（基础数学专业论文）活动标架和联合微分不变量.pdf

活动标架和联合微分不变量 白永强 y 咖印 摘要 理裘蔫黼鬈苗篇缓呆警轰嚣霉舅蕊瓣黎霎霎 磊篙喾婺蓊鞠莆褒殳墨i 鹦蓊鞣糯器麓? 羡著的应用我们将利用该理论对一些特殊燹抉群的联苗小父基、肽苗 微分不变量进行分类 咄憾哆啪 e c 3 “d 二h 眦 f 薹一 警盛落等 r m t f詈蹴帅蝴聊唧眦。篙裟器惑= 戮 忠忠 t u r n 黠蒜器品 蕊等p 地a 旧篇啤 岫w咿一慨 1 引言 活动标架的概念起源于力学例如在研究刚体运动时，在运动的物体上固定一个 正交标架当物体作刚体运动时正交标架随着运动，得到一族依赖时间t 的正交标 架这族标架完全刻化了物体的刚体运动法国数学家c o t t c n ，d a r b o u x 把单参数标 架族的概念推广到依赖多个参数的情形而色l i ec a r a n ( 1 ，2 ”则将该活动标架发展 成一种有效的计算工具，用以研究子流形及其不变量在变换群作用下的几何性质 到了二十世纪七十年代，几位学者( 参考 3 ，4 ，5 ，6 】) 开始试图将活动标 架理论从标架丛和联络中分离出来最近，( 7 ，8 】) m a r k f e l s 和p e t e rj 0 1 v e r 建立了活动标架理论的一种新方法，能够系统地应用于一般变换群其主旨是将活 动标架定义为变换群的一个等变映射所有经典的活动标架都可以用这种方法重新 解释，但是这种新方法的应用要更为广泛c a r t a n 通过正规化的过程来构建活动标 架，而这种新方法通过选择群轨道截面来进行正规化，进而得到活动标架基于这 些基本思想，我们可以系统地构建一般群作用的活动标架及其不变量体系活动标 架理论的应用十分广泛，其中包括一些重要的结果如微分不变量分类基本定理的 证明、微分不变量合系的一般分类定理以及子流形的对称性、等价性等一般定理 这些结果在广泛领域内的崭新和重要的应用已经发展起来了在 9 ，l o 中， 活动标架理论被应用于创建解决多项式基本对称性和等价性问题的新算法，而多项 式基本对称性和等价性问题则构成了经典不变量理论的基础在 1 1 】中，射影面 的微分不变量被作了分类，并被用于生成在孤子理论中出现的可积p o i s s o n 流在 【1 2 】中，f a u g e r a s 首先将活动标架用于计算机显示方面，用联合微分不变量来 替代标准的微分不变量符号羞，从而提高了抗噪音的能力 在本文中，我们将应用活动标架方法来计算一些变换群的联合不变量以及联合 微分不变量其中我们用到的特殊群是经典的欧几里得群和射影群，考虑其作用在 二维、三维以及四维欧氏空间中的曲线，我们将会利用该理论去求得一些变换群的 基本不变量和基本联合微分不变量 在第二节中，我们将会引进变换群以及与之相关的一些重要概念在第三节中， 我们介绍一下群作用的延拓、j e t 空间以及向量场的延拓在第四、五、六节中，我 们详尽阐述活动标架、延拓、微分不变量以及递推公式等在最后一节中，我们将 应用这些理论去计算欧几里得群、射影群等的联合不变量、联合微分不变量在各 节中，我们提供了一些具体例子，便于理解概念、理论 3 在本文的完成过程中，我的导师郑驻军副教授、吴可研究员等都给了我悉心的 关怀和帮助，他们渊博的知识、严谨的治学态度和敏捷的思维都深深地影响了我， 使我受益匪浅，也为我以后从事科研工作打下了良好的基础在此，我向他们表示 我最诚挚的谢意! 我还要感谢培育我多年的数学系，她为我们提供了优秀的教师、良好的学习氛 围和优雅的学习环境特别要感谢数学系领导对我的关心、帮助和支持，正是他们 的鞭策和鼓励使我不断地取得进步在过去的几年里，数学系的许多老师都给了我 很大的帮助，我的每一份成绩里面都融入了他们的心血和汗水，在此，也向他们表 示衷心的感谢! 最后，再次向所有给予我帮助的老师和同学们表示真诚的谢意1 2 变换群 在本文中，我们将用g 表示一个r 维的李群，m 表示一个m 维的流形 定义2 i 设m 是一个光滑的流形一个作用于m 的局部变换群是由下列元素 给出：一个李群g ，一个开子集“，满足 ( e mc 甜c g m 其中纠是局部群作用的定义域，一个光滑影射垂：“时m ，满足下列性质 ( a ) 若( ，l ，z ) 甜，( g ，圣( ，z ) ) “以及( g ，。) “，贝4 西( 9 ，西( h ，z ) ) = 西( 9 ，z ) ( b ) 对于所有z m ， 垂( e ，z ) = 岳 ( c ) 若( 9 ，z ) 甜，贝0 ( 9 1 ，垂( 9 ，z ) ) “，且 西( f ，垂( 9 ，z ) ) = z 为了简单起见，我们将用9 z 来表示圣( 9 ，z ) 一个整体变换群即是我们取“= g m 时的情形 定义2 ，2 若0c m 满足条件： ( a ) 若z 0 ，9 g ，并且9 - 有定义，则9 。