 3 疲劳分析的理论基础1 5 2 3 1 累积损伤理论。1 5 2 3 2s n 曲线及近似估计1 6 2 3 3 名义应力法求疲劳寿命强度1 8 2 4 本章小结2 l 第3 章轴承的仿真建模及其分析 3 1 接触分析的建模2 2 3 2 轴承模型的处理2 2 3 2 1a n s y sw o r e k b e n c h 软件介绍2 2 3 2 2 网格的划分2 3 3 2 3 单元选择2 4 3 2 4 接触约束的设置2 5 3 3 有限元结果的分析2 6 3 4 同轴度变化情况下的疲劳分析2 7 3 4 1 同轴度误差的介绍2 7 3 4 2 疲劳分析的设置2 8 3 4 3 结果分析2 9 3 5 本章小结3 l 第4 章轴承数学模型的建立及子系统分析 3 2 4 1 串联系统的可靠性3 2 4 1 1 串联系统的数学模型3 2 4 1 2 串联系统可靠度的简化计算法3 3 4 2 可靠性数学模型的推导3 3 4 3 建立轴承的数学模型3 5 4 4 数据的处理3 6 4 5 本章小结4 l 第5 章结论与展望 4 2 5 1 结论4 2 5 2 展望4 3 攻读学位期间本人出版或公开发表的论著、论文 附录 致谢 4 7 鹌 5 1 同轴度下轮毂轴承的疲劳分析及骥程j 叮靠度数学模型分析第1 章绪论 1 1 选题的背景和意义 第1 章绪论 步入2 1 世纪，随着汽车工业的不断发展，安全问题越来越受到人们的重视， 汽车轮毂轴承是汽车中一种举足轻重的零部件，主要功能是支撑转轴，引导转动 并承受由轴传递而来的载荷。目前国际上汽车轮毂轴承发展已经进入了第五代， 不过在本文国第一，二，三代轴承仍然在汽车行业中有着广泛的应用。 在轮毂轴承的安装，运输，使用过程中，会产生轴承与轴同轴度的轻微改变。 如果改变的量超过了允许的误差，就会对轴承产生一个冲击力作用，影响轴承的 正常工作以及加速疲劳损伤。根据统计的轮毂轴承返回件分析数据得出，同轴度 变化所引起的轴承损坏所占的比例很大。目前国内对同轴度变化所引起轴承损坏 的研究并不是很多，本文对同轴度变化进行了仿真以及疲劳分析。 对大量的返回件抽样分成一个个的子单元分析故障原因。发现轴承的可靠度r 比研发预计的可靠度r 要小的多。现在国内外对轴承可靠度的研究都是采用威布 尔建立串联的数学模型分析可靠度r 与工作时间t 之间的关系。所采用的数据往 往是实验室理想状况下的数据，这样会忽略防尘盖与密封圈的作用，而随着汽车 工业的发展密封圈与防尘盖扮演的作用越来越大。防尘盖与密封圈起到了第一层 保护的作用，而这种作用在本文国西部沙尘比较大的地方更为明显。并且在分析 的过程中把内圈与外圈作为一个系统分析，现在更为先进的分析方法是把内外圈 分为内外2 侧，更好的分析故障的原因并且结果更加准确。在实验室的条件下， 只能分析r 与时间的关系，在应用中并不是很方便，汽车轮毂轴承可以通过里程 表便捷的记录轴承的里程数，所以本文采取实际工作下汽车返回件的轴承分析， 建立可靠度r 与里程数s 之间的数学模型。这样对传统模型有一定的校正意义。 1 2 汽车轮毂轴承的发展现状 汽车轮毅轴承的作用主要是承受汽车的重量及为轮毅的传动提供精确的向 第1 章绪论 同轴度下轮毂轴承的疲劳分析及早程与町靠度数学模型分析 导。轮毅轴承在运行时既要承受轴向载荷又要承受径向载荷，是十分重要的安全 件。传统的两套单独的角接触球轴承和圆锥滚子轴承目前广泛的应用于本文国现 阶段的汽车生产中。近年来随着科学技术的快速发展以及人们对汽车安全性能的 不断要求，知名的轴承公司与汽车公司联合不断研制出全新一代安全性能更加达 标的汽车轮毂轴承。汽车轮毂轴承已经从第一代发展到了第五代。 1 2 1 第一代轴承简介 第一代汽车轮毂轴承主要采取圆锥滚子接触或双列角接触球轴承的形式。它 的组成形式是一个外圈和两个小内圈。