（应用数学专业论文）半直线上非线性方程组奇异边值问题.pdf

中文摘要 本文主要研究半直线上非线性方程组奇异边值问题解的存在性 全文共分为四章来详细论述上述问题 第一章为前言，主要介绍所研究问题的一些背景，以及本文所要研究的问题 第二章主要给出了一些相关定义和基本定理，利用这些工具研究如下非线性 微分方程组解的存在性， i 仳= ，( ，u ，口) ， i = g ( t ，u ，口) ， 其中f ，g c ( ( o ，0 0 ) xrxr ，r ) ，非线性项在t = 0 处奇异在此基础上，通过构 造上下解对如下拟齐次方程组奇异边值问题进行研究，获得存在解的充要条件 i 一= f ( t ，让，口) ， 【一秽= g ( t ，t ，u ) 其中，g g ( ( o ，。) r + x r + ，矿) ，f ( t ，1 ，1 ) 0 ，矿= 【0 ，。) ，且存在常数a ，p ，m ，n ， 其中0 入p 1 ，0 0 ，u ，v 0 有 ， i o u f ( t ，乱，t ，) f ( t ，甜，口) c a f ( t ，让，口) ，0 c n ， i c f ( t ，t ，口) f ( t ，缸，删) ，( t ，乱，口) ，0 c n ， lc f ( t ，钍，”) f ( t ，沈，口) c p ，( t ，乱，廿) ， c m ， i ，( t ，u ，t ，) f ( t ，t 正，删) ，( t ，札，u ) ， c m g 也满足上述性质 第三章对拟齐次方程组的正解进行分类，并利用s c h a u d e r 不动点定理研究其 解的存在性 第四章为结束语，总括全文的工作 关键词：半直线；拟齐次方程组； 奇异边值问题；上下解；s c h a u d e r 不动点 定理 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fn o n - l i n e a re q u a t i o ns y s t e mo n ah a l f - l i n ew i l lb ec o n s i d e r e d t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w et a l ka b o u tt h eb a c k - g r o u n do ft h i sp a p e r ，a n dm a k ep l a n sf o rt h er e s e a r c ho ft h ep r o b l e m t h en e x ts e c t i o nc o n s i s t so fd e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m sa n dm a i n l yi n v e s t i g a t e sn o n - l i n e a re q u a t i o ns y s t e m it 正= ，( t ，u ，t ，) ， it ，= g ( t ，口) ， w h e r ef ，g c ( ( o ，o 。) r r ，r ) w ec a no b t a i ns o m ec o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n st os i n g u l a rb o u n d a r yp r o b l e m so ft h ea b o v es y s t e m b yc o n s t r u c t i n gu p p e r a n dl o w e rs o l u t i o n sw ec a ng e tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c e o fs o l u t i o n st os i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fq u a s i - h o m o g e n o u se q u a t i o ns y s t e m 1 一= f ( t ，u ， ) ， 【一= g ( t ，札，t ，) ， w h e r e ，g c ( ( 0 ，o 。) 