高考数学 艺体生精选好题突围系列（基础篇）专题15 抛物线.doc

专题15 抛物线得分点1 抛物线的定义与标准方程【背一背基础知识】1抛物线的定义(1)平面内与一个定点和一条定直线（点不在直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线(2)其数学表达式：（其中为点到准线的距离）2抛物线的标准方程图形标准方程的几何意义：焦点到准线的距离【讲一讲基本技能】1必备技能：（1）抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等；（2）求抛物线的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考“定形”就是指抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定抛物线的焦点在x轴的正半轴、负半轴上，还是在y轴的正半轴、负半轴上“定式”就是根据“形”设出抛物线的具体形式，若焦点在x轴正半轴上，则设方程为；若焦点在x轴负半轴上，则设方程为；若焦点在y轴正半轴上，则设方程为；若焦点在y轴负半轴上，则设方程为“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数2典型例题例1设抛物线的顶点在原点，准线方程，则抛物线的方程是 ()ab c d分析：由已知及抛物线的几何性质知所求抛物线的焦点在轴正半轴上且，从而可写出抛物线的方程解析：由准线方程，顶点在原点，可得两条信息：该抛物线焦点为；该抛物线的焦准距故所求抛物线方程为例2已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于a，b两点，o为坐标原点若双曲线的离心率为2，aob的面积为，则p()a1 b c2 d3分析：由双曲线离心率求得其渐近线方程，从而求得交点a，b的坐标，即可得到三角形面积表达式，从而得到p的值例3已知抛物线y22x的焦点是f，点p是抛物线上的动点，又有点a(3,2)，求|pa|pf|的最小值，并求出取最小值时p点的坐标分析：由定义知，抛物线上点p到焦点f的距离等于点p到准线l的距离d，求|pa|pf|的问题可转化为|pa|d的问题解析：将x3代入抛物线方程y22x，得y2，a在抛物线内部如图，设抛物线上点p到准线l：x的距离为d，由定义知|pa|pf|pa|d，当pal时，|pa|d最小，最小值为，即|pa|pf|的最小值为，此时p点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点p的坐标为(2,2)【名师点评】涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解例4已知动圆过定点a(4,0)，且在y轴上截得弦mn的长为8(1)求动圆圆心的轨迹c的方程；(2)已知点b(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹c交于不同的两点p，q，若x轴是pbq的角平分线，证明直线l过定点分析：(1)利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系解析：(1)如图，设动圆圆心o1(x，y)，由题意，|o1a|o1m|当o1不在y轴上时，过o1作o1hmn交mn于h，则h是mn的中点，|o1m|又|o1a|，化简得，y28x(x0)当o1在y轴上时，o1与o重合，点o1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹c的方程为y28x(2)证明：如图，由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，p(x1，y1)，q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20其中32kb640由根与系数的关系得，x1x2，x1x2x轴是pbq的角平分线，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入并整理得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)【名师总结】解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等【练一练趁热打铁】1已知f是抛物线y2x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|bf|3，则线段ab的中点到y轴的距离为 ()a b1 c d【答案】c【解析】设抛物线的准线为l，作aa1l于a1，bb1l于b1，由抛物线的定义知|aa1|bb1|af|bf|3，则ab的中点到y轴的距离为(|aa1|bb1|)2已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m(2，y0)若点m到该抛物线焦点的距离为3，则|om| ()a2 b2 c4 d2【答案】b【解析】m(2，y0)在抛物线上，抛物线的标准方程可设为y22px(p0)，其准线方程为x由抛物线的定义，m到该抛物线准线x的距离为3，即23，故p2，抛物线的标准方程为y24xm(2，y0)在抛物线上，y8由两点间的距离公式知|om|23已知点a(2,0)，抛物线c：x24y的焦点为f，射线fa与抛物线c相交于点m，与其准线相交于点n，则|fm|mn|()a2b12c1 d13【答案】c【解析】根据抛物线的定义和相似三角形的判定及性质求解如图所示，由抛物线定义知|mf|mh|，|mf|mn|mh|mn|由于mhnfoa，则，则|mh|mn|1，即|mf|mn|1故选c4设o是坐标原点，f是抛物线y24x的焦点，a是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60，则oaf的面积为() a b2 c d1【答案】c【解析】过a作adx轴于d，令fdm，则fa2m,2m2m，m2，ad2，soaf12故选c5已知正六边形abcdef的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是()a bc d2【答案】b【解析】根据对称可知，正六边形abcdef的顶点a、b、c、f在抛物线y22px上，设a(x1,1)，f(x2,2)，则，即x24x1，又af2，即(x1x2)2(x14x1)23，x，x1，即p选b6已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，抛物线c与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8(1)求抛物线c的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点a，b，若线段ab的中点为p，且|op|pb|，求fab的面积【答案】(1) y28x；(2) sfab24得分点2 