（计算机应用技术专业论文）小波变换在hplc信号处理中的应用.pdf

摘要 小波变换是近年来发展起来的一门理论，在图像处理，通信和地球 物理上取得了成功的应用。小波包变换是小波变换的推广。本论文围绕 小波变换和小波包变换进行了理论和应用的研究。论文工作主要分为两 部分。 在第一部分提出了小波包在压缩色谱信号时压缩性能比的评价方 法，即控制恢复根均方差算法。该算法能在给定恢复根均方差的情况下 得到压缩比，控制的精度较高，相对的标准偏差大约为8 ，在此基础 上我们对最优压缩性能比的小波函数的选取作了较深入的研究，主要研 究了具有正交和双正交特性的d a u b e c h i e s 、b i o r t h g o n a l 、c o i f l e ts 和 s y m l e ts 等四类小波，结果显示双正交小波函数具有最优压缩性能。 第二部分应用更适合实际分析化学信号处理的小渡变换来处理重 叠的分析化学信号。此方法是建立在多分辨率分析的基础之上的。我们 应用此法处理多组分重叠色谱信号的结果表明，此法不仅有效地解决了 多组分重叠信号的解析问题，而且较传统的方法处理速度快且准确，可 用于定量分析。 关键词：小波变换信号压缩重叠信号鳃析 a b s t r a c t w a v e l e tt f a n s f o r misat h e o r yi nt h e 口a s td e c a d e i th a s r e c e i v e ds u c c 【，s sjn i m a g ep r o c e s s i n g ， t e l e c o m m u n i c a t i o na n d g e o p h y s i c s w av e l e tp a c k e tt r a n s f o r mi sag e n e r a t i o no fw a v e l e t t r a n s f o r m t nt h i st h e s i s ，w em a i n l yd jds o m er e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o nw ( ) r kw it hw a v e l e ta n dw a v e l e tp a c k e t t h ew o r k c o m p r is e so ft w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，t h ee v a l u a t e dm e t h o do fc o m p r e s s i b i l i t v h a sb e e np r e s e n t e dw h e na p p l y i n gw a v e l e tc o m p r e s s i o nt ol i q u i d o f c h r o m a t o g r a p h i cs i g n a l t h em e t h o do f c o n t r o l l i n g r e c o n s t r u c t e dr m s dc a no b t a i nt h ec o m d r e s s i o nr a t i o nu n d e rt h e c o n d i t i o no fg i v e nr e c o n s t r u c t e dr m s d t h e nt h ec h o i c eo fw a v e l e t f u n c t i o n st h a th 0 1 db e s tc o m p r e s s i b i l i t yh a sb e e nr e s e a r c h e d ，t h e r e s u l t si n d i c 扎t e dt h a tb i o r t h o g o n a lw a v e l e t sh 0 1 dt h eb e s t g e n e r a lc o m p r e s s i b i l i t y w a v e le tt r ，m s f o r m ，w h i c hi ss u i t a b l et op r o c e s st h ep r a c t i c a l s i g n a l si na n a 【y t i c a li n s t r u m e n t a la n a l y s i s ， w a sb a s e do nt h e a l g o r i t h mo ft h em u l t 卜r e s o l u t i o na n a l y s i s a n da p p l i c a t i o no f t h em e t h o dt ol h er e s o l u t i o no ft h eo v e r l a p p i n g n u l t i c o m p o n e n t w a si n v e s t i