矿矿，矿) ，巾，1 ，1 ) 0 ，矿= 【0 ，) ，a n dt h e r ea r e c o n s t a n t s 入，p ，n ，m ，0 a p 1 ，0 0 ，让，t j 0 萨 萨 a a l 仳可 u t ， t t ， 仳t ， c t 正口 u 例 c u 口 乱例 曼p | 一， 冬一l s 一 t 仳 t 正 乱 t ，) 口) 口) 秽) 0 c n ， 0 m a n dgs a t i s f i e st h ea b o v ep r o p e r t y t h et h i r ds e c t i o nm a i n l yc l a s s i f i e st h ep o s i t i v es o l u t i o n so fq u a s i h o m o g e n o u se q u a - t i o ns y s t e ma n di n v e s t i g a t e st h e i re x i s t e n c eb ya p p l y i n gs c h a u d e r f i x e dp o i n tt h e o r e m a tl a s t ，w es u m m a r i z et h er e s u l t so ft h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：h a l f - l i n e ；q u a s i - h o m o g e n o u se q u a t i o ns y s t e m ；s i n g u l a rb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s ；u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ；s c h a u d e r - f i x e dp o i n tt h e o r e m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写, 亮i i i 研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：致镌 签字日期： ，i 沪7 年多月f7e l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：歃妊 导师签名： 签字日期：o 对年月，7 日 f 殇司庋 签字日期：a 7 年多月7 日 第一章前言 第一章前言 非线性方程边值问题来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析 数学中研究最为活跃的领域之一相对于微分方程理论而言。非线性方程在 不同边值条件下解的存在性有着广泛的应用，它在生物学、生物医学、经济 学及最优控制和航天技术等领域都有广泛的应用非线性常微分方程边值 问题的研究是一个具有持久生命力的课题本文利用不动点理论和上下解 方法研究了非线性方程组奇异边值问题解的存在性，得到了一些新成果 近几年来，对半直线上方程奇异边值问题正解的存在性研究，主要是 利用上下解方法以及半序空间上的不动点定理，( 参见【1 卜【7 】) 陈绍著和张 勇【1 于1 9 9 4 年讨论了如下半直线上拟齐次方程奇异边值问题 ， l 一= ，( ，z ) ， iz ( o ) = 7 ，z 7 ( o o ) = z 0 其中，f c ( 耐矿，矿) ，耐= ( 0 ，o o ) ，r + = 【0 ，o o ) ，且存在a ，p ，n ，m ，0 入 p m 作者通过构造上下解得到了上述问题解存在的充要条件刘衍胜 2 】于2 0 0 3 年 就如下奇异边值问题进行了研究，方程形式如【1 】，其中，f c ( 耐x 对，矿) ， 存在a ，p ，n ，m ，一0 0 入 0 p 0 时， ic “f ( t ，z ) f ( t ，) 一f ( t ，z ) ，0sc ， ic 。