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关于洛伦茨曲线与基尼系数的探析 费传宝 镇江市高等专科学校 镇江 212000 1摘 要2 和谐社会的构建是一个系统工程 而收入分配不均 贫富差距拉大已影响了和谐社会 构建的进程 在不同的历史时期和不同的社会 有着不同收入分配的差异 如何反映这种差异程度 经 济学家们常常用洛伦茨曲线和基尼系数来衡量收入分配的不平等的程度 关于洛伦茨曲线绘制和基尼系 数的计算 很少有人掌握 至于了解它们性质的人更是寥寥无几 教材上以及其他资料中所能看到的只 是停留在表面 因此 我们要正确理解洛伦茨曲线和基尼系数 追溯它们的历史和推导过程 探析它们 的性质和经济含义 从而 给基尼系数一个正确地评价 1关键词2 洛伦茨曲线 基尼系数 总体单位总量 总体标志总量 1中图分类号2 F06113 1文献标识码2 A 收稿日期 2009 07 12 引 言 中国社会科学院副院长 研究员李慎明 在 5学习 实践科学发展观中的国内外机遇与挑战6 中指出 我国 的基尼系数 2003 年为 01461 已经超过国际警戒线不少 占总人口 20 最贫困人 口占收入或消 费的份额只 有 417 而占总人口 20 最富裕人口占收入或消费的份额 高达 50 收入分配差距进一步拉大 1 通过绘制洛伦茨曲线可以直观的反映这种差距 要 想比较精确的反映这种差距的大小 国际上统一用基尼 系数来表示 基尼系数是联合国规定的一种社会经济发 展指标 用于测度各个国家 地区收入分配的不平等程 度 对收入分配的结果进行整体评价和国际间比较 将 基尼系数 014 作为监控贫富差距的警戒线 应该说 是 对许多国家实践经验的一种抽象与概括 具有一定的普 遍意义 那么 如何计算基尼系数 基尼系数与洛伦茨 曲线之间存在着何种关系 洛伦茨曲线是否有确定的曲 线方程等问题 成为我们迫切需要探讨的话题 为此 根据本人在具体教学过程中一些心得体会对洛伦茨曲线 和基尼系数作些探讨和分析 意在抛砖引玉 1 洛伦茨曲线 111 洛伦茨曲线的绘制 洛伦茨曲线 Lorenz Curve 也称实际分配曲线 是 由美国统计学家洛伦茨 M Lorenz 在 1905 年创立的 用以反映国民收入分配平均程度的一种曲线 他在研究 个人或家庭收入分配平均程度时发现 把个人或家庭收 入数累计百分比与个人或家庭户数累计百分比结合起来 绘制实际分配曲线 首先 作一个正方形图 正方形的 下底边为横轴 左边为纵轴 横轴表示总体单位总量 分组的累计百分比或累计比率 纵轴表示总体标志总 量 分组的累计百分比或累计比率 横轴和纵轴的单位 要求一致 具体绘制方法与中学数学的描点法一样 下 面我们根据美国居民家庭收入分配的资料 见表 1 绘制 洛伦茨曲线如图 1所示 表 1 某年美国居民家庭收入分配资料 2 年货币 收入分组 千美元 家庭户数 占总收入的 家庭户数 累计 收入累计 5 以下132132 5 10177309 10 1516104619 15 2014126031 20 2512147245 25 3516238868 35 508179685 50 以上415100100 100100 112 洛伦茨曲线的几何性质 112 11 洛伦茨曲线的单调性 由洛伦茨曲线观察到 表示总体标志总量分组的累 计百分比的纵轴数值随着表示总体单位总量分组的累计 108 第 28 卷 第 11 期 2009 年 11月工业技术经济 Vol128 No 111 总第 193 期 图 1 洛伦茨曲线示意图 百分比的横轴数值的增大而增大 若设洛伦茨曲线的拟 合曲线的函数为 y f x 显然 拟合的洛伦茨曲线连 续可导 而且 洛伦茨曲线上的每一点切线与横轴构成 