（电机与电器专业论文）基于分形几何和小波变换的同步发电机定子绕组短路故障分析.pdf

a b s t r a c t t h ei n t e r n a ls t a t o rw i n d i n gf a u l to fs y n c h r o n o u sg e n e r a t o r , w h i c hi sc o n f f n o n a n dd e s t r u c t i v e ，g r e a t l ya f f e c t st h es e c u r i t yo ft h eg e n e r a t o ra n dt h ep o w e rn e t w o r k t h e r e f o r e ，i ti si m p o r t a n tt od e t e c tt h ef a u l tv e r ye f f e c t i v e l y w h i l et h ed e t e c t i o nf o r t h ei n t e r n a ls t a t o rw i n d i n gf a u l ti ns y n c h r o n o l l sg e n e r a t o ri sa l w a y sd i f f i c u l t t h i s p a p e rh a st r i c dt oa p p l yan e wm e 也o d , i e f r a c t a lm e t h o da n dw a v e l e tt r a n s f o r mf o r t h ea n a y s i so f t h ef a u l t f r a c t a ld i m e n s i o ni so n eo fm a i nf a c t o mo ff r a c t a la n dc h a r a c t e r i z e st h e c o m p l i c a t e dd e g r e ea n df i l l i n gs p a t i a ld e g r e eo f r e s e a r c h e do b j e c t w a v e l e tt r a n s f o r m h a se x c e l l e n tl o c a l i z a t i o nn a t u r ei nt i m ea n df r e q u e n c yd o m m n ，a n di tc a n c h a n g et h e t i m ea n df r e q u e n c yw i n d o w sa c c o r d i n gt ov a r i a t i o no fs i g n a l s f r e q u e n c y v h e na f a u l tt a k e sp l a c ei nt h ei n t e r n a ls t t a t o rw i n d i n go f s y n c h r o n o u sg e n e r a t o r , t h et r a n s i e n t w a v e so fv o l t a g ea n dc u r r e n ta l ed i f f e r e n tf r o mt h ew a v eo fn o r m a ls i g n a l t h e v a r i a b l et r e n do ff i - a c t a ld i m e n s i o no fas i 印a li sr e l a t e d 埘t l li t sc o m p o s i t i o n , w h i c h t a k e so ns h a p e - vs bi tc a nc l e a r l ys h o ww h e t h e rt h e r ei sf a u l t w 1 l i l ed i f f e r e n tk i n d o ff a u l tm a y b eh a sm a n yc o r a i n o nc h a r a c t e r i s t i e se a c ho t h e r , s u c ha 3t h ei n t e r n a l s t a t o rw i n d i n gf a u l to fs y n c h r o n o u sg e n e r a t o rh a p p e n si nd i f f e r e n te m b r a n e h m e mo f o n ep h a s ea n di nd i f f e r e mp h a s e a l lk i n d so ff a u l tc a n n o te f f e c t i v e l yb ei d e n t i f i e d o n l yb yt h a tr e s u l to f f r a c t a ld i m e n s i o n a s i g r l a lt r a n s f o r m e db yw a v e l e th a st w od i f f e r e n tr e s u l t s o n ei sf r