（计算机应用技术专业论文）摄像机标定的六点法研究.pdf

摘要 在图像测量以及机器视觉中，为确定空间物体表面某点的三维几何位置与其在 图像中对应点之间的相互关系，必须建立成像的几何模型并求解模型参数，这个过 程称为摄像机标定。标定方法分为传统摄像机标定方法和摄像机自标定方法。传统 摄像机标定方法精确度较高，但算法比较复杂；摄像机自标定方法不需要标定物仅 通过运动摄像机所拍摄的标定图片中匹配点的关系来进行标定，该方法比较灵活但 算法复杂，鲁棒性较差并且精度不高。 本文提出的六点标定法和成组六点标定法以传统摄像机标定方法为基础，在求 解过程中引入几何模型约束，提高标记点的提取精度，简化约束方程的求解，计算 误差少，标定过程是线性的。六点标定法考虑加工过程和几何特性两方面，把标定 物确定为立方体。然后以针孔模型的理论为基础，参考直接线性法求解摄像机的参 数，整个求解过程不用求解非线性方程。实验发现单六点法标定结果不稳定并且其 对图像整体信息反映不足，由此引入成组六点法，即对空间中具有特殊几何位置的 多个立方体同时标定并综合处理标定结果，提高了六点法的稳定性。另外针对实际 应用要求，把六点法简化为二维标定中的四点法和一维标定中的两点法，提高了算 法的应用性。最后，通过对六点法、成组六点法、二维标定和一维标定分别进行实 验设计来验证算法，实验结果达到了预期的效果。 本文研究的主要内容如下： 1 提出六点法标定模型，对六点法模型进行算法推导。 2 针对实验中的问题提出成组六点法，提高了标定结果的稳定性。 3 根据实际的需求，把六点法应用于二维标定和一维标定。 4 对标定算法进行了程序设计，用户直接使用本程序就可以得到标定结果。 5 设计若干实验，并在实验中对理论进行验证。 关键词：摄像机标定；六点法；成组六点法；精度；稳定性 a b s t r a c t i nt h ei m a g em e a s u r e m e n ta n dm a c h i n ev i s i o n ，i no r d e rt od e t e r m i n et h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ep o i n to nt h es u r f a c eo ft h r e e - d i m e n s i o n a lo b j e c ta n di t sc o r r e s p o n d i n gp o i n t i nt h ei m a g e t h eg e o m e t r i cm o d e lm u s tb es e tu pt os o l v et h er e l a t i o n s h i pa n dt 1 1 em o d e l p a r a m e t e r sm u s tb ec a l c u l a t e d , t h i sp r o c e s si sk n o w n 勰c a m e r ac a l i b r a t i o n a tp r e s e n tt h e r e s e a r c hm e t h o d sa r em a i n l yd i v i d e di n t ot w oc a t e g o r i e s ：t r a d i t i o n a lm e t h o da n d s e l f - c a l i b r a t i o nm e t h o d a sf a ra s 虹a d i t i o n a lm e t h o d i tt a k e st h eo p t i m i z e da l g o r i t h ma n d t h ep e r s p e c t i v et r a n s f o r m a t i o nm a t r i xa l g o r i t h m 鹪r e p r e s e n t a t i v et h a tat a r g e ti sp u t b e f o r et h ec a m e r aa n dt h ep a r a m e t e r so ft h ec a m e r aa r ec a l c u l a t e da c c o r d i n gt ot h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er e f e r e n c ep o i n t si nt h r e ed i m e n s i o n a lc o o r d i n a t e sa n dt h e r e f e r e n c ep o i n t si ni m a g ec o o r d i n a t e s t r a d i t i o n a lm e t h o di sq u i t ec o m p l e x , b u tw ec a n g e tah i g l lp r e c i s er e