大学微积分总复习课件.ppt

需熟悉的内容(特别是三角函数),第一部分,初等函数,一、基本初等函数,1.幂函数,2.指数函数,3.对数函数,4.三角函数,正弦函数,(注意：x用弧度表示),余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,三角函数常用公式(前5个必须记下来),5.反三角函数:,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,第二部分函数与极限,单侧极限,左极限:,右极限:,定理.,极限存在的充要条件是左极限等于右极限.,无穷大包括：正无穷大，负无穷大,无穷大量与无穷小量的关系,两个重要极限,定义:,例如,常用等价无穷小:,注,上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握,函数连续点的等价定义,第一类间断点,可去型,跳跃型,第二类间断点,无穷型,振荡型,闭区间上连续函数的性质,定理1(最值和有界性定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.故该函数在闭区间内一定是有界函数.,推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,三个定理的应用：,注,方程f(x)=0的根,函数f(x)的零点,有关闭区间上连续函数命题的证明方法,10直接法：先利用最值定理,再利用介值定理;,20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数,再利用零点定理.,辅助函数的作法,（1）将结论中的(或x0或c)改写成x;,（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x),则F(x)即为所求.,区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间.,总结：求极限的方法,1.求连续函数的极限：直接代入法;2.求x趋于点a时分式的极限，先判断分母的极限：(1)分母极限不为0，直接代入点a得分式极限；(2)分母极限为0,分子极限不为0,原极限为无穷大；(3)分子和分母的极限都为0,采用洛比塔法则求原极限.,3.求两个根式相减的极限时，先有理化.有时可转化为两个重要极限来求.4.若一个函数在某点的极限为振荡极限，但该函数为有界函数，则该函数与一个无穷小的乘积是无穷小.,第二部分一元函数微分学,其它形式,一、导数的定义,注意:,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,单侧导数,1.左导数:,2.右导数:,例,解,导数的几何意义,法线方程为,切线方程为,法线方程为,切线方程为,法线方程为,注,链式法则“由外向里，逐层求导”.,2.注意中间变量.,推广,求导的方法,二、隐函数及其导数,隐函数,方法：对隐函数直接求导.注意此时y=y(x),只要方程中某项含有y,则求导后这一项一定含有,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.目的是利用对数的性质简化求导运算.,-对数求导法,微分的定义,会求函数的微分,微分与可导的关系，一阶微分形式不变性。.,拉格朗日(Lagrange)中值定理,洛比塔法则,适用范围：,即：函数之比的极限等于导数之比的极限.,注意：洛必达法则与其它求极限方法结合使用效果更好，比如能化简先化简，利用等价无穷小替换等.,单调性的判别法,导数为正，则函数单调增；导数为负，函数单调减.,利用单调性证明不等式,将要证的不等式作恒等变形（通常是移项),使一端为0,另一端即为所作的辅助函数f(x),与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.注：有时无法判别的符号，则可先讨论的符号，再转到上述第二步.,曲线凹凸性的判定,函数的二阶导数大于0,曲线为凹函数；若小于0,则为凸函数.,确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤:,求极值的步骤:,求最值的步骤:,（3)如果已知最值存在，比较在端点、驻点和导数不存在的点的函数值。另外，还可以根据在整个定义域上函数的一（二）阶导数的符号来判断.,导数及最值在经济学中的应用,1.成本函数,收入函数,利润函数2.边际分析3.弹性4求最大利润，最小平均成本等最值问题要求:会求各种函数,并理解相应的经济意义；会求经济学中的最值问题。,一元函数积分学,第三部分,一、原函数与不定积分的概念,定义：,不定积分的定义：,为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可.,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,基本积分表,是常数);,说明：,以上13个公式是求不定积分的基础，称为基本积分表，必须熟练掌握.,一、两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表,二、分部积分法:合理选择u,v，正确使用分部积分公式,求不定积分的方法,第一类换元公式（凑微分法）,使用此公式的关键在于将,说明,化为,例求,解,方法1,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例求,解,例,解,注意：分母拆项是常用的技巧！,说明(2)三角代换法,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,注意：所作代换的单调性.对三角代换而言，掌握着取单调区间即可.,说明(3),当分母的阶较