为了确保装配到车轮上时轴承的预紧力要 求，沟心距必须有一个很高的精度。内圈滚道也必须有一个非常精确的定位，修 形器通过多角度磨削可以实现高精密的加工来实现内圈的精确定位。这种结构的 优点十分明显，有效载荷间距短易安装无需调整、可靠、结构紧凑等。本文国现 阶段的引进车型基本采用第一代轴承。 1 2 2 第二代轴承简介 第二代是将与轴承相配合的零件即轮毅或转向节与轴承套圈制成一体的结构 型式，第二代产品在本文国汽车车型中也有广泛的应用，生产基本采取流水线生 产来缩短生产周期。而第二代则采用在线高频加热的方式进行淬火，在回火工艺 中也使用了感应加热系统以节省空间并缩短生产周期，为了减少热处理变形所需 的磨肖时间在热处理后紧接着引入一次装夹车削两个滚道的工序以减少车削时 刀架的重复拆卸时间。 1 2 3 第三代轴承简介 日本公司已经成功开发出了获得最佳预紧力负游隙的技术。它既能提高汽车 悬架所需的车轮稳定性又能提高轴承寿命。该技术已经能加工出满足刚度和寿命 的最佳间隙和结构变形。带凸缘的内圈与另一个内圈整合为一体，使装配过程十 分困难。目前普遍使用的设计方案是通过锁紧螺母把小内圈与带凸缘的内圈固定 在一起，防止小内圈从带凸缘的内圈上松脱会导致轮子与车身脱离情况的发生。 轴向力的产生应确保小内圈的轴向紧固防止两个内圈之间相对旋转，蠕变确定 合适的预紧力以提高寿命刚性和旋转精度，当受到外力时防止两个内圈上相互配 2 问轴度下轮毅轴承的疲劳分析及单程j 可靠度数学模型分析 第l 章绪论 合的接触表面发生分离。 s k f 带有a b s 传感器的第三代轮毅轴承单元对制动系防抱死系统对车辆安全性 作出了巨大贡献。据报道从2 0 0 0 年起欧洲所有的轿车及轻型商用车都要将a b s 传感器作为标淮配置安装。把a b s 安装到轮毅单元中有许多优点其中汽车制造商 最感兴趣的是节约成本。s k f 为汽车工业生产轮毅轴承已经近6 0 年。s k f 提出基 于感应原理的被动a b s 传感器。使汽车的安全性进步提高。内置a b s 传感器的第 三代驱动轮毅单元已成为发展趋势各大轴承公司都在积极研制。n s k 旋压成形第三 代轮毅轴承。在传统的第三代轮毅轴承单元的设计中，两个内圈是用锁紧螺母牢固 地连接在一起的，而n s k 开发的新结构是将小内圈压紧去掉螺母以便于减小轮毅单 元的重量和尺寸。内圈产生塑性变形是由轴端旋压成型轴向力产生的。提高可靠 性驱动轮和非驱动轮都适用采用旋压成形技术，提高即使连接螺母松动轴承自身 也可以提供预载保证。旋压成形采用的是旋转模锻工件上转动时带凸缘内圈的轴 端受到来自下部的压力产生塑性变形，直至小内圈牢固的连接在一起。 第三代轮毂轴承采用了高性能密封圈，由于轮毂轴承非常靠近地面与高温刹 车盘等零件，以及汽车可能会遇见的各种复杂的路况与恶劣天气。因此轮毂轴承 必须有良好的耐热防泥特性。第三代轮毂轴承在功能性、紧凑性、可靠性及维护 性等性能方面要更加优秀。第三代轮毂轴承普遍采取了摇辗技术自锁内圈，使第 三代轮毂轴承无论在驱动轮还是非驱动轮方面都具有了减少体积和重量，降低成 本，避免调整内部零件位置的步骤。现在第三代轴承的研究方向是通过减轻轮毂 轴承的重量、体积和摩擦力矩来实现环保意识降低油耗量。第三代轮毂轴承通过 一体化减轻车轴重量。第三代轮毂轴承比第二代轴承减轻了3 0 0 9 。轮毂轴承的低 摩擦力矩设计进一步降低了汽车的油耗，轴承的摩擦力矩成分中密封造成的占很 大部分。改进密封设计降低摩擦力矩可提高轮毂轴承的性能。 1 2 4 第四代轴承简介 第四代是把等速万向节与轴承做成整体化，这种形式最引注目的是废除轮毅 花键轴，更加小型化，安装更加合理。车轮毅轴承已从传统的分离式轴承发展到 轴承单元。