x f ( t ，z ) f ( t ，c z ) c 舢f ( t ，z ) ，c m 作者利用g r e e n 函数构造积分方程，在此基础上应用锥压缩与锥拉伸不动 点定理，从而获得上述方程解的存在性条件2 0 0 6 年闰宝强，d o n mo r e g a a 和r a v ip a g a r w a l 【3 改进【2 中的非线性项为圣( t ) ，( t ，z ，) ，推广了上述结论 张志军【4 】又于2 0 0 6 年减弱了非线性项条件， - a u = 6 ( z ) 9 ( 缸) ， u 0 ， z r 川， 1 i r au ( z ) = 0 第一章前言 其中9 ，6 满足条件：夕c 1 ( 耐，耐) 。畴掣= ；熙掣- - o ；bg 嘬( r ) ；6 ( z ) o ，t r n ；伊r p ) d r o o ；( r ) = m i 刮a ：x ，b ( x ) 作者利用上下解方法证得上述方程 存在整体解2 0 0 7 年张新光，刘立山和吴永宏【5 】又对非线性项不必非负的 情况进行了讨论， l ( t ) z 7 ( t ) ) 7 + f ( t ，z ) + 口( t ) = 0 ，0 1 ，使得对任意( t ，仳) ( o ，+ 。) i o ，+ 。o ) 有 g c x l f ( t ，u ) f ( t ，c t ) c a 2 f ( t ，缸) ，0 cs 1 作者先利用g r e e n 函数化微分方程为积分方程，再构造锥，然后应用拓扑度 理论得到了上述方程解的存在性条件但关于方程组奇异边值问题研究的 成果不多 本文利用上下解工具研究了如下拟齐次方程组奇异边值问题， 二三纂搿 1 ， 其中，9 c ( 耐r + 矿，矿) ，f ( t ，1 ，1 ) 0 ，且存在常数a ，p ，n ，m ，0 a p 1 ，0 0 ，t ， 0 有 l c p f ( t ，缸，口) f ( t ，优， ) c f ( t ，u ，口) ，0 c n ， j c ( t ，u ， ) f ( t ，t ，铡) ，( t ，u ，口) ，0 0 一) _ 毗 ( 1 2 ) 【可( o ) = r o ，u ( 。o ) = c o n s t 乱( o ) = r 0 u ，( ) = 。0 ， ( 1 3 ) 【钉( o ) = r o ， 7 ( o 。) = f 0 ， 第一章前言 f 有解的了云要条件 结论一。( i ) 边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有正解( t ，口) c o ，0 0 ) v ) c 2 ( o ，0 0 ) x c o ，0 0 ) n c 2 ( o ，0 0 ) 当且仅当 厂t 巾， ， o ot g(t11 ) d t 0 0 1 ，1 ) 出 0 0 t ，( ， ， ，1 ，1 ) 出 jo,10 ( i i ) 边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有正解( u ，t 7 ) c 1 【o ，0 0 ) f i c 2 ( o ，0 0 ) c 1 【o ，o o ) n c 2 ( o ，。o ) 当且仅当( i ) 成立且 ， 1 f ( t , t + r l , t + r 2 皿 。，小t , t + r l , t + r 2 础 结论二。( i ) 边值问题( 1 1 ) 和( 1 3 ) 有正裤( u ，u ) c o ，o o ) n c 2 ( o ，o o ) c o ，0 0 ) n c 2 ( o ，0 0 ) 当且仅当 z 1 t ，( t ，1 ，- ) d r o o ，j ( 1 t g ( t ，1 ，) 出 o o ， 且 e ，( 0 0 f ( t tt ) d t 0 0 ，e g ( t ，t ，t ) d t 0 0 ， ， ， ，1，1 ( i i ) 边值问题( 1 1 ) 和( 1 3 ) 有正解( t ， ) c 1 【o ，o o ) n c 2 ( o ，0 0 ) c 1 o ，0 0 ) n c 2 ( o ，o o ) 当且仅当( i ) 成立且 ， f ( t ，t + r l ，t + r 2 ) d t o ) ， c ( o o , a ) = ( z ( t ) ，可( t ) ) ci 熙z ( t ) = o 。，。