（陕西专用）高考数学 仿真模拟卷2 文.doc
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陕西专用高考数学
仿真模拟卷2
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仿真模拟(二)
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【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合s＝{1,2}，集合t＝{a}，∅表示空集，如果s∪t＝s，那么a的值是( )
a．∅ b．1
c．2 d．1或2
2．如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为( )
a． b．
c． d．
3．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为( )
a．2 b．3
c． d．
4．已知a，b是平面向量，若a⊥(a－2b)，b⊥(b－2a)，则a与b的夹角是( )
a． b．
c． d．
5．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于( )
a． b．
c． d．
6．已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是( )
a．－ b．
c．2 d．5
7．已知⊙p的半径等于6，圆心是抛物线y2＝8x的焦点，经过点m(1，－2)的直线l将⊙p分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线l的方程为( )
a．x＋2y＋3＝0 b．x－2y－5＝0
c．2x＋y＝0 d．2x－y－5＝0
8．已知f(x)是定义域为实数集r的偶函数，∀x1≥0，∀x2≥0，若x1≠x2，则＜0.如果f＝，4f(logx)＞3，那么x的取值范围为( )
a． b．
c．∪(2，＋∞) d．∪
9．已知函数①f(x)＝x2；②f(x)＝ex；③f(x)＝ln x；④f(x)＝cos x．其中对于f(x)定义域内的任意一个x1都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)＝1成立的函数是( )
a．① b．②
c．②③ d．③④
10．若数列{an}满足：存在正整数t，对于任意正整数n都有an＋t＝an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为t.已知数列{an}满足a1＝m(m＞0)，an＋1＝则下列结论中错误的是( )
a．若m＝，则a5＝3
b．若a3＝2，则m可以取3个不同的值
c．若m＝，则数列{an}是周期为3的数列
d．∃m∈q且m≥2，使得数列{an}是周期数列
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
题 号
第Ⅰ卷
第Ⅱ卷
总 分
二
16
17
18
19
20
21
得 分
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．如果执行下列程序框图，那么输出的s＝________.
12．一次射击训练，某小组的成绩只有7环、8环、9环三种情况，且该小组的平均成绩为8.15环，设该小组成绩为7环的有x人，成绩为8环、9环的人数情况见下表：
环数(环)
8
9
人数(人)
7
8
那么x＝________.
13．已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，若a2＝b2＋c2－bc，＝＋，则tan b的值等于________．
14．已知f1，f2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点p在此双曲线上，＝0，如果点p到x轴的距离等于，那么该双曲线的离心率等于________．
15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分)
a．(不等式选讲)
若存在实数x使||x－3|－|x－4||＜a成立，则实数a的取值范围是________．
b．(几何证明选讲)
如图，ab是⊙o的直径，d是ab延长线上一点，过d作⊙o的切线，切点为c，cd＝5，若∠cad＝30，则⊙o的直径ab＝________.
c．(坐标系与参数方程)
在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin＋sin＋cos ωx(其中ω＞0)，且函数f(x)的图象的两条相邻的对称轴间的距离为.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
17．(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试，其有2 000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195,205)，第二组[205,215)，……，第八组[265,275)．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)从这2 000名学生中，任取1人，求这个人的分数在255～265之间的概率约是多少？
(2)求这2 000名学生的平均分数；
(3)若计划按成绩取1 000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？
18．(本小题满分12分)如图1，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠adc＝90，ba＝bc.把△bac沿ac折起到△pac的位置，使得点p在平面adc上的正投影o恰好落在线段ac上，如图2所示．点e、f分别为棱pc，cd的中点．
(1)求证：平面oef∥平面apd；
(2)求证：cd⊥平面pof；
(3)在棱pc上是否存在一点m，使得m到p，o，c，f四点距离相等？请说明理由．
19．(本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列{an}，a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}的通项公式是bn＝2n－1，集合a＝{a1，a2，…，an，…}，b＝{b1，b2，b3，…，bn，…}．将集合a∩b中的元素按从小到大的顺序排成一个新的数列{cn}，求数列{cn}的前n项和sn.