s u l t s e l f - c a l i b r a t i o nd o e s n tn e e dt a r g e t s ；h o w e v e r , i tc a i lc a l c u l a t e t h ep a r a m e t e r sf r o mt h er e s t r i c t i o nc o n d i t i o n so b t a i n e df r o mi m a g es e q u e n c e i ti s r e a l t i m ea n do n 1 i n e w h i l ei ti sl e s sp r e c i s et h a nt r a d i t i o n a lm e t h o d i nt h i sp a p e r , s i x - p o i n tc a l i b r a t i o na n dg r o u p so fs i x - p o i n tc a l i b r a t i o nb a s e do nt h e t r a d i t i o n a lc a m e r ac a l i b r a t i o nm e t h o da r ei n t r o d u c e d , i nt h ep r o c e s sg e o m e t r i cm o d e l c o n s t r a i n t sa r ei n v o l v e dt oi m p r o v et h ea c c u r a c y ，t h ec o n s t r a i n te q u a t i o n sa r es i m p l i f i e d ， t h ec a l c u l a t i o ne r r o ra r el e s s t h ep r o c e s sa r el i n e a rc a l i b r a t e d c o n s i d e r i n gb o t ht h e p r o c e s s i n ga n dt h eg e o m e t r i cc h a r a c t e r i s t i c s ，t h ec u b ei su s e d 鹪c a l i b r a t i o no b j e c t 1 1 1 e c a l c u l a t i o nb a s e do nt h ep i n h o l em o d e l i tr e f e r e n c e st h ep r o c e s so fd i r e c tl i n e a rc a m e r a c a l i b r a t i o n n o n - l i n e a re q u a t i o n sa r en o ti n v o l v e di nt h ec a l c u l a t i o n f o u n dt h a tt h e r e s u l t so fas i n g l es i x - p o i n tc a l i b r a t i o nm e t h o da r ei n s t a b i l i t ya n dl a c k i n go fi m a g e i n f o r m a t i o n , g r o u p so fs i x p o i n t c a l i b r a t i o na r ei n t r o d u c e d ，w h i c hs i m u l t a n e o u s l y c a l c u l a t e dag r o u po fc u b e sw h i c hh a v et h es p e c i a lg e o m e t r i cl o c a t i o n , t h em e t h o dd e a l s w i t ha l lt h ec a l i b r a t i o nr e s u l t st oi m p r o v et h es t a b i l i t yo fs i x p o i n tc a l i b r a t i o n i na d d i t i o n , t h es i x - p o i n tc a l i b r a t i o nc a nb es i m p l i f i e dt of i tt h et w o d i m e n s i o n a la n dt h e o n e - d i m e n s i o n a lr e q u i r e m e n t s f i n a l l y , c a l i b r a t i o ne x p e r i m e n t sw e r ed e s i g n e dt ov e r i f y a l g o r i t h m , e x p e r