（流体力学专业论文）二维逾渗多孔介质中渗流统计特性的研究.pdf

摘蔓 摘要 自1 9 5 7 年b r o a d b e n t 和h a m m e r s l e y 提出逾渗模型以来，逾渗理论及其模型 被广泛地应用到多孔介质研究中。逾渗理论在渗流研究领域中的早期应用是和网 络模型紧密结合在一起的，相关内容主要包括预测相对渗透率、模拟趋替过程、 研究孔尺度上的物理化学过程、重建多孔介质结构以及考察相应模型中的随机行 走和扩散等。 九十年代以来，美国的a n d r a d e ，s t a n l e y 以及以色列的h a v l i n 等人从统 计物理学的角度出发，利用逾渗模型研究多孔介质中的渗流问题，取得了新的进 展。他们采用少数几个不同随机构型，对格子逾渗结构多孔介质中的渗流直接求 解n a v i e r s t o k e s 方程，发现流体的动能呈幂函数分布，并初步研究了逾渗多孔 介质表观渗透率的临界性质。此外他们还研究了流体质点在逾渗多孔介质两点间 运动时间和运动路径的相关统计性质。然而逾渗构型在有限尺度下的随机性会导 致一定的统计涨落，仅采用少数几个随机构型不可避免地会带来相应的统计误 差，从而使得相关问题尚缺乏明确结论。为此，在a n d r a d e 等的工作基础上，我 们利用二维格子逾渗模型，通过求解大量随机构型中的s t o k e s 方程或 n a v i e r s t o k e s 方程，研究了二维逾渗多孔介质中的渗流问题。采用大量随机构 型取系综平均值，是克服逾渗随机构型统计涨落的有效方法。 a n d r a d e 等在1 9 9 5 年计算了逾渗多孔介质表观渗透率的i 临界指数，认为在 “粗糙”的计算网格下，渗透率的i 临界指数趋近于电导的临界指数，而在精细的 计算网格条件下，该临界指数会增大，似乎接近于连续逾渗模型中的电导临界指 数；同时他们还指出，表观渗透率的临界指数是雷诺数的函数，且随着雷诺数的 增大而增大。我们利用同样的逾渗模型，通过求解大量随机构型中的s t o k e s 方 程，确立了达西渗透率的临界指数和相应标度律性质。我们计算得到，二维逾渗 多孔介质渗透率的临界标度指数约为1 0 ，这和相应电导率的临界标度指数 o 9 7 4 5 一致，并且该标度指数并不依赖于计算网格密度。这一结论指出了 a n d r a d e 关于此问题的观点并_ ；，| i 正确，同时还可以用来初步解释纸张吸水的部分 实验结果，也表明了一般形式的达西定律不能直接应用于分形多孔介质。 通过进一步求解n a v i e rs t o k e s 方程，我们研究了f o r c h h e i m e r 方程中非达 西因子的临乔标度指数和相应标度律性质，得到非达西因子的临界标度指数约为 2o ，其值远大于相应渗透率的临界标度指数值，从而解释了表观渗透率的临界 指数随雷诺数增大而增大的原因，并给l 叶i 了相应的定量关系。 我们还研究了逾渗多孔介质流场中横l u 速度、纵向速度以及压力的统计分布 规律；并初步研究了不同雷诺数条件对相关统计分布规律的影响。在分形逾渗多 摘要 孔介质中，相关统计分布都和系统尺度有关，这表明了对分形逾渗多孔介质而言， 不同随机构型的宏观性质是有明显差异的；而对均匀逾渗多孔介质而言，不同随 机构型的宏观性质并没有差异。 此外，我们还通过给出流体质点和固体颗粒运动方程在单元网格内的解析 解，初步研究了它们在逾渗多孔介质两线之间的轨迹特性。这一做法有效地解决 了渗流流场中由于速度大小的幂律分布而造成没有特征时间和特征速度，从而导 致数值解发散的困难。我们得到了流体质点轨迹在逾渗临界点附近的标度律性 质，并在此基础上考察了k o z e n y 方程在二维逾渗多孔介质临界点附近的适用性。 对固体颗粒在逾渗多孔介质两线之间轨迹的初步研究表明了，广泛应用于深床吸 附研究中的颗粒流出效率与纵向宏观尺度之间的指数关系仅对均匀多孔介质成 立。 最后，我们计算了一类键渗透率值满足均匀分布的随机多孔介质逾渗模型在 临界点处的标度指数。该标度指数并不能看作是普适常数，而和均匀分布的参数 有关。这意昧着，即使局部渗透率所满足的分布函数具有“良好性质”，其系统 在临界点处的标度指数仍然依赖于分布函数的具体形式。 