（材料加工工程专业论文）板料成形反向模拟法及其在拼焊板拉深工艺中的应用.pdf

r e s e a r c ho ni n v e r s e a n a l y s i sm e t h o da n di t s a p p l i c a t i o ni nt a i l o r - w e l d e db l a n k sd r a w i n g p r o c e s s ad i s s e r t a t i o n s u b m i t t e dt os h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y f o rt h ep h d d e g r e eo fd o c t o r a lp h i l o s o p h y b y t a n gb i n g t a o s u p e r v i s o r s p r o f r u a nx u e y u ，a c a d e m i c i a n d lz h a o z h e n d e p a r t m e n to fp l a s t i c i t yt e c h n o l o g y s h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y j u l y , 2 0 0 6 l 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 唐炳涛詹炳骨 魄蹦年p 翻日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密哦在三年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上方框内打“”) 凇姗躲声炳涛艚撕签弘 眺碲7 月日 日期：e 后可肘日 1 ，一 5j 上海交通大学学位论文答辩决议书 中请者唐灿涛所在学科( 专业) | 材料加1 1i ：科 论文题目板料成形反向模拟法及其在拼焊板拉深l ：艺中的应川 答辩日期 2 0 0 6 7 2 8 1 答辩地点模具c a d 国家i ：程研究中心 答辩委员会成员 担任职务 姓名职称所在上作单位 备注 土席董湘怀教授 上海交通大学 无 燃 委员林建平教授 同济火学无 委员计伟忠 教授上海：程技术人学无 。 班戌九 委员 周雄辉教授上海交通人学 无 委员 张质良教授上海交通人学 无 委员阮雪榆教授 上海交通人学 无钗饥亿 委员齐从谦教授 同济人学 无埸沁脖 高了3 芟鬻嚣一种删予多步反向模拟法的本j = ：j 烁并提出根据| 匈力的正负米判断凸凹模的接、导出了一种适h 予多步反向模拟法的本j = ：j 关系，并提出根据内力的止负米判断曲凹秧网伐 触的思想。 4 、将反向模拟法应用丁预测拼焊极焊缝移动的规律。 本篇论文选题止确，论证充分，研究结果飞有较高的理论和实际应j 4 j 价值，作者在答辩过翼中， 讲解涪趋，回答问题止确，反映出作者已掌握了本专业坚实的基础理论和系统的专业知识_ 尽鱼了 蔽强的独立从事科研i ：作的能力。经答辩委员会讨论，一致同意庸炳涛同学通过博七学位论文答辩， 律议授予其工学博十学位。 表决结果：一一。”“ 厶耄妇艺 席考肌。蚴 卅年尹月彳日 键h 剑乳提碰m 删微壤枞撇一奏 寸赴目才为的蚋模旷。，得珀向勒究取缉反睇惭赦艄姗驯 一一一一一 斓靴树蝴觯勰蠊荆俐糕极o 毛蟠 洮化究法在及吡：= 邓引凇删擀舨鞒一一一一诽声以突髟6腓枞微姚m撇觥嘴倾嘲 也驼饼儆趔驯扭觚砰 1-莉吕球1 觥删啾榭一 洲椭抒删 趾渤匍槛碱盯 撤删们对蜘基 雇榭。j釜2 玲 皮 反 、， 二 r 一一 1r! 板料成形反向模拟法及其在拼焊板拉深工艺中的应用 摘要 板料成形是材料加工成形的一个重要分支，是现代工业特别是汽车、航空工业领域中 一种重要的加工方法。然而，由于板料成形是一种复杂的力学过程，其中包含几n - ：t - 线性、 材料非线性、接触非线性等强非线性问题，影响的参数非常多，常产生破裂、起皱、残余 应力、回弹、凸耳等问题，这对数值模拟技术造成了极大的挑战。现代有限元数值模拟技 术为板料拉深成形过程开辟了一条新的途径，但目前涌现的模拟软件一般都是基于增量理 论，计算时间较长，对使用者的要求较高。另外，在产品和工艺设计时，可能只有产品的 信息而无模具的信息，无法使用基于增量理论的模拟方法。基于全量理论的反向模拟法( 也 称一步模拟法) 可以作为增量模拟法重要而有益的补充，但就其算法本身仍有很多方面的 问题亟待解决。 随着汽车市场竞争的日益激烈，基于未来环保和安全等方面的考虑，拼焊板由于其减 轻车身重量、降低生产成本、增加尺寸精度等方面的优势而受到工业界和学术界的重视。 b 前拼焊板在生产中的主要问题是由于薄厚两侧母材的承载能力不一样，导致拉延过程中 焊缝两侧材料变形不均匀，产生焊缝移动，从而加剧薄侧材料的应变集中，降低了整块板 料的成形性能。因此如何在产品设计之初就调整好焊缝的位置，如何预测焊缝的移动，如 何考虑各种工艺的变化对焊缝移动的影响就显得非常有实用价值。 基于以上问题，本文开展了如下几个方面的研究工作，并取得了相关的研究成果： 研究了反向模拟法的有限变形理论，推导了能够反映微小线元的变形梯度张量和与物 体的变形有关的c a u c h y g r e e n 变形张量，并引入c a u c h y 应力张母；建立了反向模拟法的 运动方程；推导了比例加载条件下厚向异性弹塑性板材本构关系；深入研究了反向模拟法 中板料和模具接触的简化问题；建立了e u l e r 构型下求解算法。 对基于能量理论的空间网格映射法进行了深入的研究，提出了一种基t - h o o k e 定律的 弹簧系统能量法和基于d i r i c h l e t 理论的二次能量法。从理论及应用上分析比较了儿种常用 的网格映射法的特点。本文首次将计算机图形学中的相关理论应用到反向模拟初始解求解 方面，并将该思想与基于理想变形假设的反向变形方法结合，来进一步优化板料成形反向 模拟法的初始解。 为了提高分析的准确性并兼顾计算效率，研究了在反向模拟法中如何考虑板料成形的 弯曲效应。