i m e n t a lr e s u l t sa c h i e v e dt h ed e s i r e dr e s u l t s t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri s 嬲f o l l o w s ： 1 s i x - p o i n tc a l i b r a t i o nm e t h o di sp r o p o s e d a n dt h ea l g o r i t h mi sv e r i f i e d 2 g r o u p so fs i x - p o i n tc a l i b r a t i o na l ep r o p o s e dt oi m p r o v et h es t a b i l i t yo fr e s u l t s 3 s i m p l i f yt h es i x - p o i n tc a l i b r a t i o nt of i tt h en e e d so fs o m es p e c i a le n v i r o n m e n t s 4 d e s i g nt h ep r o g r a mt oc a l c u l a t et h ec a l i b r a t i o nr e s u l t s a n dt h er e s u l t sc a nb eg e t e a s i l ya n dd i r e c t l y 5 an u m b e ro f e x p e r i m e n t sa r ed e s i g n e dt ov e r i f yt h et h e o r y k e y w o r d s ：c a m e r ac a l i b r a t i o n ；s i x - p o i n tc a l i b r a t i o nm e t h o d ；g r o u p so fs i x - p o i n t c a l i b r a t i o nm e t h o d ；p r e c i s i o n ；s t a b i l i t y 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名： 时诲卫 学位论文知识产权权属声明 日期：加9 年罗月加日 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密酣 ( 请在以上方框内打“ ) 论文作者签名：呈曼煎垦 剔磁名彩缪 日期：砌降 月t o 日 日期：j d c 吟年 月i o 日 ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使用) - 4 9 第一章引言 1 1 摄像机标定的主要内容 第一章 引言 在图像测量过程以及机器视觉应用中，为确定空间物体表面某点的三维几何位 置与其在图像中对应点之间的相互关系，必须建立摄像机成像的几何模型，这些几 何模型参数就是摄像机参数，求解摄像机参数的过程就称为摄像机标定【l j 。无论是 在图像测量或者机器视觉应用中，做好摄像机标定是做好后续工作的前提，标定结 果的精度及算法的稳定性直接影响摄像机工作产生结果的准确性 2 1 。因此，提高标 定精度是标定研究工作的重点。 在实际应用中，由于噪声的干扰和摄像机镜头的畸变等原因，要求得精确的摄 像机参数是很困难的，要进行高精度的摄像机校准，要求使用复杂的摄像机模型( 考 虑镜头畸变) ，要求大量高精度的定标点等等，这些要求在通常的应用环境中很难满 足，这也是在计算机视觉与机器人等领域研究这一问题达数十年，但仍没有彻底解 决的原因之一。 摄像机标定在计算机视觉中占有非常重要的地位，是计算机视觉工作中开展其 他方面研究的基础。而使用何种方法才能使得摄像机的标定更加准确，更加节省时 间，已经成为当前摄像机标定研究的中心问题。 1 2 摄像机标定的主要方法 广义上摄像机标定可分为三种：传统标定方法、基于主动视觉的标定方法和自标 定方法【3 】。 1 2 1 传统的摄像机标定方法 传统的摄像机标定方法按照算法思路可以分成若干类，包括利用最优化算法的 标定方法，利用摄像机变换矩阵的标定方法，进一步考虑畸变补偿的两步法，双平 面方法，改进的张正友标定法以及其他的一些方法等。 一、利用最优化算法的标定方法 这一类的方法主要以下两种： ( 1 ) 摄影测量学中的传统方法 f a i 9 4 】提出的方法是这一类技术的典型代表。f a i g 给出的标定方法中，利用了针 孔摄像机模型的共面约束条件，假设摄像机的光学成像模型非常复杂，考虑了摄像 机成像过程中的各种因素，精心设计了摄像机成像模型，对于每一幅图像，利用了 至少1 7 个参数来描述其与三维物体空间的约束关系，计算量非常大。 1 青岛大学硕士学位论文 ( 2 ) 直接线形变换法 直接线性变换方法是ab d e l az i z 和k a r a r a 【5 】首先于1 9 7 1 年提出的。