关键词：逾渗：分形：多孔介质：渗透率：杯度律 ，l a b s t m c t a b s t r a c t a 脑b e i n gp r o p o s e db yb r o a d b e n ta n dh a m m e r s l e y 协1 9 5 7 ，p e r c o l a t i o n 也e o r y h a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt ot l l es t u d yf o rf l u i dn o w si np o m u sm e d i a ，c o m b i n e d 、i m 1 1 en e t w o r km o d e l ，t h ep e o l a 酊o nt h e o r yh a sav 捌e t yo fa p p l i c a 石o n s ，f o rj n s t a n c e t h ee s t i l n a t i o no fr e l a t i v ep e 册e a b i l i t y ，s i m u i a t i o no ft 1 1 et w o p h a s ef l o wd i s p l a c e m e m ， s t u d y i n gp h y s i c a la i l dc h e m i c a lp m c e s sa tp o r es c a l e ，r e c o n s t m c t i o nm es t r u c t u r eo f p o r o u sm e d i aa n df i n d i n gt h es t a t i s 缸cc h a r a c t e r so fr a n d o mw a j ki nt h ed i s o r d e r e d s y s t e m s s i n c e19 9 0 s ，a n d r a d e ，s t a i l l e ya n dh a v l i n ，e ta 1 h a v es t u d i e dn u i dn o w s 血r o u 窖h 廿】ep e r c o 】a t i o np o r o u sm e ：d i a t h e ys o j v e dt h e v i e r - s t o k e se q u a 亡j o n sn u m 嘶c a 儿y f 撕s “e r a ld i f 王b r e mc o n 6 9 u r a t i o n so ft w o i d i m e n s i o n a l 啪d o mp o r en e t w o r k s s u b j e c t e dt o s i t ep e r c o l a t i o nd i s o r d e ot h c ys t u d i c d 协es c a l i n gb e h a v i o r so ft 1 1 e a p p a r e n tp e 1 1 e a b i 】i t y ，k i n e t i ce n e 喀y 姐v e l i n gl e n g ma i l dt r a v e h n gt i m ef o rn u i d t r a c e rb e t w e e nt w os i t e si np e r c o l a t i o np o r o u sm e d i a ，e t c 。t h e i rw o r kh a sb e e n r e c e i v e dm u c ha t t e n t i o n h o w e v e r t l l ef a n d o m 蛐 _ u c t u 陀so fp e r c o l a t i o nm o d e lm a v 】e a ds o m es t a t j s t j ce f r o r sw l i l et h es y s t e ms j z ej sn o te n o u 曲l 越g e a sar e s u j t i tm a y c a u s es o m er e s u l t su 1 1 c i e a l i no r d e rt od e a lw i t ht l l i sp r o b l e m ，i nt 王l i st l l e s i s ，w e c a l c u l a t et l l ef l u i dn o w sf b rm a n yd i 伍叮e n tc o n 矗g 啪t i o n sm t l l e rt t l a ns e v e r a l c o n f i g l l r a t i o n s w eb e l i e v et l l a tt h i si d e ai sh e l p 缸i t ou i l d e r s t a l l dt 1 1 ep h y s i c sf o rn t l i d n o w si np o f o u sm e d i aw h i k 也es y s t e ms i z ei sl i m i t e d i nl9 9 5 ， a n d f a d e ， e t a 1 c a k u l a i c dt l l es c a l i n ge x p o n e n to ft h ea p p a 咒n t p e 珊e a b i m yt h e yp m p o s e dt