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对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 摘要 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 专业：光学工程 申请者：李静 导师：於亚飞 当今社会已经进入了信息时代，随着信息科学的发展传统的信息系统受到了极大的 挑战，量子信息学应运而生。量子信息学主要包括量子通信和量子计算两个方面，量子 信息具有的独特的信息功能在提高运算速度、确保运算安全性、增大信息容量和提高检 测精度等方面存在巨大的应用价值。纠缠态作为一种独特的量子信息载体在量子通信和 量子计算中起着举足轻重的作用，近几年来一种新的多体纠缠态，簇态的发现对量子信 息处理的研究起到了极大的促进作用。簇态可以在量子信息处理中作为一种基本的物理 基质进行通用的量子计算，从而实现对信息的传输、处理、读取过程。这样一来如何制 备我们所需要的理想的簇态成了首要的任务，许多学者在光学晶格、量子点、线性光学、 腔量子电动力学等领域中作了相关的研究，其中，b r o w n ede 等人提出了一种有效的 利用线性光学元件以b e l l 态为基本单元对簇态进行扩展的方案，该方案利用i 类和i i 类线性光学量子融合门对簇态进行扩展。本文对两类线性光学量子融合门进行了深入的 研究和分析，并且提出了有效的改进方案。主要内容包括： ( 1 ) 第一章是绪论部分，简单介绍了本论文的研究背景。 ( 2 ) 第二章主要回顾了量子纠缠和量子计算方面的知识。包括量子比特、纠缠态以及 量子逻辑门、量子计算、量子算法等几个方面的内容。 ( 3 ) 第三章系统分析了簇态的基本构成和纠缠特性，研究了在簇态上对任意量子回路 的模拟过程，总结了簇态实现通用量子计算的功能。 ( 4 ) 第四章研究线性光学量子融合门并分析其应用价值，给出了我们的简化方案，减 少了线性光学元件，精简了计算步骤。 ( 5 ) 第五章，总结与展望。 关键词：纠缠态、簇态、量子计算、融合门 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 t h ea n a l y z eo ft h ekin e a ro p tic a lq u a n t u mf u s10 ng a t einq u a n t u m c o m p u t a tlo no nc l u s t e rs t a t e m a j o r ：o p t i c a le n g i n e e r i n g n a m e ：l ij i n g s u p e r v i s o r ：y a - f e iy u n o w a d a y s t h es o c i e t yh a se n t e r e dt h ei n f o r m a t i o na g e ，t h ed e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o n s c i e n c ef o rt r a d i t i o n a li n f o r m a t i o ns y s t e m si sag r e a tc h a l l e n g e ，s ot h eq u a n t u mi n f o r m a t i o n c a m ei n t ob e i n g q u a n t u mi n f o r m a t i o ni n c l u d i n gt w oa s p e c t sa sq u a n t u mc o m m u n i c a t i o na n d q u a n t u mc o m p u t a t i o n ，t h e r e i s g r e a tv a l u ei na p p l i c a t i o nf o rq u a n t u mi n f o r m a t i o ni n i m p r o v i n gt h es p e e d o fo p e r a t i o nt oa ! s u r eo p e r a t o rs a f e t y , i n c r e a s ec a p a c i t ya n di m p r o v et h e d e t e c t i o na c c u r 2 i c yb a s e do nt h eq u a n t u mp r o p e r t i e so ft h eu n i q u ef e a t u r e s e n t a n g l e ds t a t e p l a y sa c e n t r a lr o l ei nq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dq u a n t u mc o m p u t a t i o n 豁au n i q u ec a r r i e ro f t h eq u a n t u mi n f o r m a t i o n i nr e c e n ty e