20．(本小题满分13分)已知f(x)＝x2－2x－ln(x＋1)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)＝f(x)－x2＋3x＋a在上只有一个零点，求实数a的取值范围．
21．(本小题满分14分)过椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)右焦点f2的直线交椭圆于a，b两点，f1为其左焦点，已知△af1b的周长为8，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点p，q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
详解答案
仿真模拟(二)
一、选择题
1．d 依题意得t⊆s，因此a＝1或a＝2，故选d.
2．c 由几何概率的意义可知，图形Ω面积的估计值为a2＝，故选c.
3．a 记题中的等比数列的公比为q.依题意有s6＝9s3，∴s6－s3＝8s3，∴＝8，即q3＝8，得q＝2，故选a.
4．b 记向量a，b的夹角为θ.依题意得即|a|2＝|b|2＝2ab＝2|b|2cos θ，cos θ＝，θ＝，即向量a，b的夹角为θ＝，故选b.
5．c 依题意得，该几何体是一个半球，其体积等于π23＝，故选c.
6．c 依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a＞0，－2＋3＝－，－23＝，解得b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选c.
7．a 依题意得，要使两弧之差最大，注意到这两弧的和一定，因此就要使其中的一弧长最小，此时所求直线必与mp垂直，又点p(2,0)，因此直线mp的斜率等于2，因此所求的直线方程是y＋2＝－(x－1)，即x＋2y＋3＝0，故选a.
8．b 依题意得，函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，不等式4f(logx)＞3等价于f(logx)>，f(|logx|)＞f，|logx|＜，即－＜logx＜，由此解得＜x＜2，故选b.
9．b 对①，当x1＝0时，x2不存在；对②，任意的x1，存在唯一一个x2(x2＝－x1)使得f(x1)f(x2)＝1成立；对③，当x1＝1时，x2不存在；对④，当x1＝时，x2不存在．
10．d 对于a，当a1＝m＝时，a2＝，a3＝a2－1＝，a4＝4，a5＝3，因此选项a正确．对于b，当a3＝2时，若a2＞1，则a3＝a2－1＝2，a2＝3，或由此解得m＝4或m＝；若0＜a2≤1，则a3＝＝2，a2＝，或由此解得m＝，因此m的可能值是，，4，选项b正确．对于c，当m＝时，a1＝，a2＝－1，a3＝＋1，a4＝，a5＝－1，a6＝＋1，…，此时数列{an}是以3为周期的数列，因此选项c正确．综上所述，故选d.
二、填空题
11．解析： 依题意，执行题中的程序框图，最后输出的s＝2(1＋2＋3＋…＋20)＝2＝420.
答案： 420
12．解析： 依题意得7x＋87＋98＝(x＋7＋8)8.15，由此解得x＝5.
答案： 5
13．解析： 依题意得b2＋c2－a2＝2bccos a＝bc，cos a＝，a＝60.＝＝＝＋＝＋，因此tan b＝.
答案：
14．解析： 依题意得(|pf1|2＋|pf2|2)－(|pf1|－|pf2|)2＝2|pf1||pf2|＝4c2－4a2＝4b2，|pf1||pf2|＝2b2＝2.又s△pf1f2＝|pf1||pf2|＝|f1f2|，因此|f1f2|＝2，a＝＝2，该双曲线的离心率是＝.
答案：
15．a.解析： 注意到|x－3|－|x－4|≤1，即有|x－3|－|x－4|≥－1，且当x≤3时取等号，因此函数y＝|x－3|－|x－4|的最小值是－1，于是实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
答案： (－1，＋∞)
b．解析： 依题意得oc⊥cd，∠cod＝∠cad＋∠oca＝60，tan∠cod＝＝＝，oc＝5，因此直径ab＝2oc＝10.
答案： 10
c．解析： 点的直角坐标是(1，)，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程是x2＋y2＝2x，圆心的直角坐标是(1,0)，因此点(1，)与点(1,0)的距离为.
答案：
三、解答题
16．解析： (1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.
∵函数f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为，
∴t＝＝π，
∴ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝2sin，
∴g(x)＝2sin.