汽车轮轮毅轴承正逐步成为与车轮支承组装连为一体的内部部件，第 四代不需要调整轴承组装间隙，安装与使用更加方便安全，轴承组装工艺合理化 3 第1 章绪论 同轴度下轮毂轴承的疲劳分析及里程与可靠度数学模型分析 轻量化和小型化提高可靠性一次性装脂免维护降低整体成本。 1 3 国内外研究现状 1 3 1 接触理论及疲劳理论的国内外研究现状 1 9 世纪末，h e r t z 首先建立了理想弹性体之间相互无摩擦接触的公式，并通 过试验发现了接触边界滑动接触状态，提出了接触问题的理论基础一弹性接触理 论理论，为研究接触问题打下了理论基础乜1 。 2 0 世纪4 0 5 0 年代有限元迅速发展。6 0 年代开始，有限元被广泛的应用于接 触问题的研究中。 2 0 世纪7 0 年代，c h a n ，t u b a b l 和o h t e h l 先后将有限元分析推广到带c o u l o m b 摩擦的二维和轴对称的弹性接触问题中。a b j o n e s 提出了比较完整的滚动轴承拟 动力学分析方法个拟动力学分析方法，包含了轴承刚度分析理论，分析中首次提 出了滚动轴承刚度矩阵概念。 2 0 世纪7 0 8 0 年代年，c t w a l t e r s 提出了动力学分析方法喳1 ，该分析方法考 虑轴承从转动开始的整个动力学过程，考虑轴承零件速度变化和相应惯性力影响， 通过对动力学方程组进行积分迭代，可以得到轴承转动后任意时刻滚动体和保持 架的位移、转速以及轴承内部滑动情况。 2 0 世纪末期年，日本n s k 公司开发了滚动轴承分析软件b r a i n 阳1 ，将轴承、轴 承座和转子视为一个系统，实现了轴承旋转状态下的动态多功能仿真分析。 2 0 世纪4 0 年代年m i n e r m a 根据材料吸收净功原理，提出了 p a l m g r e n m i n e r 线性累积损伤法则，被称为m i n e r 法则 1 。m i n e r 法则：在 等幅疲劳载荷下，当材料在每一应力循环中吸收等量的净功到临界值的时候， 材料就会发生疲劳破坏：在不等幅及变幅疲劳载荷下，材料最终破坏的临界 净功全部相等；在变幅疲劳载荷下，材料各级应力循环中吸收的净功是相互 独立的过程与应力等级的顺序无关。 到2 0 世纪5 0 年代，疲劳已发展成为一个举世瞩目的科学研究科目。在这一 时期的研究工作，主要集中在金属的腐蚀疲劳，单向形变和循环形变的缺口效应， 疲劳破坏的累积损伤模型，变幅疲劳，以及材料强度统计理论阳1 。 4 同轴度下轮毅轴承的疲劳分析及单程j 可靠度数学模型分析第1 章绪论 2 0 世纪6 0 年代年，断裂力学和疲劳这两门学科在断裂力学基础逐渐结合起来。 2 0 世纪6 0 年代末期，统计学开始被应用于疲劳学中，将概率统计与疲劳设计 相结合产生了可靠性设计。概率统计方法进行计算，得出更加符合实际的结果。 2 0 世纪7 0 年代，y p c h i u 与t e t a l l i a n 归1 提出了接触疲劳破坏m a n s o n 一- c 处理方法引起颦性应变与疲劳寿命的表面和表面下的缺陷因素，并以此为假设提 出了接触疲劳破坏工程仿真模型。该理论对滚动轴承最小寿命作出了较准确的预 测。但是工程仿真模型中包括许多待定系数，推导和分析也不够严密，使用的准 确度不高，值得进一步完善和发展。 本文国对轴承的运动仿真多了很多的研究，张雪萍，姚振强n 们对轿车轮 毅轴承多体接触祸合力学建模及其载荷应力进行过模拟。张召明，王秋成， 庞启兴n 等对汽车轮毅轴承进行了模拟，根据模拟和分析结果提出了影响汽 车寿命的影响因素及其改进途径。洛阳轴承研究所n 引万长森利用经典h e r t z 弹性接触理论给出了轴承径向游隙为零和不为零时两种情况时载荷分布的计 算公式。浙江大学赵联春博士通过研究球轴承滚动体与内、外圈滚道接触副， 得出了球轴承动态刚度计算方法n 引。虽然对轴承的仿真比较多，但是基于轴 于轴承同轴度变化的仿真比较少。 