0 ； ( b ) 若6cp ，且6 满足条件( a ) ，则舀：p 或6 是空集； 4 则称o cm 是一个局部变换群的轨道 在整体变换群的情形时，对于每一个z m ，过z 的轨道有其显式的定义： 0 z = l gz g g 定义2 3 设g 是一个作用于m 上的局部变换群， ( 。) 若所有的轨道0 作为m 的子流形都有相同的维数，则称群g 的作用是半正则 的 ( b ) 若群g 的作用是半正则的，且对于任意一点。m ，都存在z 的任意小的邻域u ， 它与g 的任意一条轨道都相交于一个连通的子集合，则称群g 的作用是正则的 例2 4 ， ( a ) 令g ：r + 是乘法群现考虑r + 通过比例变换作用于m = r 2 屯( 入，z ) = ( a z ，a 2 2 2 ) ， 其中a r + ，。= ( 。l ，z 2 ) r 2 其轨道是抛物线= z 2 的半支( 对应于z o 或 z o ) 、正y 轴、负y 轴和原点 该作用的轨道除了仅有原点 o ) 构成的奇异轨道外，都是r 2 的一组正则子流 形 一般说来，这个比例变换群作用在开子集r 2 o 上是正则的 ( b ) 设g = 兄，m 是二维的环面r 2 设u 是一个固定的实数，用角坐标( 目，p ) 来表示二维环面t 2 上的点我们定义了一个整体群作用： 中忙，( 口，p ) ) = ( 目+ ，p + u e ) 该作用的轨道易见都是t z 的一维子流形因此，在任何情况下，上述g 的作用都 是半正则的如果u 是一个有理数，所有的轨道都是t 2 上的闭雎线，该作用是正 则的；如果u 是一个无理数，则每一个轨道都是t 2 的一个稠密子流形，此时g 的 作用是半正则的，但不是正则的 定义2 5 设g 是一个作用于m 上的局部变换群，向量场 vl 。= 兰l 。：o 西( ，。) ”l z 。磊l 虫。) 称作该作用的无穷小生成元 例2 6 考虑平面上的旋转群 圣0 ，0 ，可) ) = 0c o s 一s i n e ，zs i n e + 可c o s ) 5 则由定义2 5 ，该作用的无穷小生成元是一个形为 v 矧砌) 杀州删) 嘉 的向量场，其中 滟) 2 芝b ( z c 。s e 一s i n ) 。喵 t ? ( z ，”) 2 羞j ( z s h l e + c 。8e ) = 。 因此，v = 一瞎+ 。嘉是该群作用的无穷小生成元 定义2 7 设g 和h 都是李群，且g 作为一个变换群作用于h ，其作用为h h 9 h ， 其中f g ， 日且满足f ( l 乜) = ( 9 1 ) ( 9 ， 2 ) 则定义g 和h 的半直积， 记作g ，是一个李群其流形结构即是g 和h 的笛卡尔乘积g 日，其群乘法 是由以下定义的： ( 9 ，九) ( 可，元) = ( 9 虿，九( 9 元) ) 例2 8 取g = s 0 ( 2 ) ，口= 舻，则g ，日都是李群，且对于s 0 ( 2 ) 中任意两个元 万= ( 兰譬二：詈8 ) ，石= ( ：蔷；三；葛) ，其群乘法定义为： 嘶= ( 蒜；劣8 ) ( 嚣；高咖) 一r e o s 徊+ 妒) 一s i n ( 口+ 币) 、 一s i n 徊+ 咖) c o s 徊+ 毋) ：再巧 而对于r 2 中任意两个元( u - ) ，( 。z ，“2 ) ，其群乘法定义为： ( z l ，“i ) ( z 2 ，“2 ) ：( g l + z 2 ，u l + u 2 ) s d ( 2 ) 作为一个变换群作用于r 2 其作用为 ( z ，札) 时万( 。，“) ；( 。c o s p 一“s i n p ，zs i n 口+ “c o sp ) 且易证： 口( ( z 1 ，u 1 ) ( z 2 ，t 2 ) ) = ( 口- ( 。1 ，“1 ) ) ( 移( 2 ，t 王2 ) ) 则其半直积s p ( 2 ) kr 2 ，记作s e ( 2 ) ，是一个李群，其流形结构即是s 0 ( 2 ) r 2 ，其 群乘法为： ( 巨“- ) ) ( 石，( u 2 ) ) = 眵孑，( 钆“1 ) ( 万( “2 ) ) ) = ( 口+ ，( 。l + z 2c o s 目一“2s j n 口，u l + z 2s i n 口+ “2c o s 护) ) ， 6 作为一个重要的李群，我们将在以后常用到s e ( 2 ) 定义和例子的更多的细节 可参考 1 3 3 群作用的延拓 在定义群作用的延拓之前，我们需要j e t 丛的定义 如果，：x ( ，是一个从x ! 俨到【厂2r q 的光滑函数，则“= ，( z ) 2 ( ，1 ( 。) ，9 ( z ) ) ，此时我们需要g p 七个“，= 西，。( z ) 来表示f 的各个分量在x 点 的不同的k 阶导数其中m = ( ，+ ：一1 ) 我们令巩= r 。一t 是坐标为叼的欧氏空 间其中泖对应于n ：l ，g ，和所有的k 阶多重指标j = ( j ，靠) 这样设 计是用来表示上述的导数更进一步的，令u ( “) = 【，巩是笛卡尔乘积 空间，其坐标表示函数u = ，( z ) 的从。