鳃y ( t ) = q o ) ， c ( o o ，o o ) 2i ( z ( t ) ，耖( t ) ) c l 熙z ( t ) = 0 0 ，t 可( ) = 0 0 j ， c _ 。r _ ， 其中c 是( 1 1 ) 所有正解构成的集合，并讨论其存在性，结论如下， 结论三t 若存在t o 0 ，使得 f 出m 啪谢s 0 ，使得 ， 夕( 8 ，8 ，8 ) d s 0 ，总存在6 0 ，使对任一，f 和任意的t l ，t 2 【q ，纠， 只要i t l t 2 i 0 ( 2 3 ) 1 掣= 叽( + ) = o ， 卜。7 i 掣= o ， ( + ) = 0 ， 其中r 是径向变量 若扎3 ，经变换t = ( 礼一2 ) ”2 r 2 ，可以得到一个半直线上的奇异边值问题， f 札( t ) = t 一七 ( 7 ( t ) ，u ( ) ，可( t ) ) ，t o ，七= ( 2 n - - 2 ) ( n 一2 ) ， 口7 ：! ：= 。一，r ：，乜( 。) t ，( 。) ) ，。 o ，七= ( 2 n - 2 ) ( 亿一2 ) ， ( 2 4 ) iu ( o ) = 0 ，乱( + o 。) = 0 ， 、 【 ( o ) = o ，t ，( + ) = o ， 其中h ，u 在t = 0 处奇异 本章主要研究方程组 ：三嚣0 亿5 ， 其中，g c ( ( o ，o o ) r r ，r ) 且，g 在t = 0 处奇异 所谓问题( 2 5 ) 是奇异的，是指( 2 5 ) 中的函数，g 在端点t = 0 处无界 引理2 1假设m 0 是给定的，令陋，6 1c ( o ，) ， q = m a x l ，( t ，t ，u ) i ，j g ( t ，乱，口) l ：口t b ，i 让j 2 m ，i t ，i 2 m ) 6 = ( 脊) ；则对于任意的啦，i = 1 ，2 当i t l , t 2 c 【n ，6 】满足i t l 一t 2 1 最l 撕l m ，i v ij m 时，边值问题 三嚣： 7 第二章非线性方程组奇异边值问题解的存在性 i ( u ( t 1 ) ，口( t 1 ) ) = ( 仳l ，v 1 ) ， i - ( u ( t 2 ) ，t 7 ( t 2 ) ) = ( u 2 ，v 2 ) ， 有解( t ，u ) c 2 i t l ，t 2 】xc 2 t 2 证明：此引理的证明是s c h a u d e r 不动点定理的严格应用 在集合 ( u ，口) c t 2 】c h ，t 2 】) 上定义范数 i i ( u ( 咖( 洲2 。嚣慧】i u ( 。) l + 啪m a 2 x 】i 俐， 显然此集合是巴拿赫空间 q = ( t ，v ) c 陋1 ，t 2 】xc 亡1 ，t 2 】：i t 上( t ) i 2 m ；i 口( t ) i 2 m ；( t i ( t 1 ) ，口( 1 ) ) = ( u l ，钉1 ) ； ( 牡( t 2 ) ，口( t 2 ) ) = ( u 2 ，v 2 ) ) 是此巴拿赫空间的闭凸集 令 l ( u ( ) ，t ，( t ) ) = ( u ( ) ，y ( ) ) ， 其中u ( t ) = 雪1 ( ) 一圣2 ( t ) + 圣3 ( t ) 一圣4 ) ，v ( t ) = k 血l ( t ) 一皿2 ( t ) + e 掣3 ( t ) 一c 2 4 ( t ) 啪) - - = - u l - - 互, 此f t 此f 竹，缸( r ) ，u ( 丁) ) 批； 酬= 蔷卜- + 三2 附州丁加渺d s ； 酬+ 三r 竹州r 加渺如； 酬= 兰卜辑rm 州丁加川8 ； 皿( t ) = 可+ 互1 上，tj c 。