通过求解线 性方程的手段就可以求得摄像机模型的参数，这是直接线性变换方法有吸引力之处。 然而这种方法完全没有考虑摄像机成像过程中的非线性畸变问题。为了提高精度， 直接线性变换方法进而改进扩充到能包括这些非线性因素，并使用非线性的手段求 解。 这一类摄像机标定方法的优点是可以假设摄像机的光学成像模型非常复杂。然 而由此带来的问题是： ( 1 ) 摄像机标定的结果取决于摄像机的初始给定值，如果初始值给得不恰当， 很难通过优化程序得到正确的结果。 ( 2 ) 优化程序非常费时，无法实时地得到结果。 二、利用透视变换矩阵的摄像机标定方法 从摄影测量学中的传统方法可以看出，刻划三维空间坐标系与二维图像坐标系 关系的方程一般说来是摄像机内部参数和外部参数的非线性方程。如果忽略摄像机 镜头的非线性畸变并且把透视变换矩阵中的元素作为未知数，给定一组三维控制点 和对应的图像点，就可以利用线性方法求解透视变换矩阵中的各个元素。严格来说， 基于摄像机针孔模型的透视变换矩阵方法与直接线性变换方法没有本质的区别。 这一类标定方法的优点是从而运算速度快，能够实现摄像机参数的实时的计算 且不需利用最优化方法来求解摄像机的参数。缺点是： ( 1 ) 标定过程中不考虑摄像机镜头的非线性畸变，标定精度受到影响。 ( 2 ) ) 由于线性方程中未知参数的个数大于要求解的独立的摄像机模型参数的 个数，所以线性方程中未知数不是相互独立的。 三、两步法 t s a i 6 7 】给出了一种基于径向约束的两步法标定方法，是摄像机标定的一项重要 工作。该方法的核心是c c d 阵列中感光元的横向间距和纵向间距被认为是已知，然 后利用r a c ( 径向一致约束) 条件求解除t z ( 像机光轴方向的平移) 外的其他摄像机 外参数，然后再求解摄像机的其他参数。t s a i 方法的精度比较高，适用于精密的测 量，但它对设备的要求也很高，不适用于简单的标定。这种方法的精度是以设备的 精度和复杂度为代价的。 四、双平面标定法 m a r t i n s i s 等首先提出了双平面模型。这种方法利用世界坐标系下“视线”，而 不明确使用摄像机模型。该方法定义的视线为从工作场景前后两个平面出发到图像 上某点的连线。给定空间的标定点以及其图像上的对应点，用插入方法可计算出两 张图。插入的方法是：对于每个图像上的点，在前平面和后平面上定义两个对应的 第一章引言 点，来定义视线向量。在这种方法中，考虑用局部插入，图像用顶点和标定格交点 一致的三角形标画，然后在三角形内线性样条插值。这种方法的优点是利用线性方 法就可以解有关参数，缺点是要求解大量的未知参数，存在过分参数化的倾向。 五、张正友标定法 张正友标定法也是使用针孔模型，该方法假设标定用平面图板在世界坐标系中z = 0 ，通过线性模型分析计算得出摄像机参数的优化解，然后用基于最大似然法进行 非线性求精。在这个过程中标定出考虑镜头畸变的目标函数，最后求出所需的摄像 机内外部参数。该标定方法是自标定与传统标定之间的一个妥协方法【9 】。 这种标定方法既具有较好的鲁棒性，又不需昂贵的精制标定块，很有实用性。 但张正友方法在进行线性内外参数估计时，由于假定模板图像上的直线经透视投影 仍然为直线，进而进行图像处理，获得亚像素精度的点坐标。在这个过程中实际上 引入了误差，所以在广角镜畸变比较大的情况下，校正效果偏差比较大。 六、其他标定方法 针对摄像机标定的研究，许多人提出了更多有实用价值的新方法。这其中包括 孟晓桥、胡占义的圆标定方法，还有吴毅红等的平行圆标定方法。这些新方法，为 摄像机标定提供了更多新方向。 1 2 2 摄像机自标定法 目前已有的自标定技术大致可以分为几种：利用绝对二次曲线和极线变换性质 解k r u p p a 方程的摄像机自标定方法、基于二次曲面的自标定方法、分层逐步标定法、 基于主动视觉的摄像机自标定技术以及其他改进的摄像机自标定技术。自标定特点 是不依赖于标定参照物，仅利用摄像机在运动过程中周围环境的图像与图像之间的 对应关系对摄像机进行的标定。 一、基于绝对二次曲线的自标定方法 f a u g e r a s 等从射影几何的角度出发证明了每两幅图像间存在着两个形如k r u p p a 方程的二次非线性约束，在求解k r u p p a 方程的发展过程中利用k r u p p a 方程求得多幅 图像上的所有像点到对应极线的距离之和，并对这个距离求最小值，就可求出相应 的摄像机内参数。 基于k r u p p a 方程的自标定方法不需要对图像序列做射影重建，而是对两两图像 之间建立方程，在某些很难将所有图像统一到一致的射影框的场合，这个方法会比 分层逐步标定法更具有优势，但代价是无法保证无穷远平面在所有图像对确定的射 影空间里的一致性，当图像序列较长时，基于k r u p p a 方程的自标定方法会不稳定。 二、分层逐步标定方法 分层逐步标定的方法以h 矾e y 的q r 分解u o l ，p o l l e 矗呵s 的模约束法【1 1 1 等为代表。 3 青岛大学硕士学位论文 分层标定法首先对图像序列做射影重建，再通过绝对二次曲线( 面) 施加约束，定出 仿射参数( 即无穷远平面方程) 和摄像机内参数。 