a r san e wk i n do fm u l t i b o d ye n t a n g l e ds t a t e s ，c l u s t e r s t a t e s ，p l a yag r e a tr o l ei nt h es t u d yo fq u a n t u m i n f o r m a t i o np r o c e s s i n g c l u s t e rs t a t e sc a nb e u s e da sab a s i cp h y s i c a lm a t r i xo fq u a n t u mc o m p u t a t i o nf o rg e n e r a lp u r p o s e ，r e a l i z et h e c o u t s co ft r a n s m i s s i o n ，p r o c e s s i n g ，r e a df o ri n f o r m a t i o n i nt h i sw a yp r e p a r ea ni d e a l c l u s t e rs t a t eh a sb c c o m et h ep r i m a r yt a s k , a n dm a n ys c h o l a r sh a v em a d er e s e a r c hi nt h e o p t i c a ll a t t i c e ，q u a n t u md o t s ，l i n e a ro p t i c s ，c a v i t yq u a n t u me l e c t r o d y n a m i c sa n do t h e rf i e l d s w h i c h ，b r o w n ed ea n do t h e r sp r o p o s e da ne f f i c i e n tp r o g r a mu s i n gl i n e a ro p t i c a le l e m e n t s a n db e l l s t a t ea st h eb a s i cu n i to ft h ec l u s t e rt oe x p a n dc l u s t e rs t a t e ，t h ep r o g r a md r a w so n t y p eia n dt y p ei il i n e a ro p t i c a lf u s i o ng a t et oe x p a n dc l u s t e r i nt h i sp a p e r , w ec a t yo u t i n - d e p t hr e s e a r c ha n da n a l y s i so nt h et w ot y p e so fl i n e a ro p t i c a lf u s i o ng a t e s ，a n di m p r o v ea n e f f e c t i v ep r o g r a m t h em a i nc o n t e n t si n c l u d e ： ( 1 ) c h a p t e rii st h ei n t r o d u c t i o np a r to ft h i sp a p e r , g i v eab r i e fb a c k g r o u n dt ot h es t u d yo f k n o w l e d g e ( 2 ) c h a p t e ri im a i n l yi n t r o d u c et h ek n o w l e d g eo fq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u m c o m p u t a t i o n i n c l u d i n gt h eq u a n t u mb i t s ，e n t a n g l e m e n t ，a n dq u a n t u ml o g i cg a t e ，q u a n t u m 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 p a r a l l e lc o m p u t i n g ，q u a n t u ma l g o r i t h m s ，s u c ha sa s p e c t s ( 3 ) c h a p t e ri i ia n a l y s i st h ec l u s t e rs t a t e sb a s i cc o m p o s i t i o na n dp r o p e r t i e so fe n t a n g l e d ， s t u d yt h ec h a r a c t e ro ft h ec l u s t e rs t a t eo ns i m u l a t eq u a n t u ml o g i cc i r c u i tb yc e r t a i n m e a s u r e m e n t s ( 4 ) c h