基于经典的k i r c h h o f 理论推导了3 节点9 自由度f i , j d k t 9 平板单元和3 节点6 自由度 f i , 0 d k t 6 平板单元的应变一位移矩阵和刚度矩阵，分析比较了这两种单元各自的特点：在薄 膜单元的基础上，将薄膜单元与d k t 9 、d k t 6 两种平板单元进行组合，分别组合成d k t l 5 、 d k t l 2 两种薄壳单元，并对其进行了比较研究。 在板料成形一步反向模拟法的基础上，对多步反向模拟法展开研究，取得了一些有创 新性的研究成果。1 ) 基于虚功原理的基础上，采用弹塑性有限元模型，建立了板料成形多 步反向模拟算法，采用n e w t o n r a p h s o n 迭代来进行方程组的求解。2 ) 推导了多步反向模拟 法的运动方程，并与一步反向模拟法的运动方程进行了比较。3 ) 提出了一种高效、易于实 现的“双截面线法”为初始坯料和中间构型的各个节点的坐标提供迭代所需的初始值。采 用了一种快速的接触搜索算法来实现中间构型各个节点在约束滑移面上的移动，通过全局 搜索和局部搜索策略相结合的方法，加快了搜索速度，提高了计算的效率和稳定性。4 ) 首 次提出了一种适用于多步反向模拟法的本构关系，能够充分考虑材料弹塑性变形状态、区 别加载卸载情况，较为真实地反映实际变形情况。5 ) 提出了两种局部收敛判断准则。6 ) ；? 、l 采用d k t 壳单元来考虑弯曲效应及应变历史的影响。这些理论成果已经成功地在自行开发 的板料成形反向模拟求解器i n v e r s t a m p m u l t i - s t e p 模块中实现。 针对只有理想产品构型情况下的反向模拟法的外力简化，提出了压边力和拉延筋阻力 布置方法，提高了反向模拟法的适用范围；引入虚拟中间步，提出分阶段迭代的思想，降 低求解非线性方程组的难度，提高了迭代的收敛性；分析比较了带收敛因子的 n e w t o n - r a p h s o n 法和几种修正的n e w t o n - r a p h s o n 法，验证采用变收敛因子的 n e w t o n r a p h s o n 法具有较高的求解效率和普遍的适用性；提出采用多波前技术进行l u 分解 来求解线性方程组，计算效率比传统的二维等带宽及一维变带宽存储的高斯消元法有了较 大的提高；基于虚功原理推导了反向模拟法中切线刚度矩阵的显示表达，提高了方程组求 解精度；提出根据内力的正负来判断凸凹模的接触的思想。 分析了拼焊板零件成形的特殊性，分析目前有关拼焊板研究的热点问题；设计了拼焊 板实冲模具，通过改变压边力、拉延筋等进行拉深实验，分析了这些工艺因素对焊缝移动 的影响情况。通过多次实验验证了采用台阶式压边圈和在薄侧施加拉延筋能够有效地控制 焊缝的移动，减少应变分布的差异。采用反向模拟法计算的坯料来进行实际拉深实验，可 以获得无或者少修剪的理想成形零件，验证了反向模拟法预测坯料形状的可靠性；提出采 用反向模拟法预测拼焊板零件焊缝移动情况的方法。 关键词：板料成形，数值模拟，反向模拟法，d k t 壳单元，拼焊板 i i 。- _ _ _ _ _ - - _ _ i - _ _ - - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一一 0 r e s e a r c ho ni n v e r s ea n a l y s i sm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o ni n t a i l o r - w e l d e db l a n k sd r a w i n gp r o c e s s a b s t r a e t s h e e tm e t a ld r a w i n gi sa l li m p o r t a n tb r a n c h o fm a t e r i a lp r o c e s s i n gf i e l d s ，a n da l s o a n i m p o r t a n tp r o c e s s i n gm e t h o di nm o d e mi n d u s t r i e ss u c ha sa u t o m o b i l e ，a e r o s p a c ee t c h o w e v e r , s h e e tm e t a ld r a w i n gi sac o m p l i c a t e dm e c h a n i cp r o c e s so fn o n l i n e a rp r o b l e m si n c l u d i n g g e o m e t r i c a ln o n l i n e a r i t y , m a t e r i a ln o n l i n e a r i t ya n dc o n t a c tn o n l i n e a r i t y t h e r ea r em a n yf a c t o r s i n f l u e n c i n go nt h ef o r m i n gp r o c e s sa n dt h e r u l ei sd i f f i c u l tt ob ed e s c r i b e di nq u a n t i t y t h e m o d e mf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) d e v e l o p e dan e ww a yf o rs h e e tm e t a ld r a w i n gp r o c e s s h o w e v e r , m o s to ft h ef e mb a s e ds o f t w a r ea r eb a s e do nf l o wt h e o r yo fp l a s t i c i t ya n da r ev e