分层逐步标定法特点是在射影标定的基础上，以某一幅图像为基准做射影对齐， 从而将未知数数量缩减，再通过非线性优化算法同时解出所有未知数。缺点在于非 线性优化算法的初值只能通过预估得到，不能保证收敛性。射影重建均是以某参考 图像为基准，则参考图像的选取不同，标定的结果也不同，这不满足一般情形下噪 声均匀分布的假设。分层逐步法在近几年正在逐步成为摄像机自标定的热点。 三、基于二次曲面的自标定方法 t r i g g s i t 2 j 最早将绝对二次曲面的概念引入到自标定的研究中来，这种方法利用 了绝对二次曲线在欧氏变换下的不变性的特点。由于二次曲面包含了无穷远平面和 绝对二次曲线的所有信息，且基于二次曲面的自标定方法又是在对所有图像做射影 重建的基础上计算二次曲面的，从而保证了无穷远平面对所有图像的一致性。 四、基于主动视觉的自标定方法 基于主动视觉的摄像机自标定方法的代表性的方法是马颂钭1 3 】提出的基于两组 三正交运动的线性方法。杨长江，李华等后来提出了改进的方案，分别基于4 组平面 正交以及5 组平面正交运动，利用图像中的极点信息来线性标定摄像机参数。其原理 是把摄像机安装在可以精确控制的平台上，通过控制摄像机作特殊的运动获得多幅 图像，利用图像和可控制的摄像机运动参数来确定摄像机的内参和外参。此种自标 定法算法简单，可以获得线性解，不足之处在于必须精确控制的摄像机运动，无法 自由灵活的移动。 五、其他摄像机自标定方法 p o l l e f e y s 1 4 j 给出了一种控制摄像机保持焦距不变做一次纯平移，从而获得仿射 标定，计算出初始焦距后，再利用模约束在焦距变化时标定的变焦距下的自标定方 法。s t u r m m 1 5 提出了一种针对可变焦距摄像机的自标定方法。该方法需要预标定， 先确定出5 个内参数的互相关模型，从而将焦距变化时的自标定过程简化到只需计算 一个内参数。h e y d e i l 等人在前人实验的基础之上证明了在可变参数的自标定过程中 若是当所有的参数都改变的时候，摄像机的自标定是不可行的。以上描述的自标定 都是针对针孔模型下的透视摄像机而言，当物体的深度远大于摄像机运动的基线长 时，可以近似为其它更简单的模型，例如准透视投影，正交投影，弱透视等。所有 这些近似，都可以统一到仿射摄像机的模型下。采用新的仿射摄像机模型，可以有 更多新思路的摄像机自标定方法。 第一章引言 1 3 摄像机标定方法的比较 传统标定方法需要使用经过精密加工的标定块，通过建立标定块上三维坐标已 知的点与其图像点间的对应，来计算摄像机的内外数。该方法的优点在于可以获得 较高的精度，但标定过程费时费力，不适用于在线性标定和不可能使用标定块的场 合。基于主动视觉的标定方法需要控制摄像机做某些特殊运动，绕光心旋转或纯平 移等，用这种运动的特殊性可以计算出内参数。该方法的优点是算法简单，往往能 获得线性解，缺点是不能适用于摄像机运动未知或无法控制的场合。以上两种标定 方法均利用场景或摄像机运动的信息，对于场景任意、像机运动未知的最一般的情 形，都无能为力。依赖于标定参照物，利用摄像机在运动过程中周围环境的图像与 图像之间的对应关系对摄像机进行的标定称为摄像机自标定方法。自标定方法利用 了摄像机内参数自身存在的约束，这些约束与场景和摄像机的运动无关，这是该方 法较前两种标定方法更灵活的原因。但自标定算法复杂而且鲁棒性较差。因此，每 种标定法都有其优缺点，都有其适用的范围，不能笼统的说哪种方法好和坏，在实 际应用中应根据需要选择适合自己标定需求的标定方法。 1 4 论文的组织结构 本论文以六点法算法的设计与实验验证为主要内容。全文共分为六章，主要内 容如下： 第一章介绍了摄像机标定的定义以及标定方法中的一般算法，比较了现有标定 算法优缺点。 第二章对六点标定法的原理进行了推导。 第三章提出了成组六点标定法来提高六点标定法标定中的稳定性，介绍了成组 六点法的原理及对成组六点法的算法进行相关推导。 第四章简化六点法的模型应用n - - 维标定和一维标定中，对原理进行了介绍并 对算法进行了推导。 第五章介绍了六点标定法的图像处理过程，设计了实验分别对六点法和成组六 点法进行验证。同时对二维标定和一维标定进行了实验。列出实验数据并对实验进 行了分析总结，得出了相应的结论。 第六章对全文工作的总结以及对未来工作的展望。 5 青岛大学硕士学位论文 第二章摄像机标定的六点法原理 2 1 摄像机成像模型 2 1 1 摄像机方位参数 为了描述摄像机与空间物体之间的光学成像的几何关系，需要建立四个坐标系： 图像像素坐标系、图像物理坐标系、摄像机坐标系和世界坐标系【1 6 】。 z c 0 _ 世界坐标系 ( 1 ) 图2 1 世界坐标系，相机坐标系和图像坐标系 为了描述摄像机光学成像与实际像素之间的关系需要建立图像像素坐标系和图 像物理坐标系。摄像机采集的图像以标准视频信号的形式输入计算机，经计算机中 的专用模数转换卡变换成数字图像，每幅数字图像在计算机内表示为m x n 数组， m 行n 列的图像中的每一个元素( 称为像素) 的数值表示一个图像点的亮度( 或称 灰度) 。 