到n 的各阶导数 给定一个光滑函数u = ，( z ) ，即：，：x 卜u ，就有一个诱导函数u ( “) - p r ，( 工) ， 称作f 的n 阶延拓，它由方程叼= 西广( z ) 定义因此，函数“= ，( z ) 的n 阶 延拓t z ( n ) = p r ( n 1 ，( z ) 即是一个从x 到空问u ( ”) 的函数，且对于x 中的每一个z ， p r ( n ) ，( z ) 都是一个向量，它的qp ( n ) 个分量分别表示f 在点z 的值，以及f 在点z 的直到n 阶的导数 定义3 ，1 全空间xxu ( n ) ( 其坐标表示独立变量，依赖变量和依赖变量的直到n 阶的导数) 被称为底空间x u 的n 阶j e t 空问 定义3 2 设r 和f 是光滑流形m 的两个正则的p 维子流形我们称r 和r 在 其公共点z o r n 于有n 阶的切触，当且仅当存在一个包含点z o = ( z o ，u o ) 的局部 坐标卡w ，其局部坐标为( z ，u ) = ( z 1 ，扩，“1 ，u 9 ) ，使得1 1 n 彤和rn 分 别与光滑函数u = ，( 。) 和u = ，( z ) 的图相符其中“= ，( 。) 和u = ，( 。) 在知点n 阶等价，即：p r ( ”) ，( o ) = 矿( “) ，( z o ) 在铀点具有n 阶切触的性质显然与在点细的局部坐标的选择无关显然，n 阶切触在通过一个点的所有p 维子流形这样一个集合中决定了一个等价关系，我们 以此为基础，来定义j e t 空间和j e t 丛 定义33 设m 是一个光滑的流形，p 是一个满足o o ；，：( z ) = o ，当zs o 一现 考虑g = r 2 作用于m = r 2 ，其作用为：( z ，u ) 卜( z ，“+ o ( z ) + 6 ( 一z ) ) ，其中 ( n ) g ，( z ，u ) m 则g 有效作用于m ，但在包含于右半平面或左半平面的任 意开子集上，该作用则不是有效的 定义4 4 一个不变量是一个( 局部定义的) 标量函数f ：mh r ，它在群g 的作 用下是不变的，即：，hz ) = ，( z ) 对于使该方程有定义的所有的9 g ，z m 都 是成立的一个微分不变量是一个( 局部定义的) 在群g ( “) 作用下不变的标量函数 ，：t ，n 卜r 通过使用活动标架，我们可以来构造变换群的不变量或微分不变量 在引入活动标架之前，我们先介绍等变映射的概念一般说来，若群g 作用于 空间m 和n 上，一个映射妒：m 卜，如果满足妒( gz ) = 9 - 妒( z ) ，对于所有 g g ，z m 都成立的话。则称妒是左等变的类似的，如果妒( g z ) = l p ( # ) 9 _ 1 对 于所有9 g ，z m 都成立的话，则称妒是右等变的 定义4 5 一个活动标架是一个光滑的，g 等变的映射，：mh g 此时， g 有两个自然的作用，作用于本身第一个是左乘： 时9 - k 第二个是右乘： ，t 一 9 分别引出左和右活动标架的概念两者之间也有一个关系：如果p ( 。) 是一个右等变的活动标架，则烈z ) = p ( z ) - 1 是一个左等变的活动标架，反之亦然 事实上，如果p ( z ) 是一个右等变的活动标架，则 对于所有的。m 和口g 都成立则此时 芦i 夕彳) = p 一1 ( 9 z ) = 夕p ( 名) 1 = g - 声( 彳) 因此及z ) = p ( z ) 一是一个左等变的活动标架同样的，也可_ 以证明当p 0 ) 是一个 左等变的活动标架时，烈z ) = p ( z ) 一是一个右等变的活动标架 所有经典的活动标架都是左等变的，但在许多情况下，右等变的活动标架易于 计算下面的定理提供了一个活动标架局部存在的充要条件 1 2 定理4 6 一个活动标架在一个点z m 的一个邻域内存在，当且仅当g 在z 点 附近的作用是自由和正则的 证明：先证明其必要性设z m ，f 吼是迷向子群的一个元素设声：m g 是一个左活动标架，则由p 的左等变的性质得： 声( 。) = 万( 9 。) = 9 烈z ) 因此g ：e ，可得吼： e 对于所有的z m 都成立，这就证明了该作用的自由 性设z m ，且存在点乱= 肌。隶属于过z 点的轨道，满足当_ o 。，_ 十z 因此，由连续性可得： 烈o ) = 声( 9 k - z ) = g 女声( z ) 十( z ) 当 _ + o 。时成立，这就意味着在g 中，鲰_ e 这就证明了该作用的正则性 为了证明必要性，我们需要引入f8 】中的平坦局部坐标z = ( z ，n ) g y 一个一般的局部截面kcm 是由一个图z = 。