重庆市南开中学高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）.doc

2015-2016学年重庆市南开中学高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设，n=x|2x（x2）1，则mn为（）ax|x1bx|1x2cx|0x1dx|x12已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f（1，0），离心率等于，则c的方程是（）abcd3已知函数f（x）=，若ff（0）=4a，则实数a等于（）abc2d94已知，则的值为（）abcd5已知圆x2+y2+2x2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）a2b4c6d86已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）abcd27下列说法中，正确的是（）a命题“若ab，则am2bm2”的否命题是假命题b设，为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的充分不必要条件c命题“xr，x2x0”的否定是“xr，x2x0”d已知xr，则“x1”是“x2”的充分不必要条件8函数f（x）=x2elnx的零点个数为（）a0b1c2d39设f1，f2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点p使得（|pf1|pf2|）2=b23ab，则该双曲线的离心率为（）abc4d10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积可以是（）ab48+2cd48+311在三角形abc中，b=60，ac=，则ab+2bc的最大值为（）a3bcd212设函数f（x）在r上的导函数为f（x），且2f（x）+xf（x）x2，下面的不等式在r内恒成立的是（）af（x）0bf（x）0cf（x）xdf（x）x二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13双曲线的左焦点f，到其中一条渐近线的距离为14设abc的内角a，b，c所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sina=5sinb，则角c=15椭圆上有动p（m，n），则m+2n的取值范围为16正三角形abc的边长为2，将它沿高ad翻折，使bdcd，此时四面体abcd外接球表面积为三、解答题：（本大题共5小题，满分60分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17已知函数（i）求函数f（x）的最小正周期； （ii）求函数的值域18已知半径为2，圆心在直线y=x+2上的圆c（）若圆c与直线3x+4y5=0有交点，求圆心c的横坐标的取值范围；（）当圆c经过点a（2，2）且与y相切时，求圆c的方程19已知四棱锥ea bcd中，adbc，ad=bc=1，bce为等边三角形，且面bce面abcd，点f为ce中点（）求证：df面abe；（）若abcd为等腰梯形，且ab=1，求三棱锥b一cdf的体积20已知椭圆c： +=1（ab0）过点p（1，），离心率e=（）求椭圆c的方程（）已知直线l：x=my+1与椭圆相交于a，b两点，记abp三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值21已知函数f（x）=（x22x）lnx+ax2+2（）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）当a0时，设函数g（x）=f（x）x2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e2xe，g（x）m，求m的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请用2b铅笔填涂题号22如图，四边形么bdc内接于圆，bd=cd，过c点的圆的切线与ab的延长线交于e点（i）求证：eac=2dce；（）若bdab，bc=be，ae=2，求ab的长23在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆c的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆c交于a，b两点，p是圆c上不同于a，b的任意一点（）求圆心的极坐标；（）求pab面积的最大值24设函数f（x）=|x+1|+|x|（xr）的最小值为a（i）求a；（）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值2015-2016学年重庆市南开中学高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设，n=x|2x（x2）1，则mn为（）ax|x1bx|1x2cx|0x1dx|x1【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出m中x的范围确定出m，求出n中x的范围确定出n，找出两集合的交集即可【解答】解：由m中y=，得到x10，即x1，m=x|x1，由n中不等式变形得：2x（x2）1=20，即x22x0，解得：0x2，即n=x|0x2，则mn=x|1x2，故选：b【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f（1，0），离心率等于，则c的方程是（）abcd【考点】椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2c2求出b2，则椭圆的方程可求【解答】解：由题意设椭圆的方程为因为椭圆c的右焦点为f（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2c2=3所以椭圆的方程