浙江省浙大附中高考数学全真模拟试卷 理（含解析）.doc

2015年浙江省浙大附中高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题1设集合a=x|2x3，b=x|x+10，则集合ab等于（）ax|2x1bx|2x1cx|1x3dx|1x32下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+）上单调递增的是（）ay=by=x2+1cy=2xdy=lg|x+1|3已知a，b为实数，则“a+b2”是“a1且b1”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4下列命题中错误的是（）a如果平面平面，平面平面，=l，那么lb如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面c如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面d如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于5若如图是函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，则函数g（x）的解析式可能是（）ag（x）=sin（2x）bg（x）=sin（2x）cg（x）=cos（2x）dg（x）=cos（2x）6已知双曲线与圆交于a、b、c、d四点，若四边形abcd是正方形，则双曲线的离心率是（）abcd7用餐时客人要求：将温度为10c、质量为0.25kg的同规格的某种袋装饮料加热至3040服务员将x袋该种饮料同时放入温度为80c、2.5kg质量为的热水中，5分钟后立即取出设经过5分钟加热后的饮料与水的温度恰好相同，此时，m1kg该饮料提高的温度t1c与m2kg水降低的温度t2c满足关系式m1t1=0.8m2t2，则符合客人要求的x可以是（）a4b10c16d228如图，在rtabc中，ac=1，bc=x，d是斜边ab的中点，将bcd沿直线cd翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得cbad，则x的取值范围是（）a（0，b（，2c（，2d（2，4二、填空题9已知等比数列an的公比为q，前n项和为sn，若sn+1，sn，sn+2成等差数列，且s1=1，则q=，a2=，an=10已知点p（cos，sin）在直线 y=3x上，则tan（）=； =11若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，则k的值为；若该平面区域存在点（x0，y0）使x0+ay0+20成立，则实数3a+b的取值范围是12一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为13已知非零向量的交角为600，且，则的取值范围为14实数x，y满足4x25xy+4y2=5，设 s=x2+y2，则+=15已知关于x的方程在区间k1，k+1上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共74分解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且2asinb=5c，cosb=（）求角a的大小；（）设bc边的中点为d，|ad|=，求abc的面积17如图，已知平面qbc与直线pa均垂直于rtabc所在平面，且pa=ab=ac（）求证：pa平面qbc；（）pq平面qbc，求二面角qpba的余弦值18已知直线（1+3m）x（32m）y（1+3m）=0（mr）所经过的定点f恰好是椭圆c的一个焦点，且椭圆c上的点到点f的最大距离为3（）求椭圆c的标准方程；（）设过点f的直线l交椭圆于a、b两点，若，求直线l的斜率的取值范围19已知数列an中，a1=1，a2=，且an+1=（n=2，3，4）（1）求数列an的通项公式；（2）求证：对一切nn*，有ak220已知函数f（x）=x2（a+1）x4（a+5），g（x）=ax2x+5，其中ar （1）若函数f（x），g（x）存在相同的零点，求a的值（2）若存在两个正整数m，n，当x0（m，n）时，有f（x0）0与g（x0）0同时成立，求n的最大值及n取最大值时a的取值范围2015年浙江省浙大附中高考数学全真模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1设集合a=x|2x3，b=x|x+10，则集合ab等于（）ax|2x1bx|2x1cx|1x3dx|1x3【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】先求出集合b，再由交集的运算求出ab【解答】解：由题意得，b=x|x+10=x|x1，又集合a=x|2x3，则ab=x|1x3，故选：c【点评】本题考查交集及其运算，属于基础题2下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+）上单调递增的是（）ay=by=x2+1cy=2xdy=lg|x+1|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意，结合常见的基本初等函数的图象与性质，对选项中的函数进行判断即可【解答】解：对于a，函数y=的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，不满足题意；对于b，函数y=x2+1的图象是轴对称图形，在区间（0，+）上是单调减函数，不满足题意；对于c，函数y=2x的图象不是轴对称图形，不满足题意；对于d，函数y=lg|x+1|的图象是关于直线x=1对称的图形，且在区间（0，+）上是单调增函数，满足题意故选：d【点评】本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目3已知a，b为实数，则“a+b2”是“a1且b1”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若a=4，b=1，满足a+b2，但a1且b1不成立，即充分性不成立，若a1且b1，则a+b2成立，即必要性不成立，故“a+b2”是“a1且b1”的必要不充分条件，故选：b【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础