a p t e ri vs t u d yt h el i n e a ro p t i c a lf u s i o ng a t ea n da n a l y s i st h ev a l u eo fi t sa p p l i c a t i o n ， a n dg i v e0 1 1 1 s i m p l i f yp r o g r a m ，r e d u c et h el i n e a ro p t i c a le l e m e n t s ，s i m p l i f yt h e c a l c u l a t i o ns t e p s ( 5 ) c h a p t e ri vi st h es u m m a r ya n do u t l o o k k e yw o r d s ：e n t a n g l e ds t a t e s ，c l u s t e rs t a t e ，q u a n t u mc o m p u t a t i o n ，f u s i o ng a t e 华南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下独 立进行研冗一 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内答外! 本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。 本人完全意识到此声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：李带 佑义作有登召：见篇印 e t 期：汹夕和月。7e l 学位论文使用授权声明 本人完全了解华南师范大学有关收集、保留和使用学位论文的规 定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华南师 范大学。学校有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，允许学位论文被检索、查阅和借阅。学校可以公布学 位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印、数字化或其他 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在年后解密适用 本授权二岛。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权 书。 论文作者签名：誓前翩签名：蘩强形 日期：1 年。阳钟 日期产加夕日 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 1 1 研究背景 第一章绪论 近二十多年来，近二十多年来，量子信息学作为一个跨学科的综合性的研究领域在 理论与实验方面都有了较大的进展i l l 。从1 9 8 0 年量子图灵机模型1 2 】的提出，到它的核 磁共振( 1 呱依) 实验演示【3 】；从1 9 8 4 年基于两种共轭基的b b 8 4 量子密钥分配方案【4 】的提 出，到它的实验实现【5 】；从1 9 9 3 年b e n n e t 等1 6 1 首先提出了传输单粒子任意量子态的量 子隐形传输方案，到2 0 0 5 年中国科学技术大学潘建伟研究组【7 】利用五光子纠缠实现量 子隐形传态的实验，说明了该领域发展速度之快。 量子计算机是一类遵循量子力学规律进行存储、运算及处理量子信息的物理装置。 与经典计算相比，量子计算对信息的处理和计算都有很大的优越性。量子比特在物理上 用两态量子系统来实现，例如电子的自旋。光子的偏振态。与经典比特不同，量子比特 的状态可以处于逻辑态0 和l 的任意叠加状态。利用态叠加原理，量子计算机可以实现 量子并行计算，理论上它比任何现有的甚至将来的经典计算机强大得多。 迄今为止世界上还没有实现真正意义上的量子计算机。但是世界各地的许多科研人 员正在以极大的热情追寻着这个梦想。目前，已经提出的量子计算机物理实现方案有： 腔量子电动力学( 腔q e d ) 方案i 引、离子阱方案【9 - 1 1 1 、核磁共振( m i t r ) 方案【1 2 1 13 1 、光学 系统【1 4 】等方案。这些方案现在还很难说哪一种方案更有前景，最后也许现有的方案都 不行，取而代之的是以某种新材料为基础的全新的设计方案。 从现在的技术条件来看，线性光学系统是最有希望实现量子计算和量子通信的物理 系统之一。从量子光学角度来看光子可以保持很好的相干性，相干时间较长，这使得光 子成为一种理想的量子比特的载体：光子的偏振态以及空间模都可以用来编码量子比 特；光子纠缠源可以通过参量下转换过程产生；利用各种半波片和分束器等光学器件就 可以完成对量子比特的单量子比特操作；目前的单光子探测技术也可以对光子进行令人 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 满意的测量。2 0 0 1 年，k n i l l 等人f 1 4 】提出了利用线性光学器件和单光子源的有效量子计 算方案。开创了线性光学实现量子计算的先例。虽然这种单光子量子计算机具有很高的 效率，但需要高效率的光子探测器。因此，量子计算机的物理实现是极其困难的。 