h a tt h es c a l i i 培e x p o n e n t 印p e a r st ob et h ec l o s e to n et o m ev a l u ef o rt h ee l e c 研c a lc o n d u c t i v i 可f o rt l l ei e s sr e f i n e dn 啪e r i c a l 鲥da n di t w o i l l di n c r e a s ew h e np e r f b n n i n gt h er e f i n e m e n tf o r 血en u m e r i c a 上铲i d s n 也e l i m i t a t i o nf o rt h eg r i ds i z et e n d 曲gt oz e r o ，t h es c a l i n ge x p o n e n t sw o u l dt e n dt ot h e v a l u eo f c o n t i n u u mp e r c o l a t i o ns y s t e m s w i t ht h ec a r e f u ls c 址i n ga n a l y s i s ，w ef i n do u t t h a tt h ea b o v ev i e w p o i n ti sn o tc o r r e c t w es h o wt h a tt h ev a l u eo ft h es c a l i n g e x p o n e n to fp e 彻e a b i m yj n t 、o d i m e n s i o n a fs i t e - p e r c o i a t i o np o r o u sm e d i ai sa b o u l 1 o ，w h i c hi sj u s tt h ev a l u eo ft l ee j e c t r i c a 】c o n d u c t ：i v i ty a n di si n d e p e n d e n tu p o nt h e r e 6 n e m e n to fn u m e “c a lg d s t h es c a l i n gb e h a v i o r so ft h ep e h n e a b i l i t ym i g h tb e u s e f u 】t ou n d e r s t a n ds o m ep h e n o m e n ai nt 1 1 ef a m o u sp a p e ri m b i b i t i o n se x p e r i m e n tb y h o r v a t h e ta ll n1 9 9 5 f u n h e r m o r e ，b a s e du p o ns o l v i n gt h en a v l e 卜s t o k e se q u a t i o n sf _ o tm a n yd 滞瞻r e n t c o n f i g u r a t i o n s ，t h es c a l i n gb e h a “o r so ft h ei n e r t i a lp a r a m e t e ri nt h ef o r c h h e i m e r e q u a t i o ni sa l s os t u d i e dt h es c a “n ge x p o n e n tf o rt h ci n e r 毫i a lp a r a m e t e ri sa b o u t2 o ， w h i c hi sm u c h1 a g e rt h a nt h ev a l u ef o rt h ep e n n e a b i j l t y a c c o r d j n gt ot h i sr e s u l t ，t h e r e s i s t a n c et of 】o ww i l jh a v eai a r g e rc “t i c a je x p o n e n tf o rt h cf i n i t er e y n o l d sn u m b e r f l o w s ，c o m p a r e dt ot h ev i s c o u sf l o w t h i sr e s u he x p l a i n e dt h e 士n d i n g so fa n d r a d e ，e t a b q r a c c a 1 i n19 9 5 1 1 1 e ys h o w e dt h a ts c a l 啦唧o n e n to ft h ea p p a r e mp e 册e a b i l i t yi sa f i u n c t i