4下列命题中错误的是（）a如果平面平面，平面平面，=l，那么lb如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面c如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面d如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题在解答时：a利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；b注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；c反证法即可获得解答；d结合实物举反例即可【解答】解：如果平面平面，平面平面，=l，因为，则与必相交，设a是与的交线，又，则与必相交，设其交线ba属于，b属于，则a、b在同一个平面内，a与b不平行就相交假设ab，因为直线a和直线b分别属于和平面，则这与已知=l相矛盾所以a和b必相交同理可以证明三条直线a、b、l相交其交点o同属于、和o点必在l上因为，则al，bl所以l，故a正确；结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，所以，如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面，故b正确；假若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直故如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面，故c正确；命题如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，此垂线必垂直于，错误如果点取在交线上则没有垂线，故d错误故选d【点评】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用值得同学们体会和反思5若如图是函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，则函数g（x）的解析式可能是（）ag（x）=sin（2x）bg（x）=sin（2x）cg（x）=cos（2x）dg（x）=cos（2x）【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】三角函数的图像与性质【分析】由函数的图象的对称性求得f（x）=sin2x的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标，可得函数g（x）的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标，可得由f（x）=sin2x的图象如何平移得到g（x）的图象，从而得到g（x）的解析式【解答】解：由函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，可得f（x）=sin2x的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为设函数g（x）的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为m，则有，解得m=故把函数f（x）=sin2x的图象向右平移=个单位，即可得到函数g（x）的图象故g（x）=sin2（x）=sin（2x），故选 b【点评】本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，诱导公式，函数图象的对称性，属于中档题6已知双曲线与圆交于a、b、c、d四点，若四边形abcd是正方形，则双曲线的离心率是（）abcd【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；函数思想；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】联立双曲线方程和圆方程，求得交点，由于四边形abcd是正方形，则有x2=y2，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论【解答】解：联立双曲线方程和圆x2+y2=c2，解得，x2=c2，y2=，由于四边形abcd是正方形，则有x2=y2，即为c2=，即c4=2b4，即c2=b2=（c2a2），则e=故选：a【点评】本题考查双曲线方程和性质，考查联立双曲线方程和圆的方程求解交点，考查离心率的求法，属于基础题7用餐时客人要求：将温度为10c、质量为0.25kg的同规格的某种袋装饮料加热至3040服务员将x袋该种饮料同时放入温度为80c、2.5kg质量为的热水中，5分钟后立即取出设经过5分钟加热后的饮料与水的温度恰好相同，此时，m1kg该饮料提高的温度t1c与m2kg水降低的温度t2c满足关系式m1t1=0.8m2t2，则符合客人要求的x可以是（）a4b10c16d22【考点】函数解析式的求解及常用方法【专题】方程思想；解题方法【分析】先设服务员将x袋该种袋装饮料加热到t，则由：m1t1=0.8m2t2，得出x=8+，结合饮料加热到3040，即可求得x的值的范围，然后选择正确答案【解答】解：设服务员将x袋该种袋装饮料加热到t，则由：m1t1=0.8m2t2，得：0.25x（t10）=0.82.5（80t），x=8+，它是一个关于t的减函数，而饮料加热到3040，当t=40时，x=，当t=30时，x=20，则x20故选：c【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程式，再求解注意本题中x应为自然数8如图，在rtabc中，ac=1，bc=x，d是斜边ab的中点，将bcd沿直线cd翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得cbad，则x的取值范围是（）a（0，b（，2c（，2d（2，4【考点】与二面角有关的立体几何综合题【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知条件推导出，ad=cd=bd=，bc=x，取bc中点e，翻折前de=ac=，翻折后ae=，ad=，从而求出0x翻折后，当b1cd与acd在一个平面上，a=60，bc=actan60，此时x=1，由此能求出x的取值范围为（0，【解答】解：由题意得，ad=cd=bd=，bc=x，取bc中点e，翻折前，在图1中，连接de，cd，则de=ac=，翻折后，在图2中，此时 