第二章摄像机标定的六点法的原理 o o 0 1 ( u o ，v o ) 、 、tv y u x 图2 2 图像像素坐标系和图像物理坐标系 如图2 2 所示，首先建立以物理单位( 例如m m ) 表示的图像物理坐标系( x ， y ) ，以摄像机在图像平面上的光心o l 为原点，x ，y 轴平行于图像u 轴与v 轴。光 心o l 通常是图像的中心点，但是由于制作工艺，一般有偏差，需要通过标定来确定 准确位置，这里假设光心o l 的图像像素坐标是( u o ，v o ) ，每一个像素在x 轴与y 轴 方向上的物理尺寸为d x ，d y 。 其次在图像上定义图像像素坐标系( u ，v ) ，每个像素点的坐标分别是该像素 在m x n 数组中的列数与行数，坐标原点o o 在图像的左上角。 则图像中任意一个像素在两个坐标系下的坐标有如下关系： “= _ + ”d a x v = 专+ 2 f ，所以经常取喊所以整个模型近似为小孔成像 模型。小孔成像模型是一种线性模型。 小孔成像系统是透镜成像系统的很好的近似，在测量物距不是很小的情况下误 差很小，计算也简单，因此是采用最多的模型。按这种模型计算，物体的空间坐标 和图像坐标之间的关系是线性的，因此最后可以归结到求解线性方程组。非线性模 型则严格按照透镜成像原理建模，物体和图像之间的关系是非线性的，计算要复杂 许多。而且在此基础上还可以考虑摄像机镜头的非线性失真等因素，摄像机模型将 更加复杂，适宜于需要更高精度的场合。 第二章摄像机标定的人点法的原理 y 图2 4标定参照物 z 采用透视模型标定方法需要在摄像机前放置一个特制的标定参照物( 见图2 4 ) 。 标定参照物上的每一个特征点( 图2 4 物体上每一个小方块的顶点) ，相对于世界坐标 系的位置在制作时应精确测定，世界坐标系可选为参照物的物体坐标系。在得到这 些已知点在图像上的投影位置后，可由公式计算出摄像机的内外参数。 如果已知n 个标定点的图像像素坐标( u i ，v i ) 和世界坐标( x 砸，z 讲) ( i _ 1 2 n ) ，那么由公式2 ( 3 ) 有 消去z c i 有 2 - ( 砷 蓑篆：篆二荨缓篙焉i 发三嚣 2 郧， 【慢“+ 疋f + ，氇五，f + 4 一m 飓一匕飓2 一m z w 飓3 = m 叫 则可以得到2 n 个线性方程： 9 “ 相 4 优 m z 饥 w w 乙乙。 娩囊2 1 2 i 肪砒 鲫，聊 肌砒 蛳 m ， x k 已 以k 砌 班 蛳 = = 钉严l i 一引 吃u i口，气易易办， 青岛大学硕士学位论文 砚1 厶+ 镌2 + 铂厶+ 砚4 一瓦鸭1 一场鸭2 一屿z 0 m 3 3 = u a m 3 4 1 毛+ 2 + 3 2 0 + 7 2 4 - - v l x w l 7 3 l - v 1 吧2 一m z | w l 鸭3 = v l m 3 4 2 - ( 6 ) 嘲r 瓦厅+ 砚2 + 铂3 z 0 + 确4 一铂l 飞】：，飓2 一z w ，吩3 = u m 3 4 ，吃1 j 乇+ 鸭2 + 刀 3 j 乏怫+ ，吃4 一吃j ：飘l 】：，吩2 一吃z = v m 3 4 将2 。( 6 ) 简写成：k m = u 。可以用最小二乘法求出它的解为：m = 饭r k ) 一k r u 求得摄像机参数矩阵m 后，可以进一步求得它的内部参数矩阵m i 和外部参数 矩阵m 2 的各个分量。 然后我们就可以根据上面的公式一步一步求得f ，( u o ，v o ) ，r ，t 。 这一类摄像机标定方法的优点是可以假设摄像机的光学成像模型非常复杂。然 而由此带来的问题是： ( 1 ) 摄像机标定的结果取决于摄像机的标定点的精度，这样需要大量标定点 ( 一般需要上百个标定点) 来提高标定精度，这样使计算异常复杂； ( 2 ) 优化程序非常费时，无法实时地得到结果。 分析线性模型的成像特点，对上述标定方法以下方面改进： ( 1 ) 从公式2 ( 6 ) 可见，m 矩阵乘以任意不为零的常数不影响( x w ，y w ，z w ) 与( u ，v ) 的关系，因此可以指定m 3 4 = l ，因此方程组2 - ( 6 ) 的未知量有1 1 个，所 以由空间6 个以上的已知点便可以得到1 2 个线性方程，从而解出方程组2 ( 6 ) ，即 解出矩阵m 。这就是说我们最少需要空间的六个点即可求解出摄像机的内外参数。 本课题采用立方体的六个点来简化计算过程。 ( 2 ) 如何解决采样点减少所带来的精度降低问题。我们采用了利用模型的几何 约束方法来提高标定精度。即利用立方体的六个顶点相对于其中一点在空间位置上 的的几何约束关系进行摄像机线性标定。 2 2 六点法成像模型 2 2 1 六点法方法的原理 本课题只采用了立方体的六个点，其对应在世界坐标系下的坐标如图2 5 。 