( ) 给出的则映射烈z ，) = z 口( ) 显然是在g 的作用下是左等变的因此，定义了一个左活动标架这就证明了其充 分性 当然，大多数有趣的群作用都不是自由的，因此无法得到定义4 5 意义下的活动 标架有两种基本的方法可将一个不自由，但有效的作用转化为一个自由的作用 第一种方法就是考虑g 乘积作用在m 的几个笛卡尔乘积空间上，由此可得联合不 变量第二种方法就是将该作用延拓到j e t 空间上，由此可得微分不变量延拓和 乘积这两种方法的结合将会导出联合微分不变量我们将会在以后用这两种方法去 计算些变换群的微分不变量和联合微分不变量 一个活动标架的实际构造方法是基于c a r t a n 的正规化方法的( 可参考 1 4 ， l 】) 要求选择群轨道的一个( 局部) 截面因此，我们现在引入截面的概念 定义4 7 设g 是一个李群，正则作用于一个m 维流形m ，且其轨道维数为s 一个截面就是一个和每一个轨道都恰好横截于一个点的( m s ) 维子流形kcm 注：一般说来，我们仅能够构造一个局部截面k ，这意味着它可能于轨道交于一 点或不相交然而，我们可以用由确实与k 相交的轨道构成的开子流形m = g - 来替代m ，这就很容易地将一个局部截面k 转化成一个整体截面了因此，我们不 失一般性地，将限制在整体截面上 定理4 8 设g 自由、正则地作用在m 上，k 是一个截面给定z m ，设9 = p ( z ) 是唯一的一个将：映到截面k 上的群元素，即：9 t z = p ( z ) z 则p ：肘卜g 1 3 是该作用的一个右活动标架 证明：我们只需证明下列方程： p ( 9 z ) = p ( z ) 9 1 对于所有。m ，9 g 成立即可因为p ( g z ) 是唯一一个将g 。z 映到截面k 上的 群元素： p ( 9 - z ) ( 9 - z ) k 现在我们考虑群元素p ( 2 ) - 9 “对9 z 的作用： ( p ( z ) 9 1 ) ( g z ) = p ( z ) z k 这是因为；( z ) 是唯一一个将g 映到截面k 上的元素所以，p ( z ) g 。也将9 z 映 到截面k 上又因为p ( 9 z ) 的唯一性所以p ( 9 z ) = p ( z ) 9 1 成立这就完成了 该定理的证明 给定m 上的局部坐标z = ( z ，z 。) ，设u ( 9 一。) = 9 z 是群作用的显式公式 则伴随于一个坐标截面= ( z l = c ，诈= c r 的右活动标架9 = p ( z ) 是由下列 方法得到的： 通过正规化方程： u 1 ( 9 ，z ) = c l ，坼扫，z ) = c r 而将群元索g 的参数解出即用坐标z = ( z 1 ，z 。) 来表示( 9 一，g r ) 定理4 9 如果g = p ( z ) 是上述正规化方程的活动标架解，则函数 j l ( z ) = u r + l ( p ( 彳) ，z ) ，j k 一，( z ) = 叫m ( p ( z ) ，z ) 构成了一组函数无关的不变量完备系 例4 1 0 设g = 舳( 2 ) = s d ( 2 ) kr 2 为平面欧几星得群，为了简单起见，我们将 g 中点用参数( 破n ，6 ) 来表示，其中为旋转的角度现考虑s e ( 2 ) 在流形m = 上的下列自由的、局部作用，将m 中一点( z 池p ，q ) m 映到： ( ，”，r ，s ) = c 。s 妒一“s i n + 。，z s i n 毋+ “c 。s 庐+ 6 ，：鬻，i 五再r 知) 我们取正规化 暂= o ，u = o ，r = o 1 4 解之得： 一t a n 一一滞t 忙滞 这就定义了一个右活动标架；p ：r 4 卜船( 2 ) ，可以很容易地得出左活动标架为 事实上，由例2 8 可得 ( 五万，功= ( ，d ) 一1 = ( t a n _ 1 p ，z ，“) ( 五i ， ) ( ，qb ) = ( t a n 一1 p ，。，u ) = ( 0 ，0 ，0 ) ( 一t a n ，一滞，器) 最后，如果我们将右活动标架( 庐，o ，b ) 代入最后一个元s ，我们将得到基本的不变量 q 5h 一而 5 延拓和微分不变量 传统的活动标架是通过延拓群作用到n 阶( 广义) 的j e t 丛p = ，( m ，p ) 上而 得到的g 的n 阶延拓作用于，常记作g ( 一个n 阶的活动标架p ( n ) ：p g 是一个定义在j e t 空间的一个开子集上的等 变映射在实际例子中，当n 充分大时，延拓作用g ( n ) 将会在j “的一个稠密开子 集一nc p 上变得正则和自由的，其中泸是由正则j e t 所组成的集合因此，我们 需要引入正则j e t 的概念 定义5 i 如果g 在，n 中的一个j e tz 的一个邻域内的作用是( 局部) 自由 的，则称j e tz ( “) 是正则的当然，其中的u 满足；z ( “) uc 定理5 2 一个n 阶活动标架在点z ( n 的一个领域内存在当且仅当z ( “扩 是一个正则j e t 尽管还没有已知的反例，对于一般群作用，我们只知道一个局部定理( 参考 1 5 ，1 6 】) 定理5 3 一个李群g 局部有效的作用于m 的子集当且仅当当n o 充分大时， g ( “】局部自由地作用于p 的一个开子集扩cp 我们现在可以利用正规化的方法在任何一个正则j e t 的领域内去构造活动标架 和一个微分不变量的完备系了选择m 上的局部坐标z = ( z ，“) ，即将前p 个分量 1 5 。