2017年高三数学周考试卷12.18.doc

2017年高三数学周考试卷12.18（理科）学校:_姓名：_班级：_考号：_一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数z=（其中i为虚数单位），则z的虚部为（）A. -1B. 1C. -iD. i2. 已知集合M=-1，0，1，N=y|y=1-cosx，xM，则集合MN的真子集的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1，过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积（）A. B. C. D. 4. 下列命题中正确命题的个数是（1）对于命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR，均有x2+x+10；（2）命题“已知x，yR，若x+y3，则x2或y1”是真命题；（3）设B（n，p），已知E=3，D=，则n与p值分别为12， （4）m=3是直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（）种A. 24B. 36C. 42D. 606. 若变量x，y满足不等式组，且z=3x-y的最大值为7，则实数a的值为（）A. 1B. 7C. -1D. -77. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”执行改程序框图（图中“aMODb”表示a除以b的余数），若输入的a，b分别为675，125，则输出的a=（）A. 0 B. 25 C. 50 D. 758. 等差数列an中的a2、a4030是函数的两个极值点，则log2（a2016）=（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 已知函数f（x）=sin（x+）-cos（x-）（0），满足f（-）=，则满足题意的的最小值为（）A. B. C. 1D. 210. 图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为（）A. 32B. 48C. 50D. 6411. 已知点O为ABC内一点，AOB=120，OA=1，OB=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则的值为（）A. B. C. D. 12. 已知函数f（x）=lnx-x2与g（x）=（x-2）2-m的图象上存在关于（1，0）对称的点，则实数m的取值范围是（）A. （-，1-ln2）B. （-，1-ln2C. （1-ln2，+）D. 1-ln2，+）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. （1+tan23）（1+tan22）= _ 14. 已知（2x2+x-y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为_ （用数字作答）15. 如下等式： 以此类推，则2018出现在第_ 个等式中16. 设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M满足=（+），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，则M点的横坐标为_ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列an满足a1=3，an+1=2an-n+1，数列bn满足b1=2，bn+1=bn+an-n（1）证明：an-n为等比数列；（2）数列cn满足，求数列cn的前n项和Tn，求证：Tn18. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有10人在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有5人，不超过100km/h的有15人（）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关； 平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望参考公式：，其中n=a+b+c+d参考数据： P（K2k0）0.1500.1000.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819. 如图，在四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB=2，BC=CD=1，顶角D1在底面ABCD内的射影恰好为点C（1）求证：AD1BC；（2）若直线DD1与直线AB所成角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值函数值20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为（）求椭圆C的方程；（）过原点的直线与椭圆C交于两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1=k2，并求出的值21. 