辽宁省大连市五校高二数学下学期尖子生竞赛考试试题 理(1).doc

高二下学期尖子生竞赛考试数学（理）试题一 选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，集合，则( )a. b. c. d.2. 若，则z的共轭复数的虚部为（ ）a .i b.-i c.1 d.-13.某一批花生种子，若每1粒发芽的概率为，则播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为（ ）a. b. c. d.4.双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（ ）a. b.2 c. d.35.设等差数列的前n项和为，若，则( )a. 9 b. c.2 d.6.已知函数满足，其图像与直线y=0的某两个交点的横坐标分别为、,的最小值为，则（ ）a . b. c. d.8.已知o为坐标原点，点a（1,0），若点m（x,y）为平面区域内的一个动点，则的最小值为( )a.3 b. c. d.9.已知三个互不重合的平面且 ，给出下列命题：则则若则若则其中正确命题的个数为（ ）a.1 b.2 c.3 d.410.定义在r上的偶函数f(x)满足：对任意的,有，则当nn时，有（ ）a. b. c. d.11、斜率为2的直线l经过抛物线的焦点f，且交抛物线与a、b两点，若ab的中点到抛物线准线的距离1，则p的值为（ ）a.1 b. c. d.12.若定义在r上的函数f(x)的导函数为，且满足，则与的大小关系为（ ）a、 d、不能确定第卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2224题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上）13.的展开式中含的项的系数为_15.投两枚均匀的骰子，已知点数不同，则至少有一个是6点的概率为_16.已知函数图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分） 设abc的内角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且（1）求角a的大小 （2）若，求abc的周长l的取值范围。18.（本小题满分12分）pmdcban已知四棱锥p-abcd，底面abcd为矩形，侧棱pa平面abcd，其中bc=2ab=2pa=6，m、n为侧棱pc上的两个三等分点（1）求证：an平面 mbd （2）求异面直线an与pd所成角的余弦值（3）求二面角m-bd-c的余弦值。19.某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的连续进球与射手在场上的区域位置有关系”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示：有关系无关系不知道40岁以下80045020040岁以上（含40岁）100150300（）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持有关系态度的人中抽取45人，求n的值（）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看作一个总体。从这10人中选取3人，求至少一人在40岁以下的概率从这10人中人选取3人，若设40岁以下的人数为x，求x的分布列和数学期望。20. （本小题满分12分）设椭圆c:的离心率，右焦点到直线1的距离，o为坐标原点（1）求椭圆c的方程（2）过点o作两条互相垂直的射线，与椭圆c分别交于a、b两点，证明点o到直线ab的距离为定值，并求弦ab长度的最小值。21. （本小题满分12分）设函数在内有极值（1）求实数的取值范围（2）若求证:请考生在第2224三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分10分）npabcmo如图o的半径ob垂直于直径ac，m为ao上一点，bm的延长线交o于点n，过点n的切线交ca的延长线于p（）求证：（）若o的半径为，oa=om,求mn的长23. （本小题满分10分）已知曲线c的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）（）将曲线c的极坐标方程和直线l参数方程转化为普通方程（）若直线l与曲线c相交于m、n两点，且，求实数m的值24. （本小题满分10分）设全集（1）解关于x的不等式（2）记a为(1)中不等式的解集，集合，若恰有3个元素，求的取值范围。20132014学年度下学期省五校高二尖子生竞赛 数学试题答案（理科）三解答题17.解：（） （2分） （4分） （ 6分） ，由正弦定理得 （8分） （10分） 即 abc的周长l的取值范围为 （12分）18.解：（）证明：连结ac交bd于o，连结om，底面abcd为矩形，o为ac中点，m、n为侧棱pc的三等分点，cm=mn，oman, 平面mbd，an平面mbdan平面mbd （4分）（）如图所示，以a为原点，建立空间直角坐标系a-xyz,则a（0,0,0），b（3，0,0）, c(3,6,0),d(0,6,0)p(0,0,3),m(2,4,1),n(1,2,2) （6分） 异面直线an与pd所成的角的余弦值为 （8分）（3）侧棱pa底面abcd平面bcd的一个法向量为设平面mbd的法向量为并且，令y=1,得x=2,z=-2平面mbd的一个法向量为 （10分）由图知二面角是锐角二面角的余弦值为 （12分）19. （）由题意，得n=100 （2分）（）设所选取的人中有m人在40岁以下则，解得m=4 (4分)记“至少一人在40岁以下”为事件a则 （6分）x的可能取值为0,1,2,3 （10分）x的分布列为x0123p （12分）20.（）由得，即由右焦点到直线的距离为得，解得，所以椭圆c的方程为。 （4分）（）设a b直线ab的方程为y=kx+m与椭圆联立消去y得 （6分）oaob,即 oaob，当且仅当oa=ob时取“=”由得 （10分）即弦的长度最小值是 （12分）21.解：（）0x1时， 由在内有解，令，1不妨设，则，因，所以，解得 （5分）证明：由或，由或，得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增。由，得，由，得，所以，因为，所以 （9分）记则,在上单调递增，所以故 （12分） 22.解：（）连结on，则onpn，且obn为等腰三角形，则obn=onb，pmn=omb=900-obn，pnm=900-onbpmn=pnm, pm=pn (3分)由条件，根据切割线定理，有所以 （5分）（）om=2，在rtbom中，延长bo交o于点d，连接dn由条件易知bombnd，于是即，得bn=6 （8分）所以mn=bn-bm=6-4=2 （10分）23.解：（）曲线c的普通方