g a t e d t h i sm e t h o da b i l i t yi nr e s o l v i n go v e r l a p p i n g a n a l y t i c a ls i g n a l s ，t h el i q u i do fc h r o j i 】a t o g r a p h i cs i g n a lr e m a i n s i nt h er e s o l v e dr e s u l t s ，w h i c he n s u r et h er e s u l t sc a nb eu s e df o r 口u a n t i t a t i v ed e t e r m i n a t i o n k e y w o r d ： w a v eie tt r a n s f o r msjg n al c 洲p r e s s io n o v e rl a p p i n gs i g n a lsa n a i y t i c a 第一章绪论 1 1 小波变换及小波包变换的发展回顾 小波分析是傅里叶分析发展的一个新阶段，它被认为是调和分析， 即现代傅里叶分析这一重要学科半个世纪以来的工作之结晶。长期以 来，在各种信号处理方法中，特别是在频谱分析孝口各种滤波方法申，应 用最多的是傅里叶变换，它反映的是信号的整体特征。但是，在不少实 际问题中，人们所关心的却是信号在局部范围中的特征。例如，在音乐 和语言信号中，人们关心的是什么时刻演奏什么音符，有什么样的音节： 对于地震信号来说，人们关心的是什么位置出现什么样的反射波；在图 像识别中的边缘检测，则关心的是信号突变部分的位置。为了弥补傅里 叶变换的不足，1 9 4 6 年，g a b o r 引进了短时傅里叶变换的概念。他用一 个在有限区间( 窗口) 外恒等于零的光滑函数( 窗口的位置随一个参数 而变) 与所要研究的函数作乘积，然后对它作傅里叶变换。这种变换的 确能反映信号在窗口内部分的频谱特性，因而在一些需要研究信号局部 性质的问题中起了一定的作用。但是，由于g a b o r 引进的这种傅里叶变 换的窗口位置虽然能随参数变化而任意移动，但是其窗口的大小和形状 却与频率无关，是固定不变的，它往往造成剧烈的边带震动现象。因此， g a b o r 引进的这种短时傅里叶变换的应用范围受到限制。 小波变换继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，它对不同的 频率在时域上的取样步长是调节性的，即在低频时小波变换的时间分辨 率较差，而频率分辨率较高；在高频时小波变换时间分辨率较高，而频 率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特 点，因而小波变换具有艮好的频域和时域局部特性。小波变换最早由法 国地球物理学家m o r l e t ，物理学家g r o ss m a n ，数学家m e y e r 等人于八 十年代初在研究地球物理( 地震勘探) 信号时作为一种信号分析工具提 出的。m o r l e t 等人为了研究地震信号的时变特征和薄互层问题时提出 采用在时域和频域都保持相同形状的g a b o r 函数对地震信号进行分析 的方法，并取得了较大的成功。 随后g r o ss m a n 和g o u p l l a n d 等人进一步研究了信号分解成具有相 同形状不同频宽的小波组合问题，并得到了小波变换的基本结果，包括 重构过程等。在研究离散化和重构问题时提出了：框架”的概念在小波 变换中的重要性。1 9 8 6 年，d a u b e c h i e s 根据有限带宽信号构造了一组 小波框架。与此同时s t r o m b e r g 和m e y e f 分别独立地发现了一些可以构 成r ( r ) 空间的正交基。尽管在m e y e r 的构造方法中，得到的小波衰减 速度快且具有紧支集，但它的局部特性并不好。而后b a t t l e 和l e m a r i e 分别采用不同的方法构造了具有指数衰减且具有紧支集的正交小波基。 19 8 9 年，m a ll a t 提出了用多分辨率分析和逼近的概念定义小波。 将以前的各种正交小波基的构造统一起来。在正交小波基构造的框架 下，他给出了信号和图像分解为不同频率信号的算法及重构算法，这就 是著名的m a l l a t 算法。至此，小波变换理论已逐渐被大家认识。进一 步的研究使得小波变换理论，滤波器组理论以及多分辨分析理论得到了 统一。 199 2 年，c o i f m a n 和w i c k e r h a u s e r “1 等将m a l l a t 算法进一步推广， 得到小波包算法。并在此基础上提出了最佳基算法，用来构造最佳表征 信号的基函数。小波包最先在图像压缩中得以应用。 1 2 高效液相色谱信号的数据压缩 信号处理的基本问题可以概括为怎么有效的表示或表征一个信号， 前者的目的通常用来用于信号的压缩，而后者通常是为了用于信号的识 别和分类。