r y t i m e c o n s u m i n ga n dn e e dal o to fh u m a ns k i l l s m o r e o v e r i nt h ep r e l i m i n a r yd e s i g ns t a g e ，o n l y t h ep r o d u c ti n f o r m a t i o ni sr e a d y f o rn oi n f c i r m a t i o na b o u tt o o l si ss u p p l i e d ，i ti si m p o s s i b l et o r u ni n c r e m e n t a lt h e o r yb a s e ds o f t w a r e b a s e do nt h ed e f o r m a t i o nt h e o r yo fp l a s t i c i t y , i n v e r s e a n a l y s i sm e t h o d ( a l s oc a l l e do n e s t e ps i m u l a t i o nm e t h o d ) i sav a l u a b l ea n di m p o r t a n tt o o lf o r i n c r e m e n t a ls i m u l a t i o ns o f t w a r e u pt i l ln o w , t h e r ea r es t i l lm a n yp r o b l e m sr e g a r d i n gt oi n v e r s e a n a l y s i sm e t h o dt ob es o l v e d t h ea u t o m o t i v ep r o d u c t sf a c eh o tc o m p e t i t i o nd a yb yd a y i no r d e rt op r o t e c te n v i r o n m e n ta n d i n s u r es a f e t y , t a i l o r - w e l d e db l a n k s ( t w b s ) i sr e c e i v i n gi n c r e a s i n ga t t e n t i o nt h r o u g h o u ti n d u s t r y a n da c a d e m i cw o r l db e c a u s eo fi m p r o v e dd i m e n s i o n a la c c u r a c y , l o w e r e dm a n u f a c t u r i n gc o s t s a n dr e d u c e dw e i g h t c u r r e n t l y , i nt h ei n d u s t r y , b e c a u s et h el o a d i n gb e a r i n gc a p a c i t yo fb l a n k s w i t hd i f f e r e n tt h i c k n e s sv a r i e sw i t he a c ho t h e lt h em a t e r i a ld r a w i n gi na n dd e f o r m a t i o ni nt w b s a r ed i f f e r e n tw h i c hi nt u r nc a u s et h em o v e m e n to fw e l dl i n e s u b s e q u e n t l y , l o c a lh i g hs t r a i nc a n b ef o u n di nt h ew e a kb l a n ka n dt h ew h o l ef o r m a b i l i t yo ft w b si sr e d u c e d s oh o w t oo b t a i nt h e o p t i m i z e dp o s i t i o no fw e l dl i n e ，h o wt op r e d i c tt h em o v e m e n to fw e l dl i n ei nd e f i n e dp r o c e s s ， a n dh o wt oc o n s i d e rt h ee f f e c t so fd i f f e r e n tp r o c e s sp a r a m e t e r so nt h em o v e m e n to fw e l dl i n e s e e m sq u i t ep r o m i s i n g ，e s p e c i a l l yi nt h ep r e l i m i n a r yd e s i g ns t a g e b a s e do nt h ef i n i t es t r a i nd e s c r i p t i o no fd e f o r m a t i o n ，t a n g e n tm o d u l u st e n s o r su s e dt od e s c r i b e t i n yl i n e a ru n i ta n dd e ：f o r m a t i o nr e l a t e dc a u c h y g r e e nd e f o r m a t i o nt e n s o r i sd e d u c e d ，a n d c a u c h ys t r e s st e n s o ri si n t r o d u c e d t h ek i n e m a t i c sr e l a t i o n so fi n v e r s ea n a l