（计算机应用技术专业论文）图像扩散的能量变分方法.pdf

摘要 图像恢复是图像处理的主要内容，噪声去除和图像修复是图像恢复的基本问 题。基于变分方法和偏微分方程的图像扩散技术是图像恢复的基本方法之一。变分 方法的基本思想是将所研究问题归结为一个泛函求极小值问题，应用变分方法导出 一个或一组偏微分方程，最后用数值计算方法求解此偏微分方程( 组) 得到所要的数 值解。本文对基于变分方法的图像扩散技术做了较为深入的研究，主要工作有以下 几个方面：第一，提出了基于图像梯度和散度的图像扩散变分模型，实现了在对图 像进行噪声去除的同时，保持或增强图像的边缘，并消除单纯基于梯度模型导致的 图像光滑区域的阶梯效应。针对一维模型的分析得出基于梯度和散度模型向前扩 散、向后扩散的条件，然后将其推广到二维图像扩散。第二，应用对偶方法求解t v 最小化问题。对偶方法通过引入附加变量，解决了t v 模型中存在奇点导致求解困 难的问题，使所求得的数值解更加精确。第三，用零水平集函数隐式的表达曲面， 应用曲面上图像梯度的切投影表达其内蕴梯度，把基于梯度的图像扩散变分模型从 平面图像拓展到了隐式曲面图像，并且基于变分水平集方法推导了隐式曲面上图像 非线性扩散的通用模型。第四，作为特例，研究了c h a r b o n n i e r 模型、广义t v 模型、 p m 模型，并通过数值实验验证了这些模型向前、向后扩散及在边缘保持、边缘增 强等方面的能力。 关键词：图像恢复；图像扩散；变分方法：对偶方法：隐式曲面 a b s t r a c t i m a g er e s t o r a t i o ni sam a j o rf i e l do fi m a g ep r o c e s s i n g d e n o i s i n ga n di n p a i n t i n ga l e t h em a i np r o i e c t so fi m a g er e s t o r a t i o n i m a g ed i f f u s i o nb a s e do nv a r i a t i o n a lm e t h o d sa n d p d e si so n eo ft h eb a s i cm e t h o d so fi m a g er e s t o r a t i o n t h eb a s i ci d e ao fv a r i a t i o n a l m e t h o d si st a k et h eq u e s t i o na sc a l c u l a t i o no ft h em i n i m u mo faf u n c t i o n a l a n dt h e n ，w e g e tt h en u m e r i c a ls o l u t i o nt h r o u g hs o l v i n gt h ep d e sw h i c ha r ed e r i v e df r o mt h ee n e r g y f u n c t i o n a l i m a g ed i f f u s i o nt e c h n i q u ei s d i s c u s s e di nt h i sp a p e r , s e v e r a la s p e c t sa l e i n t r o d u c e da sf o l l o w s ：f i r s t ，ah y b r i dv a r i a t i o n a li m a g ed i f f u s i o nm o d e lu s i n gg r a d i e n t a n dd i v e r g e n c ei sp r e s e n t e di nt h i sp a p e rt or e d u c es t a i r c a s i n gd u r i n gi m a g ed i f f u s i o n w i t he d g ep r e s e r v i n go re n h a n c e m e n t f o rt h ed e s i g no fs m o o t ht e r m si nd i f f u s i o nm o d e l ， f o r w a r da n db a c k w a r dd i f f u s i o nc o n d i t i o n sf o ro n ed i m e n s i o nm o d e lb a s e do nf i r s ta n d s e c o n dd e r i v a t i v