已知函数f（x）=（I）讨论函数的单调性，并证明当x-2时，xex+2+x+40；（）证明：当a0，1）时，函数g（x）=（x-2）有最小值，设g（x）最小值为h（a），求函数h（a）的值域22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=6cos（）写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）过点M（-1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求|AB|23. 已知函数f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值为k（1）求k的值；（2）若a，b，cR，求b（a+c）的最大值试卷（理科）【答案】1. A2. C3. C4. B5. D6. A7. C8. A9. C10. C11. D12. D13. 214. 12015. 3116. 317. 证明：（1）an+1=2an-n+1，an+1-（n+1）=2（an-n），即bn+1=2bna1-1=2，an-n是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可得：bn=an-n=2n=-Tn=+ =18. 解：（）根据题意，填写列联表如下； 平均车数超过人数平均车速不超过人数合计男性驾驶员人数201030女性驾驶员人数51520合计252550计算K2=8.3337.879，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；（）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆的概率为，所以的可能取值为0，1，2，3，且B（3，），P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=；的分布列为： 0123P数学期望为；或19. 解：（）证明：连接D1C，则D1C平面ABCD，D1CBC 在等腰梯形ABCD中，连接AC AB=2，BC=CD=1，ABCD BCAC BC平面AD1C AD1BC（6分）（）解法一：ABCD CD=1 在底面ABCD中作CMAB，连接D1M，则D1MAB，所以D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角在RtD1CM中， 即平面ABC1D1与平面ABCD所成角（锐角）的余弦函数值为（12分）解法二：由（）知AC、BC、D1C两俩垂直，ABCD 在等腰梯形ABCD中，连接AC因AB=2，BC=CD=1ABCD，所以，建立如图空间直角坐标系，则，B（0，1，0）， 设平面ABC1D1的一个法向量 由得 可得平面ABC1D1的一个法向量又为平面ABCD的一个法向量因此 所以平面ABC1D1和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为20. 解：（）由题意知，e=，a2-b2=c2，则a2=4b2则椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2将y=x代入可得x=a，因此a=，解得a=2，则b=1椭圆C的方程为+y2=1；（）设A（x1，y1）（x1y10），D（x2，y2），则B（-x1，-y1）直线AB的斜率kAB=，又ABAD，直线AD的斜率kAD=-设AD方程为y=kx+m，由题意知k0，m0联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0x1+x2=-因此y1+y2=k（x1+x2）+2m=由题意可得k1=-=直线BD的方程为y+y1=（x+x1）令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）可得k2=-k1=-k2，即=-因此存在常数=-使得结论成立21. 解：（）证明：由，得，故f（x）在（-，-4）和（-4，+）上单调递增，（3分）当x-2时，由上知f（x）f（-2）=-1，即，即xex+2+x+40，得证（5分）（）对求导，得，x-2（6分）记，x-2由（）知，函数（x）区间（-2，+）内单调递增，又（-2）=-1+a0，（0）=a0，所以存在唯一正实数x0，使得于是，当x（-2，x0）时，（x）0，g（x）0，函数g（x）在区间（-2，x0）内单调递减；当x（x0，+）时，（x）0，g（x）0，函数g（x）在区间（x0，+）内单调递增所以g（x）在（-2，+）内有最小值，由题设即（9分）又因为所以根据（）知，f（x）在（-2，+）内单调递增，所以-2x00令，则，函数u（x）在区间（-2，0内单调递增，所以u（-2）u（x）u（0），即函数h（a）的值域为（12分）22. 解：（）由消去参数t，得直线l的普通方程为x-y-6=0又由=6cos得2=6cos，由得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-6x=0（5分）（）过点M（-1，0）且与直线l平行的直线l1的参数方程为 将其代入x2+y2-6x=0得，则，知t10，t20，所以（10分）23. 解：（1）由于f（x）=，当x-1时，f（x）max=f（1）=1-3=-4，当-1x1时，f（x）f（-1）=3-1=2，当x-1时，f（x）max=f（-1）=-1+3=2，所以k=f（x）max=f（-1）=2，（2）由已知，有（a2+b2）+（b2+c2）=4，因为a2+b22ab（当a=b取等号），b2+c22bc（当b=c取等号），所以（a2+b2）+（b2+c2）=42（ab+bc），即ab+bc2，故b（a+c）max=2【解析】1. 解：z=-1-i，则z的虚部为-1，故选：A 化简已知复数，由复数的基本概念可得虚部本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题2. 