e q u e n c y a n a l y s i si nd i f f e r e n tc h a n n e l s ，t h eo t h e ri se n e r g yr e d u c t i o nw i t ht h ei n c r e a s i n go f s c a l e t h e s e 黜r e l a t e dt ot w of a c t o r so ff r a c t a ld i m e n s i o n ( t h ec o m p l i c a t e dd e 黟c e a n df i l l i n gs p a t i a ld e g r e e ) 1 f 1 硷f r a c t a ld i m e n s i o no f a l lk i n d so f s i g n a lt r a n s f o r m e db y w a v e l e ti sd i f f e r e m 1 n h ed i f f e r e mv a i l a b l et r e n do ff r a e t a ld i m e n s i o nc a ni d e n t i f ya l l k i n d so f f a u l ti ni n t e r n a ls t a t o rw i n d i n go f s y n c h r o n o u sg e n e r a t o ra f t e rt h ef a u l ts i g n a l i st r a n s f o r m e db yw a v e l e t k e yw o r d s ：s y n c h r o n o u sg e n e r a t o r ；s t a t o r w i n d i n g ；f a u l td e t e c t i o n ；f r a c t a l ； w a v e l e tt r a n s f o t l n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他入已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤壅盘堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：金四牵 签字日期：乒时 年久月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫盗盘茔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：名宙奉 签字日期：，口古年土月1 日 ； 导师签名：1 乞? 彭 i 签字日期：哆r 车，矿月彩日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 同步发电机定子绕组故障研究的目的、意义及研究现状 随着电力工业的不断发展，在系统容量迅速增长、网络结构日趋复杂的同 时，出现了一些新特点和新问题。冷却方式、材料及工艺的改进，发电机的单 机容量越来越大，使得设备的故障和停运直接危及到整个电网的安全供电，因 此对这些价格昂贵的大型电力设备的故障早期诊断和预警要求日益紧迫，其运 行的可靠性更加引起生产和运行部门的重视，对其常见故障的检测和分析，及 早发现故障，预防迸一步恶化，以及故障诊断、定位和维修都是十分重要的。 故障检测就是通过状态监测所提供的发电机运行的各种信息，对其有无故障及 故障程度作出判断，便于及时、准确地采取相应措施使系统恢复到安全稳定运 行状态。通过分析电机在故障情况下的行为特征，找到一种能准确、深入、有 效地分析电力设备的各种常见故障的工程实用方法，对进一步丰富和完善电机 的故障检测技术，保证其安全可靠运行和针对性地减小设备故障率都是十分必 要的【1 2 】。 据资料统计表明，发电机组7 0 的故障属于电气故障，其中定子绕组故障 又占了较高的比例，发电机定子绕组故障主要包括匝间短路故障、相间短路故 障和开焊断相故障。实际运行经验表明，由于绝缘受潮、老化、机械振动和机 械损伤及各种短路事故，都可能引起定子绕组故障，特别是同槽的两个导条具 有相反方向的电流时，可能引起上层导条被“挤出”的电动力，将导致槽锲和 绕组固定物损坏和绕组变形；短路电流的数值很大时产生的过热，将烧毁绕组 或铁芯；故障产生的负序磁场可能大大超过设计允许值，转子将受到损伤 3 - 4 1 。 这就决定了发电机组装设定予绕组故障保护装置的必要性和重要性。 当电机单个线圈通电时，气隙磁场中存在着很强的低次谐波和分数次谐波； 而整个绕组通电时，由于采用了短距、分布等措施，绕组中的低次谐波磁场相 互抵消。所以正常绕组形成的气隙磁场中主要是基波，而发生故障造成定子绕 组不对称时气隙磁场中一般含有较强的、不同转向和转速的空间谐波，因此感 应出的绕组电势谐波多，这给理论研究工作带来了一定的困难。 在国外，美、英、俄、德、加等先进工业国家对大型发电机定子绕组故障 第一章绪论 都在进行深入而广泛的研究，我国如清华大学、华中理工大学及东南大学等高 校在这方面也做了大量的工作，提出了一些分析方法，取得了一些具有理论意 义和实用价值的研究成果嘲。纵观四十多年来国内外对此问题的研究情况，按研 究方法大致可分为：解析计算法、数字仿真法和试验研究法。 ( 1 ) 解析计算法 解析计算法就是应用一些物理定律，列写出描述分析系统的运动方程式， 然后运用数学知识求约束条件下的这组方程，从而获得所需分析结果的一种方 法。由于所求结果为解析表达式，形式简洁，计算工作量小；同时，由于它能 够揭示故障物理过程的内在规律，具有普遍性，所以多年来许多学者一直在寻 求发电机故障的解析计算法。文献嘲应用了对称分量法分析了发电机定子绕组 匝间短路，计算结果可用来分析故障保护方案的死区大小。由于发电机故障时 电磁关系复杂，现有的应用解析法求解故障电量都对模型做了很大的简化和近 似，在此基础上得到的故障各电量的分析结果与实际情况会较大的误差，但该 方法仍不失故障电量作初步计算时的一种方法。 ( 2 ) 数字仿真法 数字仿真过程可分为四个步骤：实际系统数学模型的建立、仿真模型的建 立、编制和调制仿真程序、仿真结果分析和验证。由于它具有研究上的经济性、 安全性、灵活性以及方便性等方面的优势，所以三十多年来国内外数字仿真技 术发展很快，并得到广泛的应用。由于发电机故障时的电磁关系很复杂，在此 基础上分析或计算褥到的故障各电量结果与实际情况会有较大的误差，但不失 为在对故障电量及其保护方案灵敏度进行初步分析时的一种方法，为新型继电 保护方案的确定提供坚实的理论【_ “。 ( 3 ) 试验研究法 试验研究法是研究发电机故障行为和校核继电器保护装置的一种重要方 法，它可以真实地模拟影响电机故障特性分析的饱和、磁滞、涡流及阻尼等实 际效应，可作为理论研究的一种有益补充。但由于大型发电机造价昂贵，所以 从安全性、经济性和可行性等因素上考虑，该方法一般是在实验室通过动模机 组进行故障的动态模拟实验研究嘲。 综上所述，经过国内外学者近几十年的努力，故障保护在原理和方法上取 得了长足的进展，但仍然存在着许多待解决的问题。本文研究的目的在于通过 试验研究，尝试应用一种新的方法一分形理论和小波变换相结合，对同步发 电机定子绕组匝间短路故障进行分析。 2 第一章绪论 1 2 分形几何及小波理论简介 1 2 1 分形几何简介 几何学是一门源远流长，多姿多彩的学科。数千年来，无论是在思想领域 的突破上，还是在科学方法论的创建上，几何学总是扮演着开路先锋的角色。 从古典欧氏空间、解析几何、球面几何、非欧几何、射影几何、微分几何一直 到近代的黎曼几何、代数几何、复几何、辛几何、一般拓扑学、代数拓扑学、 微分拓扑学等等，无一不是这样。直到现在，它仍然是一门方兴未艾，蓬勃发 展的学科，依然保持着生机和活力。今天，被誉为开创了二十世纪数学重要阶 段的分形几何学，已发展成为科学的方法论：分形论，并被应用到各色的自然 科学领域及一些工程技术和社会科学领域之中，这又是一个有力的佐证p l o l 。 从数学发展的进程看，十九世纪经典数学研究的对象是欧几里得规则、几 何结构和牛顿连续动力学体系：现代数学则是以康托尔集合和皮亚诺曲线为标 志。这类数学问题不能用欧几里得几何和牛顿连续动力学加以描述，这正是分 形几何产生得土壤。经典几何研究的对象是规则而光滑的几何构型，例如一条 几何曲线总是处处连续，而且处处可微。然而，自然界存在着千姿百态的自然 构型：连绵起伏的群山、奇形怪状的海岸线、蜿蜒曲折的江河、高度无规则的 材料裂纹等等。这样一些变化无穷的曲线，虽然是处处连续的，但并非是处处 可微的函数，因此，传统数学无能为力，把这类几何客体排除在研究之外。事 实上，数学家早就发现这个问题的存在，早在1 8 7 5 年数学家莱蒙德就指出，存 在一类连续但不可微的函数，这使经典数学理论陷入危机，于是分形几何应运 而生【i l 】。 如果有人在若干年前问一位物理学家，物理学能解释什么? 那些问题仍至 今悬而未决? 回答将是简洁的：还不能确切的认为宇宙的进化过程和基本粒子 的特性，但对介于这两者之间的事物的认识已令人满意。其实不然，在人类生 活层次，刚刚开始认识自然这个层次，事实上有许多问题至今物理学也未能做 出解释，如湍流和相变问题就是两大难题。分形论对这类难题有着独特的见解 而有利于观察问题的奥秘，加速难题的化解。在化学中高分子化学是重要的研 究方向，工业生产部门已形成庞大的高分子产业，为人类创造财富，美化生活。 高分子化学工业生产中，对凝胶形成的机理，凝胶点的确定，凝胶生成的控制， 成为高分子学家研究的重要课题。但化学和物理学未能在理论上满意地解决问 题，而分形论为化学家深化对高分子的认识提供了有利的工具。在地质学领域， 第一章绪论 特别是世界上几次大地震给人类带来生命和财产的损失是十分巨大的。但人们 从惨痛教训中清醒过来时，深深感到准确预测地震的极端重要性，然而既往的 理论在这里显得苍白无力，一直未能跨越存在的困难，分形论在地震预测研究 的尝试中已取得重要成果，有可能走出一条新路。在实际工程问题中，如石油 开采，一口油井开采到一定程度后，由于地下油压降低，最终导致无法继续采 油，而使油井报废。在实践中人们采取向地下注水的方法以增大压力，继续出 油，但到底要多大的注水量，多大的水压力，最终将影响最终产油量的多少， 这里传统的理论未能做出合理的解释。根据分形研究的进展，则有可能大幅度 地增产石油。中医治病的神力为世人所公认，但无论是生物学、生理学，还是 物理学，都未能对中医地治病原理做出满意的解释，分形论则从人体分形着手 进行分析，得出令人耳目一新的结论。所以，分形论引入中医中，必将有力推 动中医的新发展。这里只列举不同学科中少量突出的例子，只是说明传统学科 确实面临困难和挑战，这正是分形论发展的极好时机。 