现代分析仪器给化学工作者提供了越来越多的信息，同时也 要求仪器有更大的存储容量，用小波变换进行数据压缩是一种非常有效 的方法，不同研究者已提出了用离散小波变换( dwt ) ，快速小波( fw t ) ，小波包变换( wpt ) 对数据进行压缩的方法“| 。小波分析用 于数据压缩一般采取如下步骤：( 1 ) 对原始数据进行小波变换得到小 波系数；( 2 ) 用阈值法删除中足够小而被认为不代表有用信息的系 数，并保存处理后的系数。需要时，将s 。反变换即可得到原始 数据。闽值的确定一般采用经验值或通过尝试得到。但是在进行压缩性 能比较时对指标的选取却往往考虑不周。因而很有必要建立一个衡量小 波函数具有最优压缩性能的准则，选取合适的压缩性能指标，并建立相 应的算法。本论文采用的方法是利用小波包来分解信号，然后计算最佳 树，我们采用控制恢复根均方差r m s d 的方法将小波包分解系数量化， 研究了通过采用控制根均方差算法来正确评价压缩性能比。 一个信号的傅立叶变换其实就是该信号在一组正交的正弦函数 ( s i n 缈x ) 和余弦函数( c o s 出x ) 上的投影，而一个信号的小波变换是 它在一组小波函数簇上的投影。选用恰当的小波函数簇，可以很好地分 析信号的特征，相反，若小波函数簇选取不正确，对信号进行小波变换 之后，信号在小波函数簇上的投影系数很可能淹没信号的特征。一组小 2 波函数簇可以有一个小波基函数通过适当的尺度变换和迭代运算来产 生，一般我们称这个小波基函数为小波函数。小波变换实现信号压缩的 基本目标是使的信号在时间一频率域的分解系数所占的存储空间尽可 能小，同时还要保证压缩后的分解系数能精确的反映信号所携带的信 息。然而，在通常意义下的小波函数族是冗余的，即其中任一函数位于 所有其它函数的闭合映射包络中”1 ，因信号压缩的本质是去除冗余，因 此我们希望选用的小波函数族中的函数是线性独立的，于是我们选用具 有正交和双正交特性的小渡进行了研究。d a u b e c h i e s 小波函数系、 s y m l e ts 小波函数系、c o i f l e ts 小波函数系和双正交小波函数系均具有 正交特性，因此本文考察了这四类小波函数。并在此基础上选出具有全 局最优压缩性能比的小波函数。 1 3 色谱重叠信号的解析 重叠信号的解析是化学工作者经常遇到的难题，也是目前化学领 域中的热门研究课题之一。由小波变换原理可知，信号经多分辨率分析 分解后，各离散细节信号代表了原始信号中不同的频率成分。由于化学 信号一般为具有一定分布的峰状信号，峰尖和峰谷处的频率有所不同， 如果利用小波变换把重叠信号分解为不同的频率成分，则某个离散细 节可能为高分辨的信号成分”“。因此，利用小波变换可以将重叠信 号进行解析。利用小波变换进行多组分重叠信号的解析一般包括三个步 骤：( 1 ) 采用小波变换把原始数据分解为离散逼近c ( j ) 和离散细节 d ( j ) 。( 2 ) 在所有的d ( j ) 中，选取一个或几个表示高分辨信息的离散 细节d ( k ) 。( 3 ) 将选取的d ( k ) 倍乘大于1 的系数后重构得到高分辨的信 号，或直接利用d ( k ) 进行进一步的研究。 低聚糖，作为一种新型食品添加剂近几年在我国取得长足发展，它 多方面应用于食品和保健品及饮料方面。而低聚异麦芽糖固其保健作用 被越来越多的人认识更是发展迅猛，但其中有效成分的检测一直不理 想，在2 0 0 0 年开始广泛应用的h p l c 法虽然较好的分离了二糖、三糖中的 同分异构体，但由于其色谱信号还是存在严重重叠现象，因此不能作为 定量分析的依据。无锡轻工业大学色谱室提出的“双柱法”在过去的几 年中一直在行业内应用，由于没有更好的方法，20 0 1 年轻工总会将其规 范为暂行的行业标准。这种方法只是利用两根不同的色谱柱来中和这种 固信号重叠造成的不准确性，并未从根本上解决问题。此法从分析化学 的角度来讲，只能够提供较好的定性方法，用在定量上则是不严格的。 本文针对“双枉法”中有机溶剂做流动相的色谱信号利用小波变换把重 叠信号分解。分析其离散细节信号得到较好的结果。 1 4 本论文的安排 本论文的安排如下。第二章介绍了小波变换和小波包变换以及用于 信号压缩的最佳基算法；第三章主要介绍了评价信号压缩性能比的控制 恢复根均方差算法。通过采用控制恢复根均方差算法来正确评价压缩性 能比，并在此基础上选出具有全局最优压缩性能比的小波函数。第四章 介绍的是小波变换在重叠色谱信号处理中的应用。通过分析合成的重叠 色谱信号和低聚糖的重叠色谱信号，都得到了较好的分析结果。第五章 是工作的总结和展望。 第二章小波变换，小波包变换与最佳基算法 2 1 离散小波变换概述 在应用数学、信号处理和计算机视觉中分别独立应用的小波、滤波 器组和多分辨率信号分析事实上可归结为同一理论”1 。我们首先从多采 样率滤波器组的角度介绍小波变换与小波包变换。离散小波变换”可以 视为对频域的一种光滑分割。我们以一维信号的双通道滤波器组分解为 例来说明，信号先通过卷积运算被一对低通滤波器h 。= ( 风 = 和高通 滤波器嚷= ) ：i 分解为低频和高频部分。设信号为f = 厶 = ，信号 的长度k 为偶数。则以上分解由下式给出 一l ( 也f ) 。= 岛厶+ ， ( 2 1 ) ，= 0 ( g 。