高中数学 第2章 §3 函数的单调性优质课件 北师大版必修1.ppt

3函数的单调性 x y o 1 1 1 在某一区间内 当x的值增大时 函数值y也增大 图像在该区间内逐渐上升 函数的这种性质称为函数的单调性 思考 观察图像 当自变量变化时 函数值如何变化 1 了解单调函数 单调区间的概念 2 能根据函数的图像指出单调性 写出单调区间 重点 3 能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性 难点 4 了解函数最值的概念 会求某些函数的最大值及最小值 重点 难点 x y o 1 x o y 1 1 2 4 1 2 1 1 从左至右图像 2 在区间 上 随着x的增大 y的值随着 2 0 上从左至右图像 当x增大时y的值随着 1 上升 增大 下降 减小 思考1 画出下列函数的图像 根据图像思考当自变量x的值增大时 函数值y是如何变化的 上升 增大 思考2 如图 你能说出它的函数值y随自变量x的变化情况吗 怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢 o 那么就说f x 在这个区间上是减少的 a称为f x 的单调减区间 如果对于属于定义域i内某个区间a上的任意两个自变量的值x1 x2 如果对于属于定义域i内某个区间a上的任意两个自变量的值x1 x2 那么就说f x 在这个区间上是增加的 a称为f x 的单调增区间 当x1f x2 探究点1 函数在区间增加 或减少 探究点2 单调性 单调函数如果函数y f x 在定义域的某个子集上是增加的或是减少的 那么就称函数y f x 在这个子集上具有单调性 如果函数y f x 在整个定义域内是增加的或是减少的 我们分别称这个函数为增函数或减函数 统称为单调函数 注意 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 2 必须是对于区间a内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 分别是增加的或是减少的 例1说出函数的单调区间 并指明在该区间上的单调性 解 0 和 0 都是函数的单调区间 在这两个区间上函数是减少的 图像不是连续上升或连续下降时 相同单调区间不能合并 例2画出函数的图像 判断它的单调性 并加以证明 解 作出f x 3x 2的图像 由图看出 函数f x 的图像在r上是上升的 函数f x 是r上的增函数 证明 设是r上的任意两个实数 且则 在r上是增函数 取值 作差变形 判断差值符号 下结论 用定义证明函数单调性的四步骤 1 取值在所给区间上任意设两个实数 2 作差变形作差 然后常通过 因式分解 通分 配方 等手段将差式变形为因式乘积或平方和形式 3 判断正负 4 作出单调性的结论 函数的单调性是对某个区间而言的 对于单独的一点 由于它的函数值是唯一确定的数 因而没有增减变化 因此 在考虑它的单调区间时 端点有定义时包括端点 端点无定义时不包括端点 提升总结 我们观察上图 可知对于定义域中的任意x 都有f x f 1 我们就说f 1 是这个函数的最大值 探究点3 最大值 一般地 对于函数y f x 其定义域为d 如果存在x0 d f x0 m 使得对于任意的x d 都有f x m 那么 我们称m是函数y f x 的最大值 即当x x0时 f x0 是函数y f x 的最大值 记作ymax f x0 例3如图 某地要修一个圆形的喷水池 水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下 以水池的中央为坐标原点 水平方向为x轴 竖直方向为y轴建立平面直角坐标系 那么水流喷出的高度h 单位 m 与水平距离x 单位 m 之间的函数关系式为h x2 2x 求水流喷出的高度h的最大值是多少 解 由函数h x2 2x 的图像可知 显然 函数图像的顶点就是水流喷出的最高点 此时函数取得最大值 对于函数h x2 2x 当x 1时 函数有最大值hmax 12 2 1 m 于是水流喷出的最高高度是m 例4已知函数 求函数的最大值和最小值 分析 由函数的图像可知 函数f x 在区间 0 2 上递增 所以 函数f x 在区间 0 2 的两个端点上分别取得最小值和最大值 解 设x1 x2是区间 0 2 上的任意两个实数 且x1 x2 则 由0 x10 x1 1 x2 1 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故f x 在区间 0 2 上是增加的 因此 函数在区间 0 2 的左端点取得最小值 右端点取得最大值 即最小值是f 0 2 最大值是f 2 利用其单调性求最值 若函数f x 在区间 a b 及 b c 上都是减少的 则f x 在区间 a c 上的单调性为 a 减少的b 增加的c 一定不单调d 不确定 d 2 函数y x 2 的单调减区间是 3 函数的单调增区间是 2 1 4 已知函数在区间上是减少的 则a的取值范围是 解 由图像可知 只需使对称轴1 a 4 即a 3 a 3 5 已知f x x 4 7 的图像如图所示 则f x 的增区间是 减区间是 解析 由图可知f x 的图像在区间 1 5 3 5 6 上是上升的 在区间 4 1 5 3 5 6 7 上是下降的 因此f x 的增区间是 1 5 3 5 6 减区间是 4 1 5 3 5 6 7 1 5 3 5 6 4 1 5 3 5 6 7 6 求函数f x 3x 2 x 2 7 的最大值和最小值 解 由函数f x 3x 2在区间 2 7 上是减少的 可知 f x max f 2 4 f x min f 7 19