解：因为N=0，1，所以MN=0，1，其真子集的个数是3故选C 不等式化简集合N，取交集求出MN，则其子集个数可求本题考查了真子集的概念，考查了交集及其运算，是基础题3. 解：双曲线C1：2x2-y2=1，即-y2=1左顶点A（-，0），渐近线方程y=x，过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=x+1，解方程组，得x=-，y=该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积：S=|OA|y|=，故选：C双曲线C1：左顶点A（-，0），过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y=x+1，由此能求出该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积本题考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，属于基础题4. 解：对于（1），对于命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR，均有x2+x+10，（1）错误；对于（2），命题“已知x，yR，若x=2且y=1，则x+y=3”是真命题，则它的逆否命题若x+y3，则x2或y1是真命题，（2）正确；对于（3），B（n，p），E=np=3，D=np（1-p）=，解得n=12，p=，（3）正确；对于（4），m=3时，直线（m+3）x+my-2=0为6x+3y-2=0，直线mx-6y+5=0为3x-6y+5=0，两直线垂直，充分性成立；直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0垂直时，m（m+3）-6m=0，解得m=0或m=3，必要性不成立，不是两直线垂直的充要条件，（4）错误综上，正确的命题序号是（2）（3）故选：B（1）根据特称命题的否定是全称命题，判断（1）错误；（2）根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断它的逆否命题的真假性即可；（3）根据E、D求出n、p的值即可；（4）分别判断充分性与必要性是否成立即可本题考查了命题真假的判断问题，是综合题5. 解：根据题意，分3种情况讨论：、3人选择同一个通道口进站，通道口有3种选择，3个人的前后顺序有A33种情况，则此时有3A33=18种进站方式，、3人选择2个通道口进站，先将3人分成2组，有C32=3种分组方法，在3个通道口中任选2个，有A32=6种情况，考虑2人组的前后顺序，有A22=2种情况，此时有362=36种进站方式，、3人选择3个通道口进站，将3人全排列，对应3个通道口即可，有A33=6种进站方式，则这个家庭3个人的不同进站方式有18+36+6=60种；故选：D根据题意，按3人选择通道口的数目分3种情况讨论，、3人选择同一个通道口进站，、3人选择2个通道口进站，、3人选择3个通道口进站，分别求出每一种情况的进站方式数目，由分类计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的综合应用，注意要结合题意，按3人选择通道口的数目进行分类讨论6. 解：作出不等式组所对应可行域，如图， 变形目标函数z=3x-y可得y=3x-z，平移直线y=3x可知：当直线经过点A时，直线截距最小值，z取最大值，由解得A（a+2，2）代值可得3a+6-2=7，解得a=1，故选：A作出可行域，变形目标函数，平移直线可得z的最值，可得a的方程，解方程可得本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题7. 解：输入a=675，b=125，c=50，a=125，b=50，c=25，a=50，b=25，c=0，输出a=50，故选：C模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题8. 解：，f（x）=x2-8x+6，等差数列an中的a2、a4030是函数的两个极值点，a2+a4030=8，log2（a2016）=log24=2故选：A求函数的导数，由题意可得a2、a4030是对应方程的实根，由韦达定理可得a2+a4030的值，然后由等差数列的性质可得a2016的值，代入化简即可本题考查等差数列的性质和韦达定理，属基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、导数知识的合理运用9. 解：f（x）=sin（x+）-cos（x-）=sin（x）cos+cos（x）sin）-cos（x）cos-sin（x）sin =sin（x）+cos（x）=sin（x+），又f（-）=，所以sin（+）=，所以=1-12k或=-3-12k，kZ，所以满足题意的的最小值为1故选C首先化简三角函数式，根据f（-）=，得到的两个等式，由题意取的最小正数本题考查了三角函数式的化简与求值；熟练正确的对解析式化简是解答的前提10. 解：由三视图可知该几何体是一个底面是矩形的四棱锥，记该几何体的外接球球心为O，半径R=OA，则PA=，OP=R-，所以OA2=OP2+AP2，又因为OP2=，所以R2=+，解得：R=，所以所求面积S=4R2=4=50，故选：C通过还原三视图确定几何体，利用空间中的位置关系计算可得球的半径，进而利用面积公式即得结论本题考查三视图求面积，考查空间想象能力，找出球心是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题11. 