高考数学一轮复习 高考大题专项练5 高考中的解析几何.doc

高考大题专项练五高考中的解析几何1.已知椭圆m:x2a2+y23=1(a0)的一个焦点为f(-1,0),左、右顶点分别为a,b.经过点f的直线l与椭圆m交于c,d两点.(1)求椭圆方程;(2)当直线l的倾斜角为45时,求线段cd的长;(3)记abd与abc的面积分别为s1和s2,求|s1-s2|的最大值.2.(2017全国,文20)设a,b为曲线c:y=x24上两点,a与b的横坐标之和为4.(1)求直线ab的斜率;(2)设m为曲线c上一点,c在m处的切线与直线ab平行,且ambm,求直线ab的方程.3.已知抛物线c:y2=2x的焦点为f,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交c于a,b两点,交c的准线于p,q两点.(1)若f在线段ab上,r是pq的中点,证明arfq;(2)若pqf的面积是abf的面积的两倍,求ab中点的轨迹方程.4.已知中心在原点o,左焦点为f1(-1,0)的椭圆c的左顶点为a,上顶点为b,f1到直线ab的距离为77|ob|.(1)求椭圆c的方程;(2)若椭圆c1的方程为:x2m2+y2n2=1(mn0),椭圆c2的方程为:x2m2+y2n2=(0,且1),则称椭圆c2是椭圆c1的倍相似椭圆.如图,已知c2是椭圆c的3倍相似椭圆,若椭圆c的任意一条切线l交椭圆c2于两点m,n,试求弦长|mn|的取值范围.5.(2017北京,文19)已知椭圆c的两个顶点分别为a(-2,0),b(2,0),焦点在x轴上,离心率为32.(1)求椭圆c的方程;(2)点d为x轴上一点,过d作x轴的垂线交椭圆c于不同的两点m,n,过d作am的垂线交bn于点e.求证:bde与bdn的面积之比为45.6.已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切,过点p(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆c相交于a,b两点.(1)求椭圆c的方程;(2)求oaob的取值范围;(3)若b点关于x轴的对称点是e,证明:直线ae与x轴相交于定点.7.如图,已知椭圆x24+y23=1的左焦点为f,过点f的直线交椭圆于a,b两点,线段ab的中点为g,ab的垂直平分线与x轴和y轴分别交于d,e两点.(1)若点g的横坐标为-14,求直线ab的斜率;(2)记gfd的面积为s1,oed(o为原点)的面积为s2.试问:是否存在直线ab,使得s1=s2?说明理由.8.设椭圆x2a2+y23=1(a3)的右焦点为f,右顶点为a.已知1|of|+1|oa|=3e|fa|,其中o为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点a的直线l与椭圆交于点b(b不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点m,与y轴交于点h.若bfhf,且moa=mao,求直线l的斜率.参考答案高考大题专项练五高考中的解析几何1.解(1)因为f(-1,0)为椭圆的焦点,所以c=1.又b2=3,所以a2=4,所以椭圆方程为x24+y23=1.(2)因为直线的倾斜角为45,所以直线的斜率为1,所以直线方程为y=x+1,和椭圆方程联立得到x24+y23=1,y=x+1,消掉y,得到7x2+8x-8=0,所以=288,x1+x2=-87,x1x2=-87,所以|cd|=1+k2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=247.(3)当直线l无斜率时,直线方程为x=-1,此时d-1,32,c-1,-32,abd,abc面积相等,|s1-s2|=0.当直线l斜率存在(显然k0)时,设直线方程为y=k(x+1)(k0),设c(x1,y1),d(x2,y2),与椭圆方程联立得到x24+y23=1,y=k(x+1),消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,显然0,方程有根,且x1+x2=-8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,此时|s1-s2|=2|y1|-|y2|=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=12|k|3+4k2=123|k|+4|k|1223|k|4|k|=12212=3当且仅当k=32时等号成立,所以|s1-s2|的最大值为3.2.解(1)设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直线ab的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y=x2.设m(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是m(2,1).设直线ab的方程为y=x+m,故线段ab的中点为n(2,2+m),|mn|=|m+1|.将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=22m+1.从而|ab|=2|x1-x2|=42(m+1).由题设知|ab|=2|mn|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线ab的方程为y=x+7.3.解由题设知f12,0.设l1:y=a,l2:y=b,则ab0,且aa22,a,bb22,b,p-12,a,q-12,b,r-12,a+b2.记过a,b两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于f在线段ab上,故1+ab=0.记ar的斜率为k1,fq的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以arfq.(2)设l与x轴的交点为d(x1,0),则sabf=12|b-a|fd|=12|b-a|x1-12,spqf=|a-b|2.