作为量子理论最显著的特征之一，量子纠缠被当作一种有效的资源广泛地应用于量 子信息领域。二体纠缠态在量子信息处理中已经产生了许多有趣的没有经典对应的应 用，如量子隐形传态、量子密集编码、基于纠缠态的量子密码术等。多体量子纠缠态具 有更为特殊的纠缠结构和性质，应用在量子信息处理过程中将会产生很多特殊的现象。 在量子信息论中，有很大一部分内容是对多体量子纠缠态进行定性和定量的研究。 近几年来多体纠缠态受到了越来越多的关注。b f i e g e l 和r a u s s e n d o f f 引入了一种特 殊的多体纠缠态，即所谓的簇态【l5 】( c l u s t e r 蚴e ) 。簇态可以作为基本的纠缠源来实现量 子计算，例如利用簇态实现单向量子计算，可以通过对簇态上的粒子执行单量子比特投 影测量来模拟量子回路f 幡1 7 】，因此许多科学家开始研究并应用多种方法来制备簇态。簇 态可以通过在相邻的量子比特之间执行i s i n g 相互作用来实现，在很多的物理体系中都 可以得到( 如量子点、光学系统、腔q e d 系统等都很适合制备簇态) 。簇态是进行单向 量子计算的重要资源，量子计算过程中的信息由簇态携带并处理，通过单量子比特的投 影测量读出。簇态在n 1 - _ ，它们可以处于以上四个纠缠 态之一的任何态，如 ：。去( f 0 0 ) l ：+ 1 1 1 ) i ：) ( 2 i 6 ) 其中f 0 1 ) 。：表示原子1 处于态 和原子2 处于态 1 ) ：其余类推。当两个原子处于叠加态 i 矽+ ) ：时，我们只知道一个原子处于态i o ) ，另一个原子处于态1 1 ) 。然而不知道哪个原 子处于态i o ) ，哪个原子处于态1 1 ) ，因此这两个原子是纠缠在一起的。因为纠缠态的每 一分量都由两个粒子的单态f o ) 和1 1 ) 构成，所以处于纠缠态的两个粒子有一个奇妙的特 性。我们只要对其中一个粒子的状态进行测量，就可以知道另一个粒子所处的状态，无 6 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 删蔼产 亿 ， 吼= 瑚j = 嘲 怕h 一。 叫) 付，妒) 9 旷) q ：付妒) ，h 旷) ：付，妒) h 旷) = i o o - s ：扮) 付陟一) ，弦) h p + ) ( 2 i 8 ) 但这四个局域幺正操作并不改变每个子系的状态，因为在这四个局域幺正操作作用前后 r 两子系统的约化密度矩阵始终是岛= 岛= 寺，1 是2 x 2 维空间中的单位矩阵。即子系 二 统彳* 0 b 都处于最大混合态，分别以1 2 的几率处于量子态i o ) 和1 1 ) 。因此从每个子系 统在局域操作中不能获取b e l l 态所携带的所有信息，每个b e l l 态携带的信息对局域操 作是隐匿的，不可能通过局域操作提取。只有对粒子么和曰进行联合操作，才可以获得 信息。 纠缠不仅仅局限于两方，还存在于多方子系中。以三量子比特体系为例，最常见的 纠缠态是g r e e n b e r g e r - h o m e z e i l i n g e r ( g h z ) 态【4 3 4 5 1 ，它的形式如下： 7 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 l 如) 2 去( i o ) f 0 ) 1 0 ) 1 1 ) ) ) 陆) 2 击( j 1 ) 1 0 ) 1 0 ) 槲) | 1 ) ) ( 2 1 - 9 ) v r ，1o 、 l 彘) 2 老( ) | 0 ) 1 1 ) ) ) l 如) 2 击( 1 0 ) | 0 ) 1 1 ) 1 1 ) 1 1 ) 1 0 ) ) g h z 态具有和b e l l 态有类似的关联性质，以g i - i z 态i + g z ) 为例，当测量得到其中一个 量子位的量子态是1 1 ) 态时，其它两个量子位必定在1 1 ) 态上，如果测量得到其中一个量 子位的量子态是i o ) 态时，其余两个量子位必定在i o ) 态上。 三粒子g i - i z 态有几个重要特性： ( 1 ) g h z 态最大程度的违背b e l l 不等式； ( 2 ) 对g h z 态互信息( m u t u a li n f o r m a t i o n ) 测量的输出是最大的： ( 3 ) 可以利用局域操作从g h z 态中确定地得到一个被三个粒子中的任意两个粒 子分享的e p r 态； ( 4 ) 在三粒子纠缠态中，g h z 态是最大纠缠态。 除此之外，三粒子g h z 态还有另外一个很重要的性质：当三个粒子中的任何一个 被求迹后，剩余的两个粒子是完全不纠缠的，即三粒子g h z 态没有两部分纠缠。三粒 子g h z 态的约化密度矩阵可以表示为： = p m = p c a = 专( i o o ) ( o o i + j 1 1 ) ( 1 1 j ) ( 2 1 1 0 ) 三粒子g h z 态的这种性质表示，如果对系统中三个粒子中的任意一个求迹后，剩余的 两个粒子是完全不纠缠的，因此三粒子g h z 态的纠缠在有粒子损失的情况下是非常脆 弱的。 三粒子纠缠中还有一种常见的纠缠形式，称为w 态【4 “8 1 ，具体形式如下： ) = - - 若- ( 1 0 0 i ) + l o l o ) + p o o ) ) y ， 在这里，分别用o ，1 表示粒子的两个状态，w 态与g h z 态不能通过局域操作和经典 通信相互转换。