o no f r e v o l d sn u n l b e ra n di n c r e a s e sa st 董1 er e v n o l d sn 砌b e ri n c r e a s e s t h es t a t i s t i c a ld i s 仃i b u t i o n so fm eh o r i z o n t a lv e l o c i t v t h ev e r t i c a lv e l o c i t va i l dn l e p r e s s 切r ei nt h ef l o w 五e i du n d e rd i 丘色r e n tr e y n o l d sn 1 珊b e r sa r ei n v e s t i g a t e di nt h j s 廿l e s i s t i l e i rs t a t i s t i c a id i s 砸b 毗i o n sa r ed 印e n d e n tu p o nt h es y s t e ms i 乃ef o rf t 烈枷 p e r c o l a t i o np o m u sm e d i a ，b u ti n d 印e n d e n tu p o nt l l es y s t e m z ef o rm a c r o s c o p i c a i l y h o m o g e n e o u sp o m u sm e d i a ，t h i si n d i c a t e st h a tt h ep 呻p e n yo ft l l e 矗a c t a lm e d i a d 印e n d so n 也ed c t a i l e dc o n f i g u r a t i o n w h i l et 1 1 em a c m s c o p i c a l l yh o m o g e o u s p o r o u sm e d i ad o e sn o t t h en u i dp a r t i c l et r a i e c t o r i e sb e t w e e nt w ol i n e si nt w o d i m e n s i o n a l 口e r c o i a t i o n p o r o u sm e d i aa r es t u d i e d w eu s e t h ei d e ab a s e du p o ns o l v i n gt b em o v e m e n t e q u a t i o n so ft 1 1 e f l u i dp a n i c l e si nas i l l g l pn 眦e r i c a lg r i da i l a i 州c a l l yw 怂t i l e b o u n d a r vc o n d m o n so b t a i n e df j o mt h es o l u t i o n so ft h ef i n i t e 凼缸b r e n c ee q u a i i o n s t h i sm e t l l o di ss h o 啪t ob ee 虢c t i v ew h e nd e a l 抽g 晰t l lt h ea o w 矗e l di np o r o u s m e d i a 谢也o u tc h a r a c t e i _ i s t i ct i m eo rv e l o c i t y ，w h i c hm a yl e a dt h ed i v e r g e n c ef o rt l l e c a l c u l a t i o n so ff i u i dp a r t j c l et r a j e c t o r i e s ，t h es c a l i n gp r 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册d j s 砸b u t i o n ，a r ec a j c u 】a t e d u n e x p e c t e d l ) j ，m e v 出u eo f 也ec r i t i c a le x p o n e n ti sn o tu n i v e r s a l ，a n dd e p e n d so nm ep a l _ a 】删e ro ft 1 1 e u n i f o 加d i s t r i b u t i o n t h i sj n d i c a t e st h a te v e ni ft h e 幽s t r i b u t i o nn m c t i o nh a sm e g o o d ”p r o p e r t y 血ec o r r e s p o n d