a 夕( 丁，u ( 丁) ，口( r ) ) 打幽； 喇= 蔷卜圻r 咖州r 加胁d s ； 蜊= 抛+ 三r 加州r 加渺如； 喇= 差卜z + 三r 1r 咖州丁加胁d s 显然 ( u ( t a ) ，y ( t 1 ) ) = ( u l ，v 1 ) ，( u ( t 2 ) ，v ( t 2 ) ) = ( u 2 ，v 2 ) 第二章非线性方程组奇异边值问题解的存在性 且盯仕葸t 【t l ，t 2 j l = i 蓦u + 蒜 z + 三r r 竹州下加删s 引lf 批, f 竹州丁加渺幽一笨等r r 价州r 加蛐 m + 芸厂幻f 幻i f ( 下刖州) l 批 m + 芸q 6 2 2 m 同理i y ( t ) l 2 m ，则l ( f 1 ) cq 只要证明l 是全连续的，就可以应用s c h a u d e r 不动点定理 对任意( 仳( ) ，口( t ) ) q ，由上得忙( 仳，v ) l i 4 m ，工等度连续显然，应用 a r z e l a , - a s c o l i 定理l 是紧的 对任意e 0 ，存在6 0 ，使得当i u l ( t ) 一t 2 ( t ) i 正i 口1 ( t ) 一v 2 ( t ) l 6 时，有 i f ( t 阳( t ) ，t ，1 ( t ) ) 一f ( t , u 2 ( 。) ，现( 。) ) i 南； l e ( t ，“l ( t ) m ( t ) ) 一9 ( 心( 。) ，睨( 。) ) i 南。 则l 巩( t ) 一u 2 ( t ) l e 且i v y ( t ) 一v 2 ( t ) l 0 ，使得 i f ( t ，乱，v ) l h + k ( 1 u ( t ) 1 1 2 + i 0 ) 1 1 2 ) ， ，t ，v ) l h - i - k ( 1 u ( t ) 1 1 2 - i - i v ( t ) 1 1 2 ) 那么对于任意c a ，d t 边值i e 题 仁纂： 仁6 ， 第二章非线性方程组奇异边值问题解的存在性 i ( u c a ) ， ( n ) ) = ( c 1 ，c 2 ) ， i ( u c b ) ，口( 6 ) ) = ( d t ，d 2 ) ， 有解( u ，t ，) c 2 陋，6 】c 2 【口，6 】 证明：取m 足够大，使得 q i z 2 ( t ) ， ，( t ，卢1 ( ) ，口( t ) ) + ( 札( t ) 一胁( t ) ) 1 2 ，也 卢1 ( ) ，a 2 ( t ) 0 ) 阮( t ) ， ，( t ，角( ) ，口2 ( ) ) + ( 缸( t ) 一角( t ) ) 1 2 一( a 2 ( t ) 一口( ) ) 1 2 ，u ) 伪( t ) ， ( t ) 侥( t ) ， ，( t ，u ( t ) ，口0 ) ) ，q l ( t ) t 正( t ) p 1 ) ，q 2 ( ) ( t ) 庞0 ) ， ，( ，札( ) ，q 2 ( t ) ) 一( q 2 ( t ) 一 ( t ) ) 1 2 ， a a ( t ) u ) 角( t ) ，钉( t ) 口2 ( t ) ， i ( t ，q 1 0 ) ，f h ( t ) ) 一( q l ( t ) 一u ( t ) ) 1 2 + ( 口一仍( ) ) 1 2 ，钍 侥( t ) ， i ( t ，q 1 0 ) ，口( t ) ) 一( 口1 ( t ) 一u ( t ) ) 1 2 ， t | ( t ) a 1 ( t ) ，q 2 ( t ) 钉( ) 国( t ) ， ，( ，l x l ( t ) ，q 2 ( t ) ) 一( q 1 ( t ) 一u ( t ) ) 1 2 一( q 2 ) 一口( t ) ) 1 2 ，札 ) 0 此与缸一伪在t o 点取得最大值矛盾 第二章非线性方程组奇异边值问题解的存在性 若 v ( t o ) 侥( t o ) ， 那么 钍( t o ) 一钟( t o ) _ h 1 ( t o ，u ( 幻) ，u ( o ) ) 一f ( t o ，p 1 ( t o ) ，侥( t o ) ) ，( o ，历( t o ) ，仍( t o ) ) + ( u ( t o ) 一p l ( t o ) ) 1 2 + ( v ( t o ) 一仍( 幻) ) 1 2 ( t o ，l ( 幻) ，皮( 幻) ) 0 此与在t o 点取得最大值矛盾 若 v ( t o ) 0 与u p 1 在t o 处取得最大值矛盾于是让( o ) 一b ，( t o ) = 0 ，m a x ( 札( t ) 一p l ( t ) ) = u ( t o ) 一3 1 ( t o ) = ( a 2 ( t o ) 一v ( t o ) ) = m a x ( o r 