高考数学 考点20 圆锥曲线的综合问题练习 (2).doc

考点20 圆锥曲线的综合问题1.（2010上海高考文科3）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，分别是两条渐近线的方向向量任取双曲线上的点，若（，），则，满足的一个等式是 【命题立意】本题考查双曲线性质与向量的有关知识，属中档题【思路点拨】先设出双曲线的方程，再由渐近线的方向向量及焦点坐标求出实半轴长和虚半轴长，得到双曲线方程.由向量相等，建立p点横纵坐标与a,b的关系，将p点坐标代入双曲线方程就能找到a，b满足的等式【规范解答】可设双曲线方程为，因为，分别是两条渐近线的方向向量，所以 .又由已知可得双曲线中c=，所以.由可得所以双曲线方程为.设p（x，y），则，所以代入双曲线方程,得.【答案】2.（2010上海高考理科3）如图所示，直线x=2与双曲线：的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点p，若，则a，b满足的一个等式是 .【命题立意】本题考查双曲线的性质与向量的有关知识【思路点拨】先求出双曲线的渐近线方程，再确定,的坐标，由向量相等，建立p点横纵坐标与a,b的关系，将p点坐标代入双曲线方程就能找到a，b满足的等式【规范解答】易得，所以.设,则，所以，即代入双曲线方程,得.【答案】【方法技巧】求双曲线的渐近线时，可令即可解出渐近线方程3.（2010江西高考文科）已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点.(1) 求椭圆的离心率.(2) 设，又为与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线上，求和的方程.【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考查三角形的重心性质，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.【思路点拨】（1）将焦点坐标直接代入即可得.（2）利用对称特点先求两个交点m，n的坐标，然后将求出的重心坐标代入方程求出字母系数即可.【规范解答】（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点， 所以，即.由得椭圆的离心率.（2）由（1）可知，椭圆的方程为 . 与抛物线的方程联立消去x得：.解得：或（舍去）.所以 ，即，所以的重心坐标为.因为重心在上，所以，得.所以.所以抛物线的方程为，椭圆的方程为.4.（2010江西高考理科）设椭圆，抛物线（1）若经过的两个焦点，求的离心率.（2）设，又m，n为与不在轴上的两个交点，若的垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力，体现了函数与方程思想及数形结合思想.【思路点拨】（1）将焦点坐标直接代入即可得.（2）利用对称特点先求两个交点m，n的坐标，然后将求出的重心坐标代入方程求出字母系数即可.【规范解答】（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，可得.由，有，所以椭圆的离心率（2）由题设可知m，n关于轴对称，设x10，则由 的垂心为b，有，所以 . 由于点在上，故有 .由得或（舍去），所以故所以的重心为.因重心在上，可得所以.又因为在上，所以得所以椭圆的方程为 抛物线的方程为5.（2010四川高考理科20）已知定点，定直线，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的2倍.设点的轨迹为，过点的直线交于b,c两点，直线ab,ac分别交于点m,n.（1）求的方程.（2）试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由.【命题立意】本题主要考查轨迹方程、直线方程、直线和双曲线交点问题、圆的性质等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及推理运算能力.【思路点拨】（1）可直接设点，利用已知条件求轨迹方程，属送分题.（2）结合图形，要判断以线段为直径的圆是否过点，一从长度判断：点到的中点的距离是否是线段长度的一半，这个计算量更大些；二从位置关系判断：若在以为直径的圆上，则为直角， 即fmfn,因平面坐标系内点的坐标易求，从而转化为向量的坐标运算，即判断是否成立.【规范解答】（1）设，则由题意知，整理可得. 的方程为.（2）当直线与轴不垂直时，设的方程为，由消去得（3-k2）.由题意知，且.设，则，.x1x2-1，直线 的方程为, 因此点的坐标为,.同理可得.,即以线段为直径的圆过点. 当直线与轴垂直时，其方程为，则不妨令,的方程为，因此点的坐标为，.同理可得.,即以线段为直径的圆过点.综上，以线段为直径的圆过点.【方法技巧】利用方程组求解直线和圆锥曲线的交点问题是通用方法，判断垂直的问题可借助向量的数量积解决.注重数形结合的思想，很多几何性质从图形可直观体现出来.6.（2010上海高考理科23）已知椭圆的方程为，点p的坐标为（-a，b）.（1）若直角坐标平面上的点m，a(0,-b)，b(a，0)满足,求点的坐标.（2）设直线交椭圆于，两点，交直线于点.若，证明：为的中点.（3）对于椭圆上的点q（a cos，b sin）（0），如果椭圆上存在不同的两个交点，满足,写出求作点，的步骤，并求出使，存在的的取值范围.【命题立意】本题综合性较强，其涉及椭圆的方程及性质、直线与椭圆的位置关系、椭圆的参数方程、向量的应用等有关知识【规范解答】（1）由题知，.设，则.由，得解得所以点m的坐标为（2）设，则，.两式相减整理得，所以.又因为，所以.设cd的中点为，则点n在直线上.又点n坐标满足方程，所以点n在直线上，即n为直线与的交点，由题设与交于点e,所以点e与点n重合，即e为cd的中点(3)由，且点在椭圆上，由向量的几何性质可知四边形为平行四边形.作法：设椭圆的中心为o，取中点为f；作直线of交椭圆于点n；过n作椭圆的切线t；过f作直线t的平行线，则这条线与椭圆的两个交点就是所求的点要使这样的点存在，只需线段pq的中点f在椭圆内部，易得.由，解得，所以.又0，所以的取值范围为【方法技巧】（1）直线与椭圆相交的问题中，设出弦端点的坐标，代入椭圆方程作差整理后，可以得到直线的斜率与弦中点坐标的关系；（2）“直线与椭圆有两个交点”等价于“弦中点在椭圆内部”，可以将弦中点的坐标代入椭圆方程，将方程中的“=”改为“”，其作用等价于联立方程后的判别式大于0.7.（2010湖北高考理科19）已知一条曲线c在y轴右边，c上每一点到点f(1,0)的距离减去它到y轴距离的差是1.(1)求曲线c的方程.(2)是否存在正数m，对于过点m(m,0)且与曲线c有两个交点a,b的任一直线，都有 ? 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【命题立意】本题主要考查如何求曲线方程、抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等，同时考查考生的推理和运算求解能力【思路点拨】(1)按求曲线方程的步骤求对应的曲线方程. (2)假设存在符合条件的m，设a(x1,y1),b(x2,y2),由=,再利用根与系数的关系找出m的值或范围.【规范解答】(1)设是曲线c上的任意一点，则由题意一定满足：，化简得：.(2)设过点的直线与曲线c的交点为，,直线的方程为，由，得，.于是 ，.又，,= ，又，于是不等式等价于+ .把代入，则不等式等价于 .因对任意实数t，的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于，即.由此可知，存在正数m，对于过点m(m,0)且与曲线c有两个交点a,b的任一