y s i sm e t h o da r e e s t a b l i s h e d t h ei n t e g r a t i v ec o n t i n u u me q u a t i o nf o rn o r m a la n i s o t r o p i cs h e e tm e t a lu n d e rt h e c o n d i t i o no fp r o p o r t i o n a ll o a d i n gw a sd e r i v e d t h es i m p li f i e dm e t h o df o rc o n t a c tb e t w e e ns h e e t a n dt o o l sw a sd e v e l o p e d t h ef i n i t ee l e m e n te q u a t i o n w a ss e t u pa c c o r d i n g t oe u l e r c o n f i g u r a t i o n f u n d a m e n t a lr e s e a r c hi sc a r r i e do u to ne n e r g yb a s e d3 dm e s hm a p p i n ga l g o r i t h m ah o o k e r u l eb a s e de n e r g ya l g o r i t h mo fs p r i n gs y s t e ma n dd i r i c h l e tq u a d r a t i ce n e r g ym e t h o d a r e p r o p o s e dt o s o l v et h ei n i t i a ls o l u t i o no fi n v e r s ea n a l y s i sm e t h o d s e v e r a lm e s hm a p p i n g a l g o r i t h m sa r ea n a l y z e da n dc o m p a r e di nt h e o r y a n da p p l i c a t i o n t h r o u g hc o m p a r i n gw i t h d i f f e r e n tc o m b i n a t i o n s ，d i r i c h l e tq u a d r a t i ce n e r g ym e t h o da n dh a r m o n i cm a p p i n gm e t h o d c o m b i n e dw i t hr e v e r s ed e f o r m a t i o nm e t h o ds h o wb e t t e rr o b u s t n e s sa n dh i g h e re f f i c i e n c y i no r d e rt oi m p r o v et h ea n a l y s i sa c c u r a c y , t h em e t h o do ft a k i n gi n t oa c c o u n to fb e n d i n ge f f e c t w a se x p l o r e df o ri n v e r s ea n a l y s i sm e t h o d t h e o r i e so fd k t 9a n dd k t 6p l a t eb e n d i n ge l e m e n t s i i i a r es e a r c h e da n ds t r a i n - d i s p l a c e m e n tm a t r i x e sa r ed e d u c e di n d i v i d u a l l y t h em e n t i o n e dt w o d k te l e m e n t sa r ei m p l e m e n t e di no u ri n h o u s ei n v e r s ea n a l y s i ss o l v e rl n v e r s t a m p b e c a u s eo fn 0c o n s i d e r a t i o no fi n t e r m e d i a t ec o n f i g u r a t i o n sa n dd e f o r m a t i o nh i s t o r y , t h e o n e s t e pi n v e r s ea n a l y s i sm e t h o di sn o ta b l et os u p p l yv a l u a b l ei n f o r m a t i o nf o rm u l t i s t a g es h e e t m e t a ld r a w i n gp r o c e s s i nt h ep a p e r an o v e lm u l t i s t e pi n v e r s ea n a l y s i sm e t h o db a s e do nt h e p r i n c i p l eo f v i r t u ew o r ki sp r o p o s e d e l a s t o p l a s t i cm a t e r i a lm o d e li sa d o p t e di no r d e rt oi m p r o v e c a l c u l a t i o n a c c u r a c y i no r d e r t o f u l l y c o n s i d e rt h ea c t u a l f o r m i n g c o n d i t i o ns u c ha s e l a s t i c p i a s t i