2 ( t ) 一口( t ) ) ，此时o l 2 一t ， 在t o 处取得最大值，且 n ! ( t o ) 一钞( t o ) 夕( t ，历( t o ) ，a 2 ( t o ) ) 一日( t o ，乱( 如) ，口( t o ) ) 9 ( t ，p 1 ( t o ) ，q 2 ( t o ) ) 一g ( t o ，胁( t o ) ，a 2 ( t o ) ) + ( a 2 ( t o ) 一 ( t o ) ) 1 2 一( 仳( 幻) 一卢1 ( t o ) ) 1 2 o 同时存在6 0 使得对任意t u + ( t o ，6 ) ，有u ( t ) - b l ( t ) q 2 ( t ) 一口( t ) ，u ( t ) 一s i ( t ) 0 或u ( t ) 一伪( ) a 2 ( t ) 一 ( ) ，q g ( t ) 一口( t ) 0 ，前者与u 一风在t o 处取得最大 值矛盾，后者与q 2 一口在t o 处取得最大值矛盾 1 2 第二章非线性方程组奇异边值问题解的存在性 当m a 。x ( u ( t ) 一p 1 ( t ) ) 0 此与q 2 一v 在t 1 取得最大值矛盾 综上所述，t ( ) p 1 ( ) 同理可以得到q 1 ( t ) 札( t ) ，v ( t ) s 陡( ) 和a 2 ( t ) 口( t ) ，t 【a ，6 】引理证毕 引理2 4假设( q 1 ( t ) ，q 2 ( t ) ) ，( 历( t ) ，阮( t ) ) 分别是( 2 5 ) 的下解和上解，使 得毗( o ) = n = 风( o ) ，i = 1 ，2 则方程组( 2 5 ) 有解( t ，口) c o ，0 0 ) n c 2 ( o ，) x c o ，0 0 ) nc 2 ( o ，o o ) ，( u ( o ) ，t ，( o ) ) = ( r l ，r 2 ) 且( 仳( t ) ，t ，( ) ) 【q l ( t ) ，伪( t ) 】【q 2 ( t ) ，如( t ) 】 证明：令 佗) ， ( c l n ，c 2 n ) ) 和 ( d l 住，d 2 n ) 】是满足r t 1 ，q t ( 丢) q n 伪( 击) ，a i ( n ) 盈。觑( n ) ，i = 1 ，2 的序列，对每一区间 击，佗】应用引理2 3 ，边值问题( 2 1 0 ) 和 j ( u ( 跏( 击) ) = ( c l n ，c 2 n ) ， ( 2 1 2 ) i - ( 钍( n ) ，口( 佗) ) = ( d i n ，d 2 n ) ， 有解( u 竹，v n ) c 2 【击，n x c 2 【击，竹】，其中( ( ) ，( t ) ) 陋l ( t ) ，胁( t ) 】【a 2 ( ) ，岛( t ) 】，t 【元1 ，叫在【击，佗】上应用a r z e l a - a s c o l i 定理， ( ，) ) m 。可以选出一子序列收 敛于方程组( 2 1 0 ) 的一个解，不妨仍记为 ( 钆m ，) ) m n ，每一步都适当的 取前子序列的子序列，经过标准对角化过程可以找出一序列收敛到一个 函数组( 妒( ) ，( t ) ) ，t ( 0 ，。) 对任意t ( 0 ，o o ) ，存在，使得t 【斋，卅，那么 存在一序列 ( ，) ) m 一致收敛到( 妒( t ) ，毋( t ) ) ，则( 妒( t ) ，西( t ) ) 是( 2 1 0 ) 的解 且( 妒( ) ，( t ) ) q l ( t ) ，风( t ) 1x 【e t 2 ( t ) ，仍( t ) 】，又由元1 0 ，亿_ 和啦( o ) = n = 岛( o ) ，i = 1 ，2 ：则( 妒( o ) ，( o ) ) = ( r l ，r 2 ) ，上述表明( 妒( t ) ，毋( t ) ) 即是( 2 5 ) 的解引 理证毕 引理2 5假设( 历( t ) ，伤( ) ) ，( a 1 ( t ) ，q 2 ( t ) ) 分别是( 2 5 ) 的上下解，满足啦( o ) = r i = 岛( o ) ，i = 1 ，2 k 】- 和 b 。) 是两正数列，当b n b n b n + l ，佗= 1 ，2 ， 1 3 第二章非线性方程组奇异边值问题解的存在性 k o 。