学会求几何体的体积[文档资料]

学会求几何体的体积 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 策略 1：直接法 当题目给出的是规范几何体且已知条件比较集中时，我们就按所给图像的方位用公式直接计算出体积 . 例 1 （ 2013 年高考全国新课标 卷文科卷第 19题）如图 1，三棱柱 ABC-A1B1C1 中， CA=CB， AB=AA1，BAA1=60. （ ）证明： ABA1C ； （ ）若 AB=CB=2， A1C= ，求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 . 难度系数 0.70 分析 不要将题目中的斜三棱柱看成直棱柱，好在第（ ）问起到明显的提示作用 .解答本题的关键在于找到（作出）棱柱的高 . （ ）证明：取 AB的中点为 O，连接 OC， OA1， A1B.由于 CA=CB，所以 OCAB. 由于 AB=AA1， BAA1=60 ，所以AA1B 为等边三角形 .所以 OA1AB. 由于 OCOA1 = O ，所以 AB 平面 OA1C.又 A1C？奂平面 OA1C，所以 ABA1C. （ ）解：由题设可知 ABC 与 AA1B 都是边长为 2的等边三 角形，所以 OC=OA1= .又 A1C= ，则A1C2=OC2+OA21，所以 OA1OC. 由于 OCAB=O ，所以 OA1 平面 ABC， OA1 为三棱柱ABC-A1B1C1 的高 . 又 ABC 的面积 SABC = ，所以三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V=SABC OA1=3. 小结 这类问题中的几何体规范，考生很容易找到底面和高，并且计算常规，所以通常直接使用公式解答即可 .不过需要注意的是，考生要写清楚计算的理由 .另外，本题还可以考虑利用割补法来处理 . 策略 2：换底 法 当按题目所给图像的方位不便于计算时，我们可选择条件较集中的面作底面，以便于计算底面积和高 .这种方法尤其适用于跟棱锥有关的体积计算问题 . 例 2 （ 2013 年高考湖南文科卷第 17题）如图 2，在直棱柱 ABC-A1B1C1 中， BAC=90 ， AB=AC= ， AA1=3， D 是 BC的中点，点 E 在棱 BB1 上运动 . （ ）证明： ADC1E ； （ ）当异面直线 AC， C1E 所成的角为 60 时，求三棱锥 C1-A1B1E 的体积 . 难度系数 0.75 分析 根据题 目中几何体的特点，求三棱锥 C1-A1B1E的体积我们可以考虑换一个视角，以 A1B1C1 为底，这样处理起来更为简便、合理 . （ ）证明：由于 E 为动点，所以需要证明 AD 平面CBB1C1. 由于 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 BB1 平面 ABC.由AD？奂平面 ABC，可得 BB1AD. 又 RtABC 是等腰直角三角形，且 D 是 BC的中点，所以 BCAD. 由 BCBB1=B 及以上所述，可得 AD 平面 CBB1C1. 又 C1E？奂平面 CBB1C1，所以 ADC1E . （ ）解：由于 ACA1C1 ，所以 A1C1E 是异面直线AC， C1E 所成的角，则 A1C1E=60. 在 RtA1C1E 中，A1E= ；在 RtA1B1E 中， EB1=2. 由于 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 EB1 是三棱锥 E-A1B1C1 的高 . 由于 V 三棱锥 =V三棱锥 = S EB1= 12 = ，所以三棱锥 C1-A1B1E 的体积为 . 小结 利用换底法，我们能够从侧面迂回地解决一些从正面较难下手的问题，这是数学中的一种重要思想方法 .在利用换底法答题时 ，我们应该在原图形中找到一个较容易计算出面积及其对应高的平面来 . 策略 3：割补法 当题目所给的是非规范（或条件比较分散的规范）几何体时，我们可通过对图像的割补或体积变换，将其化为与已知条件有直接联系的规范几何体，并作体积的加减法 . 例 3 （ 2013 年高考重庆文科卷第 19题）如图 3，四棱锥 P-ABCD 中， PA 底面 ABCD， PA=2 ， BC=CD=2，ACB=ACD= . （ ）求证： BD 平面 PAC； （ ）若侧棱 PC上的点 F 满足 PF=7FC，求三棱锥 P-BDF 的体积 . 难度系数 0.75 分析 如果直接求三棱锥 P-BDF 的体积，底面 BDF 的面积和高都不太好求，考虑到条件 “PA 底面 ABCD” ，我们可以尝试 “ 补形 ” 后将其处理成两个几何体的体积之差，从而使问题得以解决 . （ ）证明：由于 BC=CD，即 BCD 为等腰三角形，又ACB=ACD ，所以 BDAC. 由于 PA 底面 ABCD，所以 PABD ，从而 BD与平面PAC 内的两条相交直线 PA， AC 都垂直 . 所以 BD 平面 PAC. （ ）解：三棱锥 P-BCD的底面 BCD 的面积 SBCD = BCCDsinBCD= 22sin = . 由 PA 底面 ABCD，得 V 三棱锥 = S PA= 2 = 2. 由 PF =7FC，得三棱锥 F-BCD 的高为 PA，故 V 三棱锥 = S PA= 2 = . 所以 V 三棱锥 =V三棱锥 -V 三棱锥 =2- = . 小结 本题通过将三棱锥 P-BDF 拓展补为三棱锥 P-BCD，将原问题转化为三棱锥 P-BCD 与三棱锥 F-BCD 的体积之差，然后利用间接法求得 最后结果 .与分割一样，有时为了计算方便，我们可将已给的几何体