由x∈，可得≤x＋≤π，
∴当x＋＝，即x＝时，
g(x)取得最大值g＝2sin ＝2；
当x＋＝，即x＝时，
g(x)取得最小值g＝2sin ＝1.
17．解析： (1)设第i(i＝1,2，…，8)组的频率为fi，则由频率分布图知f7＝1－(0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)10＝0.12，
∴这个人的分数在255～265之间的概率约是0.12.
(2)这2 000名学生的平均分数为2000.04＋2100.1＋2200.1＋2300.2＋2400.2＋2500.16＋2600.12＋2700.08＝237.8.
(3)从第一组到第四组，频率为0.04＋0.1＋0.1＋0.2＝0.44，而0.5－0.44＝0.06，将第五组[235,245)，按以下比例分割：
＝，
∴中位数为235＋3＝238，∴应将分数线定为238分．
18．解析： (1)证明：因为点p在平面adc上的正投影o恰好落在线段ac上，所以po⊥平面adc，所以po⊥ac.
因为ab＝bc，所以o是ac的中点，
所以oe∥pa.
同理of∥ad.
又oe∩of＝o，pa∩ad＝a，
所以平面oef∥平面pda.
(2)证明：因为of∥ad，ad⊥cd，
所以of⊥cd.
又po⊥平面adc，cd⊂平面adc，
所以po⊥cd.
又of∩po＝o，所以cd⊥平面pof.
(3)存在，事实上记点e为m即可．
因为cd⊥平面pof，pf⊂平面pof，
所以cd⊥pf.
又e为pc的中点，所以ef＝pc，
同理，在直角三角形poc中，ep＝ec＝oe＝pc，
所以点e到四个点p，o，c，f的距离相等．
19．解析： (1)设等差数列{an}的公差为d.
由题意(a4－2)2＝a2a6得(3d－1)2＝(1＋d)(1＋5d)．
解得d＝3或者d＝0.因为公差d不为0，所以d＝3.
故an＝3n－2.
(2)由题意知数列{cn}是数列{an}与数列{bn}的公共项，令2n－1＝3m－2，
则2n＝22n－1＝6m－4＝3(2m－1)－1不是数列{cn}的项，2n＋1＝2n－122＝12m－8＝3(4m－2)－2是数列{cn}的项．
所以{cn}是以a1＝b1＝1为首项，4为公比的等比数列，即
cn＝4n－1，
故sn＝＝.
20．解析： (1)f(x)的定义域为{x|x≠－1}．
∵f(x)＝x2－2x－ln(x＋1)2，
∴f′(x)＝2x－2－＝，
解得－＜x＜－1或x＞，
∴f(x)的单调递增区间是(－，－1)和(，＋∞)．
(2)由已知得f(x)＝x－ln(x＋1)2＋a，且x≠－1，
∴f′(x)＝1－＝.
∴当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴当－＜x＜1时，f′(x)＜0，此时，f(x)单调递减；
当1＜x＜2时，f′(x)＞0，此时，f(x)单调递增．
∵f＝－＋2ln 2＋a＞a，f(2)＝2－2ln 3＋a＜a，
∴f＞f(2)．
∴f(x)在上只有一个零点⇔或f(1)＝0.
由得－2ln 2≤a＜2ln 3－2；
由f(1)＝0得a＝2ln 2－1.
∴实数a的取值范围为－2ln 2≤a＜2ln 3－2或a＝2ln 2－1.
21．解析： (1)由已知得解得∴b2＝a2－c2＝1，
故椭圆Γ的方程为＋y2＝1.
(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x2＋y2＝r2(0＜r＜1)．
当直线pq的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋t，
由消去y整理得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0.
设p(x1，y1)，q(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝. ①
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，
∴x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，
即(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0. ②
将①代入②得－＋t2＝0，
即t2＝(1＋k2)．
∵直线pq与圆x2＋y2＝r2相切，
∴r＝＝＝∈(0,1)，
∴存在圆x2＋y2＝满足条件．
当直线pq的斜率不存在时，也适合x2＋y2＝.
综上所述，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足条件．
12
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