：江- ，矿) 看作独立变量，而将后g = m p 个分量u = ( u 1 ，u 4 ) 视作依赖 变量，这将自然地诱导出，上的坐标z ( “) = ( g ，u ( “) ( 1 3 ，1 7 】) 假设m 中元( 。，“) 在群g 作用下的象为：( ，”) ，我们通过对”关于j ，进行微分而计算出延拓的变换 公式： u ( n ) ( 口，。( n ) ) = 目( n ) z ( n ) 或( ， ( n ) ) = 口m ) - 缸，u 似) j 为了简单起见，我们通过选择u ( n ) 中的r = 出m g 个分量去正规化为常数，从而限 制了一个坐标截面： 。1 ( g ，z ( “) ) = 。l ，u ，( g ，z ( ”) ) - c r 类同于第四节中介绍的方法，解出上述的正规化方程，而得到右活动标架的显式公 式9 ：p ( n ( z ( n ) ) 更进一步，将活动标架代入u ( “) 中没有正规化为常数的分量， 将会得到基本的n 阶微分不变量： u ( n ) ( p ( n ) ( z ( “) ) ，z ( “) ) p ( “) ( z ( ”) ) z ( ”) 在局部坐标系下，基本的微分不变量将记作 日2 ( 。，u ( n ) ) = 2 ( p ( “) ( z ，u ( “) ) ，z ，u ) ，i 毙( z ，u ) ) ：u 蚤( p ( “) ( ，u ( “) ) ，。，“( ) ) 定理5 4 设p ( n ) ：，卜g 是一个阶数不超过n 的活动标架则每一个n 阶的微 分不变量能够局部地写作基本的n 阶微分不变量的一个函数j = 圣( ，( ”) ) 且假若 函数圣不依赖于常数的选取，则它是唯一的 例5 5 我们现列出一个非常简单但十分著名的例子：欧几里得平面上的曲线 欧几里得群s e ( 2 ) = s d ( 2 ) kr 2 作用在m = r 2 上，将一个点z = ( z ，u ) 映到 0 ， ) = ( z c o s 口一t 上s i n 口+ ，zs i n p + “c o s o + 6 ) 对于一条参数曲线z ( ) ；( z ( ) ，“( ) ) ，延拓的群变换为： d 廿 o s i l l 目+ “c o s 臼d 2 茁“比一z “ 2 面2 币丽丽呦2 孑2 瓦面正丽 等等这是通过对”不断地运用微分算子； 岛= 磊羽毛面。 1 6 而得到的，其中巩表示关于变量求微分的算子平面曲线的经典欧几里得活动 标架( 【1 8 】) 是由下列正规化方程： = o ，u = o ，唧= 0 而得到的从上述正规化方程中解出群参数口= ( 口忍6 ) ，将会导出右等变的活动标 架： 一= 一t a n 一1 考，。= 一i 鞴，。j 鞴 z 、o + u 、z f + 让 同榉，由例子2 8 ，我们可以计算出经典的左活动标架( 参考f 1 ，l8 】) 为： ( 五1 ( 石， ) ) = ( ( f 艽) ，( z ，“) ) 其中( z ，u ) 是曲线上的点，而f = 7 未霉( 荔) 和元= 了晕霹( ? ) 分别是点 ( z ，u ) 处的单位切向量和单位法向量 将活动标架( 口，o ，6 ) 代入。”。等等，则可得基本的微分不变量： 其中鑫= 玩= ( 。 + u ) 一 皿是弧长导数，它是通过将活动标架( p ，o ，b ) 代入显示 微分算子( 1 ) 而得到的 6 递推公式 我们已知在上节例5 5 中，将正规化的活动标架代入显式微分算子d n ，d 矿 ( 其中d 。是关于变换后的独立变量矿求微分的算子) 将会给出基本的不变微分 算子d ，d 。，它们将微分不变量映为微分不变量 定理6 1 如果p ( n ) ：j n 卜g 是一个n 阶的活动标架，则对于任意的k n + 1 ， 一个k 阶微分不变量的完备系可以如下得到：对阶最多为n + 1 的非常数的基本微 分不变量逐次使用不变微分算子d ，d 。 这样，活动标架就提供了两种计算高阶微分不变量的方法第一种方法是将活 动标架公式代入高阶的延拓群变换公式第二种方法是通过对低阶的不变量进行不 变微分 我们现在列出基本的递推公式； d 3 h t = 马一1 毛，d3 i 长= i 疑。一m 蕞、3 1 7 该公式将不变量和微分不变量联系了起来它在理论的发展和应用当中都有十分重 要的作用 一个重要的事实( 【8 ) 是校正项髟，峨。可以在不知道活动标架或正规化微分不 变量的显式公式的前提下计算出来设 扩k ：壹锱舭) 羔+ 壹略( 圳) 杀，一：l ，r p r ( ”一2 萎锱舭) 毒+ 三。量。