cbadbcde，bcad，bc平面ade，bcae，debc，又bcae，e为bc中点，ab=ac=1，ae=，ad=，在ade中：，x0；由可得0x如图3，翻折后，当b1cd与acd在一个平面上，ad与b1c交于m，且adb1c，ad=b1d=cd=bd，cbd=bcd=b1cd，又cbd+bcd+b1cd=90，cbd=bcd=b1cd=30，a=60，bc=actan60，此时x=1综上，x的取值范围为（0，故选：a【点评】本题考查线段长的取值范围的求法，要熟练掌握翻折问题的性质，注意培养空间思维能力二、填空题9已知等比数列an的公比为q，前n项和为sn，若sn+1，sn，sn+2成等差数列，且s1=1，则q=2，a2=2，an=（2）n1【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】方程思想；分类法；等差数列与等比数列【分析】运用等差数列的中项性质，运用等比数列的通项公式和求和公式，计算即可得到所求值【解答】解：sn+1，sn，sn+2成等差数列，可得2sn=sn+1+sn+2，若q=1，可得sn=na1=n，即有2n=n+1+n+2，方程无解；若q1，则2=+，可得2qn=qn+1+qn+2，即为q2+q2=0，解得q=1（舍去）或q=2，则q=2，a2=a1q=2，an=a1qn1=（2）n1故答案为：2，2，（2）n1【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等差数列的中项性质，考查运算能力，属于基础题10已知点p（cos，sin）在直线 y=3x上，则tan（）=2； =【考点】同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义；两角和与差的正切函数【专题】三角函数的求值【分析】把p坐标代入y=3x，利用同角三角函数间的基本关系求出tan的值，原式利用两角和与差的正切函数公式化简，把tan的值代入计算即可求出值；原式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，把tan的值代入计算即可求出值【解答】解：点p（cos，sin）在直线y=3x上，sin=3cos，即tan=3，则tan（）=2； =故答案为：2；【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，任意角的三角函数定义，以及两角的和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键11若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，则k的值为；若该平面区域存在点（x0，y0）使x0+ay0+20成立，则实数3a+b的取值范围是a1【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题；分类讨论；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，由目标函数过定点（0，2），结合平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，可知直线y=kx+2过bc的中点，联立方程组结合中点坐标公式求出bc中点，再由两点求斜率公式得k值；利用目标函数的几何意义，结合数形结合分类进行求解，可得实数3a+b的取值范围【解答】解：由约束条件作出可行域如图，直线y=kx+2过定点（0，2），若平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，则直线y=kx+2过bc的中点，联立，解得b（3，5）；联立，解得c（5，3）bc的中点为（4，4），则k=；若a=0，则不等式x+ay+20等价为x2，此时不满足条件；若a0，则不等式等价为y，直线y=的斜率k=0，此时区域都在直线y=的上方，不满足条件；若a0，则不等式等价为y，直线y=的斜率k=0，若平面区域存在点（x0，y0），使x0+ay0+20成立，则只要满足点a（0，2）满足条件不等式此时区域都在直线y=的上方即可即0+2a+20，解得a1，故答案为：a1故答案为：【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题12一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为【考点】由三视图求面积、体积；球的体积和表面积【专题】计算题【分析】三视图复原的几何体是底面为直角三角形，顶点在底面的射影是斜边的中点，球心在高线上，结合三视图数据，求出球的半径，即可取出球的表面积【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角三角形，顶点在底面的射影是斜边的中点，底面直角边长：6，6；斜边：6；斜高：5；几何体的高为：4，设球的半径为r，所以，r=，所以三棱锥的外接球的表面积为：4r2=故答案为：【点评】本题是中档题，考查几何体的三视图，三棱锥的外接球的表面积的求法，考查计算能力，逻辑推理能力13已知非零向量的交角为600，且，则的取值范围为【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】首先通过=1平方后结合基本不等式得到然后将平方，展开求出范围【解答】解：非零向量的交角为600，且，=1，所以，所以当且仅当=1时取等号=2+1，所以12+13所以的取值范围为（1，；故答案为：【点评】本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题14实数x，y满足4x25xy+4y2=5，设 s=x2+y2，则+=【考点】基本不等式【专题】计算题【分析】由2xyx2+y2可得5xy=4x2+4y25（x2+y2），从而可求s的最大值，由x2+y22xy及5xy=4x2+4y258xy5可得xy的范围，进而可求s的最小值，代入可求【解答】解：4x25xy+4y2=5，5xy=4x2+4y25，又2xyx2+y25xy=4x2+4y25（x2+y2）设 