f ) 。= 函 。 ( 2 2 ) 其中k = o ，i ，2 ，k 一1 ，这一对滤波器h 。，瓯被称为分析滤波 器。滤波后的信号频谱宽度变为原来的一半，因而采样率可以降低一半。 这是通过二抽取实现的。然后分解过程对低频部分继续下去，即经滤波 和二抽取后的低频信号再次被分析滤波器组分解和抽取，而高频部分保 留。如此迭代下去，其过程如图2 1 所示。 f 图2 】分解滤波器 图中每一级滤波器的输出经二抽取后的序列即为离散小波变换系 数，如果待分析的信号序列为，= ：，即厂e ，那么第一次分解 扣抽取后我们得到两个序列，厂牵瓯厂，各为n 2 长。其中g 。，称 为细节信号，乜，称为分析信号。 然后对低频序列玩1 厂 ，即分析信 号，进行同样的操作即得到序列也吃，和瓯见，各为n 4 长。 如果我们分解到j 级，最后我们得到的离散小波变换系数序列为 t g 。 、g d h ，f ，g ：h ：f 、g ：h ；| h ：。f 、，畏虞也为n 。鲰以 离散小波变换的过程就是一个频域内二剖分的分解过程。随着分解级数 的增加，低频部分被剖分的越细，对应时域部分的信号则越来越粗。 逆变换的过程及恢复信号的过程，这也是通过滤波器组来实现的。 若要恢复信号厂= ) ：，可以由另外一组对偶滤波器只= 魄 = 和q = 鼠 三来实现。当然滤波前还要有一个二插值操作。如图2 2 所示。h 。和g ，称为合成滤波器。合成过程由最低的两个频段 q 日。7 厂，h 。“开始。他们经二插值后被合成滤波器作用得到 h ：= h i h j f 七g q 。h ：f 此过程一直迭代下去直到完全重建信号，= 五) ： ( 2 3 ) 图2 2 合成滤波器 为了满足理想重建条件即、厂= l 厂，分析滤波器与合成滤波器之间必须有 一种制约关系，这种制约关系不是唯一的，其中之一由下式给出 饵q = h 。q = 0 ( 2 4 ) h ；h ，= g 1 g 。= i 满足上式的h ，g 称为镜像滤波器组( q m f s ) 。整个分解和重建过程的计 算复杂度为o ( n ) 。 由于( 2 4 ) ，( 2 5 ) 给出的理想重建条件，每一次分解过程都是将一个矢 量空间分解为正交的两个子空间。设q 。表示初始的失量空间五“， q l o 和q 1 j 为由q 叫通过h 。和吒作用得到的两个正交子空间。 更 进一步的说，第j 级分解可以写成 q 加= q 川。+ q 川，l j 2 0 ，1 j ( 2 6 ) 很显然， q ，。的维数为2 ”7 ，”。= l o g n 。所以离散小波变换就是一种 将q 。空问表示为一组正交的空间的直和： 一2 l 铲川j 邶 i ，= j 空间的分解示意图如图2 3 图2 3 分解示意图 如果我们要得到小波基m ，q ，k i 0 ，1 ，o ， 2 、一 我们只 需令( 嘭剜“厂) ，= 谚，再由合成滤波器反变换得到吩 ，。这样， 我们可以将离散小波变换用一个矩阵表示 d = w 7 - ，、 其中口r “，为小波变换系数，w r ”为一个正交矩阵，其列向量为 小波基 ， 与标准的傅立叶变换相比，小波分析中的小波函数具有不唯一性， 即小波基具有不唯一性。因此在小波分析的工程应用中，一个十分重要 问题是最优小波基的选取问题，这是因为不同的小波基分析同一个问题 会产生不同的结果。目前主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与 理论结果的误差来判断小波基的好坏，并由此选定小波基。 小波基的特性由以下几个标准来衡量 月一l 1 消失矩： ，w 坩用) = o m _ o ，l m - 1 f o 小波基的消失矩越高，意味着该小波基能较好的压缩信号的平滑部 分。 2 正则性： i 川( 1 + 1 ) 一w 脚( i ) c 2 ” 其中c 为一常数而p 被称为小波的正则性度。p 越大则小波基越光 c ； q ，。、l o 弛 仍，。，。、；，、 。- c ： c ； ，、，、l 。h q 滑。 3 紧支性： w 肚，) = o 对于i 诺 2 7 ，27 f + ( 2 7 1 ) ( 上一1 ) ， l _ 2 m 4 对称性：它在图像处理中对于避免移相是非常重要的。 由于小波基的上述特性，小波基在通常情况下能较有效的表示大多数时 域与频域都具有局部特性的信号。 2 2 离散小波包变换 尽管小波变换已能较好的满足一般需要，但是对于高度非平稳，特 别是高频成分丰富的信号，小波变换显得不够有效。因为它在频域内只 是对低频的划分越来越细( 见图2 3 ) ，因而低频部分分辨率较高而高 频部分分辨率不够。为了解决这个问题，小波包变换“1 是在小波变换之 后发展起来的更一般的变换：它不仅对低频分解而且对小波变换中不分 解的高频部分也做进一步的二剖分。 第一级分解和小波变换一样产生日。厂和瓯厂，第二级分解产生 四个序列也月。，瓯h 。，h 。q 厂和瓯瓯，。如果我们将这个过程 重复j 次，我们最后得到j n 个小波包展开系数。这个迭代分解过程可 由图2 4 所示。空间被分解为一棵二又树结构的子空间直和形式。这 棵二又数的根节点即为q 叩。其它每一节点爿肚都被分解为两个正交子 空间q 2 。