任意角的三角函数（二）的教学设计.doc

任意角的三角函数（二）的教学设计浙江省象山中学 王海挺教学背景： 1教材地位分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，可以说,三角函数线是研究三角函数的有效工具。.2学生现实分析：学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.高一上学期研究指、对数函数图像时,学生已了解几何画板的基础知识，可以参与学习讨论。教学目标：1知识目标: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。.2能力目标: 借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力。3情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境。教学重点与难点1重点：三角函数线的作法及其简单应用.2难点：有向线段的引入与正切线的作法教学方法与手段1教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”科研式教学.2学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展。3教学手段：本节课地点选在多媒体微格教室，师生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验。教学过程一、复习引入我们首先来回顾一下上节课的主要内容，在初中我们是在直角三角形中来定义三角函数，但随着角扩充到任意角后，直角三角形这个研究模型显然不适用了，所以在上节课我们对三角函数重新进行了定义。 锐角（特殊） 任意角（一般） 通过新的定义，我们把锐角三角函数拓展到了任意角三角函数，这种从特殊到一般的推理方法是研究数学的一种重要方法。三角函数是一种特殊的函数，我们研究函数问题一般有两个方向，一个是代数，一个是几何，前一节课我们已经研究了三角函数的代数表示，这节课我们主要来研究三角函数的几何表示。设计意图：通过初高中三角函数的定义，从而得到一种研究数学新知识的一种推理方法，为三角函数线的研究做好铺垫作用。二、探索研究1、三角函数的正弦线与余弦线问题1：我们能否用几何图形来表示？教师引导学生联想到刚才复习提到的研究数学新问题时的常用方法，从特殊到一般的推理方法。要研究任意角的表示相对比较困难，所以想到一些特殊的象限角（比如第一象限角）。当为第一象限角时， 当为第三象限角时， 问：这里的线段表示是否还可以简化，使得其像代数表示一样简洁？。 通过两个特殊的象限角的正弦值与余弦值的代数和几何表示进行分析，坐标轴上坐标是如何定义正负等，经过类比，对于线段的正负，我们可以用方向来刻画，从而得出有向线段的概念。有向线段：既有大小，又有方向的线段。规定：与x轴，y轴方向相同的为正方向，反之为负方向。从而得出正弦值与余弦值的几何表示： 角的正弦线 角的余弦线通过几何画板的动态演示，来检验用有向线段、来表示正弦值和余弦值的科学性以及合理性。设计意图：通过类比的方式，引入有向线段的概念，能使学生更容易接受这个概念。通过从特殊到一般的探究方式，能使学生更深刻，更自然的理解三角函数的正弦线与余弦线。2、三角函数的正切线问题2：我们能否也用一条线段来表示？因为有正弦线和余弦线的学习基础，可以让学生思考，动手尝试。讨论焦点：若令, 则，但是第二象限角的终边上没有横坐标为1的点，若此时取的点T， ,有向线段的表示方法又不能统一。引导观察：当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关系？统一认识：方案1：在象限角的终边或其反向延长线上取的点T，则；方案2：借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到几何画板演示验证:当角的终边落在其它象限和坐标轴上时，与有向线段AT的对应。.从而得出 角的正切线 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.设计意图：教学已经不再是把教师或学生看成孤立的个体，而是把他们的教和学看成是相互影响的辩证发展过程.在和谐的氛围中，教师和学生都处在自由状态，可以不受框框的束缚，充分表达各自的意见，在自己积极思维的同时又能感受他人不同的思维方式，从而打破自己的封闭状态，进入更加广阔的领域。3、三角函数线的简单应用问题3：你能从单位圆中的三角函数线得出三角函数的哪些性质？通过几何画板的演示，让学生初步感受三角函数线的直观性，从其变化过程中归纳出三角函数的一些简单性质，比如：值域、单调性、周期变化、证明不等式等。 设计意图：通过直观感知，为后面学习三角函数的性质打下一个基础。三、作法总结,变式演练总结这三种三角函数线的作法：第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；第二步：过点P作轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT。特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）。练习2、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.（学生板书（2）（4）两个）设计意图：及时归纳总结，加深知识的理解和记忆，巩固练习,准确掌握三角函数线的作法。四、归纳小结,课堂延展1、有向线段的概念2、三角函数线的定义3、会画任意角的三角函数线4、会利用任意角的三角函数线解决一些简单问题设计意图：回顾三角函数线作法,再次加深理解和记忆.点明三角函数线在其他方面的应用,以及数形结合思想,便于学生在后续学习中更深入的思考,更广泛的研究。五、课后作业1、解不等式：。2、设计意图：既能保证全体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外。板书设计 1.2.1任意角的三角函数（二）1、三角函数的定义 2、有向线段的定义3、三角函数线的定义4、学生画图练习教学反思1、本节课是任意角三角函数的第二课时，在三角函数中起着承上启下的作用，既是对三角函数代数定义的拓展，又是学习后面三角函数图像的一个有效工具。2、本节课是一节概念课，内容理解上相对比较抽象，所以在教材的处理上始终贯穿从特殊到一般的推理学习方式。因为数学教学不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法。为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法。本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够独立地开展科研活动。3、让计算机软件真正走入数学课堂,发挥它们的辅助作用。对于计算机辅助本节课有较广的延展面，它是培养学生发现、探索、创新能力的很好素材。几何画板软件的动画演示功能可以帮助学生做数学试验，探讨数学问题，为此，我把授课地点放在多媒体