为故选d【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题3已知函数f（x）=，若ff（0）=4a，则实数a等于（）abc2d9【考点】函数的值【专题】计算题【分析】先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2故选c【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解4已知，则的值为（）abcd【考点】运用诱导公式化简求值【专题】三角函数的求值【分析】利用函数的解析式，通过诱导公式化简求值即可【解答】解：，则=故选：c【点评】本题考查三角函数的化简求值，特殊角的三角函数的应用，是基础题5已知圆x2+y2+2x2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）a2b4c6d8【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值【解答】解：圆x2+y2+2x2y+a=0 即 （x+1）2+（y1）2=2a，故弦心距d=再由弦长公式可得 2a=2+4，a=4，故选：b【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题6已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）abcd2【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用【分析】由题意作平面区域，从而再由的几何意义是点（x，y）与点o（0，0）连线的直线的斜率求最值【解答】解：由题意作平面区域如下，的几何意义是点（x，y）与点o（0，0）连线的直线的斜率，故当过点a（1，2）时，有最大值为=2，故选：d【点评】本题考查了线性规划的简单应用，同时考查了数形结合的思想应用7下列说法中，正确的是（）a命题“若ab，则am2bm2”的否命题是假命题b设，为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的充分不必要条件c命题“xr，x2x0”的否定是“xr，x2x0”d已知xr，则“x1”是“x2”的充分不必要条件【考点】复合命题的真假【专题】阅读型【分析】命题a找原命题的逆命题，易于判断，一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题；命题c是写特称命题的否定，应是全称命题；选项b是考查的线面垂直的判定；d可举反例分析【解答】解：命题“若ab，则am2bm2”的逆命题是，若“am2bm2，则ab”，此命题为真命题，所以命题“若ab，则am2bm2”的否命题是真命题，所以a不正确设，为两个不同的平面，直线l，若l，根据线面垂直的判定，由，反之，不一定成立，所以b正确命题“xr，x2x0”的否定是全程命题，为xr，x2x0，所以c不正确由x1不能得到x2，如，反之，由x2能得到x1，所以“x1”是“x2”的必要不充分要条件，故d不正确故选b【点评】本题考查的知识点是命题真假的判断和充要条件问题，解答的关键是掌握定理中的限制条件，对于全称和特称命题否定的格式应牢记8函数f（x）=x2elnx的零点个数为（）a0b1c2d3【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】求出函数的导数，根据导数求的函数的极小值为f（）0，可得函数无零点【解答】解：函数f（x）=x2elnx，f（x）=2x=令f（x）=0，解得 x=由于f（x）在（0，）上小于零，在（，+）上大于零，故x= 时，函数f（x）取得极小值由于f（）=eln=ln=（1ln）0，所以函数无零点故选a【点评】本题考查函数的零点以及导数的应用，函数的零点问题一直是考试的重点内容之一，与函数的图象与性质紧密结合，导数是解决此类问题的有效方法，高考必定有所体现9设f1，f2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点p使得（|pf1|pf2|）2=b23ab，则该双曲线的离心率为（）abc4d【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据（|pf1|pf2|）2=b23ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b23ab，求得a=，c=b，即可求出双曲线的离心率【解答】解：（|pf1|pf2|）2=b23ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b23ab，4a2+3abb2=0，a=，c=b，e=故选：d【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积可以是（）ab48+2cd48+3【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个长方体和三个半球的组合体，分别求其体积，相加可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个长方体和三个半球的组合体，长方体的长，宽，高，分别为6，4，2，故体积为：48，半球的半径均为1，故体积为：，故组合体的体积为：48+3=48+2，故选：b【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状11在三角形abc中，b=60，ac=，则ab+2bc的最大值为（）a3bcd2【考点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得【解答】解：由题意，设三角形的三边分别为a，b，c，则3=a2+c22accos60a2+c2ac=3设c+2a=m（m0），代入上式得7a25am+m23=0=843m20，0m2m=2时，a=，c=符合题意m的最大值是2故选d【点评】本题考查余弦定理的运用，考查最值，考查学生的计算能力，属于基础题12设函数f（x）在r上的导函数为f（x），且2f（x）+xf（x）x2，下面的不等式在r内恒成立的是（）af（x）0bf（x）0cf（x）xdf（x）x【考点】导数的运算【专题】导数的概念及应用【分析】对于这类参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法【解答】解：2f（x）+xf（x）x2，令x=0，则f（x）0，故可排除b，d如果 