和q 川甜+ i 的直和 q ，= q ，+ 12 o q 川，2 + ( 2 9 ) 其中j = o ，1 ，jk = 0 ，2 一1 。显然，在图2 4 中我们关 于空间q 。的表示是冗余的。事实上很容易证明在这棵二叉数中一共有 2 2 “组可能的正交基”1 ，而小波基只是其中的一种! 比如我们还可以有 图2 5 和图2 6 的分解形式。不同的分解形式对应的基函数也不同。 每一个子空间q 雎由2 ”个基矢量 0 答。张成。参数k 和1 大致 描述了基矢量的频段信息和时域信息：u f 的对称中心点在时域位置 2 。，紧支集长度大致为2 ，并且震荡k 次。注意到对于j 2 0 ，w 0 即 为彤空间的e u c l i d e a n 基函数。借助一对镜像滤波器组( 婵f s ) 和小 波包分解算法，我们可以得到各种不同的表示彤空间的基函数。换句 话说，我们得到了一大组观察彤空间的不同的坐标系统。这样一个很 重要的问题便产生了：如何在这一大组坐标系统中根据问题的需要选出 最佳的一套坐标系? 这便是最佳基要解决的问题。 2 ，3 最佳基算法 最佳基算法由c o i f m a n 和w i c k e r h a u s e r 提出“1 。提出的目的是为 了信号压缩的需要。对于信号压缩，衡量变换的标准是看这种变换能否 有效的将信号的能量集中在尽可能少的几个系数上。这样我们需要一种 数学化的标准来衡量这种有效性，通常这种准则被称为“信息代价函 数”。信息代价函数的选择可以有很多形式，犬都是为了描述能量的集 中程度。其中常用的一种，也是文献“中采用的信息论中的香农熵准则， 对于序列，= 五 ：定义： h ( ，) = 一只l 0 9 2 b ( 2 1o ) f 其中n = 1 2 州卅2 由信息论的知识知道( 厂) o ，等号在( p 产1 ，其 它项为零) 时成立，即当p 。越小则熵越小，这意味着系数中零点的个数 越多熵越小。反之系数分布最均匀的熵最大。所以式( 2 1 0 ) 准确地刻 画了序；t ! ，= 五j ：的能量集中程度。 在定义了合适的准则之后，c o i f m a n 和w i c k e r h a u s e r 在他们那篇 著名的文章“1 中给出了用于信号压缩的最佳基选择算法。首先信号被一 对镜像滤波器组按图2 4 分解为一棵完整的二又数，然后按( 2 1 0 ) 式 计算树的每一个节点上的小波包系数的熵值，最后由一种被称为“划分 0 与竞争”( d i v i d e a n d c o n q u er ) 的寻优算法在这棵树中搜索出一组最 佳的压缩信号的基函数。下面我们来具体介绍该算法。 令b 肚表示张成子空间q m 的基函数，写成矩阵形式为 口，k2 ( w ，女，。，”，”w ，、 尹u ) 7 又令4 ，。为给定候选基函数b 肚后待选的用于压缩信号，= ：的 最佳基。c 为某种信息代价函数( 如香衣熵准则) 则我们有如下最佳 基算法： 算法2 1 最佳基算法 1 选择镜像滤波器组( q m f s ) ，最大的分解级数j 以及代价函数c 。 2 将信号，= 疋托：按图2 4 所示的小波包分解展开，得到一棵完整 的二叉树。树的每一个节点表示小波包系数矢量 日肚力。 3 令4 ，2 马 ，k 2 0 ，2 7 1 4 对于j = 卜1 0 ，k = o ，2 一1 按下式决定彳“ fb 卅如果c ( 曰肿厂) c ( 彳川m 厂u 4 扎2 + i ，) 彳似= l 爿川m 厂。爿川2 + i 厂士n 果c ( 4 扎2 厂u 爿川2 + i ，) c ( b 肚厂) 为了加快上述算法，通常要求代价函数c 是可加的。 定义2 1 设( 1 ( ) 为月”叶月的一映射，称c ( ) 是可加的，如果c ( o ) = o 并且c ( ， ：) = c ( ，) 如果c 满足可加性条件，那么在算法2 1 的第四步中我们有 c ( 爿川m 厂u 爿川! + l ，) = c ( 4 川m 厂) + c ( 爿川m + l 厂) 从而大大简化了计算。 对于具有可加性的信息代价函数c 和算法2 1 ，我们有如下命题 【命题2 1 】算法2 1 在c 为可加性时得到的爿。是关于c 最小的。 该命题的证明参见文献“1 。 算法2 1 是一个效率很高的搜索算法。关键的一步在第四步和代 价函数的可加性。在第四步中每次比较只在相邻的两级进行，这样搜索 的复杂度仅跟二叉树的节点树成正比。而代价函数的可加性又使优化问 题转化为一个动态规划问题，从而大大简化了计算量。打一个形象的比 喻，算法2 1 是将图2 4 的一棵完整的二又树“剪”成图2 5 ，图2 6 或另外任意一种形状。剪出的这一组基函数在代价函数c 意义下最佳地 表征信号。 至此我们已简要介绍了离散小渡变换和离散小渡包变换，小波包变 换作为小波变换的推广有效地克服了高频内部分分辨率不足的缺点。而 在此基础上发展起来的最佳基算法为我们提供了一个统一的自适应信 号处理的框架。即先由小波包分解得到一大类冗余的正交基，然后根据 问题需要通过定义某种信息代价函数从这一大组正交基中选出一纽最 佳基来展开信号进行处理，问题的需要主要集中在信号的压缩上。