三角形、四边形难题.doc

三角形、四边形难题（2000年全国初中数学竞赛）1、如图，在梯形ABCD中，ABDC，AB8，BC6，BCD45，BAD120，则梯形ABCD的面积等于_。【答】666（平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC6，BCD45，得AEBFFC6。由BAD120，得DAE30，因为AE6得DE2，ABEF8，DC286142，。（2002年全国初中数学竞赛）2、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于（）A、 B、 C、 D、【解答】 D(2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛)3如图所示，在ABC中，ACB=90.（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.解：（1）作DEBC，垂足为E. 由勾股定理得所以.因为DEAC，所以.故.（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有AD=0，CD=AC，BD=AB. 所以，.从而第（1）小题中的等式成立.（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立.作DEBC，交BC的延长线于点E，则而,所以. 说明第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分）.（2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛）4、如图所示，在梯形ABCD中，ADBC（BCAD），D=90，BC=CD=12，ABE=45，若AE=10，则CE的长度为 。答：4或6解：如下图：延长DA至M，使BMBE. 过B作BGAM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形， 所以BC=BG. 又， RtBECRtBMG. BM=BE，ABEABM，AM=AE=10.设CE=x，则AG=，AD=，DE=.在RtADE中， ， 即，解之，得，.故CE的长为4或6. （2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛）5.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB8，AD6.将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CEF的面积为（）A.2 B.4 C.6 D.8【解答】 A（“数学周报杯”2009年全国初中数学竞赛）6如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OAa，OBOCOD1，则a等于（ ）（第6题）（A） （B） （C）1 （D）2【解答】 A（“数学周报杯”2009年全国初中数学竞赛）7如图1所示，在直角梯形ABCD中，ABDC，. 动点P从点B出发，沿梯形的边由BCDA运动. 设点P运动的路程为x，ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则ABC的面积为（ ）（A）10 （B）16 （C）18 （D）32（第7题）图2图1 【解答】B（“数学周报杯”2009年全国初中数学竞赛）8如图，在ABC中，CD是高，CE为的平分线若AC15，BC20，CD12，则CE的长等于 【解答】解：如图，由勾股定理知AD9，BD16，所以ABADBD25 故由勾股定理逆定理知ACB为直角三角形，且作EFBC，垂足为F设EFx，由，得CFx，于是BF20x由于EFAC，所以 ，（第9题）即 ，解得所以9、四边形ABCD中，ABC=35，BCD=120，AB=，BC=，CD=6，求AD.【解答】AD=10、在ABC中，A:B:C=1:2:4,求证:【证明】作C的平分线CD交AB于D，在AC上截取EC=BC，联结DE.不妨设A=a,则由A:B:C=1:2:4得B=2a,C=4a,BCD=2a,ADC=4a,则ACDABC=另一方面BDCEDCDC=DE=AECABDE=由EC=BC可推出=综上可得即（2008北京）11、请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DCGPABEF图2DABEFCPG图1请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）【解】（1）线段与的位置关系是；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长交于点，连结是线段的中点， DCGPABEFH由题意可知， ，四边形是菱形，由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得 四边形是菱形， ，即，（3） （2007北京）12、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论【解】（1）回答正确的给1分（如：平行四边形、等腰梯形等）。（2）答：与A相等的角是BOD（或COE），四边形DBCE是等对边四边形；（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。证法一：如图1，作CGBE于G点，作BFCD交CD延长线于F点。因为DCB=EBC=A，BC为公共边，所以BCFCBG，所以BF=CG，因为BDF=ABE+EBC+DCB，BEC=ABE+A，所以BDF=BEC，可证BDFCEG，所以BD=CE所以四边形DBCE是等边四边形。证法二：如图2，以C为顶点作FCB=DBC，CF交BE于F点。因为DCB=EBC=A，BC为公共边，所以BDCCFB，所以BD=CF，BDC=CFB，所以ADC=CFE，因为ADC=DCB+EBC+ABE，FEC=A+ABE，所以ADC=FEC，所以FEC=CFE，所以CF=CE，所以BD=CE，所以四边形DBCE是等边四边形。（江苏省第十五届初中数学竞赛）13、(1)已知四边形ABCD中，ABAD，BAD60，BCD120，如图，证明：BC+DCAC；(2)如图，四边形ABCD中，ABBC，ABC60，P为四边形ABCD内一点，且APD120，证明：PA+PD+PCBD【解答】