西销孔砷鸯一1 ，7 是g ( 一) 的无穷小生成元的李代数g ( n ) 的一组基系数垂置。是由向量场的标准延拓 公式给出因此，我们可以得出n 阶李矩阵的元 ，斟器妒 钾蝎，、 l 。( z m ) ) = l i !j i 。1 静秽钟够蠼， 其中l 。( z ( n ) ) 的秩等于通过点z ( “) 的轨道的维数再将李矩阵l 。( z ( ”) ) 中的j e t 坐 标z 伽) 用对应的基本微分不变景p ( n ( z ( “) z ( ”) 代替，从而得到不变李矩阵i n = l 。( ，( n ) = l 。( p ( n ( z ( n ) 。( n ) 再对得到的矩阵i 。进行g a u 8 s j o r d a n 行变换而将列 对应于正规化变量z ，矗的r r 子列变成一个r r 单位矩阵我们用k 。来 标记得到矩阵，称之为微分不变量矩阵 现用z ( z ，t ( n ) ) = ( d 。) 标记元素为正规化变量。k ，务的全导数的p r 矩阵， 再用p ( n ( z ，u ( n ) ) ( z ，u ( n ) ) 来代替z ( z ，“( “) ) 中的( z ，“( “) ) 而得到矩阵w = z ( j ( ”) ) 我们的重要结果是，递推公式中的校正项是下列矩阵的元： l ；l 7m m 蝶，1 、 m n = w _ k 。= l i! ，；! f l ；邵叫脚嵫， 我们将会在第7 节中，运用这种方法去求出一些变换群的不变量或微分不变量 7 一些特殊变换群的联合不变量和联合微分不变量 现在我们考虑群g 对m 的( n + 1 ) 个笛卡尔乘积空间m 。( ”1 ) 的联合作用： 9 ( z o ，z 1 ，z “) = ( 9 2 0 ，9 z 1 ，9 z “) 其中9 g ，z o ，z 1 ，z “都是m 中的点，相应地，活动标架方法可以用到这种联合 作用，从而建立联合不变量的完备系再通过延拓到j e t 空间的笛卡尔乘积，得到 联合微分不变量 1 8 ( i ) 考虑在例3 6 中列出的群作用的延拓其中李群g = g l ( 2 ) ，流形m = 冗2 ，该 作用为： 州凇，“) ) = ( ! ，垆( 筹，高高) ， 其中a = ( ；? ) g 三( 2 ) 当u = g ( z ) 是一个平面曲线时，通过关于y 微分可 得到延拓的作用： 盯“z 一礼7 “ 蜥2 面孑五一， = 1 ) ，y 盯。+ n ( n 一1 ) 一r 2 u 酉万可一 盯3 钍。一3 ( n 一2 ) ，y 盯2 。+ 3 ( n 一1 ) ( n 一2 2 1 ：! 竺! 二! 1 2 一。 3 口n 一3 等等其中口：7 z + d ，：。d 一卢7 o 在子域2 = u 日o ) cj 2 中，其中 h = u u 。一2 u ；，我们可以选择由下列正规化方程： = o ， = l ，”= 0 ，u ”= l 定义的截面 假定“歹o ，日 o ，解上述正规化方程，我们可以得到右活动标架为 a ：“半循，卢= 一z u 导循，7 = ；u 导“= u 一：z “导u 。 再将右活动标架a ，卢，7 ，j 代入高阶的变换公式”。，”舢，等等，将会得到微分不变 量，其中第一个是： 。时p = 紊 其中h 同前，k = “2 u 。一3 譬u 札。“。+ 2 迎学u ；，d y 一_ d 。= t 日一 d 。 则由定理6 1 ，对于群g l ( 2 ) 作用在r 2 上的平面曲线( 。，q ( 。) ) ，当女23 时，一 个k 阶微分不变量的完备系可以通过对基本的微分不变量p 逐次使用不变微分算 子风而得到 我们现在将使用第6 节中介绍的递推公式来求得该群作用的一些微分不变量 我们可求得群g l ( 2 ) 的无穷小生成元为： aa。aaaa ”l 2 瓦，”22 。瓦，”3 2 1 丽一。瓦，啦5 “万一”瓦 1 9 将这些向量场延拓到i ，5 ，我们可得 p r ( 5 ) ”1 = 鑫， p r ( 5 ) 口2 p r ( 5 ) ”3 p r ( 5 ) 地 三秦萋瓮蠛巍麓建 = 一z 2 鑫一竹u z 袅十f ( 2 一扎) z t b 一，叫甜i + ( 2 一2 n ) t bt1 4 一? ) z u z z o 兹鬲 十【( 6 3 n ) u z z + ( 6 一n ) z u z z 。】百右笔+ 【( 1 2 4 礼) u 船。+ ( 8 一仉) 茁u ；z z z j 磊：；：二 十【( 2 0 一5 r 1 ) 仙。z z z + ( 1 0 n ) 正“z 黝c z 。 西i ：= = ：， 一 = 一z 鑫一n “舞+ ( 1 一n ) 磊j + ( 2 一n ) 。a ：+ ( 3 一n ) u z z z 5 ：兰； + ( 4 一n ) u z z z z i i i 蠹+ ( 5 一n ) “z z 。z 虿i ：三 我们由此可得5 阶李矩阵 l oooo oo 、 吲z ) = l ：。! z 。