一个 信号的傅立叶变换其实就是该信号在一组正交的正弦函数( s i n x ) 和 余弦函数( c o s m x ) 上的投影，而一个信号的小波变换是它在一组小波 函数簇上的投影。选用恰当的小波函数簇，可以很好地分析信号的特征， 相反，若小波函数簇选取不正确，对信号进行小波变换之后，信号在小 波函数簇上的投影系数很可能淹没信号的特征。一组小波函数簇可以有 一个小波基函数通过适当的尺度变换和迭代运算来产生，一般我们称这 个小波基函数为小波函数。小波函数的构造以及选用是小波理论研究的 一个热点”1 。小波变换实现信号压缩的基本目标是使的信号在时间一频 率域的分解系数所占的存储空间尽可能小，同时还要保证压缩后的分解 系数能精确的反映信号所携带的信息。然而，在通常意义下的小波函数 族是冗余的，即其中任一函数位于所有其它函数的闭合映射包络中”1 ， 因信号压缩的本质是去除冗余，因此我们希望选用的小波函数族中的函 数是线性独立的，于是我们选用具有正交和双正交特性的小波进行了研 究。正交小波基和双正交小波基的选择问题也是我们要考虑的，我们知 道，正交小波除h a rr 小波外都不具有对称 生，那么对其小波系数的修 改就可能导致信号频谱产生偏移而改变信号的一些固有性质，而双正交 小波都可以构造成为对称的，具有线性相位的滤波器，这样把原信号变 换到小波域以后，任何对系数的处理都只改变信号的幅值，而不会改变 信号的频率分布。关于正交小波基和双正交小波基在信号压缩中的优点 和不足我们可总结如下：正交小波基的各组分之间是相互正交的，所以 小波分解系数也是独立的，最大限度地去掉了冗余信息。但一般不具有 2 n oo q 1 o 图2 4 分解示意图 q 3 _ 3 q 32 c 裟似蕊蝴 一一一一 鲫 蛳 咖 咖 厂l，1il rlil，lfl 胁 仍 厂il。、lil 蛳 厂，lj、ll c 雌 图2 6 分解示意图 q c q g rllli，l ) 2 ， o 呸 乌 呸 嗡 rll 1 f s r j o 1 ( 4 1 ) h 。、 j c w ：尘羔l ( 4 2 ) n m 。七n 。、m l 。 蹋是恢复数据；，是原始数据；m 憎忻是原始数据的长度；i v 。为 保留小波系数个数，。，。是为保存保留小波系数位置信息而所需的浮 点数个数。 恢复根均方差r m s d 和压缩比c r 都与阈值t h r 有关。具体地说，对 于一给定的变换和一给定的谱图信号来说，阁值取得越大，舍弃的小波 系数就越多，压缩比就越大，引起的误差也越大。数学表达式为： r m s d = f q h r 、 c 冠= g ( ，h r ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 函数f ，g 均为递增函数。阈值的选取，通常要兼顾舍弃的小波系数个数 和由此导致的误差这两个方面的问题。最好的阈值，仅仅在给定误差准 受的前提下得到。从这个意叉上来说，“最好”的小波变换函数，就是 在满足一定的误差的前提下，能使小波系数为零的数目为最大，这样就 使得重要小波系数的数目最少，能量最为集中。注意：小波函数和所压 缩信号的种类决定函数f ，g 的形式，不同的小波函数，不同的压缩信号， 者f 会使函数f ，g 不同。因此，能对不同的小波函数条不同的压缩信号做 出完善的评价就只能是：或固定压缩比，考察恢复根均方差与小波函数 的阶数的关系，或固定恢复根均方差，考察压缩比与小波函数的阶数的 关系。 一般的小波压缩的算法是控制不同的阈值，来满足实际应用中恢复 根均方差和压缩比的要末。由于对不同的谱图，不同小波函数，即使是 在同一阀值下，得到的恢复根均方差和压缩比均不相同，这样得到的结 果不便进行压缩性能的比较，而且在谱图库的压缩中，不同谱图得到的 恢复根均方差不同，不便于误差的估计。我们提出了控制恢复根均方差 而得到其压缩比的算法，可以较好的解决这两个问题。这样我们可以只 考察压缩比对小波函数阶数的变化，就可以正确地反映压缩性能。具体 方法如下： 1 、对谱图数据进行小波包变换得到小波变换系数一。 2 、对小波变换系数叱耐取绝对值，进行从大到小的排，l j ，得到一 新的序列z 。 3 、根据预先控制的根均方差r m s d p r e 的大小，选取新的序列以。啦 中前m 个序数，得到另一序列畋。 4 、让阈值t h r 等于第m 个序数的值，求得这时对应的恢复根均方 差；再让t h r 等于第m 一1 个序数的值，求对应的恢复根均方差；一直下 去，直到所求的根均方差与预控制的根均方差r m s d p r e 相差最小为止。 取这时的序数值作为最终的阈值t h r ，相应的根均方差就是实际的恢复 根均方差。 3 1 3 实验及结论 我们用控制根均方差的方法，用b i o r 4 4 小波函数对高效液相色谱 谱图库 共12 0 个谱图 进行小波压缩，预控的根均方差为0 0 0 9 ，实 际根均方差的平均值也为o 0 0 9 ，相对标准差仅仅为8 左右。可见，除 极个别谱图外，根均方差被很好地控制在0 0 0 8 8 一一o 0 0 9 2 之间( 见图 3 2 ) 。因此恢复根均方差的控制精度基本可以满足误差估计的需要。 