i n gc r i t i c a le x p o n e n ts e e m sn o t t ob eu n i v e r s a l k e yw o r d s ：p e r c o i a t i o n ；f r a c t a l ：p o r o u sm e d i a ：p e r m e a b i l i t y ；s c a l i n gl a w 感谢 国家自然科学基金( n o 1 0 0 0 2 0 1 9 ) 资助 第一章绪论 第一章绪论 1 1 逾渗理论的相关数理背景 对逾渗过程的数学描述可以追溯到f 1 0 r y ( 1 9 4 1 ) 和s t o c k m a y e r ( 1 9 4 3 ) 2 】 的工作。他们试图解释凝胶过程中，一些小分子通过化学作用不断地聚合联结到 一起，从而形成越来越大的分子，最终形成一个大的凝胶分子。出于这些分子在 聚合联结过程中自身不会形成回路，而是形成分叉，因而f l o r v 和s t o c k m a v e r 发展丁一类无回路( 1 0 0 p l e s s ) 网格，就是现今仍广为应用的b e t h e 网格，也叫 c a y l e y 树。由于b e t h e 网格相对简单，网格上点到点之间具有良好的单连通性 质，因而对b e t h e 网格的几何特性以及其中传导输运特性的研究长期以来一直受 到广泛地重视，很多关于逾渗理论的数学结论( 如相关分形维数、标度指数以及 扩散系数等) 都是在b e t h e 网格上推导得出的。 我们所感兴趣的逾渗理论是由b r o a d b e n t 和h a f l l n e r s l e y 在1 9 5 7 年共同发展 起来的 ”。当时，b r o a d b e n t 正参与设计煤井作业时必须使用的防护面具。这些 防护面具是利用多孔碳颗粒制成的，可以渗过空气，并利用多孔碳的吸附作用除 去空气中悬浮的颗粒、粉尘等杂质，从而起到防护的作用。如果防护面具中的微 孔与微孔间是充分连通的，空气就能通过对流、扩散作用深入多孔碳内部，与碳 颗粒表面充分接触，从而可以有效地去除杂质；反之，如果微孔与微孔间连通不 充分，空气就不能深入多孔碳内部与碳颗粒表面充分接触，也就不能有效地去除 杂质，防护面具就会失效。 h a m m e r s l e y 后来也对这种“流体”在“随机介质”中的传播问题很感兴趣， 于是他和b r o a d b e n t 合作，发展了他们关于“逾渗”的理论。这里，“流体”和 “随机介质”都可以看作是广义的( 这也是逾渗理论得以广泛应用的原因之一) 。 “流体”可以指液体、蒸汽、热流、电流、甚至是传染病病毒等等；“随机介质” 可以是多孔岩石、复合导电导热材料、化学催化剂、人群乃至社会等复杂无序系 统。这类问题后来被人们称为“逾渗”( p e r c o l a t i o n ) ，因为“流体”流过“随 机介质”的情形非常类似于咖啡流过过滤器( p e r c o l a t o r ) 。 这里涉及到的个重要概念是随机介质的“连通性”，即在什么条件下，随 机介质是“充分连通”的。逾渗理论利用简单的数学描述，通过考察空间微元的 随机变化对系统宏观连通眭质的影响，清晰直观地回答了这一问题，并成功地刻 厕出随机介质由“不连通”到“连通”的相变过程。可以说，逾渗理论建立了介 质的微观( 细观) 随机性和宏观性质之问的联系，为我们从微观( 细观) 角度研究随 机介质的宏观性质提供了有力工具。 现实生活中常见的多孔介质可以看作是种无序介质，具体是指由固体骨架 第一章绪论 和相互连通的孔隙、裂缝或各种类型毛细管所组成的材料，如土壤、岩石、填充 床、生物脏器以及各种堆积物等等。流体在多孔介质中的传播具有一定的随机性， 导致这种随机性的原因大致可以分为两类：一类归因于流体本身，这就是为人们 所熟知由分子热运动而导致的“扩散”：另一类归因于多孔介质本身的随机结构。 逾渗理论所关注的正是无序介质本身结构上的随机性。正如逾渗理论的创始人所 解释的那样，“逾渗和扩散，都可以看作处理流体在无序介质中运动的方法，但 二者各有侧重。在扩散中，随机性是由流体导致的；而在逾渗中，重点是无序介 质本身的随机性。” 逾渗理论作为统计物理的一个分支，在数学上表述很简单但内涵和性质却非 常丰富，他可以成功地用来描述很多临界相变现象。逾渗理论及其模型在被提出 来以后，得到了很大地发展和广泛地应用。这之中包括解释铁磁相变等l i 每界现象、 设计新型复合导电导热材料、分析重建多孔介质结构、模拟多孔介质中的两相多 相驱替过程以及研究化学催化反应以及火灾的传播、着火、熄火等等：比较新的 应用还包括建立城市生长模型、分析互联网结构的可靠性以及研究传染病病毒在 人群中的传播等等。 逾渗理论的一个非常有趣而重要的特征是，很多途渗系统的宏观表征量都具 有相同的且只依赖于系统维数的临界指数，这一说法受到蒙特卡罗数值模拟、 b e t h e 网络上扩散以及传导严格解的支持。