而与g h z 态截然相反的是，三粒子w 态具有最大的两部分纠缠，即当 三个粒子中的任意一个被求迹后，剩余的两个粒子可以处在一个b e l l 态上，三粒子w 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 态的约化密度矩阵可以表示为： = 岛c = 砌= 争+ ) ( y + i + 三l o o = 去( i o l ，0 ：，川+ i l l , 1 2 , - - , 1 , v ) ) 慨= 丽1 ( i l l ，o ：，。) + | 0 l 1 ：，。) + + j o i ，0 2 ，1 ) ) 其中n 3 ，它们的特性分别与其三粒子情况下类似，对于体w 态，丢失其中任何一 个粒子后，剩余的一1 个粒子仍然保持纠缠。特别地，如果当个量子位中的一2 个 量子位丢失了它们的量子位信息，w 态中其余的2 个量子位还是保持纠缠的。这意味 着，个量子位中的任何2 个量子位不依赖于另外的一2 个量子位，无论这一2 个 量子位是否和它们合作，这两个量子位还是纠缠的；而g h z 态确没有这种抵抗粒子丢 失的特性。 最近，b r i e g e l 和r a u s s e n d o r f 提出了一种特殊的多量子比特纠缠态，簇态【1 5 ( c l u s t e r s t a t e ) 。簇态中的粒子通过i s i n g 相互作用纠缠在一起，也可以看作是在相邻的粒子之间 执行了控制相位门的操作，一维条件下簇态可以写成下面的形式 如) = 专曼( 1 0 ) 口口+ 1 1 ) 口) ( 2 1 1 5 ) 由于我们只考虑相邻粒子之间的相互作用，所以约定掣+ 。- 1 ，当n 3 时，i 九) 与 i g h z ) 是不能通过局域操作和经典通信来相互转化的。 簇态具有很强的纠缠性，通过局域操作来对l 加) 进行解纠缠要比l g 舷) 困难得 多。簇态作为一种特殊的纠缠态可以执行单向量子计算，实现对信息的传输、处理和读 取等过程，在这个过程中，对簇态执行的单量子比特投影测量模拟了各种不同的量子回 路和量子门。因而，我们可以应用簇态来实现通用的量子计算。 9 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 2 2 量子计算 量子计算和量子计算机的概念首先由f e y n r n a n 提出。1 9 8 2 年，f e y n r n a n 4 9 】在研究 物理系统的计算机模拟时，论证了用经典计算机模拟量子力学系统，随着输入粒子数或 自由度的增大，计算资源( 时间和空间) 消耗将指数增大，并由此启发了应用量子力学 性质工作的计算机( 量子计算机) 可能避免这一困难。所谓量子计算机就是利用量子力 学基本原理实现量子计算的机器。量子计算机是个量子力学系统，量子计算过程就是这 个量子力学系统的量子态的演化过程。由于量子态具有量子干涉和量子纠缠性质，使量 子计算有许多不同于经典计算的新特点。经典上不同的物理态可以以干涉叠加形式存在 于量子计算机中，量子位之间的纠缠在不同量子位之间建立了量子“信道”，使量子计 算可以沿着经典上许多不同的路径并行进行。巧妙的利用量子计算机的这些性质，可以 做出经典计算机不可能做到的任务。 2 2 1 量子逻辑门 量子计算中，信息的基本单元是量子比特，信息的基本操作元件是量子逻辑门。 量子比特是信息的载体，量子比特的信息经量子逻辑门操作处理后，最后得到计算结果。 量子信息处理对编码的量子态进行一系列幺正演化，量子逻辑门就是对量子比特 的最基本的幺正操作。而量子计算则是通过对量子逻辑门来控制和操作量子态的演化和 传递，进行量子信息处理的。故幺正性是量子逻辑门的唯一要求，任何满足幺正性的矩 阵都能表征一个量子逻辑门。而所有的量子逻辑门都是可逆操作，不伴随信息的擦除( 输 入信息的丢失) ，在理论上也就不存在热耗散的极限，从而杜绝了经典计算机从根本上 就无法解决的热耗散严重影响器件正常功能的问题。量子逻辑门可通过多种物理体系来 实现，例如核磁共振( r ) 、离子阱、量子点和半导体硅基等。 量子逻辑门的操作可以用对量子位的h i l b e r t 空间基矢的作用定义。如果一个幺正 操作演化基矢态为 l o 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 o ，、 - , i o 枷 ( 2 2 1 ) j 1 ) 专p 枷| 1 ) j p 叫 这个幺正操作就是一个一位门。记基l 。) = 习，i 。) = 0 这个r 操作就可以用一个幺正 矩阵p ( 9 ) = 三； 表示，其中p = 纠。容易验证尸( 目) f 。) = i 。) ，尸( p ) 1 1 ) = p 矽i ) ，所以 这个门操作还可以用投影算子形式表示为p ( e ) - - l o ) 满足 正交归一化条件。由于p 操作改变两个基底态的相对相位，p 门称为相位门。 一位门常用下面的“线路 表示： l 口) 酽u i 口) 其中水平直线表示一个量子位，方框表示一个门运算，方框中字符表示特定的幺正变换。 