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支，它的研究对象是自然 界和非线性系统中出现的不光滑和不规范的几何形体，分形理论的数学基础是 分形几何。从1 8 7 5 年至1 9 2 5 年，人们已经认识到几类典型几何的分形集，并 且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。1 9 世纪，尽管人 们已经能区别连续与可微的曲线，但是普遍认为连续而不可微的情况是极为例 外的，并且在理论研究中应该排除这类“怪物”，且特别认为一条连续曲线上不 可微的点应该是极少的。在1 8 7 2 年，维尔斯特拉斯证明了一种连续函数在任意 一点均不具有有限或无限导数，这一结果当时曾引起极大震动，但人们认为维 尔斯特拉斯型的函数是极为“病态”的例子。即使如此，人们仍从不同方面推 广了上述函数，并对这类函数的奇异性质作了深入的研究，获得丰富结果。科 赫( v b nk o c h ) 于1 9 0 4 年通过初等方法构造了如今被称为科赫曲线的处处不可 微的连续曲线，并且讨论了该曲线的性质，由于该曲线的构造极为简单。从而 改变了人们认为连续不可微的构造一定非常复杂的看法。特别重要的是，该曲 线是第一个人为构造的具有局部与整体相似的结构的例子，它被称为自相似结 构【1 2 1 。 由此可见，分形几何的思想很大程度上来自传统数学的反例。现在它却从 正面进入纯数学之中，并在一些数学领域，如数论、数字的分布、连分数、丢 番图逼近；射影几何中的对偶问题；位势理论中的v i t u s b _ k i n 猜想的否定回答等 问题中扮演着重要的角色，尤其，它是描述混沌动力系统奇异吸引子有力的几 第一章绪论 何学。分形几何的诞生，向传统的数学观念提出了新的挑战。它说明，不仅有 必要研究那些光滑的、规则的图形，而且更有必要研究那些非光滑和非规则的 图形。这是因为，在自然界中，在科学研究的各个领域中，前者风毛麟角，后 者不可胜数。数学作为自然学科的工具，更应研究那些真实形态的数学规律及 其数量关系，分形几何学为数学工作者开辟了一片广阔的研究领域，提供了用 武的园地。分形几何的奠基者们已在分形集的结构及其分类、测度理论、维数 理论、标度变换理论、动力系统、分形吸引子的结构与维数等方面辛勤耕耘， 结出累累硕果，但是还有不少尚待开掘的宝藏，比如，建立即严格又简单的维 数理论及计算方法，很多动力系统中分形吸引子的维数，m a n d e l b r o t 集的某些性 质等等正待有志者去研究，研究分形集的方法和工具也还有待于建立、发展和 完善。 目前，分形理论己被广泛应用于数据压缩，故障诊断，语音识烈等许多科 学领域【l 孓】。然而分形理论在电机检测领域中的应用还处在起步阶段。 1 2 2 j , 波理论简介 小波分析和小波变换是近二十年来迅速发展起来的新兴学科，是本世纪数 学研究成果中杰出的代表之一。它作为数学学科的一个分支，汲取了现代分析 学中诸如泛函分析、数值分析、f o u r i e r 分析、样条分析、调和分析等众多分支的 精华。由于小波分析在理论上的完美性以及在应用上的广泛性，在短短的几年 中，受到了科学界、工程界的高度重视，并且在信号处理、图像处理、模式识 别、量子场论、天体识别、地震预报、矿产勘测、故障诊断、状态监视、机器 视觉、c t 成像、话音识别、彩色复印、数据电视、音乐、雷达、刑事侦破等十 几个学科领域中得到( 或将得到) 广泛的应用，小波分析为本世纪现代分析学作了 完美的总结 1 5 - 1 6 。 自1 8 8 2 年傅里叶提出热传导解析理论以来，傅里叶变换成为数学和工程上 广泛使用的工具之一，但傅里叶变换只是单纯的频率分析，适合于长时间内稳 定信号的分析处理。为分析短时间里陡变的信号，发展了窗口傅里叶变换或短 时傅里叶变换，即将信号或函数表示成一系列基函数的叠加，这些基函数是通 过对一个被称作窗函数的时间域上的平移和调制( 即频域里的平移) 而得到的。 g a b o r 于1 9 4 6 年最早提出加窗的傅里叶变换，他取的窗函数为高斯窗。加窗的 傅里叶变换尽管为处理瞬变信号提供了一条有效途径，但在应用中也不尽完美， 如窗口取得太小，则易出现吉布斯现象等。这就促使人们不断寻找更能有效地 第一章绪论 表示和处理非平稳信号的工具，为此，小波理论产生了。可以说，经典的傅里 叶级数理论认为构成信号的基本单元为频率不同的正弦波或余弦波，这些正弦 波或余弦波充满整个时问域，在时域上不是局部化的。而小波理论则假定构成 信号的基本单元为小波基，但这些小波基在时间域和频率域上是局部化的，即 能量集中在某一时间段和频段上，从而可以对信号或函数作局部分析。 发电机发生定子绕组匝间短路尤其当短路匝比很小且是金属性短路时，短 路绕组内的电流很大。短路绕组所在的支路也可能出现较大的故障电流，但是， 非故障分支的电流变化却不明显，这就增加了故障检测的难度，也对保护方案 的灵敏度提出了很高的要求。但是，故障突发时刻暂态奇异性信号中包含了丰 富的信息，具有区别于正常稳态信号的明显、突出的特征，传统方法未能很好 地利用。若能充分应用这些信息，必将有利于故障的及时检测和保护的起动。 由此看来，电机的故障检测，其应用效果必然受到信号处理技术的制约 j 7 - 1 8 l 。 为此，寻找一种有效的时一频分析工具进行电机故障信号的检测，必然会给整 个故障检测带来新的革命。