孝“孝者一。老“i k 一一n “1 2345 其中，m i ，m 如下： 晒= ( 2 一礼) z u 。一n u ，尬= ( 2 2 n ) “z + ( 4 一佗) z “z z ， 如= ( 6 3 竹) “。z + ( 6 n ) 卫“。， 如= ( 1 2 4 仃) u 。z + ( 8 一n ) 茁u z 。z z 坞= ( 2 0 5 n ) t b ? + ( 1 0 n ) z “嚣z z z ； 1 = ( 1 一n ) u 。，v 2 = ( 2 一n ) u z 。， j v 3 = ( 3 一n ) u 黝：z ，4 = ( 4 一礼) 钍。z z ， 毛= ( 5 一n ) u z 。z 。 在正规化= o ，。= l ，嘶= o ，”口= 1 下，基本的微分不变量为： y h = o ，u 卜j = 1 ，嘶 = 0 ，”v 卜也= 1 我们一般地设= 功卜以，在上述正规化下，可得不变李矩阵 100 ，i o oo j 5 。foon ono 0o 一2 3 尻 06 3 n 2 一n ( 3 一n ) j 3 o 一4 j 4 ( 1 2 4 n ) ( 4 一札) 0 5 j 5 ( 2 0 一5 n ) 山 ( 5 一n ) j 5 又因为我们选择的截面是基于j e t 坐标马“，“因此，可得 且 鲁j ) 一女也一一；如i 3 n 巴6 4 n 一】2 ，5 n 三2 0 ，j 。：。i 一。i 一。3 ：i i 一0 4j ；以 2 ；以 z = ( d 。z d 。u d 。u 。d 。u 。) ) = ( 1u 。“。z “。) 、f 0 0 0 1 o 0 l o 0 l o 0 1 0 0 o ，j、 | | 5 k 因此可得5 阶校正矩阵为 w = ( 1 o l 也) m 5 = w k 5 = ( i o 1 以2 培+ 号2 也 + 血岩以i 以以+ 纽产五) 由此可得递推公式： d 。，= d 。( o ) = 碰一上 = o ，d 。l ，= d 。( 1 ) = 一o = o ， d ， = 也一l = 1 1 = 0 ，d 。如= 以一如= 0 ， d s 如= 一2 露一3 学，d 。山= 以一2 也 一纽岩以， d 。以= 如一；以如一! 孑五 我们由此得： 如= p ， 山= p 2 + 只+ 萼， 以= 只。+ 5 p 只+ 3 p 3 + 塑! i 型p ，6 = p 5 s s + 萼p 只s + 警p 2 只+ 掣只+ 萼p 4 + 墅专 盟p 2 + 5 砰+ 盐旦生产 同样，高阶的微分不变量也可以由此法求出显然，这要比将活动标架直接代入高 阶的延拓群变换公式简单一些 ( i i ) 现在讨论例4 1 0 中列出的群作用 现在讨论群船( 2 ) 对尉中的曲线( z ( t ) ，“( ) ，p ( t ) ，g ( t ) ) 的作用 我们仍取正规化： = 0 ， = o ，r = 0 由此可得右活动标架： 扣“a n - 1 舭潞肛群 s e ( 2 ) 在，1 ( 尉) 上的延拓作用可由关于y 的微分得到： d u z s l n 妒一札c o s 5 石。表面蔷 d r 2 面2 d s 8 ”3 石2 p 面万写面矛瓦丽万调 【c o s 一ps l n 妒) 吼+ 3 q p ts i n ( c o s 一p s i n 曲) 4 ( z c o s 庐一毗s i 刀) 2 1 将上面所得的活动标架代入，”，r ，引0 ，勺，s ，可得到不变量，以及微分不变量如 下： 卜l = o ，”，= o ， 扛0 一赢 嘞时e 一糍，”2 鬲赫， ( 1 + p 2 ) 啦3 p 口m 3 v 一5 矿再乎石再丽 而微分算子玩卜风= 筘芸玩同样，由定理6 1 ，对于群s e ( 2 ) 在r 4 上曲线 的作用，当2 时，一个k 阶微分不变量的完备系可以通过对基本的不变量一，微 分不变量f ，q ，( 逐次使用不变微分算子d 。得到 我们现在用递推公式来求得一些高阶微分不变量我们可求得上述作用的无穷 小生成元为； u - 一u 未+ z 未+ c + p 2 ) 杀+ s p a 南，u 。= 未，”s = 嘉 将该向量场延拓到，2 ，我们可得二阶的李矩阵： 一u z 1 + p 23 p g l + “：3 “。u 。