f（x）=x2+0.1，时 已知条件 2f（x）+xf（x）x2 成立，但f（x）x 未必成立，所以c也是错的，故选 a故选a【点评】本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13双曲线的左焦点f，到其中一条渐近线的距离为2【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得双曲线的a，b，c，焦点f的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式计算即可得到所求【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c=，左焦点f为（，0），一条渐近线方程为y=2x，则f到渐近线的距离为d=2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，点到直线的距离公式，属于基础题14设abc的内角a，b，c所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sina=5sinb，则角c=【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】由3sina=5sinb，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得c【解答】解：3sina=5sinb，由正弦定理，可得3a=5b，a=b+c=2a，c=cosc=c（0，）c=故答案为：【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题15椭圆上有动p（m，n），则m+2n的取值范围为6，6【考点】椭圆的简单性质【专题】转化思想；换元法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得椭圆的a，b，设出p（6cos，3sin）（02），则m+2n=6cos+6sin=6（cos+sin），由两角和的正弦公式以及正弦函数的值域，计算即可得到所求范围【解答】解：椭圆的a=6，b=3，p在椭圆上，可设p（6cos，3sin）（02），则m+2n=6cos+6sin=6（cos+sin）=6sin（+），由02，可得+，即有sin（+）1，1，则m+2n的范围是6，6故答案为：6，6【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，考查正弦函数的值域的运用，属于基础题16正三角形abc的边长为2，将它沿高ad翻折，使bdcd，此时四面体abcd外接球表面积为5【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】三棱锥bacd的三条侧棱bdad、dcda，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积【解答】解：根据题意可知三棱锥bacd的三条侧棱bdad、dcda，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱abca1b1c1的中，底面边长为1，1，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，三棱柱abca1b1c1的外接球的球心为o，外接球的半径为r，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：球的半径为r=外接球的表面积为：4r2=5故答案为：5【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提三、解答题：（本大题共5小题，满分60分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17已知函数（i）求函数f（x）的最小正周期； （ii）求函数的值域【考点】正弦函数的定义域和值域；三角函数的周期性及其求法【专题】综合题【分析】把f（x）的解析式中的第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，然后再利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，（i）找出正弦函数中的，根据周期公式t=即可求出最小正周期；（ii）由x的范围，求出这个角的范围，然后根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，即可得到f（x）的值域【解答】解：=，（i）（ii），所以f（x）的值域为：【点评】此题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的值域根据三角函数的恒等变形把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键18已知半径为2，圆心在直线y=x+2上的圆c（）若圆c与直线3x+4y5=0有交点，求圆心c的横坐标的取值范围；（）当圆c经过点a（2，2）且与y相切时，求圆c的方程【考点】圆的切线方程【专题】综合题；直线与圆【分析】（）圆c与直线3x+4y5=0有交点，可得圆心到直线的距离dr；（）可设圆心坐标为（a，a+2），圆的方程为（xa）2+y（a+2）2=4，利用圆经过点a（2，2）且与y轴相切，建立方程，即可求圆c的方程【解答】解：（）解：设圆心坐标为（a，a+2），圆c与直线3x+4y5=0有交点，圆心到直线的距离d=2，7a13；（）圆心在直线y=x+2上，可设圆心坐标为（a，a+2），圆的方程为（xa）2+y（a+2）2=4，圆经过点a（2，2）且与y轴相切，有解得a=2，所求方程是：（x2）2+y2=4【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19已知四棱锥ea