小波分析正好满足了暂态故障信号检测的要求，可 为最终实现有效的电机故障检测与诊断系统提供技术准备，这对提高整机的健 康水平及系统安全、可靠和经济运行，具有十分重要的意义。 现有的信号分析手段疏漏了大量有用的故障特征信息，己不能适应故障暂 态非平稳信号的处理，小波分析正好克服了这一缺陷。在电机故障检测的以下 几个方面小波分析的应用有很大前景，如文献 1 9 】所示。 ( 1 ) 故障微弱特征信号的滤波、消噪、早期发现和准确获取 故障初期的特征信息比较微弱，故障征兆不明显，甚至可能被噪声所淹没， 因此如何从各种噪声背景中提取特征信号，成为能否有效地监测故障，进而发 现早期故障征兆的关键。由于优良的滤波和消嗓特性以及对奇异性敏感的性质， 小波分析处理此类信号时具有独特的优点，便于在早期故障特征较微弱时捕获 到有用信息而加以识别和分析，为此后智能诊断的准确可靠提供坚实的基础。 ( 2 ) 改善继电保护的动作性能 小波变换在故障信号奇异性检测中的能力对提高轻微故障时的继电保护起 动能力和灵敏度极为有利，此外，可有效地克服保护算法中衰减直流分量、噪 声、频率波动和非整数次谐波的影响，以及充分利用暂态信息提高现有基于稳 态信号的保护的灵敏度和可靠性。 ( 3 ) 对局部放电进行检测 对严重故障发生前渐变阶段伴有的各种局部放电现象进行识别，捕获和分 第一章绪论 析各种局部放电的强弱和成因，可以了解绝缘劣化和损坏的程度，判断进一步 发生定转子绕组接地短路、相间短路或匝间短路等的可能性，作好预防和解决 措施。传统的分析无法对这种非周期短时冲击性信号进行识别和定位，对瞬时、 高频和奇异的局部放电信号的监测和识别。正是小波分析的优势所在。 ( 4 ) 对故障伴有的振动和噪声进行识别和分析 不论何种电机，在稳定运行时，振动都有其典型特性和允许限值。当电机 出现故障，零部件产生缺陷时，其振动的幅值、特征及频谱成分均会发生变化， 因此振动能客观地反映电机运行状态。现有的振动检测系统主要采用f f t 对采 集的信号进行分析，计算故障信号各频段的幅值和相位信息。这对周期振动和 准周期振动效果还可以，但对包含大量故障信息的非平稳随机振动，只有运用 小波分析才可能获取较多有用的故障特征信息，为进一步的故障诊断打下基础。 1 3 本文的主要工作 综上所述，为了有效地将同步发电机定子绕组短路故障准确地检测出来， 本文提出了一种基于分形几何和小波变换相结合的新的故障检测方法。 本文具体工作归纳如下： 第一，找出对时间序列的分形维数的影响因素，并从信号的频率的角度， 得出了关于时间序列维数一般变化规律。 第二，通过动模实验，对凸极同步发电机定子绕组故障前后各电气量进行 了实验测量，研究同步发电机定子绕组故障特征机理，找出自身特征。 第三，利用r s 分析和小波变化相结合，通过计算分形维数来分析同步发 电机绕组各故障波形的特点，进行故障与正常运行状态的区分以及不同故障类 型的识别。 第二章同步发电机相电压、相电流的分形维数 第二章同步发电机相电压、相电流的分形维数 2 1 分形几何及其分形维数 2 1 1 分形几何概论 长期以来，对某一数学集合，人们总是习惯于在e u c l i d 空间( r n ，e n c l i d e a n ) 对其研究和对其度量，其中字母1 1 表示该空问的维数，通常它是一个整数，对 有限个点，取n = o ；对一条或一块有限平面图形或一块有限的空间几何体，则 分别取n 为l 、2 和3 。同时也分别得到它们的定常度量。习惯上我们分别称它 们为点的个数、线段的长度、平面图形的面积和立体的体积。然而最近十几年， 产生了新兴的分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。 客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具 有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物 理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。客观事物有它自己的特 征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量 大肠杆菌，又嫌太长，从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必 须同时考虑从小到大的许许多多尺度( 或者叫标度) ，这叫做“无标度性”的 问题。如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟， 巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经 过大、中、小、微等许多尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同 时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中 高漩涡区域，就需要用分形几何学。 分形几何的研究的对象是欧式空间的一类子集，这类子集结构较复杂。上 个世纪七十年代，美国数学家b m a n d e l b r o t 通过对自然界中许多复杂现象层次 结构的研究，提出了一种新的理论分形几何学。近年来，分形理论在地貌形态、 地震活动和细胞繁殖等方面都获得了可喜的应用。