1 几种常用的一位门 ( 1 ) ，= i o ) ( o | + 1 1 ) ( 1 i ( 2 2 2 ) 这是一个恒等操作，矩阵表示为单位矩阵，= 墨o ( 2 ) 非门x = i o ) ( 1 l + 1 1 ) ( o i ( 2 2 3 ) 它的作用为 x l , = l o ) x l o = 1 ) 对应着经典逻辑非门- - n o t 腓，它的矩阵表示x = o 这正是p a u l i 矩阵以，这也是把它计为x 的原因。 ( 3 )定义z 操作为 z = p ( 万) 很明显它的矩阵表示为 z ：厂1 【- 0 羽 ( 2 2 4 ) 这正是p a u i i 矩阵吒，它的作用是改变i o ) 和1 1 ) 的相对相位万。 ( 4 )y = 丛( 2 2 5 ) 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 注意到 麒= 三二 ：习= 三习 所以】，操作可以用矩阵表示为 】，：f l 。f 0 j = f q 其中q 正是p a u l i 矩阵。 ( 5 ) 另一个重要的一位门是h a d a m a r df - j ，它的作用可以表示为 日2 击 ( 1 0 ) + | 1 ) ) ( o i + ( 1 0 ) - 1 1 ) ) ( 1 口 ( 2 2 6 ) 叩) = 忑1 ( 1 0 ) + 1 1 ) ) 1 日1 1 ) = 万1 ( i o ) - | 1 ) ) j 矩阵表示 日= 铷廿击c ， 2 两位门 ( 1 ) 受控非门作用到两个量子位上的所有可能的幺正操作中一个最有意义的子 集是 l o ) ( o i o ，+ 1 1 ) ( 1 i o u ( 2 2 7 ) 其中，是一个量子位的恒等操作，【，是另外一个一位门。这样的两位门称为控制一u 门，第一量子位称为控制位，第二量子位称为靶位。控制一u 门对靶位作用，或者u ， 决定于控制位处于i o ) 态还是1 1 ) 态。控制非门的作用是 1 0 0 ) - , 1 0 0 1 0 1 ) 一1 0 1 ) 1 1 0 ) 专1 1 1 ) 1 1 1 ) 一1 1 0 ) ( 2 2 8 ) 当且仅当第一量子位处于态1 1 ) 时，才取第二量子位的逻辑非。控制n o t 门可以用图l 表示 1 2 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 f、 图1 二位控制非门 口ob 图中口、b 表示o 或1 ，a ( b b 表示模2 加，即0 + 0 = 0 ，1 + 0 = 0 + 1 = 1 ，1 + 1 = 0 。 两量子位的态矢空间的基底可以由一组量子位基矢的直积构成 l o o =淞- ) = o 0 舢。) = o 在这组基下，控制n o ti - j 的作用可以用矩阵表示为c o r = ( 2 ) 受控位相门一p 它的功能可用下式表示 u c 一尸l 瑚力= p 刚l 划力 显然，仅当x = y = 1 时才出现位相因子。 2 2 2 量子计算的并行性 10 o1 0o 00 o o o o o1 l0 ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) 相对于经典计算机，量子计算机最重要的优越性体现在可以进行量子并行计算上。 因为可对计算问题并行处理，在计算某些问题时，量子计算机比起经典计算机速度上的 优势。比如，一个2 位经典寄存器可以编码2 2 个不同的数字：0 0 ，o l ，1 0 ，1 1 。但每 一时刻只能存储其中的一个。而一个2 位的量子寄存器科用量子叠加效应，在一个给定 的时刻可以同时存储2 2 个数字，而一个量子态可以代表所有存储的数字。三个量子位 存储器可以同时存储2 3 个不同的数字，依此类推，对于刀位的量子存储器而言，它可以 同时存储2 “个不同的数字( 态) ，在量子力学中，对拧个量子位的寄存器的一般态可以 1 3 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 表示为 2 。- i j 沙) = e i x ) x f f i 0 在这个态中，量子寄存器同时具有2 “个可能的值，也就是说，我们对其进行一次 操作，就相当于对经典计算机的2 “次操作。这种计算效果就是所谓的量子并行计算。 因此，用量子态代替经典态的量子并行计算，可以达到经典计算机不可比拟的运算速度 和信息处理功能。意即量子计算机可以节省大量的运算资源( 如时间、记忆单元等) 。 2 2 3 量子算法 用于求解某一类问题的特殊指定的指令序列集合就是一个算法。算法是解一类问题 的方法，算法本身并不依赖于具体的机器和具体的计算机语言。在经典的计算理论中受 到了算法复杂性的限制。量子计算机是服从量子力学规律的计算机，它可以支持新类型 的量子算法。量子计算机可以在以下三方面超出经典计算机【5 0 】 1 ) 指数加速，如s h o r 的大数质因子分解的量子算法【5 1 】可以实现指数加速。 2 ) 非指数加速，如g r o v e r 的搜索量子算法【5 2 1 可以实现万的加速。 3 )“相对 指数加速，如求解函数周期的s i m o n 问题的“量子黑盒”1 5 3 1 可获得指 数加速。 