e sa r ed e r i v e df i r s t ，w h i c ha l ee x t e n d e dt ot w od i m e n s i o ni m a g es p a c e s e c o n d ，w ep r o p o s ead u a lm e t h o df o rs o l v i n g iv m i n i m i z a t i o np r o b l e m s t h en e w m e t h o de l i m i n a t e st h en u m e r i c a l p r o b l e m s o f s i n g u l a r i t y c a u s e d b y t h e n o n - d i f f e r e n t i a b i l i t yo ft h eo b i e c t i v ef u n c t i o nt h r o u g had u a lv a r i a b l e ，a n dy i e l d sa d e - n o i s e di m a g ew h i c hi si n d e p e n d e n to fa n ya r t i f i c i a lp e r t u r b a t i o n ，a n dt h u s ，s h o u l db ea m o r ep r e c i s es o l u t i o nt ot h ep r o b l e m t h i r d ，t h ec l a s s i cv a r i a t i o n a li m a g ed i f f u s i o n m o d e l sa l ee x t e n d e dt oi m a g ed i f f u s i o no ni m p l i c i ts u r f a c eb ym e a n so fi n t r i n s i ci m a g e g r a d i e n t sd e f i n e do ni m p l i c i ts u r f a c ee x p r e s s e db yz e r ol e v e ls e tf u n c t i o n ，a n dag e n e r i c v a r i a t i o n a ll e v e ls e tm o d e lf o rn o n l i n e a ri m a g ed i f f u s i o no ni m p l i c i ts u r f a c ea r ep r e s e n t e d f o r t h ，t a k ec h a r b o n n i e rm o d e l ，g e n e r a l i z e dt vm o d e l ，p mm o d e la se x a m p l e s s o m e n u m e r i c a le x a m p l e sa l eg i v e nt os h o wt h e i rc a p a b i l i t i e so ff o r w a r d b a c k w a r dd i f f u s i o n a n de d g ep r e s e r v i n g e n h a n c e m e n t k e yw o r d s ：i m a g er e s t o r a t i o n ；i m a g ed i f f u s i o n ；v a r i a t i o n a lm e t h o d s ； d u a lm e t h o d s ；i m p l i c i ts u r f a c e 学位论文独创性声明与学位论文知识产权权属声明 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名：说病书 日期：弦口夕年歹月乡日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密囤。 ( 请在以上方框内打“4 一) 论文作者签名：琵洛书 日期：w 矿夕年厂月夕日 导师签名：、川 日期：节月少日 ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使 用) 第谭绪论 1 1 研究的目的和意义 第一章绪论 图像在获取和传输的过程中，往往会因为各种各样的因素被噪声污染而导致质 量f 降。噪声的存在不仅严重影响了图像的视觉效果，而且给图像的分析和理解带 来了困难，所以，图像噪声去睬是图像处理的重要环节，去噪质量的好坏直接影响 图像的后续处理，如图像分割、图像分解等。