m a n d e l b r o t 首先通过对英国几 个海岸线长度的测量，发现了一个向来被人们忽略的问题：测量尺度越小，海 岸线越长，即随着测量所用尺度的不同，海岸线的长度是不确定的。如果用公 里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得 的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使 第二章同步发电机相电压、相电流的分形维数 海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自 然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸 线长度的一种下界，使用比这更长的尺度是没有意义的；还有海沙石的最小尺 度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间， 存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征。 因此他提出了“英国的海岸线有多长? ”这样一个简单而深刻的问题。 那么究竟什么是分形呢? 应该说，到目前还未有严格的定义。我们引用创 始人m a n d c l b r o t 对分形f 的描述【2 0 】： ( 1 ) f 具有精细的结构，即使说在任意小的尺度下，它总有复杂的细节； ( 2 ) f 是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来 描述： ( 3 ) f 通常具有某些自相似性，这种自相似性可以是近似的，也可能是统 计意义上的； ( 4 ) f 在某种意义下的分形维数通常都大于它的拓扑维数； ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，f 以非常简单的方法定义，或许以递 归过程产生。 我们把分形几何与e u c l i d 几何相比较，如表2 1 所示。 表2 - 1 分形几何与e u c l i d 几何 e u c l i d 几何分形几何 经典的( 2 0 0 0 多年历史)现代怪物( 2 0 多年历史) 基于特征长度与比例无特征长度与比例 适用于人工制品适用于大自然现象 用公式描述 用( 递归或迭代) 算法描述 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体 在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相 似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下 去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的 放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。 事实上，在自然界存在着许多现象，诸如海岸线、树木、血管和闪电等， 当适当地放大或缩小几何尺寸时，这些现象的整体结构并不改变，即它们具有 第二章同步发电机相电压、相电流的分形维数 自相似的层次结构。m a n d c l b r o t 根据这种自相似性，把自然现象各组成部分以一 定方式与自身整体相似称为分形。 一个分形集由三个要素决定：形状、机遇、维数。人们可以毫不困难的区 分一座山和一朵云，因为它们具有不同的形状。一个岛屿的海岸线和科契曲线 有近似的结构和维数，人们仍然能够分辨它们。这种差异的产生是由于海岸线 受到自然界随机因素的作用而显现出的相当紊乱的地貌。相比之下，人们感到 道闪电远比一条直线复杂，这种复杂意味着什么? 如何刻画这种复杂性? 分 形集的维数回答了这一问题。 2 1 2 分形维数 法国数学家曼德尔勃罗特( m a n d e l b r o t b c n o i tb ) 于2 0 世纪7 0 年代提出了分 形( f r a e t a l ) 的概念，同时分形维数( f r a c t a ld i m e n s i o n ) 是分形图形的重要特 征参数。欧氏几何图形的维数是整数，而分形图形的分形维数是分数，分形维 数概念的引入是分形理论的特点。在分形研究中，分形的维数更是起着至关重 要的作用，分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌 吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则” 程度，1 9 1 9 年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分 数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。维数和测量有着密切的关系， 下面我们举例说明一下分维的概念。当画一根直线，如果用0 维的点来量它， 其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果用一块平面来量它，其结 果是0 ，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值 昵? 看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维 数为1 ( 大于0 、小于2 ) 。