m l 尬弛、 l 2 ( z ( 2 ) = f looo oooooo ) 、0 l000o0o00 其中： 彳1 = 2 即z + u z p z ，尬= 2 p ：+ 2 p p 朋：+ p z “z z + 2 “z p z 2 ， 地= 3 p 吼+ 3 口p z + u z 口z ，尬= 6 p z 啦+ 印z + 3 q p z + “z z 啦+ 2 “z 口 我们一般地假设毗= d ： 卜厶；仉= d ：r 时以；s = d ；s 叶凰 在正规化= o ，”= o ，r = o 下，我们可得不变李矩阵： o o1o 1 + 砰3 ，l 如，1 i ，1 1 2 3 、 1 2 = i 1o oooooooo i 0 1o o o0oooo ， 且可得： l 0 00 000o00 、 k 2 = fo io o oooooo i o olo 1 + ， 3 ，1 如l 1 2 3 其中，矩阵当中的元素m 为： 1 = 2 ， + i ，1 j 2 十2 j lj 2 ，2 = 3 k j l + ，1 1 ，j v 3 = 6 t ，t 1 + 3 k 也+ j 2 1 + 2 尬 因此，二阶的校正矩阵为； m 2 = w k 2 = ( 1 ，l t ，l o j 1 ( 1 + ， ) 3 i ，1 ，l 如，i 7 x l x 2x 3 ) 其中，x 。分别为： x 】= 2 。片+ 。， j 2 + 2 ，1 ，l j 2 ，尥= 3 圻+ ，1 ，l l ， x 3 ：6 j k l + 3 k j t j 2 + 1 2 j 、k l + 2 i l j l k 2 则可得递推公式； d 。( l ) = d 。( o ) = d 一l = o ， d s ( ，) = ，l 一，1 = o ， d 。( j ) = 一以= 0 ，d 。( k ) = i o = 1 ， 口。( ，1 ) = 如一j l ( 1 + 砰) ，d ，( 止) = 厶一3 l ，l j l 如， d 。( j 1 ) = 如一l j ， d 。( 如) = 如一2 卵一井，2 2 ，1 也， d 。( 1 ) = k 2 3 耳钾一，l j l k l ， d 。( ，2 ) = k 3 一( 6 卵k l + 3 k j 1 如+ 屯j 1 k 1 + 2 j 1 j l k 2 ) 由此，我们可得： k ：七可，i 一，j l = q ，k 1 = ， 如：糕2 ；。) 代，如：3 7 j 3 + 3 代3 + 5 低。怕+ 咄2 托。， 如= f q 2 + 仉，j 3 = 3 町3 + 3 2 卵3 + 2 叩2 氐+ 4 叼叩。+ 讯s ，k | = 3 叩2 + f 叼( + ( 5 ， 3 = 7 卵2 q + 9 k 卵3 + 9 k q 仉+ f 2 叩( + 2 岛卵( + 2 2 叼2 ( + 3 f 卵厶+ 3 叩2 k - + 仉( + 矗s 等等 ( i i i ) 最后，我们讨论斟中曲线的射影几何其中群是g 三( 4 ) ，或尸s 工( 4 ，r ) ，作 用在m = 冗p 上，其作用为： a z + 6 2 时“5 万磊i ， 其中( ：) e g l c a ，r ，z = t 。，“，司。r e r 3 ，u = c ”， ，动t a 5 【 足一个3 3 矩阵，6 = ( 6 l ，6 2 ，6 3 ) 7 1 ，c = ( c l ，c 2 ，c 3 ) ，d 是一个标量 g = g l ( 3 ) ，m = r j p 2 时的情形已经讨论过了 同样，从 1 9 】中我们知道，当n 6 时，射影群p s 二( 4 ，r ) 的每一个n 点联合不 变量都是基本的体积交比 g ( o ，1 ；2 ，3 ，4 ，后) ，g ( o ，2 ；l ，3 ，4 ，七) ，g ( 1 ，2 ；o ，3 ，4 ，七) 、当 坩船 ， o o 中 n 钾 o姐“乩在 n 0 0 的函数其中女= 5 ，6 ，7 ， 但当。5 时，则没有联合不变量，我们必须通过正规化延拓变换而得到微分不 变量和活动标架 我们现在讨论r 3 中曲线z ( ) = ( z ( ) ，u ( ) ，豇( ) ) 了、上点数n = 5 时的情形，此时作 用为： ( 。o ，z 1 ，。2 ，z 3 ，z 4 ) 卜( u o ，u 1 ，u 2 ，u 3 ，u 4 ) 其中u k 等等，z k ( z 1 ( ) ，( t ) ，铲( ) ) 了1 ，取最简单的有限正规化： u o = ( o ，o ，o ) ，u 1 = ( 1 ，o ，o ) ，u 2 = ( 0 ，1 ，o ) ，u 3 = ( o ，o ，1 ) ，u 4 = ( 1 ，1 ，1 ) 经过一系列计算后，我们可得： 厶= 一a 。o c - 。1 + c 。“1 + c 。矗1 + d + 再r i 巧丽f ；! = 毒l = 刁嗣。- l = o ， c ，z 2 + c 2 “2 + c 3 铲+ d + 瓦r 习町耳焉坷 害l 刁翮。2 1 = o ， c 1 。3 + c 2 u 3 + c 3 石3 + d + 再f i 町而r = 老耐 掌1 = 刁啊f 2 研。3 l = o ， r ，z 4 + c 2 t 一+ c 3 矗4 + r f + 再r i 巧耳。 磊弩茏乒五嘲n - 1 = o ， c l z 4 + c 2 “4 + c 3 五4 + d + 再r 习巧耳t = 当哥苌生瓦啊n 2 l = o ， c l z 4 + c 2 “4 + c 3 铲+ d + 再f