近年来，基于变分偏微分方程的图像 去蝶技术由于其优良的特性获得了国内外的广泛关注。在应用变分偏微分方程进行 图像去噪的方法中，图像扩散是最具影响力的方法之。由于在图像扩散处理的自 适碰能力、任意分辨率及这些方法的理论和数值疗法的系统性等方面的优势，使得 基于变分方法或偏微分方秤的图像扩散方法成为图像噪声去除的主流方法之一 1 1 1 1 2 1 。图像扩散的目的一般包含两个方面内容：一是消除噪声，二是增强f 或保护悃 像特征。在实际中这两点也总是结台在一起的，需要在这两者闻取得良好的兼顾。 目前各种常见图像扩散方法很多，各有其特点和效果，但是还不能满足人们对图像 、f 滑效果的更高要求。冈此探寻研究新的罔像扩散技术具有非常重要的意义。含噪 声图像与去噪后图像实例如图11 所示。 vv 图1 1 禽噪声图像和上噪后图像 图像修复足重构图像中缺少或者损坏的部分信息，目的就是为了使这些图像保 持完整。对十许多珍贵历史文物，如古代油画、档案照片等，它们由于储存、移动 等原固多少自些划痕、折痕和污渍等，这就需要图像修复，恢复其奉来面貌。数字 图像修复既可咀节省太量的人力、物力和财力，叉没有损坏原作的风险，对于那些 珍品来说，显得尤其重要。图像修复技术的应用范围不仅仅局限于珍贵作品的修复， 越来越多的领域希望对例像进行定程度的修改，达到人跟所觉察不出来的某种特 殊效果，如在电影后处理中一些特效处理如遮挡物去除、文字去除等，这些都是图 像修复的重要内容。破损图像与修复后图像实例如图12 所示。 研究基于变分方法的图像扩散技术及其应用，目的是能对该项技术全面深入理 青岛大学硕十学忙论文 解，将其应用到我们开发的处理系统中 图像去模糊、图像修复等提供一种实用 为消除图像噪声、增强( 或保护) 图像特征 有效的方法。 1 2 国内外研究现状 圉1 2 修复古代绘画作品中的裂痕 基于扩散方程的图像恢复技术的发展，经历了由线性扩散到非线性扩散，由各 向同性扩散到各向异性扩散，由低阶扩散模型到高阶扩散模型的过程。如从l i k h o n o v 均匀扩散纠到lr u d i 量o s h e ra n def a t e m i 的总变差模型1 4 1 及其改进形式n p e r o n a - m a l i k 基于图像特征的扩散方法【6 1 及其许多改进形式【7 i ，再到w e i c k e r t 的边 缘增强、相干增强扩散的各向异性扩散i i im 0 i i “】，以及 lt s u r k o v 提出的基于t v 流扩散的正、逆向扩散技术，同时，gg e r i g 等学者在他们的文献中将图像扩 散技术引入矢量图像处理中，拓展了图像扩散应用的领域。 图像扩散的变分模型首先建立由数据项和扩散项构成的能量泛函，然后通过变 分方法得到对图像扩散的偏微分方程，通过求解所得到的偏微分方程得到不同程度 噪声去除的新的图像。假设含噪声的图像是南噪声和清晰图像叠加构成的，图像扩 散的能量泛函形式为 e ( u ) = b ( “) + ( “) 其中，e 。( “) 为数据项，其最常用的形式为 e o ( 小一上( 。) 2 d x d y 1 一( 1 ) 1 - ( 2 ) 其中，“。为含噪声图像强度，“为经过扩散后的图像强度。口表示 笙| 像空间，用a 口 表示图像边界。数据项表达扩散前后图像的接近程度。乓恤) = 缸( v u ，v 2 1 表 第一章绪论 示光滑项，其中的参数为图像强度的各阶空间导数，对于一阶导数通常采用图像强 度的梯度，二阶导数通常采用图像强度的散度。a 为权参数，其取值控制着得到的 图像的光滑程度。图像扩散能有效地去除噪声，但必须设计合理的扩散项以保持图 像的边缘等特征，有时还需要对边缘进行增强，这也是光滑项设计的主要工作。 早期的图像扩散变分模型源于t i k h o n o v ，彳昭删加1 3 l 的病态反问题的计算，其光 滑项为 e s ( h ) = f a v m l 2 d x d y1 - ( 3 ) 该模型称为l i k h o n o v 模型，它对图像扩散后的结果实际上是对图像进行扩散 得到与g a u s s 卷积相同的结果，图像的噪声和图像边缘均变得光滑。该模型成为事 实上变分图像扩散研究的基础。1 9 9 2 年，r u d i n , o s h e ra n d 而f 1 绷j 将1 ( 3 ) 改为如 下总变差的形式，即 b ( 比) = v “d x d y 1 - ( 4 ) 该模型又被称为模型或模型。该模型能有效地扩散光滑的图像区域，并 能保持图像的边缘特征，在工程和学术界得到了广泛的研究和应用。但该模型对图 像扩散后使得在本该光滑的区域出现阶梯效应。