1 3 2 轴承可靠性建模的发展现状 2 0 世纪中期l u n d b e r g 和p a l m g r e n 提出了著名的最大动态剪切应力理论，为 轴承的寿命预测建模建立了基础，并首次在轴承寿命的研究领域引进了威布尔分 布理论建立了第一个轴承寿命的统计学模型l - - p 模型n 劓。 2 0 世纪8 0 年的年i o a n n i d e s e 和h a r r i s t a 在l p 模型的基础上提出了当 轴承受载体材料在承受一个低于疲劳持久极限值的应力载荷时，受载体不会发生 疲劳失效的新寿命理论，该理论能很好地解释理想条件下耐久试验中所出现的超 长寿命现象n 别。 2 0 世纪末，t a l l i a n 根据数年来寿命试验的结果，对l p 的计算模型进行 了修正，运用规定额定动载荷计算法得出了轴承寿命，并以此为基础建立了新的 模型n 引。新模型考虑的因素比较多，结果比较准确，但是待定系数比较多，应用 起来不是很方便。 5 第l 章绪论 同轴度下轮毂轴承的疲劳分析及里程与可靠度数学模型分析 2 l 世纪出，滚动轴承的寿命预测成功的引入了人工神经网络的智能理论，像 模糊神经理论，混沌学等。 国内根据威布尔部分理论研究轴承寿命的方向舵局限于二参数轴，极少涉猎 到三参数威尔分布的领域。王坚永，茹诗松，周纪萝滚动轴承疲劳寿命的截尾试 验和寿命分布参数的估计方法n 刀可靠性与寿命之间的关系出发，提出了在不同的 可靠度范围内，采用不同的寿命计算方法。赵传国用威布尔理论对滚动轴承失效 分析作了概论n 射。葛霄，陈远志针对使用两参数w e i b u l l 分布描述滚动轴承的疲 劳寿命时，在高可靠性区域的寿命预测值偏低这一问题提出了基于接触疲劳强度 的三参数w e i b u l1 分布滚动轴承寿命预测模型n 引。张召明首次对轴承寿命威布尔 分布三参数进行了研究啪1 。茹诗松，王玲玲对威布尔分布的实效数据的可靠性分 析研究心。 1 4 研究的分析方法及主要内容 本文主要分析方法是建立轴承的运动模型，分析其内圈的受力情况，在疲劳 仿真的过程中用改变轴承施加载荷的波动量大小来表示同轴度的变化量。对轴承 内圈局部应力最大点进行疲劳分析，以确定同轴度变化对轴承的损坏。并通过轮 毂轴承返回件的数据，建立串联模型，将轴承分为8 个子系统建立一个可靠度于 里程之间的数学模型，对传统的可靠度于时间模型有校正意义。 本文的主要研究内容： 第1 章主要介绍了轮毂轴承的接触理论，汽车轮毂轴承的国内外发展现状， 可靠度理论及疲劳理论的国内外发展状况及目前对轮毂轴承的研究状况进行了分 析和探讨。 第2 章介绍有限元理论，以及接触的非线性理论和疲劳理论，为后文中的有 限元软件a n s y s w o r e k b e n c h 计算提供理论依据。 第3 章介绍了运用a n s y s w o r e k b e n c h 计算轴承模型的步骤，并分析轴承的应 力结果，运用疲劳分析模块，分析同轴度误差改变所引起的疲劳损坏。 第4 章根据基于截尾样本的最大似然估计建立轴承串联数学模型，将以往并 没有纳入的防尘盖和密封圈以及油脂纳入模型中，并将轴承的各部分分解更为详 6 同轴度下轮毂轴承的疲劳分析及取程与可靠度数学模型分析 第1 章绪论 细。依靠汽车轮毂轴承的售后返回件的数据，建立里程与可靠度的全新数学模型。 第5 章总结与展望 7 第2 章非线性接触及疲劳理论同轴度下轮毂轴承的疲劳分析及里程与可靠度数学模型分析 第2 章非线性接触及疲劳理论 2 1 有限元理论的发展 从1 8 世纪末高斯的加权余值法开始，有限元的数学基础开始形成。但它 在工程上的应用，是从结构分析方面开始的。直到1 9 6 0 年以后，随着电子计 算机的广泛应用和发展，有限元法的发展才显著加快。