91 e 0 3 9 0 e 0 3 8 9 e 0 3 8 6 e 一0 3 一 一 l 2 l 4 l 6 18 l1 0 1 图编号 图3 2小波变换谱图的恢复根均方差 小波理论用于色谱数据的压缩是其在分析化学中的一个重要应用。 许多作者已在这方面作了研究，取得了较大的成功，小波变换能对色谱 图实现很高的压缩比。但是对色谱自身特性如取样步长和复杂程度等对 压缩比所产生的影响也要考虑。由采样定理可知：为了在采样后真实地 保留原始模拟信号的信息，采样频率必须至少为信号的最高频率分量的 2 倍。色谱谱图是以数据点的形式存贮的，也涉及到一个采样的问题。 若采样的频率高，即采样的步长小，得到的色谱图的点数就多，相应的 谱图峰分辨力就高，但不可超过仪器的谱图峰最大分辨力，这是因为谱 图峰最大分辨力是由仪器本身的性能所决定的。如果我们要求的谱图分 辨力不高，可以通过增大采样步长的方法来减少谱图的点数( 从这个意 义上说，这也是一种压缩的方法) 。另一方面，减小采样步长可提高谱 图的分辨力，但也成比例的增加了谱图点数，同时也增加了图谱的冗余 度，这就为提高压缩比提供了可能。也就是说同一物质的谱图，高分辨 率的谱图的冗余度大，可以获得较大的压缩比的情况下，我们应尽可能 地用较大的步长，以减少谱图的数据长度，但是对色谱图库进行压缩必 3 3 加 加 距 孤 9 9 3 3 加 加 跳 他 8 8 须是一种全局最优我们只做一般考虑。 谱图本身的复杂程度，也决定着谱图舍的信息量( 信源熵) 的多少， 对于一个非常复杂的谱图，信息量( 信源熵) 大，冗余度小，可压缩程度 就小。简单的谱图，信息量( 信源熵) 小，冗余度犬，可压缩妁可能大。 从数学中的函数逼近论的观点来看，压缩的本质是用尽可能少的基函数 的加权求和项来最大限度地逼近原信号。如果基函数与原信号越相似， 则能用越少的求和项来逼近原信号。在同样的恢复均方差下，压缩比就 越高，压缩性能就越好。可见，对不同的信号，同一小波函数所表现出 的压缩性能应是不一样的。复杂的谱图用复杂的小波函数，简单的谱图 用简单的小波函数，小波函数的复杂程度是由其阶数决定的。阶数高， 振荡性增加，图像变复杂；阶数低，振荡j 生减少，图像变简单，所以必 须对不同类型的信号来考察。由一种谱图得出的最优的小波函数，只是 对这个谱图压缩是最优的，是一种局部最优，而对色谱图库进行压缩必 须是一种全局最优。在综合考虑以上因素的前提下，我们所做的研究是 在考虑全局最优的前提下进行。 为正确评价压缩性能，通过高效液相色谱谱图库中1 2 0 张谱图的考 察，把整介谱图库分为五类”“：我们用( a ) 代表简单的图谱；( b ) 代表常 规图；( c ) 代表指纹区异常复杂的图谱；( d ) 代表含有截断峰的图谱 由 于信号超量程所致 ；( e ) 代表异常复杂图谱。分别选取一个最具代表意 义的色谱谱图。五个谱图的具体参数如下：取样点数为3 0 7 2 点。横坐 标为保留时问，纵坐标为电压。利用预控根均方差算法，用不同的小波 函数对其进行压缩，预控的根均方差为0 0 0 9 ，得到压缩比见表3 1 。 表3 1 不同的小波函数液相色谱谱图的压缩比结果 3 2 色谱小波包压缩中最佳小波函数选取的研究 3 2 1 引言 近年来，小波变换技术被越来越多地应用于化学谱图数据的压缩 中。它不像傅立叶变换，函数基只能为三角函数，而是具有众多的不同 的小波函数系可以选择，而且在同一小波函数系中还有不同阶数的小波 函数。这一方面提高了方法可解决不同问题的能力，另一方面使得对于 不同性质的谱图数据，最优压缩性能的小波函数的选取成为一个必须考 虑的问题。对压缩而言，应选择正交基，如：d a u b o c h i e s 小波函数系、 c o i f l e ts 小波函数系、s y m l e ts 小波函数系和双正交的小波函数系等。 虽然有文献讨论了最优压缩性能的小波函数，但大多仅仅是对 d a u b e c h i e s 小波函数系。双正交小波函数系，也仅仅用于紫外可见光 谱的压缩“。有文献”“对小波函数用于红外谱图压缩作了比较，但所选 的小波函数仅仅限于d a u b e c h i es 小波函数系和正交三次b 一样条小波 函数。文献1 应用了被称为s t u r m l i o u v i l e 小波，避免了小波重建的 边界效应，但丈中也仅仅与d a u b e c h i e s 小波函数系进行比较。其它的 具有正交特性的小波函数系如：c o i f i e ts 小波函数系、s y m l e ts 小波函 数系均未考虑。与其它化学谱图数据，如紫外可见光谱数据相比，色谱 谱图显得更为复杂特别是指纹区部分，这使得色谱图更不易压缩。而 目前已知的化合物已有上千万种，而且还在不断地合成或发现新的有机 物和无机物，标准谱图库也统越来越大。因此，在体证谱图的主要特征 基本不变的前提下。如何对谱图进行有效地压缩，较大地减少数据量， 对谱图的存储、检索及处理都是一项有意义的工作。其中对色谱数据压 缩具有最优性能的小波函数的选取则是至关重要的一环。 3 2 2 理论与方法 从数学中的函数逼近论的观点来看，压缩的本质是用尽可能少的小 波基函数的加权求和项来最大限度地逼近原信号。