对于上面提到的英国的海岸线，其整体是一条无限长的 线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大：而用平面量，其结果是0 ( 此 曲线中不包含平面) 。那么只有找一个与英国的海岸线维数相同的尺子量它才会 得到有限值，而这个维数显然大于l ，小于2 ，那么只能是小数了，所以存在 分数维。 维数是图形最基本的不变量，也是刻画分形集的要素之一，例如，自然界 中的分形集的维数应是标度变换群作用下的不变量。为了刻画曲线占有空间的 规模，其维数应该扩展到1 与2 之间；为了刻画离散点集占有空间的规模，维 数应扩充到0 与l 之间的实数；为了刻画不同曲面占有空间的规模维数应扩展 到2 与3 之间的实数。可以说，分形维数的定义体现了分形理论的重要特色， 第二章同步发电机相电压、相电流的分形维数 它突破了拓补学中几何维数都是整数的局限，从整数维到分数维。数学家以 t l a u s d o r r f 维数为基础，定义了多种分形维数，以下逐一介绍盒维数、相似维数、 信息维数，以及关联维数【2 ”。 1 、盒维数；盒维数也有人称其为容量维数。设f 是平面上的有界点集，根 据f 的有界性，总可以找到一个矩形，使f 包含在这个矩形之中，将这个矩形 分割成若干个边长为占的小方格，于是必有某些小方格内包含f 中的点，数一数 包含f 中的点的小方格的数目，记为( d 。这时定义f 的盒维数也就是容量维 数为 以( 耻l 。i 。r a 器 ( 2 1 ) 我们对平面点集f 引入这个定义，实际上并不限于平面点集。如果f 是一 条直线上的点集，则定义中所说的小方格应理解为长度为e 的小区间。如果f 是舻中的一个有界点集，则小方格应理解为中边长占为的立方体。 从定义出发，考虑一个单位长的直线段f 那么用 o ，l 】区间刚好覆盖中，一 将【o ，1 】区间分割成若干个小区间，每个小区间的长度为f ，由于f 是 o ，1 】区 间上的全体点，那么每个小区间都有f 中的点，因此包含f 中的点的小区间数 目( 印= l l z 。于是按定义得噍( f ) = l 殛：! ：罢：1 。而通常认为线段的维数为 m l l i 纠 1 ，这正好是一致的。如果考虑个单位正方形点集凡分割它为边长为占的小 方格，那么其中包含f 中点的小方格数为( f ) = 1 占2 ，从而有 柏= l ；i 。m 器观。 同时，定义也提供了在计算机上近似计算点集f 的盒维数的方法。以平面 点集f 为例，计算的准备工作是任意选定一个矩形，使这个矩形完全覆盖点集f 。 然后，任意给定一个小的正数占，以占为边长将覆盖，的矩形分割成若干个小方 格( 调整矩形的尺寸，这样的分割一定可以作到) 。通过对矩形内所有象素的扫 描。记录含有f 中点的小方格数目， 矗。( f ) 的近似值。当加细矩形的分割， 记为( 那么比值踹可以看成是 例如以三取代占时，重复计算过程，将算 出新的比值如果两次比值比较接近，则可以认为得到了以( f ) 的较准确的近似 值。 这个算法比较简单，值得注意的问题是，覆盖f 的矩形选择得过大将增加 计算量，选择得过小不足以覆盏f 。当f 预先并不明确的情况下，上述算法要结 第二章同步发电机相电压、相电流的分形维数 合分形生成过程同时进行。一般认为只要矩形覆盖f ，其大小对以( f ) 的计算结 果没有影响，判断计算精度的问题还需进一步研究。 2 、相似维数：对于一些集合，例如c a n t o r 集、v o nk 0 c h 曲线、s i e r p i n s k i 点集，其局部的图形与整体是相似的，只要将局部放大一定倍数总可以得到与 整体一致的图形，称之为自相似集。对自相似集f 来说，定义其相似维数为 d ，( d = 面h i 丽m ( 2 - 2 ) 其中m 是组成f 的相似子集的个数，c 为相似比例系数。 若f 为一个直线段，那么它可看作是由比例系数为c = 。1 的k 个直线段构成， 托 于是吐( f ) ：訾：1 。若f 是个正方形，那么它可看作是由比例系数c = i 1 的旷 m k 个与之相似的小正方形构成，那么d a f ) = i l n k - ：2 。若f 为一个立方体，它可 m k 1 看作是由比例系数c = 的矿个与之相似的小立方体构成，那么 丘 1 。k 3 d ，( ，) = 半 = 3 。这就是说，相似维数在这种特例之下与传统维数概念是一致 i n 厍 的。 相似维数对具有严格自相似性质的结构是好用的。若生成元固定不变，计 算相似维数十分容易。如果在生成分形的各个阶段( 不同的级) ，生成元的比例 不是常数，或者不可能寻找到恰当的生成元，那么相似维数便失去意义。 3 、信息维数：在盒维数的定义中，为了求t ( f ) ，要知道包含f 中点的方 格数目。但是这样的方格包含多少个f 中的点未加考虑。这就是说，以( 用只意 味着表示f 的几何尺度的信息，而没有反映f 在平面上分布疏密的信息，为了 能反映点集在分布上的信息，定义如下信息维数 刃( ，) - 。l i 。r a 螂l ( c ) 石 ( 曲1 其中7 ( ) 2 善只1 1 1 三p s ，式中a 是f 中的点落在第7 个方格中的概率- 假若所有方格以相等的概率包含f 中的点，则p = 1 n ( e ) 。于是 j ( = l n n ( e ) 。这样一来，信息维数与盒维数便是一样的。为计算信息维数， 应该计算概率且。