“有限元法 这一名 称是克拉夫乜2 1 在1 9 6 0 年做平面弹性问题分析时首先引用的，第一次成功尝试 是对飞机结构的分析。使人们开始认识到有限元法的功效。几十年来随着计 算机技术普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到 了越来越广泛的重视，有限元法在机械制造、船舶、铁道、石化、能源、材 料加工、土木建筑、汽车、航空航天、电子电器，国防军工，科学研究等各 个广泛的领域得到了应用。现在在流体力学、电磁学、热力学、生物工程等 方面也有广泛的有限元法的应用心引。 有限元法的求解问题的基本过程主要包括：分析对象的离散化，有限元求解， 计算结果的后处理三部分。有限元法是应用局部的近似解来建立整个定义域的解 的一种方法，可以方便地处理机构接触与实效等非线性理论解决的问题。有限元 法的分析基础是：把求解域离散化为若干个有限个单元的集合，这个集合能够近 似地模拟和逼近求解域。通常用未知场函数在单元各个节点上的数值以及差值函 数来表示单元内的近似函数。在有限元分析中，这些未知场函数的节点值就成为 新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变为离散的有限自由度问题。求 解离散方程组就能得到有限元法的数值解。 2 2 接触问题有限元法的理论知识 接触问题属于不定边界问题，即使是简单的弹性接触问题也具有非线性，其 中既有由接触压力分布变化和接触面积变化而产生的非线性问题，也有摩擦作用 产生的非线性问题m 1 。 8 刚轴度下轮毅轴承的疲劳分析及单程扣r 靠度数学模型分析第2 章非线性接触及疲劳理论 为简化分析过程，分析接触问题的时候一般采用如下基本假设： 1 接触表面摩擦作用服从库伦定律。 2 接触表面几何是光滑连续的曲面。 3 接触表面的弹性流体动力学润滑作用通过摩擦系数体现。 4 接触表面的力边界条件和位移条件均可用节点参量描叙。 2 2l 接触面的力和位移边界条件 2 5 】 图2 1 来表示两个物体i 和n 相互接触的情形。将物体i 称为接触体 ( c o n t a c t o r ) ，物体兀为目标体或靶体( t a r g e t ) 。以便推出三种状态下力和位移的 边界条件，在接触面任意点建立右手坐标系x = ：x a ，如图2 - 1 所示 图2 1 接触物体及其坐标系 其中，坐标轴z 和五位于接触点的切平面内，且相互正交，葛沿接触点的法 线方向并指向接触体i 。分别记坐标系三个单位向量_ f ：，乏，则= 刀。其中，1 1 为 物体兀在接触点的单位外法向矢量。沿局部坐标系的位移，应变和应力矢量分别 为 材= “，甜：，越) r ( 2 1 ) 9 第2 章非线性接触及疲劳理论 同轴度下轮毂轴承的疲劳分析及罩程j 可靠度数学模型分析 占= 墨。，之，蠢，2 艺，2 蠢。，2 4 ： r ( 2 2 ) 仃2 t q i ，吒3 ，吒3 ，q l ，q 2 ，。 ， 个 ( 2 - 3 ) 在计算几何非线性，其他的应力必须考虑。应变度量，可以通过局部坐标系 推导出。单位基矢量可以用局部坐标系下的位移分量来表示。 以= ( t ) 7 ( 2 4 ) 接触点对的三个局部坐标系方向的接触面力和间隙分别为 3 = 一乃 ( 2 5 ) = l 3 以= p = 1 1 q j = l 反= z 0 一z + 么= ( ) ru _ 材z z ) + 盔， = l ，2 ，3 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) 式中，和舻分别为局部坐标系中几何物体i ，t i 上对应接触点的位移分量， d = “，以，z r 为接触点对间的初始间距，其中彳= 之- - 0 。 2 22 一般接触形式的力和边界条件 分离状态下的力和位移边界条件： 位移条件西 0 ，面力条件，p ”= p 一= o 。 