在图像扩散领域另一个颇具影响的 模型是p e r o n aa n dm a l i k 6 l 提出的尸- m 模型，与该模型对应的扩散项为 卧) 咖2 m ( 1 + 7 i v u l 2j 螂 1 - ( 5 ) 其中i t o 为阈值，i v u l i t 的像素点得到增强，l v u i o 。质点从彳点开始运动，根据能量守恒定律有 哪- 哪+ 三小y 2 其中，g 是重力加速度。质点的速度v 与它的纵坐标h 有如下关系 设质点降落曲线的方程为口- u x ) ，则有 1 2 2 一( 8 ) 2 - ( 9 ) 第二章图像处理的基本知识与变分方法基础 ( 出) 2 一( 出) 2 + ( 如) 2 ，d st 2 - ( 1 0 ) 为表达方便，记“。j d u ，可得 红x a t 历出；x 一2 9 ( h - u ) 蕊出 2 ( 1 1 ) 对出积分，得出质点沿曲线“= h ( j ) 由彳降落至b 所需时间为 川( 比( 工) ) 一f 2 - ( 1 2 ) 这就说明，质点由a 降落至丑所需的时间f 是函数“( 工) 的函数，称f 是函数“( 工) 的泛函，最速降线问题也就是满足边界条件 “( 口) 一j i ，“( 6 ) 一0 2 - ( 1 3 ) 的所有连续函数“( x ) 中求出一个函数使泛函2 ( 1 2 ) 取最小值。 对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题的解， 也称为极值函数或极值点。专门研究变分问题的学科称为变分法。 为了求出最速降线问题的解，将泛函2 - ( 1 2 ) d p 的被积函数记为 帆- 龋 2 心4 ， 设比( z ) 是最速降线问题的解，即“( x ) 满足边界条件2 - ( 1 3 ) ，且使得 最小。对于满足边界条件 r ( h ( z ) ) = f ，( 舶屹) 出 2 - ( 1 s ) 磊 青岛大学硕十学位论文 的任意连续函数，7 ( x ) 及任意实数占，函数 均满足边界条件2 - ( 1 3 ) ，因此，泛函 当f = 0 时取最小值f ( h ( 工) ) ，从而有 即 万df ( 小) 堋( z ) ) 卜。 锄坐! 翌尘盟! 二坐! 。广锄 枷 占 j a 枷 一f 缘 可得 ! ! 竺塑生丝! 二! 盟出 g 坠! 墨盟竺垒盟! 塾二坠! 出 2 - ( 1 6 ) 2 - ( 1 7 ) 2 - ( 1 8 ) 。广锄型坐竺业出 ，4f _ o f f ( e ( “) 叩+ 气( 口) r l x ) d r 2 ( 2 0 ) 一f e ( h ) n d x + f oe 1 甜) 仇出 t f 卧) 枇一j ：掣叩出峨旌 一蚋小掣卜聃) 叩亡- 。 聃) 一掣。 第二奄图像处理的基本知识与变分方法基础 e ，( “( 口) ) 。& ( “( 6 ) ) 一。 卅蓑将h2 。、，2 9 【一“) 。 丘( “) 丽声u 而x 丽 2 - ( 2 2 ) 2 - ( 2 3 ) 2 - ( 2 4 ) 将2 - ( 2 3 ) 2 - ( 2 4 ) 代入2 - ( 2 1 ) ，可得泛函2 一( 1 2 ) 取极小值的e u l e r - l a g r a n g e 方程及 相应自然边界条件。 同时，可以得到泛函2 - ( 1 2 ) 取极小值的梯度降方程及相应自然边界条件为 l l r 。瓦竺戛掣一e ( 口) ，巨e i l f 一( 毛) 2 2 ( 2 5 ) d z 对于图像扩散问题，还可以应用扩散方程 矾，( 比) 。一a x 2 - ( 2 6 ) 求得泛函的解。 2 2 2t i k h o n o v 模型 本节以l i k h o n o v 模型1 3 】为例介绍图像恢复领域的能量变分及其数值离散方法。 在平面图像处理领域应用图像扩散技术对图像进行去噪时，通常假设：( 1 ) 去噪 后的图像和去噪前的图像相差不大；( 2 ) 去噪后的图像是光滑的。基于此，记 比：qc r 2 呻r 是不含噪声的图像，u 。是观测到的图像，即含有噪声的图像，n 代 表清晰图像中加入的噪声，则 l * o 。比+ 尢 2 - ( 2 7 ) 给定“。，图像去噪的任务是重构“。这是一类典型的病态问题，根据7 i k h o n o v 逆问题计算原理，可定义如下图像扩散的能量变分模型 1 5 青岛大学硕士学位论文 e 以) 一正( “吨) 2d x d y + u m 2 d x d y 一：o v ( u ，v “) d x d y2 ( 2 8 ) 其中，f ，v u ) - ( u u o ) 2 + av u 2 。以下采用变分方法得到能量泛函对任意函数，7 的 方向导数。即 o e ( u a + e r l ) 。