1 4 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 第三章簇态 2 0 0 1 年h a n sjb r i e g e l 和r o b e r tr a u s s e n d o r f 提出了一种新型的多体纠缠态【l 纠6 l 簇态。通过在相邻的量子比特之间执行i s i n g 相互作用可以在任何系统中制备纠缠簇态。 簇态可以作为物理基质来进行单向量子计算【l7 1 ，即将信息写入到簇态之后通过对簇态 中处于纠缠的粒子执行单量子比特投影测量，可以实现信息传输、处理、读取的过程， 在执行单量子比特投影测量的同时，簇态的纠缠也被破坏而不能再被利用，所以这种计 算模式称作“单向”量子计算。在这种计算模式中，对簇态的单量子比特投影测量可以 模拟各种不同的量子回路和量子门，因而簇态具有用来进行通用量子计算的价值，同时， 这种计算模式将制作量子回路的困难转移到了特定构型簇态的制备上。 3 1 簇态的由来 在一个d ( d = 1 ，2 ，3 ) 维晶格中假设每个位置都被一个量子比特占据着，在相邻的 位置口和a 之i 司执行i s i n g 型相互作用就构成了簇态，互作用哈密顿量n - i 以用f 面的式 子表示 1 5 - 1 6 】 耻醐) 萎m - 口) 竿学。 ( 3 1 1 ) 这个互作用相当于在位于a 和a 上的两个量子比特之间实现了控制相位门的作用。我们 考虑一维条件下n 个量子比特链的情况，最初，所有的量子比特都处在量子态 ( j o ) 口+ 1 1 ) 。) 互上，其中i o ) 。- 2 1 0 ) 幻和1 1 ) 。三1 1 ) z 口是以的本征值为1 和一1 的本征态，同 时也是( 1 一砖) 2 的本征值分别为0 和1 的本征态。由上述哈密顿量e 小产生的幺正变 换是 u ( 伊) = e x p ( 一初。- 1 + - t 曰- - - 1 - 一 - 毋t “- - 、 ( 3 1 2 ) 1 5 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 其中缈= j g ( t ) d t ，g ( f ) = g = 常数，u ( q o ) = u ( g t ) 是以时间为周期的并对量子比特链产 生“纠缠震荡的作用，当缈= o , 2 ，r ，4 r e ，时量子比特链是非纠缠的，而c , o 取其它值 时是纠缠的。其中当c , o = 7 ，3 刀，5 7 r ，时量子比特链是最大纠缠的，如果只考虑这种情 况，那么簇态就可以写成下面的形式 i 九) = 专曼( 1 0 ) 口露+ 1 + 1 1 ) 口) ( 3 1 3 ) 约定盯多+ 1 - - i ，例如，当= 2 时 i 唬) = 璺( 盹v o r z ( a + 1 ) + 1 1 ) 口) = 专( 1 0 ) ，畦+ j 1 ) ，) ( j o ) ：+ j 1 ) ：) ( 3 1 4 ) - - ( 1 0 。( i o ) 2 - 1 1 ：) + 1 1 ) l ( 1 0 ) 2 + 1 1 ) 2 ) ) 当对标号为2 的量子比特执行局域幺正操作，即进行h a d a m a r d 变换后会将得到 l 欢) = h 古( 1 0 ) l i o ：+ | 1 ) l1 1 ) 2 ) ( 3 1 5 ) 这里的“ 表示局域幺正操作作用在一个或多个量子比特上，实行局域幺正操作时 等号才成立5 4 1 ，同时我们可以看到 杰) 是两量子比特的最大纠缠态。类似的，可以得到 n = 3 ，4 的时候 f 缟) = h ，击( f o ) 。| o ) 2i o ，+ i ) ：1 1 ，) i 死) = h ，吉( 1 0 ) li o ) ：i o ，i o 。+ l o ) li o ：1 1 ，1 1 。 ( 3 1 6 ) + 1 2i o ，i o 。一i 21 1 ，1 1 ) 4 ) 很明显，i 九) 与三个量子比特的g h z 态是等价的，j 九) 与四个量子比特的g h z 态不等 价。当n 3 时，l 九) 与n 量子比特的g h z g h z ) = 2 。1 胆( 1 0 ) 。i o + 1 1 ) 。1 1 ) ) 是不 等价的，即不能通过局域操作和经典通信来相互转换。 前面考虑的是一维条件下簇态的形式，而当伊= 万时，由哈密顿量h i 。，也可得到d 维( d = 2 ，3 ) 条件下簇态的一般形式 愀= 璺( 1 0 ) c 鲁盯+ 1 1 。) ( 3 1 7 ) 其中，当d = 2 时r = ( 1 ，o ) ，( o ，1 ) ) ，d = 3 时r = ( 1 ，0 ，o ) ，( o ，1 ，o ) ，( o ，0 ，1 ) ) ，并且约定当 1 6 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 c + 厂萑c 时世+ - 1 。可以用图2 来表示两维簇态，晶格的各个点上代表量子比特，中 间的连线表示量子比特之间的相互作用。很容易看出一维簇态就是r = 1 ) 时的一种特殊 情况。 c 广 o i rl 一 p | l i i c t 图2 两维簇态 簇态( 3 1 7 ) 满足下面的本征方程集 疋i ) c = r l ) c ( 3 1 8 ) 其中疋= 砖) o 撑r u - r 以“，口c 。r u r 表示对于某一特定的口与其相互作用的所有 位置上的量子比特，并约定口+ 7 诺c 时z 口+ ，) - 1 ，本征值彭= l 取决于簇态中量子比特 在晶格中的具体分布情况。 