第二章摄像机标定的六点法的原理 世界坐标 y 图2 5 六点法模型 可以看到这六个点的坐标如果带入成像公式中是非常理想的，其中各点的世界 坐标系下的坐标如下表：( 我们假定立方体的边长为h ) 表2 1 六点法世界坐标系坐标单位c n l 序号1 号点2 号点3 号点4 号点5 号点6 号点 世界坐标 ( 0 ，o ，o )( 0 ，o ，h )( o ，h ，0 )( 0 ，h ，h ) ( h ，o ，o ) ( h ，0 ，h ) 本算法摄像机采用线性模型( 针孔模型) 来计算，如图2 6 所示： 对于空间上任何一个点p ，它与摄像机光心的连线与图像平面的交点就是该点 的成像位置，即它投影到成像平面上的点p 就是它的像点。 点p 在世界坐标系下的坐标为( x w ，y w ，z w ) ，在摄像机坐标系下的坐标为 ( x c ，y c ，z c ) 。对于图像平面上的像点p 我们得到的是图像像素坐标( u ，v ) 和 图像物理坐标( x ，y ) 。 青岛大学硕+ 学位论文 由线性模型的比例关系有： 弘等z 胪罢zc “c 图2 6 透视投影模型 伍。，l ，z ，) 2 - ( 7 ) 其中厂为焦距( 成像平面与摄像机坐标系原点的距离) 。用齐次坐标与矩阵表 示上述关系： z 。 霉 = 吾 罐 p 点的世界坐标系坐标与摄像机坐标系的坐标关系为： 2 - ( 8 ) 阵。 第二章摄像机标定的六点法的原理 其中r 为3 x 3 正交旋转矩阵，t 为三维平移向量。 将公式2 一( 8 ) ，2 ( 9 ) 代入公式2 ( 7 ) 可以得n - z 廿 一i i i i l l 心i m m l m ” 2 一( 9 ) 2 - ( 1 0 ) 其中m i 是摄像机的内部参数矩阵，m 2 是摄像机的外部参数矩阵。m 为3 x 4 矩 则可以得到以下公式： z c i = 夕 2 - ( 1 1 ) 这样便建立了p 点的世界坐标系坐标( x w ，y w ，z w ) 与它经过摄像机成像后象 点p 图像像素坐标( u ，v ) 之间的关系。 摄像机的标定就是要确定其内外参数，也就是计算出公式2 一( 11 ) q 7 的m 。 2 2 2 六点法标定的推导过程 针孔模型在数学上的表达方程可变换成下述方程： 1 3 k l 乙。 八_ _ u r 矿 ，。l = k y 乙 k l 乙j 厂uoj飞 r 旷 、h矿00n，_lj d 0 0 jd厂一咖d 厂一出d d k 匕乙j 厂ojoo飞 f j r 旷 卜旷0 0 卜，、 d 0 d d d j 0 广d 广o 0 、h矿00000厂 j d j一咖d j一出d d 、，、 瓦匕乙j 厂u人 4 4 一鸭 ， 一、 一、，2j肋他肋 2 2 2 ， ，竹鸭 青岛大学硕士学位论文 l 铂l + 比铂2 + z 州码3 + 4 一k l 一坼匕f m 3 2 一u i z 州m 3 3 = 4 x , i m 2 i + y w f 2 + z w f 3 + m a 4 一v i x w , m 3 i v 2 一v , z w i m 3 32e 鸭4 带入六点法的方程为： 1 号点的方程： 聊1 4 = u 1 m 3 4 m 2 421 ，l 聊3 4 2 号点的方程： h m l 3 + m 1 4 一u 2 h m 3 3 = u 2 m 3 4 砌2 3 + ，力2 4 一v 2 h m 3 3 = 吃朋” 3 号点的方程： h m l 2 + m 1 4 一u 3 h m 3 2 = u 3 m 3 4 h m 2 2 + m 2 4 一v 3 h m 3 2 = v 3 m 3 4 4 号点的方程： h m l 2 + 五砌3 + m 1 4 一u 4 h m 3 2 一u 4 h m 3 3 = u 4 m 3 4 h m 2 2 + h m 2 3 + m 2 4 一v 4 h m 3 2 一v 4 h m 3 3 = v 4 m 3 4 5 号点的方程： 觇t + 朋1 4 一u 5 h m 3 l = u 5 m 3 4 h m 2 l + m 2 4 一v s h m 3 l2v s m 3 4 2 - ( 1 2 ) 2 - ( 1 3 ) 2 - ( 1 4 ) 2 - ( 1 5 ) 2 - ( 1 6 ) 2 一( 1 7 ) 2 - ( 1 8 ) 2 一( 1 9 ) 2 - ( 2 0 ) 2 - ( 2 1 ) 2 - ( 2 2 ) 2 - ( 2 3 ) 第二章摄像机标定的人点法的原理 6 号点的方程： 厶帆l + 月砜3 + m 1 4 一u 6 n m 3 l u 6 h m 3 3 = u 6 m 3 4 h m 2 l + h m 2 3 + m 1 4 一v 6 h m 3 1 一v 6 h m 3 3 = v 6 m 3 4 2 一( 2 4 ) 2 一( 2 5 ) 由于m 矩阵乘以任意不为零的常数并不影响( l ，k z w ) 与( u ，v ) 的关系， 因此在式子中可以指定鸭。= h ，从而得到关于m 矩阵其他元素的1 2 个方程。这些 方程的未知数为1 1 个。通过求解线性方程可以解得结果。 