正掣蚴 2 - ( 2 9 ) 根据能量泛函取极小值的条件和函数r l 的任意性，得到如下e u l e r - l a g r a n g e 方程 由2 - ( 2 8 ) 、2 - ( 2 9 ) 式得 兰盟o o u 2 - ( 3 0 ) 鼍产卜强叩蚴+ 2 a f v u 蚴2 - ( 3 1 ) 对上式右端第2 项的积分部分采用格林公式，得 。t i i ，7 蛐+ 正a n 蛐 2 p 2 从而，2 - ( 3 1 ) 可写为 删。咖勘蚴+ 2 饥 2 - ( 3 3 ) 一诅( 。) ，7 蚴一v 。( 珊) ，7 蛐+ 2 2 j 帕鬲o u 刀出 1 6 第二章图像处理的基本知识与交分方法基础 掣。“吨一尬o 切口 o u 丝。od 以a 口 丽 2 - ( 3 4 ) 当参数a ，0 时，2 - ( 3 4 ) 1 艨1 式可改写为生：粤。血 若将a 看作时间参数，当a 呻0 时，2 - ( 3 4 ) 式可转化为如下经典的热扩散模型， 塑。| 伽口 秕 i o u 0 o n o f 2 2 ( 3 5 ) 丽 、 u ( x ，y ，0 ) ln o o ，y ) n qua q 与2 - ( 3 4 ) 蝴梯度降方程为 - - 蓑m 一掣一尥一( 。) 伽q i o u 。0 伽a q 2 ( 3 6 ) 丽 、 u ( x ，y ，0 ) 一u o o ，y ) i n f 2ua q 当采用有限差分方法对2 - ( 3 4 ) 、2 - ( 3 5 ) 、2 - ( 3 6 ) j 羞行数值求解时，可将( f ，_ ) 像素 点的图像强度看作上述连续变量“在该点的采样值。为表达方便，本文将图像x 方 向与y 方向的采样间隔设为h ，则有 比f ，j - “( i i ，y ) 2 一( 3 7 ) 其中，i ；0 ，1 ，2 ，咒，鼍= x o + h ，j 一o ，l 2 ，力y ，y ，一y o + 妒。在2 - ( 3 4 ) 、2 - ( 3 5 ) 、 2 ( 3 6 m 孔。阱血- v ( v 小面0 2 u + 矿a 2 u 叱。当采用向前差分、向后 差分、中心差分时，上述梯度可离散为 1 7 青岛大学硕士学位论文 向前差分： 向后差分： 中心差分： 散度项可离散为 v - ：u i , jm 孚，v ；u i , j 半产 v ：u t , jm 等等，v ；u i , jm 毕 v o u i , j 学，v ；u t , 1 警 2 - ( 3 8 ) 2 ( 3 9 ) 2 ( 4 0 ) 以；，v一(v+u)三：!兰掣+三：兰!掣2。41， h “1 ，+ “j l ，+ u i ，j “+ u i ，卜l 一4 “j ， 。_ - 。_ 。_ 。- _ 。- 。- _ - _ 。_ - _ _ 一 h 2 从而可将2 - ( 3 4 ) 离散为如下显式迭代、j a c o b i 迭代、g a u s s s e i d e l 迭代、s o r 迭代格 式。 显式迭代： j a c o b i 迭代： 4 ，+ ll u 叶。+ a 鱼生每必 h i ：i ：1 。 1 8 2 ( 4 2 ) 2 ( 4 3 ) 、u 一嵋一 + 一u 一 畋一 +一) 知石 批一 ： u 一( 一h l 兰，一 a 一旷一 + 一 一 第二章图像处理的基本知识与变分方法基础 g u a s s s e i d e l 迭代： s o r 迭代： 蝣1 - 进祷蜊 “ “：尹l c1一，“：，+：兰l：三兰一2-c45， 【1 + 吾j 同理可写出2 - ( 3 5 ) ，2 - ( 3 6 ) 的显式迭代、j a c o b i 迭代、g a u s s s e i d e l 迭代、s o r 迭代 格式。 2 3 本章小结 本章介绍了图像处理的基本知识及变分方法基础，重点通过最速降线问题对变 分方法进行了描述，并通过i k h o 1 0 1 j 模型对应用变分方法求解图像处理问题及其数 值差分方法进行了详细推导和论述。图像经过死k h o n o v 模型扩散，图像变得清晰光 滑、图像噪声被去除，但图像的边缘特征也变得模糊1 4 引。通过图像扩散去除图像噪 声应该保持图像边缘，有时需要对边缘进行增强，以突出边缘特征，因此，应该设 计基于图像边缘的边缘保持或图像边缘增强的图像扩散方法。 1 9 青岛大学硕士学位论文 第三章基于梯度和散度的图像扩散变分模型 本章提出了基于梯度和散度的图像扩散变分模型，以期实现在对图像进行噪声 去除的同时，保持或增强图像的边缘，并消除单纯基于梯度模型导致的图像光滑区 域的阶梯效应。对变分模型中光滑项的设计，首先针对一维模型的分析得出基于梯 度和散度模型向前扩散、向后扩散的条件，然后将其推广到二维图像扩散，并在设 计的有限差分方法基础上，对提出的模型的有效性进行了实验验证。 