这意味着，我们可以通过研究简单可 解的逾渗模型，确定其相应的临界指数来推测复杂逾渗系统的相关性质。逾渗理 论的这种核心性质被称为“普适性”或“不变性”。正是这种“不变性”，使得逾 渗理论及其模型得到了广泛地应用。下面简单介绍一下逾渗理论及其模型在研究 多孔介质中渗流问题时的若干应用。 1 2 逾渗理论及其模型在渗流研究中的应用 在介绍逾渗理论在渗流研究领域中的应用之前，有必要说明一下为什么逾渗 理论可以被应用到多孔介质研究中。 首先，多孔无序介质是由孔隙和固体骨架随机组合构成的，若不考虑多孔介 质空闻结构的长程相关性以及固体骨架的弹性变化，这本身就构成一个简单逾渗 问题。若考虑多孔结构的长程相关性，则也需要在相应的逾渗模型中引入这种相 关性，如何引入这种空问相关性仍是逾渗模型研究的重要课题之一。 其次，早期的渗流研究往往用一簇平行毛细管来表示多孔介质，由于毛细管 簇模型相对简单，在粘性管流的基础上，相关的渗流性质可以解析得到。在此模 型的基础上，尽管很多渗流现象可以被模拟得很好，但由于该模型忽略了多孔介 质本身固有的随机特性，因而在对某些渗流现象进行模拟时，所得结果和实际差 第一章绪论 别很大，比如该模型无法解释毛细力一饱和度曲线和吸附一解析曲线中的滞后现 象。对多孔介质结构的实验分析表明，孔隙结构在一定程度上可以用微孔体和微 管道的半径分布函数来表征，具有一定的随机性，因此，本身就具有随机性的途 渗模型更适合表征实际的多孔介质。在适当的映射关系下，多孔介质中的微孔体 和微管道可以根据其半径的大小直接映射成逾渗模型中的“点”和“键”，从而 构成一个逾渗网络。 另一方面，大量的实验研究和理论分析工作也证实了逾渗模型确实可以被应 用到对多孔介质的研究上。例如，从逾渗模型的连通性和其中集团大小的分布函 数出发，可以很好地解释并定量地模拟出汞法测量孔隙度过程中毛细力一饱和度 曲线的滞后现象，同样的也可以模拟出液氮法测量孔径分布函数过程中吸附一解 析曲线的滞后现象1 4 】；多孔断裂结构性质也和逾渗临界点处跨越集团性质类似， 这是因为一旦跨越集团形成，断裂结构的应力就得到了释放【4 】；此外地震源也可 以被看作是三维逾渗临界点处跨越集团的骨干部分( b a c k b o n e ) ，因为它们具有相 同的分形维数，都为1 8 4 i 。甚至可以洗。某些多孔介质或多孔介质现象实际上 就是逾渗。 逾渗理论在多孔介质中的应用是和网络模型紧密联系在一起。区别于传统的 均相多孔介质模型，网络模型是一种建立在孔径尺度上的对多孔介质的描述，它 和逾渗理论是紧密联系、互为补充的。网络模型考虑到孔径尺度上的物理化学过 程，丽在更大的尺度上，当考虑到多孔介质的几何随机特征以及这种随机特征和 流体性质之间的相互作用时，逾渗理论就发挥了很关键的作用。在这种情况下， 所考察的是多孔介质在大尺度下，而不是单个孔的性质h l 。 多孔介质的网络模型最早由f a t t ( 1 9 5 6 ) 卜8 】发展起来，他认为利用当时已 有的毛细管簇模型或球堆积模型都不能充分描述多孔介质，而且对球堆积模型的 理论分析也过于复杂，因而他提出了一种由不同管径的管子构成的二维格子网络 系统，这既在一定程度上表征了多孔介质的复杂结构，也易于理论分析。在该模 型基础上，他发展了一种多孔介质中两相渗流的驱替算法：并研究了不同类型的 网格( 如阴方形、三角形、蜂窝形等) 下，毛细力一饱和度曲线和孔径分布的关系。 发现该曲线对不同类型的网格差异并不大，但对不同的孔径分布却差异很大。选 取网格配位数大的格子网络系统，呵以更好地利用毛细力一饱和度曲线预测孔径 分布。f a t t 的工作和逾渗理论相关，并且在今天仍然非常重要。事实上，f a t t 提出的两相渗流驱替算法和1 9 6 3 年 j a 唧e r s l e y l 9 1 提出的算法以及1 9 8 3 年 w i l k j n s o n 和w i ll e m s e n 提出的侵入逾渗算法是一致的。 上世纪六、七十年代，由于受到计算能力的限制，相关逾渗网络模型的发展 并不快。存这段时期，大部分逾渗网络模型都是在石油工业领域完成的，因为该 第一章绪论 领域集中了相当的计算机资源。第一个基于计算机的网络模型是由r o s e 完成的， 他研究了具有1 7 2 8 个节点的三维格子系统j 。 k s e n z h e k ( 1 9 6 3 ) 【1 2 】考察了三维格子网络系统对压力一饱和度曲线的影响， 并注意到格子系统具有和实际多孔介质很类似的压力突破性质。 n i c h o l s o n ( 1 9 6 8 ) i ”1 利用三维网络模型研究了液氮在多孔介质中的吸附一解析 等温线，并指出网络的存在增强了陔曲线的滞后现象。t o r e l l i 和 s c h e i d e g g e r ( 1 9 7 1 ) f ”1 根据逾渗理论的相关概念发展了一种由等径管构成的网 络系统模拟多孔介质中的扩散问题。