上面的1 2 个方程化简可得以下方程( 式子中已经令，= h ) ： m 1 4 = 铭l h m 2 4 = 1 ，l h ，3 一“2 z 3 3 = “2 一“l 聊2 3 一v 2 m 3 3 = v 2 一v 1 2 一“3 聊3 2 = “3 一“l 7 勉一b ，吩2 = 屹一m m 1 2 + m 3 一u 4 m 3 2 一u 4 ，鸭3 = u 4 一嵋 朋杰+ 朋幺一v 4 m 3 2 一v 4 m 3 3 = 屹一m m il u5m31=u5 一u1 m 2l 一 ，5m3l 2v 5 1 ，l m 1l + mi3 一u6 m3 1 一u 6 m3 3 2u 6 一“i m 2 1 + m 2 3 1 ，67 竹3 l v 6 m 3 3 = v 6 一v 1 1 5 鹚 啪 删 荆 删 删 嘲 删 啪 鹚 删 聊 青岛大学硕士学位论文 通过求解口j 以解得m 矩阵的各个同量的唯一解： m，=3(u1-u2)(v3-14)-(,3-u4)(v1-v2) 。 ( 吃一心) ( 吃一心) ( 1 1 3 一) ( 吃一屹) = 亟! 迹堕生坚丛蔓型 一姚一心肫一心) 一魄一心地一心) rq：丝丝丝二丝!堡丝垫二兰2丝堡丝二兰2丝丝亟二坠23 鸲一心x b 一心) 一心一心x 屹一屹) = 型趔垫蚰! 塑丝j 2 塑鱼兰! “ 心飞飞) 也飞地1 ) m=：23(u1122-u2v1)(v3-v4)-(u4v3-u3v4)(v1-1,2) 一 ( “2 一u 4 ) 【吃一屹) 一( u 3 一u 4 ) ( 屹一心) m=22(ulv3-u31)1)(v2-v4)1-(u4v2-u2v4)(v1-v3) l = v l v 2 一v 5 + v 6 一( 吃一v 6 ) m 3 3 侈一咯 ，z 1 1 = 甜5 一“t + “5 7 竹3 i 2 - ( 3 8 ) 2 - ( 3 9 ) 2 ( 4 0 ) 2 - ( 4 0 2 - ( 4 2 ) 2 一( 4 3 ) 2 一( 4 4 ) 2 - ( 4 5 ) l = 鸭一m + 吩，吩l2 - ( 4 6 ) 这样我们就可以得到从世界坐标系到像片坐标系之间的变换矩阵m ，然后利用 下述步骤求解摄像机内外参数。 求出m 矩阵后，可由公式表示的关系算出摄像机的全部内外参数。但要注意一 点，我们所求得的m 矩阵与式2 一( 1 1 ) 所表示的矩阵m 相差一个常数因子h ，这一点 可以从解方程时指定= 日中看出。虽然我们已指出，指定m 3 。= h 并不影响投影 关系，但在分解m 矩阵时必须考虑。我们将式2 - ( 11 ) d fm 矩阵与摄像机内外参数 的关系写成： 第二章摄像机标定的六点法的原理 2 一( 4 7 ) 其中，砚r ( i _ 1 3 ) 为式2 ( 4 5 ) 求得的m 矩阵的第i 行的前三个元素组成的行向量； 4 7 ( i = 1 - 3 ) 为m 矩阵第i 行第四列元素；矿( i = 1 3 ) 为旋转短阵r 的第i 行；t j ， t ，t ：分别为平移向量t 的三个分量。 由上式可得： “o r 3 r口工t x + u o t z v o r 3 t 仅y t x + v o tz t ： 2 - ( 4 8 ) 比较上式两边可知，百m 3 4 优3 = 吩，由于弓是正交单位矩阵的第三行，= 1 ， 因此，删河以从鲁1 i _ 1 ，求出塑h2 南。再由以下式子可求得吩， a x q y ： 吩= 鲁m 3 铲( c t j l r + u 0 5 r ) 吩= 等砰所， = ( c r y r 2 r + v o r 3 r ) = 等聊2 q = 等2 吣i 1 7 2 一( 4 9 ) 2 一( 5 0 ) 2 一( 5 1 ) 2 一( 5 2 ) 乞0乞， r r r r 吒吃吩o 一 _ 0 0 o o o 咖饰，o o q o o _1 4 4 日 r r r m m m 。l 塑 + 十o， r 吩 x y 口 口 。l 4 日 r l r 2 r 3 m m m 塑 青岛大学硕十学位论文 q = 等协弘i 其中表示向量的差积，由上述式子可以进一步求出以下参数： = 嚣( 强飞) 吃2 嚣( 一) 乞= m 3 4 = 老( m t 4 飞) t y2h m z 3 4v ( 、m 2 4 - - v 0 ) 至此我们通过立方体的六个顶点求解出了摄像机的全部内外参数。 2 3 本章小结 2 - ( 5 3 ) 2 一( 5 4 ) 2 一( 5 5 ) 2 - ( 5 6 ) 2 - ( 5 7 ) 2 一( 5 8 ) 六点法在针孔成像模型的基础上加入了标定点的几何约束，从而简化了透视模 型。 从以上的推导过程我们可以看出六点法过程具有以下优点： ( 1 ) 标定点的提取过程简化。 由于标定过程中噪声等其他因素的影响，透视模型标定以及现有的大多数标定 方法都是基于大量标定点的基础上，这就需要对图像进行大量标记点的提取，一般 需要上百个到几百个点一般情况下才能保证标定结果的精度和稳定性。而六点法只 需要对立方体六个点进行提取，只需设计模型保证立方体的六个点的提取精度即可 进行标定。 ( 2 ) 标靶制作成本降低 传统透视模型标靶以及以及现有的大部分标定算法所用的标靶需要制作大量标 定点，而六点法只需要精确知道六个点，这在制作成本上会比现有的标定算法采用 的标靶制