3 1 基于梯度的图像扩散变分模型 a u b e r ta n dv e s e 2 2 l 在1 9 9 7 年提出了非线性扩散的通用变分模型，其能量泛函为 e o ) 一扛( ”比) 2 螂+ 仉妒( i v “i ) 蛐 3 - ( 1 ) 其中，第一项是数据项( 逼真度项) ，第二项是光滑项，a 是惩罚因子。 令 e o ) 2 正f ，砚蚴 3 - ( 2 ) 采用常规的变分方法 掣l 。c 亟坐丛坐到d x d y ll -一i a , - o j q a e l m 0 。正融”，7 ) 蚴 3 删 一正等，7 姗一正v ( 民) ，7 蚴+ l 民初出 。正兰型，7 蚴+ j = q 毛初出 f ( u ，v “) - i 1 ( h 一) 2 + 却( 刚) 时，i a f 一( h 一口。) ， 2 0 民嘶制) 尚，从而可 第三章基丁- 梯度和散度的图像扩散变分模氆 以得到图像去噪对应的扩散方程为 扣( 眢v “) 乏掣塑；o i v u i 丽。 u ( x ，y ，0 ) - u o o ，y ) 图像修复对应的扩散方程为 i nq o na q 伽qua 口 扣( 眢叫伽。 掣丝：o i v u l 丽。 u ( x ，y ，0 ) = u o o ，y ) o na q 跏q d 可见，基于变分方法的图像去噪与图像修复只是执行扩散的区域不同。 从而 对于砌。甩。v 模型，妒( i v h l ) ；i v m l 2 ，驴( i v h i ) = 2 i v “i ，詈一l l 。 对于c h a r b o n n i e r 模型，驴( i 乳i ) 一2 j c l 2 3 - ( 4 ) 3 - ( 5 ) j 一【卜胁i ) 。菏。 刮叫2 v 0 2 1 3 - ( 6 ) 青岛大学硕士学位论文 对于广义t v ( t o t a l 陷，砌砌) 模型，伊( i v “1 ) ；i 孔卜驴( i v u l ) = pl v u l 。从而 当p 1 时， 扣( 带) 生o t w v u li j 3 ( 7 ) 3 - ( 8 ) 船啊( 蒂卜限差分格式类似于均匀扩散模型中的散飙 需要注意，当p o 时，向前扩散；当g ( 叱) = 0 ，无扩散作用；当 g 。( ) o 时，向前扩散；当伊。( k i ) - o 时，无扩散作用；当妒。( j u ，i ) o 时， 向后扩散。 对于妒( k i ) - u ，l p ，( o p 1 时，向前 扩散；当p = 1 时，无扩散作用：当p o 时，二阶向前扩散；当圣： 0 时， 2 5 青岛大学硕士学位论文 二阶向后扩散，当痧：一0 时，二阶无扩散作用。 对于c h a r b o n n i e r 模型 伊( i 血f ) 一2 2 口2h | 驴( 1 u 0 1 ) 叫叫降卜。( 1 u 1 1 ) _ 2 ( 1 + 一三 ) 2 3 - ( 2 4 ) 3 - ( 2 5 ) 嚷( 畦) - 一甜矛 3 叫2 - ) 悖) _ 从而得如下结论：嚷 0 ，二阶也向前扩散。 对于类广义t v 模型 妒( i z lj ) 一l i l i ， 妒( 卜。i ) 一p i l 。i ，一，妒( i n 。i ) 一p ( p 一1 ) i l l 。i p 一2 6 ( 卜属i ) 一p ( p 一2 ) u 。l ，一2 ，6 ( 卜。i ) 一p ( p 一2 ) 2 i n 。i ，。 g ( 比三) 一p l h 。l ，一2 ，g ( “三) 一三p ( p 一2 ) i “。l ，一，g ( “三) ! 掣 岛(“三)。兰学k曩i，。，多：(h三)。p(p一1)k。l，一2 一三 ) 2 3 ( 2 6 ) 7 3 - ( 2 7 ) 3 - ( 2 8 ) 3 - ( 2 9 ) 3 ( 3 0 ) 3 - ( 3 1 ) 一 3 - ( 3 2 ) 3 - ( 3 3 ) ，一2 、lil_ 一矿 +1 ，i_ii一， 一4 n | 驰 、- 、2 口g 3 2 、l-l， 畦一矿 +1 ，-_il 1 一旷 一 2 珥 比 g l 一2 、l-_i_、 生矿 1 ，-_一， 2 篁 2 搿 m g 第三章基于梯度和散度的图像扩散变分模型 从而有如下结论：当0 p 0 ，毋2 0 ，一阶向后扩散，二阶向后 阶向前扩散，二阶向前扩散。 训蜘( 1 + 警) 3 郫q 妒，( 1 刈) 一搿似一黼 3 - ( 3 5 ) 钏叫卜器川似州一掣铲3 伽， 小珈南“) i _ 南k ) 。南3 ( 3 7 ) 帅珈等等k ) 一黼 3 邻酌 从而有如下结论：当卜。i 卢时，嚷( o ，咖2 o ，一阶向前扩散，二阶向前扩 散；当肛 卜。