bcd中，adbc，ad=bc=1，bce为等边三角形，且面bce面abcd，点f为ce中点（）求证：df面abe；（）若abcd为等腰梯形，且ab=1，求三棱锥b一cdf的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（）取be中点m，连接am，mf，则mfbc，mf=bc，证明四边形adfm是平行四边形，可得amdf，即可证明：df面abe；（）利用等体积转化，即可求三棱锥b一cdf的体积【解答】（）证明：取be中点m，连接am，mf，则mfbc，mf=bc，adbc，ad=bc，admf，ad=mf，四边形adfm是平行四边形，amdf，am面abe，df面abe，df面abe；（）解：由bce为等边三角形，面bce面abcd，bc=2，可得点e到平面abcd的距离为，点f到平面abcd的距离为，abcd为等腰梯形，且ab=ad=dc=1，bc=2，sbcd=，vbcdf=vfbcd=【点评】本题考查线面平行的判定，考查求三棱锥b一cdf的体积，证明四边形adfm是平行四边形是关键20已知椭圆c： +=1（ab0）过点p（1，），离心率e=（）求椭圆c的方程（）已知直线l：x=my+1与椭圆相交于a，b两点，记abp三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值【考点】椭圆的简单性质【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由=可得a=2c，b=c；再由点p在椭圆上，解方程可求出椭圆c的方程；（）右焦点f（1，0），直线l：x=my+1与椭圆的交点a（x1，y1），b（x2，y2），从而联立方程再用韦达定理，再写出kpa，kpb，从而化简t=kpakpbk从而由配方法求最大值即可【解答】解：（）设c=，由题意，得=，所以 a=2c，b=c又点p（1，）在椭圆上，即有+=1，解得a=2，c=1，故椭圆方程+=1；（）直线l：x=my+1与椭圆的交点a（x1，y1），b（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，消去x，得 （4+3m2）y2+6my9=0由题意，可知0，则y1+y2=，y1y2=，所以直线pa的斜率kpa=，直线pb的斜率kpb=，所以t=kpakpbk=代入，化简可得t=（+）2+，则当m=时，abp三条边所在直线的斜率的乘积t有最大值【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题21已知函数f（x）=（x22x）lnx+ax2+2（）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）当a0时，设函数g（x）=f（x）x2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e2xe，g（x）m，求m的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理【专题】导数的综合应用【分析】（）当a=1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（）由g（x）=f（x）x2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e2xe，g（x）m，求出g（x）max，即可求得m的取值范围【解答】解：（）当a=1时，f（x）=（x22x）lnxx2+2，定义域（0，+），f（x）=（2x2）lnx+（x2）2xf（1）=3，又f（1）=1，f（x）在（1，f（1）处的切线方程3x+y4=0；（）g（x）=f（x）x2=0，则（x22x）lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h（x）=，令t（x）=1x2lnx，则t（x）=，x0，t（x）0，t（x）在（0，+）上是减函数，又t（1）=h（1）=0，当0x1时，h（x）0，当x1时，h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，h（x）max=h（1）=1，当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x22x）lnx+x2x，若e2xe，g（x）m，只需证明g（x）maxm，g（x）=（x1）（3+2lnx），令g（x）=0，得x=1或x=，又e2xe，函数g（x）在（e2，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（）=e3+2，g（e）=2e23e，g（）=e3+222e2e（）=g（e），g（）g（e），m2e23e【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请用2b铅笔填涂题号22如图，四边形么bdc内接于圆，bd=cd，过c点的圆的切线与ab的延长线交于e点（i）求证：eac=2dce；（）若bdab，bc=be，ae=2，求ab的长【考点】与圆有关的比例线段；弦切角【专题】推理和证明【分析】（）由等腰三角形性质得bcd=cbd，由弦切角定理得ecd=cbd，从而bce=2ecd，由此能证明eac=2ecd（）由已知得accd，ac=ab，由bc=be，得ac=ec由切割线定理得ec2=aebe，由此能求出ab的长【解答】（）证明：因为bd=cd，所以bcd=cbd因为ce是圆的切线，所以ecd=cbd所以ecd=bcd，所以bce=2ecd因为eac=bce，所以eac=2ecd（）解：因为bdab，所以accd，ac=ab因为