粘贴接触状态下的力和位移边界条件： 位移条件西= 0 ，反= 反= 0 。面力条件p v + p = o ，a = 一= 群 0 ， ( 矗) 2 + ( p ：) 2 一谢。 滑动状态下的力和位移边界条件： 位移条件g ：= 0 。面力条件p v + p 一= 0 ，反= 一= 群 o ， ( 矗) 2 + ( p ：) 2 一碱 2 2 3 接触问题中拉格朗日乘子法和罚函数法算法 接触问题中常用的算法有四种，常用的是拉格朗日乘子法和罚函数法协1 。 接触问题一般采用增量解法。将接触面约束条件引入势能泛函，可构造出如 1 0 ! 塑堕i 丝墼塑堕的疲劳分析及单程- j 可靠度数学模型分析第2 章非线性接触及疲劳理论 卜的形式的泛函。 石= u 一矽+ g ( 2 - 8 ) 其中，u 为应变能，w 为外力功，g 为接触面约束条件对应的约束项。于是 问题的解相应于上述泛函的极值条件。 勋= 础一册+ 6 g = 0 ( 2 9 ) 其中 砌= ，( 瑟) 7 矿+ 1 d v ( 2 1 0 ) 硼= ( 如) 7 f “1 d v + ，r ，( 抛) r ，“1 订+ ，y ( 抛) rp u d v ( 2 1 1 ) 采用拉格朗日乘子法，则 g = = ，r ：+ 。( 五i + 1 ) rg i + 1 d r ( 2 1 2 ) 式中 a = ，正， r g = 晤，反，西 r 其中允= 爿，正) r 为拉格朗日乘子。对式2 - 1 0 求变分 6 g = ，r 。( 觑1 ) 一g 川d r + ，r 。( 名1 ) r 妇d r ( 2 1 3 ) 将e 式分为两部分 ( 阳) 五= ，r c ( 觑t + 1 ) 一g “1 订 ( 阳) 五= ，r c ( ) 7 以a t 其中名为局部坐标系中接触面上的接触力矢量。 可以导出 蹦= ( ) 7 万( 材i 一甜n ) 考虑到砌( 殛) 和磁的任意性，从式2 - 1 3 中可以得出 6 u 一删+ ( 万g ) 。= 0 ( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 1 6 ) 第2 章非线性接触及疲劳理论 同轴度下轮毂轴承的疲劳分析及里程与可靠度数学模型分析 ( 8 g ) 工= o 在粘结接触状态分析过程中，彳，和以都是未知的，由上式完整相应的方程 数量。 分析无摩擦的接触情况，切向运动不受约束，此时爿= 乞= o 。在分析有摩擦 的滑动接触情况下，根据库伦定律可按下式确定爿，正， 矿1 = 一甜名“1 ( 甜y 一以m 1 ) 材“ ( 2 1 7 ) “1 = 一材硝+ 1 ( 甜芦+ 1 一材y ) ”y ( 2 1 8 ) 其中， 甜+ 1 = ( 以址+ l 一叫肚+ 1 ) 2 + ( 材一玩，“) 2 ( 2 1 9 ) 从上式可以看出，对于滑动接触状态，都存在一个独立的拉格朗日乘子疋， 与摩擦状态无关。4 式中补充法向不可侵入方程。 用拉格朗日乘子法引入接触面约束条件是约束条件得到精确的满足。但也存 在一定的缺陷，降低了计算结果的精度。 采用罚函数法将接触面约束条件引入泛函，此时 g = 芎1 ，r 。( g 1 ) ! 人g 1 卯 ( 2 _ 2 0 ) 式中a = d i a g ( a l ，么，西) ，其中，幺，以为罚函数的常数。 于是8 g = 昙，r 。( 以1 ) r 人g 1 订 ( 2 _ 2 1 ) 得到f ”= 一f 一= 一人g ( 2 2 2 ) 在无摩擦的接触状态下，应当有 = 幺= 0 在有摩擦的滑动状态下，根据库伦定律有 = 一甜毛西( 以。一材：) 材；，( 扛l ，2 ) ( 2 2 3 ) 通常本文们将被动接触块上的节点p 和主动接触块上与其接触的点q 构成 个接触对。