如果基函数与原信号 越相似，则能用越少的求和项来逼近原信号，在同样的恢复均方差下， 压缩比就越高，压缩性能就越好。可见，小波函数的选取对压缩是很重 要的。小波变换不像傅立叶变换，函数基只能为三角函数，而是具有众 多的不同的小波基函数。小波函数可以分为天然小波( 即有具体函数表 达式的小波) 如：m o r l e t 、无限正则小波如：m e y e r ；正交紧支小波如： d a u b e c h i e s 小波函数系s y m l e ts 小波函数系，c o i f l e ts 小波函数系： 双正交小渡如：样条小波。但是只有具有正交特性的基函数才可能获得 最大压缩比“”，所以用于压缩的小波函数必须具有正交的特- 生。而 d a u b e c h i e s 小波函数系、s y m l e t s 小波函数系、c o i f l e t s 小波函数系 和双正交小波函数系均具有正交特性，因此本文考察了这四类小波函 数。 得到小波基函数权值的过程即被称为小波变换，对于二进制小波， 实现小波变换的算法基本是采用m a l l a t l ”“发明的m a l l a t 塔式分解与 重构算法，其基本思想是：若令分解信号f 矿代表分辨率为2 。的函 数，上2 ( r ) 的逼近( 即函数的低频部分或“粗糙像”) ，而d ，代 表逼近的误差( 即诗数i 厂的高频部分或“细节”部分) ，则意味着 厂= z + d ，t l ( 4 5 ) 这表明，任何函数厂r 即) 都可以根据分辨率2 “的，低频部分( “粗 糙像”) 和分辨率2 ( 1 ，胛) 下，的高频部分( “细节”部分) 完全重 构。在完成对原始信号的分解后，虽然分解系数的个数还是等于或略大 于原信号长度，但这些系数的能量会很集中，可以设定一阈值，去掉大 量绝砖值小的系数，只保留少数绝对值大的系数，这样仍然可以在误差 范围内重构出原始信号，从而达到压缩数据的目的。 3 2 3 实验及结果 实验中选取的小波函数类型如表3 2 所示。 由于色谱本身的复杂程度及特胜等对压缩比有影响，所以用来研究 的谱图必须有代表性，这样找到的最优压缩性能的小波才能适用于整个 谱图库的压缩。通过高效液相色谱谱图库中1 2 0 张谱图的考察，仍然选 取3 1 节中的五种典型的谱图，根据笔者的前期工作，采用预控根均方 差算法进行的实验。根均方差预控为0 0 0 9 。 表3 2 四种不同类型的小波函数系 小波 函数小波函 数阶系数 类型 d bh a r rd b 2 d b 6d b l 0d b l 4d b l 6d b 20 s y ms y m 2 s y m 3s y m 4s y m 5 s y m 6s y m 7s y m 8 双正b i o rb i o rb i o rb i o r b i o rb i o rb i o r 交小 1 _ 11 5 2 83 33 74 46 8 波 c o i f c o i f lc o i f 2c o i f 3c o i f 4 c o i f 5 试验结果见图3 3 3 7 图3 3 3 7 小波变换对不同谱图在不同小波函数系下得到的压缩比 随小波函数阶数变化图 1 2 1 0 8 丑 好6 幽 4 2 o 1 1 l 1 _ _ l 一 1 234567 小波函数阶数 图3 3 简单谱图压缩比 d a u b e c h i e s 小波函数系( 系列1 ) s y m l e ts 小波函数系( 系列2 ) c o i f l e ts 小波函数系( 系列3 ) 双正交小波函数系( 系列4 ) 5 5 5 45 4 35 3 2 5 2 小波函数阶数 图3 4 常规谱图压缩比 d a u b e c h i e s 小波函数系( 系列1 ) s y m l e ts 小波函数系( 系列2 ) c o i 九e t s 小波函数系( 系列3 ) 双正交小波函数系( 系列4 ) 虻星i ；趟 丑 好 幽 4 5 3 2 4 3 2o 一_ l 。l i l l j 12 345 67 小波函数阶数 图3 5 指纹区异常复杂的图谱压缩比 d a u b e c h i e s 小波函数系( 系列1 ) s y m l e ts 小波函数系( 系列2 ) c o i 九e t s 小波函数系( 系列3 ) 双正交小波函数系( 系列4 ) 3 6 3 4 3 2 3 丑 姆2 8 幽 2 6 2 4 2 2 21 。一1 。l l j l2 3 4 567 小波函数阶数 图3 6 舍有截断峰的图谱压缩比 d a u b e c h i e s 小波函数系( 系列1 ) s y m l e ts 小波函数系( 系列2 ) c o i 九e t s 小波函数系( 系列3 ) 双正交小波函数系( 系列4 ) 4 3 8 3 6 3 4 _ 3 2 蒜3 幽2 ，8 2 6 2 4 2 2r 2o 一一 1234567 小波函数阶数 图3 7 异常复杂图谱压缩比 d a u b e c h i es 小波函数系( 系列1 ) s y m l e ts 小渡函数系( 系列2 ) c o i f l e ts 小波函数系( 系列3 ) 双正交小波函数系( 系列4 )