解：如图：点O为ABC内一点，AOB=120，OA=1，OB=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，=0，则=（-）=-=- =AOB中，利用余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OAOBcos120=1+4+2=7，AB=SAOB=OAOBsin120，可得OD=，OD=，=，故选：D由题意可得=0，计算=（-）=AOB中，利用余弦定理可得AB=，再利用面积法求得OD=，从而求得=的值本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题12. 解：由已知可得：g（x）=（x-2）2-m的图象与函数y=-f（2-x）=-ln（2-x）+（2-x）2的图象有交点，即（x-2）2-m=-ln（2-x）+（2-x）2有解，即m=ln（2-x）-有解，令t=2-x，y=ln（2-x）-=lnt+，则y=-=，当t（0，）时，y0，函数为减函数；当t（，+）时，y0，函数为增函数；故当t=时，函数取最小值ln+1=1-ln2，无最大值，故m1-ln2，+），故选：D 由已知可得：g（x）=（x-2）2-m的图象与函数y=-f（2-x）=-ln（2-x）+（2-x）2的图象有交点，即m=ln（2-x）-有解，利用换元法和导数法，求出函数y=ln（2-x）-的值域，可得答案本题考查的知识点是函数的对称变换，函数图象，导数法求函数的最值和值域，难度中档13. 解：（1+tan23）（1+tan22）=1+tan23+tan22+tan23tan22=1+（tan23+tan22）+tan23tan22 =1+tan（22+23）（1-tan23tan22）+tan23tan22=1+1-tan23tan22+tan23tan22=2，故答案为：2由条件利用两角和的正切公式，求得要求式子的值本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题14. 解：由题意，（2x2+x-y）n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，n=5，那么（2x2+x-y）5=（x2+x）-y5，通项公式Tr+1=，展开式中含有x5y2，可知r=2那么（2x2+x）3中展开必然有x5，由通项公式，可得 含有x5的项：则t=1，展开式中x5y2的系数为=120故答案为120根据（2x2+x-y）n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，求出n=5，将（2x2+x-y）5=（x2+x）-y5，利用通项公式，求出x5y2的项，可得其系数本题主要考查二项式定理的应用，把三项改为二项，利用通项公式展开式中含有x5y2，求出满足要求次数，是解题的关键15. 解：2+4=6； 8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30，其规律为：各等式首项分别为21，2（1+3），2（1+3+5），所以第n个等式的首项为21+3+（2n-1）=2=2n2，当n=31时，等式的首项为2312=1932，当n=32时，等式的首项为2322=2048，所以2018在第31个等式中，故答案为：31 从已知等式分析，发现规律为：各等式首项分别为21，2（1+3），2（1+3+5），即可得出结论本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题16. 解：由题意可知：抛物线y2=4x的焦点为F，准线为x=-1，M是AB的中点，设A（x1，y2），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x-1），将直线方程代入抛物线方程消去y得：k2x2-（2k2+4）+k2=0，由根与系数的关系：x1+x2=2+，x1x2=1，又设P（x0，y0），y0=（y1+y2）=k（x1-1）+k（x2-1）=，x0=，P（，），|PF|=x0+1=+1=2，k2=1，M点的横坐标为3，故答案为：3根据已知条件M是AB中点，设出A和B的坐标及直线方程，并将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，表示出x1+x2和x1x2，并求出P点坐标，根据|PF|=2，求得k的值，即可求得M点的横坐标本题考查抛物线的性质和应用及根与系数的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法，属于中档题17. （1）an+1=2an-n+1，可得an+1-（n+1）=2（an-n），即bn+1=2bn即可证明（2）由（1）可得：bn=an-n=2n可得=-利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18. （）根据题意，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（）根据样本估计总体的思想，求得从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆的概率，知的可能取值，且B（3，），计算对应的概率，写出的分布列，计算数学期望值本题考查了二项分布列的性质及其数学期望和独立性检验思想方法，属于中档题19. （）证明：连接D1C，证明BC平面AD1C，利用直线与平面垂直的性质定理证明AD1BC（）解法一：连接D1M，则D1MAB，说明D1MC为