cd e f o r m a t i o no rl o a d i n g u n l o a d i n g ，am o d i f i e dc o n s t i t u t i v ee q u a t i o nf o rm u l t i s t e p i n v e r s ea n a l y s i sm e t h o di s p r e s e n t e d an e w d o u b l es e c t i o nc h i v ee x p a n d i n gm e t h o d i s p r o p o s e dt og e ti n i t i a ls o l u t i o n so fi n t e r m e d i a t ec o n f i g u r a t i o n sw h i c hc a nt a k ei n t oa c c o u n to f p l a s t i cd e f o r m a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s af a s ta n dr e l i a b l el o c a la n dg l o b a lc o m b i n e ds e a r c h i n g s c h e m ei su s e dt or e s t r a i nt h em o v i n go fc o r r e s p o n d i n gn o d e s a b o v em e n t i o n e di m p r o v e m e n t s i si m p l e m e n t e di no u ri n h o u s ei n v e r s ea n a l y s i ss o l v e ri n v e r s t a m p m u l t i s t e pm o d u l e i no r d e rt os o l v et h e p r o b l e mw h e r eo n l yi d e af o r m i n gp a r ti sk n o w n ，e x t e r n a lf o r c e s i m p l i f i c a t i o ns c h e m ei sp r o p o s e di n c l u d i n gb i n d e rf o r c ea n dd r a w b e a dr e s t r a i n i n gf o r c e s t h i s g r e a t l ye n l a r g e s t h e a p p l i c a t i o n f i e l do fi n v e r s ea n a l y s i sm e t h o d v i r t u a li n t e r m e d i a t e c o n f i g u r a t i o n sa r ei n t r o d u c e di no r d e rt oc a r r yo u ti t e r a t i o n ss t e pb ys t e pw h i c hc a ns i g n i f i c a n t l y r e d u c et h ed i f f i c u l t yo fs o l v i n gs t r o n gn o n - l i n e a re q u a t i o n sa n ds u b s e q u e n t l ys p e e du pt h e i t e r a t i o nc o n v e r g e n c e v a r i a n ta c c e l e r a t i o nc o n v e r g e n c ef a c t o rt os p e e du pt h ec o n v e r g e n c eo f n e w t o n r a p h s o n i t e r a t i o ni s a d o p t e d a n d c o m p a r e d w i t hs e v e r a lk i n d so fm o d i f i e d n e w t o n r a p h s o nm e t h o d s t h er e s u l t s s h o wt h a tn e w t o n r a p h s o nm e t h o dw i t hv a r i a n t a c c e l e r a t i o nc o n v e r g e n c ef a c t o rs h o w sb e a e re f f i c i e n c ya p p l i c a b i l i t y m u l t i f r o n t a lm e t h o di s u s e dt oc a r r yo u tl ud e c o m p o s i t i o nw h i c hs h o ws i g n i f i c a n ti m p r o v e m e n t sf o rl i n e a re q u a t i o n s o l v i n gc o m p a r e dw i t ht w od i m e n s i o ns a m eb a n d w i d t hs t o r a g em e t h o da n do n ed i m e n s i o n v a r i a b l eb a n d w i d t hs t o r a g em e t h o d t a n g e n ts t i f f n e s sm a t r i xi s e x p l i c i t l yd e d u c e db a s e do n v i r t u a lw o r kp r i n c i p a la n