s=x2+y2，4s5ss即x2+y22xy5xy=4x2+4y258xy5xyxys=x2+y22xy+=故答案为：【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是灵活利用基本公式15已知关于x的方程在区间k1，k+1上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是0k1【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】将方程转化为两个函数f（x）=|xk|，g（x）=，根据绝对值函数和根式函数的图象和性质，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由方程可知k0，设f（x）=|xk|，g（x）=，则函数f（x）在k1，k上单调递减，在k，k+1上递增，g（x）在区间k1，k+1上单调递增，要使关于x的方程在区间k1，k+1上有两个不相等的实根，即函数f（x）与g（x）在区间k1，k+1上有两个交点，由图象可知，即，则只需要k1成立即可，此时0k1，当k=0时，不等式等价为|x|=0，在区间1，1上只有一个交点，不满足条件，故0k1故答案为：0k1【点评】本题主要考查方程根的应用，利用方程和函数之间的关系转化为两个函数图象之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大三、解答题：本大题共5小题，共74分解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且2asinb=5c，cosb=（）求角a的大小；（）设bc边的中点为d，|ad|=，求abc的面积【考点】正弦定理；余弦定理【专题】解三角形【分析】（）利用同角三角函数关系求得sinb的值，利用2asinb=5c求得a和c的关系，进而利用正弦定理求得转化成角的正弦，利用两角和公式化简整理求得sina和cosa的关系，求得tana的值，进而求得a（）利用余弦定理求得c，进而求得b，最后根据三角形面积公式求得答案【解答】解：（ i）在abc中，2a=5c3a=7c，3sina=7sinc，3sina=7sin（a+b），3sina=7sinacosb+7cosasinb，即3sina=7sina+7cosasina=cosa，即（），又3a=7c，bd=，c=3，则a=7，【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用解题的关键就是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化17如图，已知平面qbc与直线pa均垂直于rtabc所在平面，且pa=ab=ac（）求证：pa平面qbc；（）pq平面qbc，求二面角qpba的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【专题】空间角【分析】（）利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明；（）方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的二面角的平面角【解答】解：（i）证明：过点q作qdbc于点d，平面qbc平面abc，qd平面abc，又pa平面abc，qdpa，又qd平面qbc，pa平面qbc，pa平面qbc（）方法一：pq平面qbc，pqb=pqc=90，又pb=pc，pq=pq，pqbpqc，bq=cq点d是bc的中点，连接ad，则adbc，ad平面qbc，pqad，adqd，四边形padq是矩形设pa=2a，pb=2a，过q作qrpb于点r，qr=，=，取pb中点m，连接am，取pa的中点n，连接rn，pr=，marnpa=ab，ampb，rnpbqrn为二面角qpba的平面角连接qn，则qn=又，cosqrn=即二面角qpba的余弦值为（）方法二：pq平面qbc，pqb=pqc=90，又pb=pc，pq=pq，pqbpqc，bq=cq点d是bc的中点，连ad，则adbcad平面qbc，pqad，adqd，四边形padq是矩形分别以ac、ab、ap为x、y、z轴建立空间直角坐标系oxyz不妨设pa=2，则q（1，1，2），b（0，2，0），p（0，0，2），设平面qpb的法向量为=（1，1，0），=（0，2，2）令x=1，则y=z=1又平面pab的法向量为设二面角qpba为，则|cos|=又二面角qpba是钝角【点评】熟练掌握线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理、二面角的定义及通过建立空间直角坐标系并利用平面的法向量所成的夹角来求二面角的平面角是解题的关键18已知直线（1+3m）x（32m）y（1+3m）=0（mr）所经过的定点f恰好是椭圆c的一个焦点，且椭圆c上的点到点f的最大距离为3（）求椭圆c的标准方程；（）设过点f的直线l交椭圆于a、b两点，若，求直线l的斜率的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程【专题】计算题【分析】（i）条件中给出一个直线系，需要先做出直线所过的定点，根据定点是椭圆的焦点，写出椭圆中三个字母系数要满足的条件，解方程组得到结果，写出椭圆的方程（ii）设出直线的方程和两个交点的坐标，把直线与圆锥曲线的方程联立写出判别式的条件和根与系数的关系，根据所给的条件，代入不等式求出k的范围【解答】解：（）由（1+3m）x（32m）y（1+3m）=0得（x3y1）+m（3x+2y3）=0，由，解得f（1，0）设椭圆c的标准方程为，则解得，从而椭圆c的标准方程为（）过f的直线l的方程为y=k（x1），a（x1，y1），b（x2，y2），由，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，因点f在椭圆内部必有0，有，|fa|fb|=（1+k2）|（x11）（x21）|=（1+k2）|x1x2（x1+x2）+1|=由，得1k23，解得或，直线l的斜率的取值范围为【点评】本题考查直线与圆锥曲线之间的关系，题目中首先求椭圆的方程，这是这类题目常用的一种形式，注意求椭圆的方程时，数字的运算不要出错，不然后面的运算都是错误的19已知数列an中，a1=1，a2=，且an+1=（n=2，3，4）（1）求数列an的通项公式；（2）求证：对一切nn*，有ak2【考点】数列递推式；数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（