，啦( k ) k 一= 常数，屈( 晶) b n _ kl q , _ o 。i = 1 ，2 且当( 乱( ) ， ( t ) ) 【q 1 ( t ) ，岛( t ) x q 2 ( t ) ，仍( 吼t ( 0 ，o 。) 时，i f ( t ，1 3 , ，口) ish i ( t ) ，1 9 ( t ，仳， ) l 2 ( t ) ，其 中( t ) c ( o ，o o ) ( i ) 若 h , ( t ) d t 0 0 ， d o 则边值问题( 2 5 ) 和 即0 ) 一( 0 ”= ( r l , r 2 ) ( 2 1 3 ) 、 ， i ( u 7 ( o 。) ， 7 ( o o ) ) = ( 知1 ，后2 ) ， 有解( t ， ) c o ，o o ) i 1 c 2 ( o ，o o ) xc o ，) n c 2 ( o ，o 。) 且( 乱( ) ，u ( t ) ) 【q 1 ( ) ，伪( t ) 】x 【q 2 ( t ) ，侥( t ) 】，t ( 0 ，o o ) ( i i ) 若= 0 且 啦( t ) 出 o o ， j t 则边值问题( 2 5 ) 和 ( t 正( o ) ，u ( o ) ) = ( r 1 ，7 2 ) ，( 2 1 4 ) 1 【z 上4 j i ( u ( o o ) ，v ( o o ) ) d i n ( c o n s t ，c o a s t ) ， 有解( 1 , ，口) c o ，o o ) nc 2 ( o ，。o ) xc o ，) nc 2 ( o ，。o ) 且( 乱( ) ，u ( t ) ) q 1 ( t ) ，1 3 1 ( t ) 】 【q 2 ( t ) ，仍( 吼t ( 0 ，) 证明：( i ) 由引理2 4 ，( 2 5 ) 有解( 缸，钌) c o ，0 0 ) n c 2 ( o ，0 0 ) x c o ，) n c 2 ( o ，o o ) ， ( 缸( o ) ，口( o ) ) = ( 7 1 ，1 2 ) 且( u ，口) 陋l ，风】x 【q 2 ，历】那么只须证明( 让7 ( ) ，( 。) ) = ( 七l ，南2 ) 对每一个n 1 ，存在肛n ，v n 【0 ，1 】，使得 u ( 8 n ) = ( 1 一) q 1 ( b n ) + 加伪( b n ) ，v ( t n ) = ( 1 一) q 2 ( k ) + v n 仍( b n ) 其中= ( 1 一) k + l z n 玩，t n = ( 1 一) k + 风因为值u ( 8 n ) 8 竹在q 1 ( 6 n ) k 和伪( 风) 风之间。值 ( t 竹) t n 在q 2 ( k ) 6 n 和庞( 岛) b n 之间，由条件可得 乱( s n ) 8 n h ，v ( t n ) t t l _ 后2 ，l q , _ o o 因此存在一序列兀n o o ，i = 1 ，2 当n _ o 。时，( 7 1 n ) 一后1 ，v ( r 2 n ) 4 乜， l 乱7 ( n ) 一缸7 ( i = ，f 。t r l nu t t ( s ) d 8 i z n ” - ( 8 ) d s ， m 仡) 一口他) i = z r 2 n1 3 t t ( s ) d s 。 f t t m h 2 ( s ) 幽 1 4 第二章非线性方程组奇异边值问题解的存在性 上式当n _ 司得 ，p00 i u 7 ( t ) 一k l i h l ( s ) d s ，l v c t ) 一k 2 i h 2 ( s ) d 8 ，t， 上式表明( 乱7 ( o o ) ，t ，7 ( o o ) ) = ( k l ，k 2 ) ( i i ) 由引理2 4 ，( 2 5 ) 有解( t ，t ，) c o ，o o ) n c 2 ( o ，o o ) c o ，o o ) n c 2 ( o ，o o ) ， ( 札( o ) ，口( o ) ) = ( r l ，r 2 ) ，( 乱，口) 陋l ，z 1 x 【口2 ，伪】且= 0 那么只须证明( u ( ) ，u ( o o ) ) 有界，结论( i i ) 即可得证 因为 m 小札( 列f i f ( d sr 幽v ) d r