dl c a dt om o r ep r e c i s er e s u l t s c o n t a c tt r e a t m e n tb e t w e e np u n c ha n d d i ei sa ne s s e n t i a li s s u ew h i c hg r e a t l ya f f e c t st h ec o n v e r g e n c eo fn e w t o n - r a p h s o ni t e r a t i o n s a r e l i a b l ec o n t a c tt r e a t m e n tb a s e do ni n t e r n a lf o r c ei sp r o p o s e dt od e f i n et h ef o r c ed i r e c t i o n b e t w e e nd i ea n dp u n c h b e c a u s eo ft h ee x i s t e n c eo fw e l dl i n e ，v a r i a n c eo fs h e e tt h i c k n e s sa n dd i f f e r e n tt o o l ss t r u c t u r e c o m p a r e dt ot r a d i t i o n a lo n e s ，t w b sf o r m i n gs h o w si t ss p e c i a lc h a r a c t e r i s t i c s i nt h ep a p e r , t h e s p e c i a la n dh o ti s s u er e g a r d i n gt ot w b si sa n a l y z e d e x p e r i m e n t a lt o o l si sd e s i g n e da n d e x p e r i m e n t si no r d e rt oa n a l y z et h ei n f l u e n c eo fb i n d e rf o r c e ，d r a w b e a dr e s t r a i n i n gf o r c eo nt h e m o v i n go fw e l dl i n ea r ec a r r i e do u t e x p e r i m e n t ss h o wt h a ts t e p p e db i n d e ra n dd r a w b e a df o r c e e n f o r c e do nw e a ks i d ec a ne f f e c t i v e l yr e d u c et h em o v e m e n to fw e l dl i n e ，s ot h a tt h ed i f f e r e n c eo f s t r a i nd i s t r i b u t i o nc a nb er e d u c e d w i t ht h eo p t i m i z e db l a n k ，t h en e t - f r e ef o r m e dp a r tc a nb e o b t a i n e dw h i c hv e r i r yt h er e l i a b i l i t yo fr e s u l t sf r o mi n v e r s ea n a l y s i sm e t h o d an o v e l i d e a , i n v e r s ea n a l y s i sm e t h o du s e dt op r e d i c tt h em o v e m e n to f w e l dl i n ei sp r o p o s e df o rt h ef i r s tt i m e k e y w o r d s ：s h e e tm e t a ld r a w i n g ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，i n v e r s ea n a l y s i sm e t h o d ，d k ts h e l l e l e m e n t ，t a i l o r - w e l d e db l a n k s i v 目录 第一章绪论1 1 1弓l 言1 1 2 板料成形模拟技术的国内外发展现状1 1 3 反向模拟法的研究现状3 1 4 拼焊板的研究现状4 1 5 本文研究的意义及主要内容5 1 5 1 本文研究的意义5 1 5 2 本文研究的内容6 第二章反向模拟法的基本理论研究1 l 2 1问题的提出ll 2 2 有限变形理论基础1 1 2 2 1 物体构型和运动描述l1 2 2 2 变形梯度和变形张量12 2 2 3应变张量和应力张量1 4 2 3 反向模拟法15 2 3 1 反向模拟法的基本思想1 5 2 3 2 反向模拟法的运动方程。l6 2 3 3 反向模拟法的本构方程2 1 2 3 4 反向模拟法单元的节点内力。2 6 2 3 5 反向模拟法单元的节点外力j 2 8 2 - 3 6 反向模拟法的求解3 3 2 4 本章小结3 5 第三章反向模拟法的初始解计算策略3 6 3 1 问题的提出3 6 3 2 基于能量理论的空间网格映射法3 7 3 2 1弹簧系统能量法3 7 3 2 2d i r i c h l e t 二次能量法4 l 3 3 基于理想变形的反向变形法4 5 3 4 实例4 6 3 5 本章小结4 8 第四章考虑弯曲效应的反向模拟法5 0 4 1 问题的提出5 0 4 2 d k t 板壳基本理论5l 4 2 1 d k t 9 板单元5 1 4 2 2d k t 6 板单元5 3 4 3 考虑弯曲效应的反向模拟法5 5 4 3 1 d k t 壳单元节点内力5 6 4 3 2d k t1 2 和d k t