t o r e l l i ( 1 9 7 2 ) 在此基础上，采用不等径管 构成网络系统研究相关渗流问题”l 。s i m o n 和k e l s e y ( 1 9 7 l 、1 9 7 2 ) 利用逾渗网 络模型研究了石油开采中的注水采油过程并计算了其效率f l6 、”】。 1 9 7 7 年，c h a t z i s 和d u l l i e n 指出非润湿相流体在网络模型的渗入过程和 “键”逾渗问题类似； l e v i n e ( 1 9 7 7 ，也意识到f a t t 提出的多孔介质网络模 型和h a m e r s l e y 描述的计算模型类似，并且认为只要网络足够大，就可以用来 计算逾渗模型的相关性质眇l 。l a r s o n ( 1 9 7 7 ) 研究了石油开采过程中油斑的形成 和移动，实验表明油斑的大小分布依赖于多孔介质的连通性，并且可以通过逾渗 中的簇分布函数预测1 2 ”。1 9 8 0 年，g o l d e n 利用逾渗的数学处理方法预测了非饱 和水渗透率，并为研究滞后现象提供了有效的途径f ) “。 c h a t z is 和d u l li e r 在1 9 7 7 年的文章为其后的很多逾渗网络模型研究建立 了标准。他们注意到，在模型中假设单元管长度为定值、正比或反比于管径都与 实验不符，因而提出了一类由椭球形管构成的网络模型f 1 ”。1 9 8 1 年，他们还指 出多孔介质中流体的排出过程( 非润湿相驱替润湿相) 和吸入过程( 润湿相驱替非 润湿相) 完全不同”，排出过程由孔喉部半径决定，而吸入过程则取决于孔主体 部分的半径。这暗示着流体排出过程实际对应“键逾渗”，而吸入过程则对应“点 逾渗”，因为逾渗模型中“点”对流动的阻碍要比“键”小得多。得出这一结论 的一个必要条件是，多孔介质中随机分布的“点”和“键”必须相互独立的。但 事实上，对多孔介质的结构测定表明，孔体尺寸与相邻孔喉的尺寸是相关的。为 此，d u l l ie n 及其合作者把“点”、“键”之间的相关性引入到网络模型中，称之 为“点键相关”逾渗模型。出这种逾渗模型得出的相关结果更符合实验数据。1 9 8 2 年，k o p l i k 证实了逾渗网络模型中的流体流动，阻力主要来自很窄的那些键， 而分布较广的孔体部分对阻力贡献很小。这一结论对至今仍沿用的“球杆模型” 的发展起到一定作用口”。 八十年代和九十年代早期，对于逾渗网络模型的研究增长很快。在f d t t 的 影响下，研究主要集中在预测相对渗透率和模拟两相驱替过程上，另外还包括研 究孔尺度_ 卜的物理化学过程、分析多孔介质结构以及模拟逾渗模型中的随机行走 和扩散等。 第一章绪论 k i r k p a t r i c k ( 1 9 7 1 ，1 9 7 3 ) 推导出一种有效介质理论( e f f e c t i v em e d i u m a p p r o x i m a t i o n ) ，通过给出逾渗模型中单元网格电导值的统计分布函数和介质配 位数，较好地估计出非饱和状态下的系统传导率，这一方法得到了广泛的应用 【2 4 ”】。但最近a d l e r ( 2 0 0 0 ) 在文献中指出，该理论在二维情况下可用，而在三维 情况下，当局部电导值的空间变化比较大时，其对系统传导率的估计和实际模拟 的结果差别比较大口“。 在对多孔介质中两相驱替过程的研究方面，侵入逾渗( i n v a s i o n p e r c o l a t i o n ) 的概念被应用到模拟流体排出和吸入过程中( l e n o 硼a n d 和 b o r i e s ，1 9 8 0 ：w 订k i n s i o n 和w i e m s e n ，1 9 8 3 ) 。在侵入逾渗模型中，重要 的是确定哪些点和键可能被侵入，而哪些点和键确实被侵入。例如，非润湿性的 流体侵入逾渗多孔网络，从连通性上考虑可以被侵入的网格事实上并不定会被 侵入，这是因为如果与之相连的孔喉半径太小韵话，会产生很大的毛细力，可以 阻止流体侵入。这类问题需要我们区别“可能被侵入”和“被侵入”的点和键， 以相应修正逾渗理论的框架。w i l k i n s o n 和w i l l e m s e n 明确地把侵入逾渗和多孔 介质中缓慢的毛细过程联系在一起。他们( 1 9 8 4 ) 还证实了侵入逾渗模型和一般逾 渗模型属于同一类，具有类似的性质，有关侵入逾渗的大部分结论，如逾渗集团 的分形维数、簇分布函数等都可以从一般的逾渗模型得到【2 ”。c h a t z i s 和 d u l l i e n ( 1 9 8 5 ) 利用二维和三维侵入逾渗模型模拟水银侵入沙岩的过程并由此估 计相对渗透率，所得值和实验测量值一致2 ”。b l u n t ( 1 9 9 2 ，1 9 9 5 ) 研究了多孔介 质的润湿性质及其对两相流体迁移、分布的影响i ”川。s u t a n t o ( 1 9 9 d 建立了相 应的逾渗网络模型研究了在混合润湿情况下，油井驱替过程中两相流体的分布情 况m l 。