由题设可得|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的ab的中点为e(x,y).(分类讨论)当ab与x轴不垂直时,由kab=kde可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).当ab与x轴垂直时,e与d重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.4.解(1)设椭圆c的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),直线ab的方程为x-a+yb=1.f1(-1,0)到直线ab的距离d=|b-ab|a2+b2=77b,a2+b2=7(a-1)2.又b2=a2-1,解得a=2,b=3,故椭圆c的方程为x24+y23=1.(2)椭圆c的3倍相似椭圆c2的方程为x212+y29=1,若切线l垂直于x轴,则其方程为x=2,易求得|mn|=26.若切线l不垂直于x轴,可设其方程为y=kx+b,将y=kx+b代入椭圆c的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0,即b2=4k2+3,(*)设m,n两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),将y=kx+b代入椭圆c2的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0,此时x1+x2=-8kb3+4k2,x1x2=4b2-363+4k2,|x1-x2|=43(12k2+9-b2)3+4k2,|mn|=1+k243(12k2+9-b2)3+4k2=461+k23+4k2=261+13+4k2.3+4k23,11+13+4k243,即26b0).由题意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆c的方程为x24+y2=1.(2)证明设m(m,n),则d(m,0),n(m,-n).由题设知m2,且n0.直线am的斜率kam=nm+2,故直线de的斜率kde=-m+2n.所以直线de的方程为y=-m+2n(x-m),直线bn的方程为y=n2-m(x-2).联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得点e的纵坐标ye=-n(4-m2)4-m2+n2.由点m在椭圆c上,得4-m2=4n2.所以ye=-45n.又sbde=12|bd|ye|=25|bd|n|,sbdn=12|bd|n|,所以bde与bdn的面积之比为45.6.(1)解由题意知,ca=12,62=b,即b=3.又a2=b2+c2,所以a=2,b=3.故椭圆的方程为x24+y23=1.(2)解由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),由y=k(x-4),x24+y23=1,可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则=322k4-4(3+4k2)(64k2-12)0,所以0k214.则x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2.所以oaob=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2=(1+k2)64k2-123+4k2-4k232k23+4k2+16k2=25-874k2+3.因为0k214,所以-873-874k2+3-874,则-425-874k2+3134,即oaob-4,134.(3)证明因为b,e关于x轴对称,所以可设e(x2,-y2),则直线ae的方程为y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1).令y=0,可得x=x1-y1(x1-x2)y1+y2.因为y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),所以x=2x1x2-4(x1+x2)x1+x2-8=264k2-123+4k2-432k23+4k232k23+4k2-8=1,所以直线ae与x轴交于定点(1,0).7.解(1)依题意可知,直线ab的斜率存在,设其方程为y=k(x+1),将其代入x24+y23=1,整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),所以x1+x2=-8k24k2+3.故点g的横坐标为x1+x22=-4k24k2+3=-14,解得k=12.(2)假设存在直线ab,使得s1=s2,显然直线ab不能与x轴或y轴垂直.由(1)可得g-4k24k2+3,3k4k2+3.设点d坐标为(xd,0).因为dgab,所以3k4k2+3-4k24k2+3-xdk=-1,解得xd=-k24k2+3,即d-k24k2+3,0.因为gfdoed,且s1=s2,所以|gd|=|od|.所以-k24k2+3-4k24k2+32+-3k4k2+32=-k24k2+3,整理得8k2+9=0.因为此方程无解,所以不存在直线ab,使得s1=s2.8.解(1)设f(c,0).由1|of|+1|oa|=3e|fa|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为x24+y23=1.(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设b(xb,yb),由方程组x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2或x=8k2-64k2+3,由题意得xb=8k2-64k2+3,从而yb=-12k4k2+3.由(1)知,f(1,0),设h(0,yh),有fh=(-1,yh),bf=9-4k24k2+3,12k4k2+3.由bf