计算a 的简单方法是用落在第f 个方格中的点的频率代替概率。 第二章同步发电机相电压、相电流的分形维数 4 、关联维数：分形的自相似结构往往表现在统计意义之下，这时，有必要 引入关联维数的概念，这种维数可以从实验中直接测定，从而为复杂分形提供 一种手段。 想要计算关联维数。必须要理解嵌入理论和重建相空间思想。最初提出相 空间重构的目的在于在高维相空间中恢复混沌吸引子，混沌吸引子作为混沌系 统的特征之一，体现着混沌系统的规律性，意味着混沌系统最终会落入某一特 定的轨迹之中，这种特定的轨道就是混沌吸弓l 子。时间序列是一种综合反映， 它含有丰富信息并蕴藏着参与动态全部其他变量的痕迹。为了从单变量时间序 列中提取信息，t a k c m s 提出了对时间序列重建相空间的思想，在另一坐标系中 研究时间序列，使问题得到了简化。根据，t a k c n s 嵌入定理，只要嵌入相空间 维数d 足够大饼2 d + 1 ) ，它就能足以刻画该尺度层次上的d 维混沌吸引子瞰】。 将时间序列x ( t ，) ，x ( t ：) ，a ，礤。) 重新排列在一个d 维的向量空阊x 乃中 x ( ，) = z ( f ) ，x ( t + f ) ，人，m + ( d 一1 ) f 】) ( 2 - 4 ) 其中，f = m a t ，a t 为时间间隔，m 取整数，f 的选取原则应保证上式中各坐标 是线性无关的。 随着时间推移x ( f i ) ，工( f ：) ，a ，工瓯) 这些，l 维空闻的点就可以在”维状态空阊 中描绘出一条可以反映系统状态变化的轨迹。t a k e n s 理论认为，嵌入变换重建 相空间得到的状态轨道，保留了原空间轨道的最主要特征：它尽管使轨道变形， 但两者之间存在等价关系：嵌入交换是一个光滑的一对映射，它不改变轨道上 点的次序，保留了原方向。建立相空间后，为了计算相空间奇异吸引子维数， 任给一个小尺寸，然后检查有多少点对( 置，j ，) 之间的距离小于r ，把距离小 于，的“点对”在所有点对中的比例记为 c ( r ) = 嘉善n ；n 日妒一阢一_ ( 2 - 5 ) 其中，h ( z ) 是h e a v i s i d e 函数，该函数有如下性质；当z 0 时，日( z ) = l ；当2 0 时，n ( z 1 = 0 。 若，选取太大，当然，一切“点对”的距离都不会超过它，故c ( r ) = l ， i g c ( r ) = 0 ，因此，函数c 似描述了随r 增加时“点对”数是如何增长的函数， 显然，太大反映不了系统的性质，适当缩小，可能在，一段区间内c 纠随， 的变化满足c ( r ) 。cr 。关系，在双对数坐标下，用l g c ( r ) 对l g r 作图，曲线呈吖” 笙三兰旦垄垄皇垫塑皇堡：塑皇亟笪坌丝丝墼 型，其线性部分的斜率就是所求的关联维数d ，即 d ：l 妇! 眨盟 r 2 m 7 o 培， 、 7 实际上d 是，值在一定范围内求出的，它随相空间嵌入维数d 的不同而有 所变化，但当d 达到某值后，其饱和值即视为由该时间序列所描述的混沌吸引 子关联维数嘲。 以上介绍了几种计算分形维数的方法：盒维数，信息维数，关联维数。它 们之间存在一个关系，若分别以幽，西，如表示上述三种维数，则砟d ，d 。 但是，在实际计算中对不同的计算结果往往不符合这个不等式。图2 - 1 是英国的 海岸线，对其进行维数计算则如= 1 2 9 3 1 7 ，刃= 1 3 0 2 5 4 ，如= 1 3 0 7 3 3 。分形 维数的定义是多种多样的，可根据不同的目的引入不同维数，有些维数纯粹是 为了应用，且只能在规定范围内使用，才能解决一些实际问题- 2 乳。 图2 - 1 英国的海岸线 2 2 同步发电机相电压、相电流的分形维数 2 2 1r s 分析法 为了获得有效的计算同步发电机相电压、相电流的分形维数方法，我们必 须要充分理解r s 分析法，r s 分析法是一种十分有效的针对时间序列的计算分 形维数的方法。 水文专家h u r s t 在2 0 世纪4 0 年代全面研究了有偏随机逃走。h u r s t 曾度量 1 4 第二章同步发电机相电压、相电流的分形维数 了水位是如何围绕其平均水平涨落，结果发现水位涨落的极差依赖与度量时间 的长度，如果时问序列是随机的，那么极差应该随时阃的平方根增加。为了使 该度量在时问上标准化，h u r s t 用观察值的标准去除极差踅立了一个无纲量的比 率，提出了一个重要的系数：l - i u r s t 指数h 。这种分析方法( r e s c a l e d r a n g e 鹏 a n a l y s i s ) 称为重标度级差分析法，即i u s 分析法。在上世纪6 0 年代和7 0 年代， 分形几何创始人m a n d e l b r o t 又在理论上对h u r s t 定律进行了补充和完善， m a n d e l b r o t 称之为分数布朗运动，现在一般称之为分维时间序列，认为h 的倒 数就是分形维数 “硼。这对h u r s t 现象的分析具有重要的实际意义，尤其是在应 用大量连续观测获得的资料进行科学预报的工作中。因此，不少科研工作者将 h u r s t 定律应用于各自的研究领域中。 m a n d e l b r o t 和w a l l i s 首先将该方法应用于具有分形特性的时问序列分析。具 体算法如- f ( ”捌： 设有一时间序列x ( o ，i = 1 , 2 , 3 a 取一时问