i 孔 时，嚷 0 ，咖： o ，一阶向后扩散，二阶向后扩散。 3 3 基于梯度和散度的图像扩散模型 基于梯度和散度的图像扩散模型能量泛函形式为 e ) = s o ( u - 口o ) 2d , u y + u 【( 1 一卢) 仍d 孔i ) + 仍日1 1 1 ) 】d 咖 3 ( 3 9 ) 通过变分 青岛大学硕十学位论文 ，。2 f o ( u - , , o ) , 7 出d y 叫1 刊正v 。( 禹吼卜蚴叫1 刊j = q 高等归3 + 佩( 高缸卜蛐一w q 去( 筲卜 郴l 难汹q 出 得到如下扩散方程( 初始条件同3 - ( 4 ” 扣训v ( 够；( v u l ) v u 一耻( 瞥) 嘶啪 ( 1 - 剐可够；( i v u l ) 一o u 砉( 訾) 一。 衅元。o i “l 本文采用如下交错迭代格式 咖哿 o na 口 3 巾1 ) o na q 3 ( 4 2 ) 华廿刊v 。( 臀卜 3 俐 当卢t 0 和卢- 1 时，3 - ( 4 0 ) 即为基于梯度和散度相结合的图像扩散模型。 3 4 数值实验及结果分析 3 4 1 基于梯度的图像扩散 实验在m a t l a b 7 o 环境下进行，采用其e u l e r - l a g r a n g e 方程进行有限差分，j a c o b i 迭代格式，a t i i l l0 0 2 8 ，迭代次数为5 0 。 、l-_-， 图31 是实验所采用的原始图像和加r 高斯白噪声后的图像。图3 2 给h j 凸4 r b o l s h 阿模型( p = 1 ) 、经典t v 模型( p = 1 ) 和p - m 模蝉( p = 5 ) 进行处理的结 果，从实验结果可以看出，上述模型在去除噪卢的同时，不同程度的，“g ：了阶梯现 琢。闭3 3 给出了广义t v 模型当p 取不同值时的实验结果。实验结果与理论分析 一致。 剪剪 - 、o 一一 ( a ) 原始图像( b ) 加高斯白噪卢后的图像 阁3 1 原始图像与加噪声图像 、j j 一 j f a ) c h a r b o n n i e r 扩散效果图m ) 经典t v 扩散效粜削 ( c ) p - m 护敞效果圈 幽3 2 来小同方法进行上噪的结果 一_、0 _ _ ( 引t v 扩散教果罔p = 0 5 ( h ) t v 扩散效粜图p ：08 ( e ) t v 扩般效粜圉p = l 5 圈3 - 3 广义t v 模型进行去噪的结果 2 q 图3 5 给出c h 4 r b o n n i e r 模型1 1 2 j ( “= 1 ) 、经典t v 模型( p = 1 ) 和p - m 模型( 口一1 0 ) 处理图3 4 中待修复图像的结果，迭代2 0 0 0 次。从实验结果可以看出，基于梯度的 模型在图像边界处修复效果较羞。 图叵 ( a ) 待修复削像( b ) m a s k 图像 图3 4 待修复图像和m a s k 图像 底蠡底 ( a ) c h a r b o n n i e r 修复效果图c o ) 经f t t v 修复效果囤 p m 修复效果图 图3 5 采用不同方法进行修复的结果 3 4 2 基于散度的图像扩散 当口- 1 时，对基于散度的z y 模型的图像向前、向后扩散进行实验验证。几个 典型的结果见图3 6 。在此使用a t - 0 0 2 8 ，迭代次数为5 0 0 。如图( a ) 所示，当p - 0 8 ， 政模型为一阶向后扩散( 增强) 且二阶向前扩散( 减弱) ，( c ) 为p - 15 的实验结果，可 明显观察到边缘处的增强和在光滑区域的扩散效果。图( b ) 当p - 1 0 的实验结果， 其效果介于( a ) 、( c ) 之间。 图3 7 含噪声图像 - c 1 p = 1 5 与堆纯基十其一的 如图3 7 所示。 图3 8 给出了应用c h a r b o n n i e r 模型扩散的效果，其中( a ) 为基于梯度的 c h a r b o n n i e r 模型的结果，口= 1 ，迭代次数为5 0 0 次，f b ) 是基于散度的c h a r b o n n i e r 模型的结果，p - 5 ，这代次数为1 5 0 次，( c ) 是基于梯度和散发的c h a r b o n n i e r 模型 的扩散结果，其中卢- 0 5 ，“。胁；5 ，迭代次数为1 5 0 次。罔3 9 给出了应用经 典t y 模型扩散的效果图，其中( a ) 为基于梯度的z y 模型迭代5 0 0 次的结果，( b ) 基 于敞度的n ，模型迭代5 0 0 次的结果，( c ) 是基于梯度和散度的n 7 模型迭代5 0 0 次 扩散结果，其中芦= 0 5 。