对于接触对p 和q 间的相对位移就可以表示为 1 2 刚轴度下轮毅轴承的疲劳分析及单程j 可靠度数学模型分析第2 章非线性接触及疲劳理论 ”p 一= n 。d 。 ( 2 2 4 ) 其中n 。- 【厶彬一l ，一2 ，一3 ，一4 】，以= 似：，“- ，甜；，“ ，z ，： ( 2 2 5 ) 因为材p ，和在总体坐标系中定义的，为方便引入接触条件，需要将其转换 到局部坐标系中，即 ”：一材二= 丁7 ( “p 一甜o ) = r 7 n 。d 。 ( 2 2 6 ) 2 2 4 摩擦滑动接触问题的有限元方程【2 7 】 根据式2 - 2 3 ，2 2 6 在局部坐标中。可将摩擦滑动接触状态下对应的接触力表 示为如下形式，即 ，”= 一吒( 甜；一甜? 1 + z ) = 一吐( i 3 n 。d 。+ z ) ( 2 2 7 ) 其中吒= 西 吲茸a t ，一材鲁， r 利用式2 - 2 4 ，可得到一个接触对的等效节点力向量为 ，“1 = 一孵凡( r c 吃+ z ) ( 2 2 8 ) 也可以写成如下的形式 f k + 1 = 一疋吐+ f + 1 ( 2 2 9 ) 此时 疋= ( 。) r 丁吒酽c = 以孵l 一甜嚣i 一一甜专艺+ j r 。 ( 2 _ 3 。) 、 s k + l = - ( c ) 7 卜毒i ：_ - 噜州卜 3 ， 因此，系统的等效节点接触力向量以及有限元求解方程如下， m d “1 + ( k + 疋) d “1 = f “1 + f + 1 ( 2 3 2 ) 其中的k c 和f 必须在2 - 3 0 ，2 - 3 1 中用上式带入。k c 是非对称矩阵，这一点将 为分析计算带来麻烦。 和拉格朗日乘子法相比较，罚函数法将接触界面约束条件引入没有增加自由 第2 章非线性接触及疲劳理论网轴度下轮毂轴承的疲劳分析及罩程与町靠度数学模型分析 度，可以在求解接触问题的方程时采用显示数值积分法，并保持求解系数方程矩 阵保持正定来避免在求解静力学接触的过程中系数矩阵非正定带来的不便。因此 罚函数法被广泛的应用。罚函数的缺点是，约束条件只能近似的满足。理论上增 大罚函数参数人的值就可以提高计算精度，但是接触问题中罚参数人。的大小往往 受到极为严格的限制。 2 2 5 摩擦滑动接触问题的有限元求法 本文研究了采用有限元法作为进行瞬态摩擦接触分析的工具，瞬态接触问题 有限元方程的求解方法常见的有两种，即显式解法和隐式解法。显示解法是目前 这一领域最成熟最简便应用最广泛的有限元方法，用于结构的力学分析，可以处 理冲击载荷过程中复杂的边界条件和材料本构关系，并且对接触滑移面的描述非 常方便。常见的隐式解法式n e w m a r k 法，下面将介绍n e v n n a r k 法和n r 迭代法相 结合求解接触问题的有限元方程的方法。 将n e v a n a r k 法应用于方程( 2 - 3 2 ) 中得 k d + 1 = f “( 2 3 3 ) k = k + 疋+ m ( 2 3 4 ) 。位c 肚a 一叫上a a t k + ( 驯卅 协3 5 ， l _ l 2 口 j 上式为一个非线性方程组，采用n - r 迭代法计算 坼酣at ( ，) ：，a ( ，) - 全d k + l ( i ) ：r ( d ( 2 - 3 6 ) 式中之= 坼+ + 1 ( ，) + 壶m 由0 k 却k ( 去一- 纠( 2 - 3 7 ) i 以f k2 口i 式中，是迭代次数。这里的+ 1 ( 7 ) 和，川也写成迭代形式，这是因为它们的 表达式中，除了罚参数和摩擦系数以外的各个量都依赖于矿+ 1 n 。此迭代计算公式 应用了位移的增量迭代表达式 1 4 同轴度下轮毅轴承的疲劳分析及单程i 町靠度数学模型分析第2 章非线性接触及疲劳理论 d 州。+ 1 ) ：d