3 2 特殊测量对簇态的影响 在讨论特殊测量基下测量对簇态的影响之前先了解一下冗余编码的概念，前面讲到 的簇态是一个光子定义一个量子比特，那么也可以用多个光子来代替单量子比特。比如 一般的簇态l 丸) 1 0 + i 孬) 1 1 ) 我们就可以将其编码成l 九) 1 日y + l 孬) l y y 。 选取不同的测量基对簇态中粒子进行投影测量可以对簇态的形式产生不同的影 响。本小节就针对在吒、仃，、巳的本征基下对簇态中粒子进行投影测量产生的影响进 行讨论。现在以一维簇态为例来进行分析，一维簇态l ) 具有以下的形式 i ) = i 矽) ( i o ) 。露+ | 1 ) 1 ) ( i o ) ：z + 1 1 ) ：) ( i o ) ，之+ 1 1 ) 3 ) i ) 。 ( 3 2 1 ) 123 1 7 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 中i 训的三个粒子分别标记为l 、2 、3 ，选取2 粒子是被投影测量的粒子 a ) 在吒的本征基下测量( 测量基i o ) ，1 1 ) 对应的测量结果分别记作l & ) ：，i s 。) ：) ，那 么就可以得到 i s o ：愀i o ) i + j 1 ) 1 ) 醴( i o ) 3 之+ j 1 ) 3 ) 彬 ( 3 2 2 ) i s ) ：愀一i o ) i + 1 1 ) 1 ) ( 1 0 ) 3 以+ 1 1 ) 3 ) 协 ( 3 2 3 ) 很明显，粒子1 与粒子3 之间是没有纠缠的。 b ) 在仃，的本征基下测量( 测量基( i o ) + 1 1 ) ) 云，( i o ) 一1 1 ) ) i 对应的测量结果分别 记作i 瓯) ，i s 。) ，) ，就会得到 i s o ，：压吲1 1 ) li o ) ，4 - i o 。1 1 。) 协 ( 3 2 4 ) i s x ：芝i ) ( i o ) 。i o ) 3 以一1 1 ) 。1 1 3 ) i 矽) ( 3 2 5 ) 只要对( 3 2 4 ) 式中的1 粒子执行仃，幺正操作就会转变成( 3 2 5 ) 式。这样粒 子1 、3 就冗余在了一起，共同以逻辑基i o o ) 、1 1 1 ) 的形式出现，分别相当于其它单个粒 子的量子态j o ) 、1 1 ) 。而且对处于冗余状态下的光子执行本征基下的单量子比特投 影测量并不会破坏簇态的纠缠，仅仅是将这个光子从该簇态中移掉。 c ) 在q 的本征基下测量( 测量基( i o ) + f 1 1 ) ) 三，( i o ) 一小) ) 互对应的测量结果分 别记作i s 。) ，i s 。) ，) ，同样的我们会得到 i s o y ： 击怵i o ) l + 1 1 ) 。) t + 羽o ) 。一1 1 ) 1 ) ( i o ) ，z + 1 1 ) 3 ) | ) ( 3 2 6 ) 吼： 击怵l o ) l + 1 1 ) 。) 以圳o ) ，一1 1 ) 。) ”) 3 z + 1 1 ) ，) 扮 ( 3 2 7 ) 通过验证可以看出在以上几种特殊的测量基下对簇态中粒子的测量，其结果正如图 3 所描述的情形一样，这为以后应用簇态进行量子计算时准确选取测量基提供了可靠的 依据，也显示出了簇态在纠缠方面的特殊性。 对簇态量子计算中线性光学量子融合门的研究 b ) ) 弋矿 j ，对 位置j f = 1 ，n - 1 上的量子比特执行吒本征基下的测量( 测量基 i + ) ，= l o ) u ，i - ) = 1 1 ) 列 ) 可以将i ) 的信息传递到第刀个量子比特上，对应的测量结 果墨e o , 1 ) ，测量后的量子态变为j 焉x ，o qj ，) 础一，p l x 。输出态l ) 。可以通过 对输入态l ) 执行幺正变换得到，幺正算符 ，吒，吒，吒吒 取决于对粒子l 至l jn - 1 的测量结果的取值。同时，呸的影响可以在最后的计算中补偿掉。 b ) 以五粒子的一维簇态为例证明在信息传递过程中可以得到对输入信息的任意旋 转( ) 。假设一个旋转算子的欧拉表示形式( 善，7 ，f ) = 虬( f ) u ：( 刁) 玑( 善) ，其中 q ) = e x p ( 一缸詈) ，以p ) = e x p ( 一缸争。最初，第一个例子处在态f ) 上，其它的 粒子都被制备在l + ) 态上，那么这五个粒子的初始量子态可以表示为 i 甲) l j = l ) 。o i + ) ： i + ) ， i + ) 。o i + ) ， 通过控制相位门操作s 作用后 s l , v 。，= l 2 i ) i o ) ：i 一) ，i o ) 。l - 5 - - l ，2 i ) 。i o ) ：f + ) ，i i 。l + ) ，一1 2 i 眈) 1 1 ) ：i + ) ，i o ) 。i - ) ， + l 2 i 以) ，1 1 ：i - , i q 。i + ) ，其中i 以) = 吒i ) 。现在，通过对粒子1 到粒子4 的测量可 以实现对量子态l ) 的旋转，旋转后量子态被传递到第五个粒子上。对四个粒子的测 oo o o o 12345 i 缈- ) i + ) ： i + ) ， i + ) 1 + ) ， 8 12345 s i