抛物线的几何性质【背一背基础知识】抛物线的几何性质图 形标准方程的几何意义：焦点到准线的距离几何性质顶 点开 口方 向向 右向 左向 上向 下范 围，且，且，且，且对称轴离心率焦 点准 线方 程焦半径长公式焦点弦长公式通 径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：关于抛物线焦点弦的几个结论：设为过抛物线焦点的弦，直线的倾斜角为，则 以为直径的圆与准线相切； 焦点对在准线上射影的张角为 【讲一讲基本技能】1必备技能：（1）一个重要转化一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”（2）六个常见结论直线ab过抛物线y22px(p0)的焦点，交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，如图y1y2p2，x1x2；|ab|x1x2p，x1x22p，即当x1x2时，弦长最短为2p；为定值；弦长ab(为ab的倾斜角)；以ab为直径的圆与准线相切；焦点f对a，b在准线上射影的张角为902典型例题例1若抛物线y22px的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p的值为_分析：由已知及双曲线的简单几何性质可得其焦点坐标，从而可得p的值解析：双曲线1的右焦点f(3,0)是抛物线y22px的焦点，3，p6例2抛物线x22py(p0)的焦点为f，其准线与双曲线1相交于a，b两点，若abf为等边三角形，则p_分析：由于abf为等边三角形可以判断a、b两点关于y轴对称，只需把准线方程y代入双曲线方程即可求得a、b两点坐标，问题即可解决解析：由于x22py(p0)的准线为y，由解得准线与双曲线x2y23的交点为a，b，ab2由abf为等边三角形，得abp，解得p6例3定义：曲线c上的点到直线l的距离的最小值称为曲线c到直线l的距离已知曲线c1：yx2a到直线l：yx的距离等于曲线c2：x2(y4)22到直线l：yx的距离，则实数a_分析：首先由圆心到直线的距离减去圆的半径得圆c2到直线l的距离，再求抛物线与直线l平行的切线方程，由两平行线距离公式求得曲线c1：yx2a到直线l：yx的距离，最后列出方程并求解可得a的值解析：c2：x2(y4)22，圆心(0，4)，圆心到直线l：yx的距离为d2，故曲线c2到直线l：yx的距离为ddr2对于曲线c1：yx2a，令y2x1，得x，该切点为，则曲线c1：yx2a到直线l：yx的距离为da或(舍去)【名师点评】把抛物线、圆、新定义综合起来，是不落俗套的新题最值问题是圆锥曲线中的一类重要题型，这类问题中含有变化的因素，解题时需要在变化的过程中，掌握运动规律，抓住主变元如本题，读懂新定义的含义，再依题干中所含的等式，即可找到关于参数的方程，即可破解此交汇性试题例4 已知抛物线c的顶点为o(0,0)，焦点为f(0,1)(1)求抛物线c的方程；(2)过点f作直线交抛物线c于a，b两点，若直线ao，bo分别交直线l：yx2于m，n两点， 求|mn|的最小值 分析：(1)根据条件和抛物线的标准方程，可直接求出；(2)根据直线方程及抛物线方程写出mn长度的解析式，再根据求出的解析式选择适当的方法求最值解析：(1)由题意可设抛物线c的方程为x22py(p0)，则1，所以抛物线c的方程为x24y(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，直线ab的方程为ykx1由消去y，整理得x24kx40，所以x1x24k，x1x24从而|x1x2|4由解得点m的横坐标xm同理，点n的横坐标xn所以|mn|xmxn|8|令4k3t，t0，则k当t0时，|mn|2 2；当t0)的焦点f作一直线交抛物线于p、q两点，若pf与qf的长分别是p、q，则等于 ()a2a bc4a d【答案】c【解析】因为直线pq是任意的，所以，可以取最特殊的情况：直线pq垂直y轴时此时|pf|qf|，4a，故选c4已知抛物线y22px(p0)的焦点f恰好是双曲线1的右焦点，且双曲线过点，则该双曲线的离心率是 ()a2 bc d【答案】d【解析】由已知条件可得即得9a24b2p24a24b2，整理可得a2b2，则该双曲线的离心率e ，故应选d5已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则常数的值为（ ）a b c d【答案】d【解析】双曲线的渐近线方程为，它的其中一条渐近线方程为，则，所以双曲线的半焦距，抛物线的焦点坐标为，因此有6已知轴上一点抛物线上任意一点满足则的取值范围是 （ ）a b c d【答案】b【解析】设则又恒成立，故选b7已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（ ）a b c d 【答案】c【解析】抛物线的准线为，而抛物线的准线过双曲线的一个焦点，的焦点为从而双曲线的标准方程为，故选c8过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则的面积为 （ ）abcd【答案】b【解析】由已知可得如图过作，垂足为，则由抛物线的定义得代入得（舍去），又直线方程为，即，代入得9圆心在抛物线x22y(x0)上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是()ax2y2x2y10 bx2y22xy10cx2y2x2y0 dx2y22xy0【答案】d【解析】设圆心坐标为(x00)抛物线x22y的准线方程为y，由题意知，x0x01，所求圆的圆心坐标为，半径为1，所求圆的方程为(x1)221，化为一般式为x2y22xy0故选d10若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为（）abcd【答案】c11抛物线上的任意一点到直线的最短距离为（）abcd以上答案都不对【答案】b12如图，f是抛物线的焦点，a是抛物线e上任意一点现给出下列四个结论：以线段af为直径的圆必与y轴相切；当点a为坐标原点时，|af|为最短；若点b是抛物线e上异于点a的一点，则当直线ab过焦点f时，|af|+|bf|取得最小值；点b、c是抛物线e上异于点a的不同两点，若|af|、|bf|、|cf|成等差数列，则点(a)(b)c的横坐标亦成等差数列其中正确结论的个数是( )(a)1个(b)2个(c)3个(d)4个【答案】c【解析】由已知抛物线的焦点，设，则圆心坐标为，圆心到y轴的距离为，圆的半径为，以线段fa为直径的圆与y轴相切故正确；设，则 ,x=0时，即当点a为坐标原点时，|af|为最短，正确；设，则|af|+|bf|=x1+x2+p，显然x1+x2=0，即a、b关于x轴对称时，|af|+|bf|取得最小值，故不正确；设点a、b、c的横坐标分别为a，b，c，则|af|、|bf|、|cf|成等差数列，2|bf|=|af|+|cf|，2（b+p）=（a+p）+（c+p），2b=a+c，点a、b、c的横坐标亦成等差数列，故正确综上知