高中数学 261曲线与方程课件 苏教版选修21.ppt

课标要求 1 了解曲线与方程的对应关系 2 掌握证明已知曲线c的方程是f x y 0的方法和步骤 核心扫描 1 了解曲线与方程的对应关系 重点 2 证明已知曲线c的方程是f x y 0的方法和步骤 难点 2 6 1曲线与方程 2 6曲线与方程 曲线与方程一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立如下关系 1 都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么这个方程叫做 这条曲线叫做 自学导引 1 曲线上的点的坐标 曲线的方程 方程的曲线 点与曲线如果曲线c的方程是f x y 0 那么点p x0 y0 在曲线c上的充要条件是f x0 y0 0 想一想 1 如何判断p x0 y0 在曲线上 提示将点的坐标代入曲线方程验证是否成立即可 2 已知曲线c的方程是f x y 能否认为f x0 y0 0是点p x0 y0 在曲线上的充要条件 提示能 这由曲线方程的定义而得 2 曲线与方程的关系 1 曲线上的所有点都符合这个条件而毫无例外 它刻画的是轨迹的纯粹性 2 说明了适合这种条件的点都在曲线上而毫无遗漏 它刻画的是轨迹的完备性 这两种关系必须同时满足 缺一不可 曲线与方程概念的实质是 曲线c的点集 m p m 和方程f x y 0的解集 x y f x y 0 之间具有一一对应关系 名师点睛 1 2 题型一曲线与方程概念的理解 下列命题是否正确 若不正确 说明原因 1 过点a 2 0 平行于y轴的直线l的方程是 x 2 2 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y x 思路探索 理解曲线和方程的概念 必须注意 两性 定义中的条件 1 阐明曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外 定义中的条件 2 阐明适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏 这个概念的实质是一一对应 即作为曲线c的点集 m p m 和方程f x y 0的解集 x y 例1 f x y 0 之间的一一对应关系 由曲线和方程的这一对应关系 既可以通过方程来研究曲线的性质 又可以深刻认识方程的几何背景 解决 曲线 与 方程 有关命题的真假的判定问题 只要一一检验定义中的 两性 是否满足 并作出相应的回答即可 解 1 错误 因为以方程 x 2的解为坐标的点 不都在直线l上 直线l只是方程 x 2所表示的图形的一部分 2 错误 因为到两坐标轴距离相等的点的 轨迹有两条直线l1和l2 如图所示 直线l1上的点的坐标都是方程y x的解 但是直线l2上的点 除原点 的坐标不是方程y x的解 它不是所求的轨迹方程 规律方法判断这类问题要严格按照方程的曲线和曲线的方程的定义 定义中的两个条件缺一不可 本例中第 1 题只满足曲线上的点的坐标都是方程的解 即只满足纯粹性 但不满足完备性 第 2 题只满足以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 判断下列命题是否正确 1 设点a 3 0 b 0 3 则线段ab的方程是x y 3 0 2 到原点的距离等于5的动点的轨迹方程是y 3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2 y2 0 解命题 1 不满足曲线和方程相互依存的完备性 即方程x y 3 0的解 1 4 不在线段ab上 因此命题 1 错误 命题 2 不满足曲线和方程相互依存的纯粹性 因此命题 2 错误 命题 3 都满足是正确的 变式1 1 方程 x y 1 0表示什么曲线 2 方程2x2 y2 4x 2y 3 0表示什么曲线 思路探索 将方程进行恒等变形 变形为我们学过的曲线方程 再进行判断 题型二由方程判断曲线类型 例2 规律方法解决这类题的关键是利用配方法 因式分解等手段 将已知方程转化为我们熟知的曲线方程 然后再进行判断 方程 x y 1表示的曲线是下图中的 变式2 答案 14分 1 判断点p 3 4 q 2 3 是否在方程x2 y2 25所表示的曲线c上 2 已知方程x2 y2 25表示的曲线f经过点a 2 m 求m的值 审题指导一方面 由曲线和方程的定义可知 要判断点是否在曲线上 只需要看点的坐标是否满足方程 而已知点在曲线上 则点的坐标一定满足方程 另一方面 利用曲线与方程的关系 可以判断曲线是否为方程的曲线或方程是不是曲线的方程 题型三判断点是否在曲线上 例3 规范解答 1 32 42 25 点p 3 4 在方程x2 y2 25所表示的曲线c上 4分 2 2 32 13 25 点q 2 3 不在方程x2 y2 25所表示的曲线上 8分 2 由22 m2 25 得 m 14分 题后反思 由曲线的方程和方程的曲线的定义可直接得出 点p x0 y0 在曲线c f x y 0上的充要条件是f x0 y0 0 这一结论 这是判断点是否在曲线上的理论根据 判断点a 1 2 b 2 3 c 3 10 是否在曲线x2 xy 2y 1 0上 解因为12 2 4 1 0 即点a的坐标是曲线x2 xy 2y 1 0的解 所以点a在这个曲线上 因为22 2 3 2 3 1 5 0 即点b的坐标不是曲线x2 xy 2y 1 0的解 所以点b不在这个曲线上 因为32 3 10 2 10 1 0 即点c的坐标是曲线x2 xy 2y 1 0的解 所以点c