图3 1 0 给出了应用p - m 模型扩散的效果，其中( a 1 为基 能 梯度的p - m 模型迭代5 0 0 次的结果，f = 5 ，( b ) 是基十散度的尸- 模型迭代 1 5 0 0 淡的结果，“= 5 ，( c ) 足毕十梯度和敞度的p _ m 模型迭代3 0 0 次的结果，其 a ) 基于梯度的模型m ) 基于散度的模型和) 混合模型 图31 0p m 扩散效果 季一季一季 第一二章些j 。梯j 立i l 艘皮的蚓像扩般尘分模删 l i 图38 ( b ) 、39 ( b ) 、31 0 ( b ) 可见，山j 壁f 散度的模型不仅能够埘附像进行二 阶向前、向后扩敞，办进行一阶向阿和向后扩散使柑杓：阶模型产牛的阶梯边缘 出现明显的兜点，其结果o 一阶模删的叠加，使得阶梯效应消失。 到31j 和刚31 2 是翻像修复的蝤组实例。其- p ，图31 1 是基于敞度的模型进 行修复的结果，图3 1 2 是旌j ：混合模型进行修复的绌果，参数取值和上述图像占噪 模型一致，迭代2 0 0 0 次。从实验结果可以看：i 基十散度修复模犁修复结粜被 修复区域有4 ：平栏现琢，混介模型较姘的改善了单纯牡于梯度和竹纯基于敝度模型 的不足， 恤) c h a r b o n n i e r 修复效果图( b 】经典r v 修复效果圈( c j p m 修复效粜图 耋i3l l 甚于敝度模型的图像修复 ( a ) c h a r b o n n i e r 修复效果圈巾l 经热t v 修复效果图( c ) p m 修复效粜制 图3 1 2 基于混台模型的嘲像修复 3 5 本章小结 通过在图像恢复的变分扩敞模型中增加二阶导数项以降低传统的基干一阶模 型所引起的阶梯效应。为此，提出了基于通用的梯度的光滑项和散度的光滑项的混 台模型。由f 在：维空间中分析这些光滑项的扩散作用较困难，本文在对 1 f 应项的 维模型分析并樽i i 初步结论的基础 ：，将其推广到二维图像空删，并通过多个数 青岛大学硕士学位论文 值实验验证了模型和相关分析的可行性，能够为无阶梯效应的边缘保持、边缘增强 的图像扩散模型的设计提供很好的理论参考。由于光滑项具有通用性，本文所提出 模型及相关分析结论可推广到矢量图像扩散，并有望应用于光流计算、图像分解等 其他问题。 第四章基于对偶方法的t v 图像去噪 第四奄基于对偶方法的t v 图像去噪模型 t v 模型4 l 自1 9 9 2 年由r u d i n , o s h e ra n df a w m i 提出以来，由于其具有较好的 图像特征保留能力、易于实现等优点得到了人们的关注，是众多图像去噪变分模型 中应用比较广泛的一种。但是，应用传统的最优化方法求解其对应的偏微分方程时， 一个问题就是存在不可微的项，使得方程难以收敛到其准确数值解。而对偶方法 1 3 7 l 【3 8 1 【3 9 l 【4 0 l 通过引入附加变量，应用传统的最优化方法求解偏微分方程之前，去 除这些由目标函数中不可微的项产生的奇点。本章针对对偶方法求解一阶( 基于图像 梯度) 和二阶( 基于图像散度) t v 模型问题进行了理论和数值分析，并且将一阶和二 阶t v 模型相结合，应用对偶方法求其数值解。 4 1t v 模型对偶方法求解 记“o o ，y ) 为噪声污染的待处理图像，u ( x ，y ) 是想要得到的清晰图像，基于梯度 算子的t v 能量模型为 e 似) 一正i 乳+ 去正( “吨) 锄 基于散度的t v 图像去噪能量模型为 q 1 ) e ) = 正i l 岫+ 去正( “吨) 2 妫4 - ( 2 ) 基于梯度和散度相结合的t v 图像去噪能量模型为 e ) 一l ( 1 一声) l v u l + 卢i 血i 】血妙+ 去l ( “一“。) 2 血妙 4 - ( 3 ) 先分析一阶t v 模型。应用传统方法，例如梯度降方法对t v 模型进行求解时， 首先要考虑当i 肌i = o 的情况，因为当l v u i 0 时模型是没有意义的( 出现分母为零的 ，。一 情况) 。为了避免上述问题，一般用l v u l 2 + 来近似l v h i ，其中 o 。在某些情况 下，所求图像“对的选择是相当敏感的：过大，会模糊图像的边缘；e 过小，可 能得到一个错误的数值解，起不到去噪的作用。应用对偶方法求解，可以使得“不 依赖于e ，从而避免了上述问题的出现，可以得到更加精确的数值解。引入向量值 青岛大学硕士学位论文 对偶变量p ( p ：q - r 2 ) ，使得 得到t v 模型的对偶形式 v “i | 船p 珊 t 鼍f 滞正比v 。础砂+ 去正( 比吨) 2 螂， 对换4 - ( 5 ) q b 的i n f 和s u p ，我们可以得到 4 ( 4 ) 4 ( 5 ) s 例u f pn f 仁闪。脚+ 瓤( 0 ) 2