总得说来，随着孔结构拓朴形态、流体性质及边界条件的不同，流体的 迁移、分布形式也有很大不同。y a n u k a ( 1 9 8 9 ) 利用各种多孔介质的孔径分布函数， 结合逾渗理论计算流体排出和吸入过程的毛管力一饱和度曲线，并将之与实验测 量值相比m 】。这一领域研究的难点是相关驱替过程和逾渗模型中的很多参数有 关，如簇尺寸分布、网络配位数等都对毛管力一饱和度曲线有影响。 s a h i m i ( 1 9 8 4 ，1 9 8 7 ) 利用网络模型和逾渗理论详细分析了多孔介质的扩散现 象。他推导出逾渗网络模型中的一系列几何和水力特征关系。并在此基础上建立 了很多物理量在逾渗临界点附近的临界关系畔3 ”。他得到，流体质点的平均扩散 半径与时叫之间满足幂函数关系，并且随着流动j p e 数的不同( n ；聊d ，矿是 流体渗流速度，是流体流动的特征长度，d 是扩散系数) ，其幂律指数也不同。 b e r k o w n z 和b r a e s t e r ( 1 9 9 】) 、y a n u k a ( 1 9 9 2 ) 7 1 也对此问题做了更深入的研 究。1 9 8 8 年，s a h i m i 和ij i l d a k m 利用数值m o n t ec a r l o 方法整合了以前文献中结 果m 1 ，他们指出，当接近逾渗临界点时，流体质点的输运表现出反常的性质， 扩散系数不再是常数，所阻通常的对流扩散方程不能直接应用。更准确地说，流 第一章绪论 体质点的输运性质是和时间尺度或空间尺度相关的。这个理论框架为我们理解流 体在多孔介质中的反常扩散性质提供了重要的途径。利用了类似的逾渗网络模 型，k o p l i k 等( 1 9 8 8 ) 考察了流体质点通过给定距离时，穿越时间的统计分布函 数及其高阶矩与流体质点位移之阃的关系口”，他们的方程考虑了逾渗跨越集团 中的骨干部分对“死区”( d a n g l i n ge n d s ) 中扩散输运以及对流输运的影响，还 提出了计算穿越时间统计分布函数的数值方法，并指出该函数与渗流流场的平均 速度有关。 w i l k i n s o n 和w i l l e m s e n ( 1 9 8 3 ) 在给定渗流流率的条件下，应用侵入逾渗模 型研究了流体吸入过程i l “，模拟结果表明，在毛细力数c 口很小的情况下 ( o ；矿扣，是流体粘性系数，y 是渗流速度，盯是表面张力系数) ，流体的 排出过程和吸入过程是很类似的。在大毛细力数和两相( 不混溶) 粘性系数比m 小于l 的情况下，可以得到粘性指进现象( s a f m a n ，珀8 6 【”】；h o m s y ，1 9 8 7 【4 1 1 ) 。 p a t e r s o n ( 1 9 8 4 ) 的相关研究还指出，粘性指进和d l a ( d i f f u s j o n 一1 i m i t e d a g g r e g a t i o n ) 模型非常类似4 ”，并指出随着流体性质和界蘑性质的不同，两相 流驱替过程可以分为毛细指进、粘性指进和稳态驱替。1 9 8 8 年，l e n o r 嘲n d 通过 实验研究和数值模拟证实了这种分类方法，并给出了流态在粘性系数比村和毛 细力数平面上的相图4 ”。l e n o r m a n d 及其合作者的相关实验研究和数值模拟 利用的是二维规则网格，并没有考虑到多孔介质的相关性结构以及惯性、重力等 因素的影响：即便如此，他们的实验也为以后的相关工作建立了有效的框架。 近十几年来，美国的a n d r a d e ，s t a n l e y 以及以色列的h a v n 等人从统计 物理学的角度出发，系统地研究了不同逾渗模型上不同性质的连通集团，给出了 它们的相关标度指数以及输运、扩散特性。a n d r a d e 等还利用逾渗模型对多孔介 质中的流动问题进行研究，并取得了新的进展。他们利用了二维或高维逾渗模型 研究了i | 缶界点处跨越集团两点或两线之间最短路径的标度性质。7 1 ；并通过对 压力场求解k i r c h h o f f 方程，得到多孔介质中流体质点运动最短时间等物理量的 统计特性及其标度律性质，并将之应用到对石油开采过程中注水突破时间及采油 产量的预测上 4 “。 以上这些工作大多建立在对逾渗模型的几何结构分析以及对渗流达西定律 的直接应用之上。描述流体运动的n a v i e r s t o k e s 方程也被直接应用到多孔介质 的逾渗模型中。a n d r a d e 等( 1 9 9 5 ) 5 5 1 较早得通过求解逾渗模型中的 n a v j e r s t o k e s 方程研究相关渗流问题。他们通过求解少数几个随机逾渗构型研 究了不同雷诺数下的渗流流态，得到了系统渗透率在逾渗临界点p 。附近的临界 关系女( p 一只、) 。( p 是逾渗概率) ；并利用该临界关系直接确定临界指数