f d s ”h l ( t ) d r i 乱( o o ) 一札( t ) i r ，让， j t 38 j tje s ：曲l 二h 、寸) d 8 s l ：r h l ( v ) d r 一 ：t h l ( v ) d t s |一| j tj t o o ， 同理 ( t ) 有相同的结论，那么( u ( o 。) ，口( o 。) ) 存在且有限定理证毕 对于方程组( 2 5 ) ，减弱引理2 5 条件 ( 日1 ) 存在上下解分别是( 卢1 ( t ) ，仍( t ) ) 和( q 1 ( t ) ，q 2 ( t ) ) ，满足啦( t ) z , c t ) ，t ( 0 ，o o ) ，且 t 1 i r a o s u p a i ( t ) r d t 1 i r a o 砒屈( t ) ，i = 1 ，2 ( 尻) 对任意( u ( t ) ，口( t ) ) 陋1 ( ) ，卢1 ( ) 】x 【q 2 ( t ) ，尼( 吼t ( 0 ，o 。) ，有i ( t ，u ，t ，) l h 1 ( t ) ，i g ( t ，t ，) i h 2 ( t ) ，其中( t ) c ( o ，o o ) 引理2 6 假设( h i ) ，( 2 ) 成立，令 k ) 和 鼠) 是两正数列，当k b n 6 n + 1 ，n = 1 ，2 ，k o o ，m ( b n ) k 一0 ，屈( 取) 风一0 ，n _ o oi = 1 ，2 若 ， 抛( t ) 出 0 时，定义垂1 ( t ) 如下， if ( t ，历，侥) + ( 1 + t ) 一3 【g ( u ( t ) 一历( t ) ) - 1 - g ( 钌( t ) 一侥( t ) ) 】，u ( t ) p lc t ) ，v ( t ) 虎( t ) ， lf ( t ，风， ) + ( 1 + t ) - 3 g ( 札( t ) 一岛( ) ) ， t 风( t ) ，a 2 ( t ) v ( t ) 侥( t ) ， l ，( t ，历，a 2 ) + ( 1 + t ) 一3 g ( u ( ) 一p 1 ( t ) ) + g ( v ( t ) 一q 2 ( t ) ) 】，u ( t ) 风( t ) ，v ( t ) 统( t ) ， f ( t ，缸，u ) ， o z l ( t ) u ( t ) 伪( t ) ，a 2 ( t ) v ( t ) 晚( t ) ， lf ( t ，乱，0 1 2 ) + ( 1 + ) 一3 g ( v ( t ) 一q 2 ( t ) ) ， q 1 ( t ) u ( t ) 岛( t ) ，v ( t ) q 2 ( t ) ， if ( t ，o z l ，仍) + ( 14 - ) 一3 g ( u ( t ) 一q 1 ) ) 4 - g ( ( t ) 一仍( t ) ) ， 钍 伤( t ) ， lf ( t ，q 1 ，口) 4 - ( 14 - t ) 一3 g ( 札( t ) 一q 1 ( t ) ) ， u ( t ) o i l ( t ) ，a 2 ( t ) v ( t ) 仍( t ) ， if ( t ，q 1 ，口2 ) 4 - ( 14 - t ) 一3 g ( u ) 一q 1 ( t ) ) 4 - a ( v ( t ) 一q 2 ( ) ) 】，u ( t ) e lc t ) ，v ( t ) a 2 ( t ) g 代替上述，定义西2 ( ，乱( t ) ，u ( t ) ) 考虑方程组 儿吼。一) ( 2 1 7 ) 【口= 0 2 ( t ，u ， ) 假设( 乱，移) 是( 2 1 7 ) 和( 2 1 4 ) 的解，下证( t ，口) 【q 1 ，历】x q 2 ，岛】，那么( 札，t ，) 同 时是( 2 5 ) ，( 2 1 4 ) 的解 令x ( t ) = ( u ( t ) 一a 1 ( ) ) ( 1 + t ) ，由皿和 6 n ) 的定义有 t l i r a o 缸z ( ) 0 ，x ( b n ) _ 0 ，亿_ ( 2 1 8 ) 假设在某点处有z 0 ，使得z 取得最小值且z 7 ( t o ) = 0 ， osz ( 。) = 【u ( 如) 一q ? ( 幻) 一2 2 7 (