的倾斜角A均大于零而小于 90 度 也就是说 洛伦茨曲 线上每一点的切线斜率都是正值 即tan A fc x 0 所 以 洛伦茨曲线是单调增加 3 11212 洛伦茨曲线的凹凸性 洛伦茨曲线的凹凸性取决于横轴和纵轴数值的排列 次序 横轴从左到右 纵轴从下到上 根据贫富次序或 收入大小排列 若按照从最贫穷到最富有顺序累计 所 绘制的洛伦茨曲线是下凸型 如图 2 否则 所绘制的 洛伦茨曲线是上凸型 如图 3 家庭户数累计 从低收入家庭向高收入家庭累计 图 2 从图 2 看出 由于横轴是按收入由低到高累计百分 比 所以 纵轴数值变化的速度大于横轴数值变化的速 度 若设洛伦茨曲线的拟合曲线的函数为 y f x 显 然 拟合的洛伦茨曲线连续可导 而且 洛伦茨曲线上 的每一点切线与横轴构成的倾斜角A在不断的由小变大 也就是说 洛伦茨曲线上每一点的切线斜率都在增大 即 tanA fc x 是单调增函数 由高等数学函数的增减 性 得 fd x 0 则曲线y f x 为下凸 或上凹 家庭户数累计 从高收入家庭向低收入家庭累计 图 3 同样 从图 3看出 由于横轴是按收入由高到低累 计百分比 所以 纵轴数值变化的速度小于横轴数值变 化的速度 从而使tanA fc x 由大变小 所以 tanA fc x 是单调减函数 于是 fd x 0 则曲线y f x 为上 凸 或下凹 由于人们习惯于用正指标描述事物的规 律 因此 各国经济学者都采用洛伦茨曲线为下凸型曲 线 后来的基尼系数也是根据洛伦茨曲线为下凸型曲线 推导出一系列计算公式 因此 有些人用绘制上凸型曲 线的数据代入公式必然为负值 与基尼系数的定义不吻 合 即使取绝对值也不一定与正指标所算出的基尼系数 相等 113 洛伦茨曲线的经济含义 洛伦茨曲线之所以能直观的反映国民收入分配平均 程度 是因为总体标志总量分组的累计百分比随着总体 单位总量分组的累计百分比增大而增大 关键是增长速 度的大小决定着贫富差距的经济指标 理论上讲 如果 家庭收入数累计百分比的增长与家庭户数累计百分比增 长同方向 同速率变化 洛伦茨曲线必在与横轴成 45 度 的对角线上 即 每 20 的家庭得到 20 的收入 这表 明收入分配是绝对平等的 故称为 绝对平等线0 如图 4 中的对角线 OL 当收入都集中在一个家庭里 其他家 庭的收入为零时 则洛伦茨曲线为如图 4中的折线 OHL 显然 收入分配达到完全不平等 故折线 OHL 被称之为 绝对不平等线0 109 第 28 卷 第 11 期 2009 年 11月工业技术经济 Vol128 No 111 总第 193 期 图 4 洛伦茨曲线的应用 在实际生活中 收入分配绝对不可能是完全均等的 参与分配的家庭 个人 占有的人力资本 占有的物质 资本以及其他种种资源的状况 绝对不可能是完全一样 的 这一点不言自明 同时 收入分配不可能是绝对不 平等的 绝对不可能将一国或某一经济地区所生产的全 部收入分配给某一家庭 4 因此 洛伦茨曲线应介于绝 对平等线 OL 和绝对不平等线 OHL 之间 洛伦茨曲线越 靠近绝对平均线 OL 越平等 越离开 OL 越不平等 在图 4 中 a b c 分别表示 3 个不同国家的洛伦茨曲线 显 然 洛伦茨曲线 a 表示该国家收入分配较平等 曲线 b 次之 曲线 b 表示该国家收入分配很不平等 应引起该 国政府的高度重视 由于洛伦茨曲线与绝对平均线 OL 所构成封闭曲线 面积的大小同洛伦茨曲线离绝对平均线的远近形成了正 相关 为了更能直观 形象地反映收入分配平均程度 故将由洛伦茨曲线与绝对平均线 OL 所围成的面积定义 为 不平等面积0 收入分配越不平等 洛伦茨曲线就越 是向横轴凸出 从而它与完全平等线 OL 之间的面积就 越大 5 当洛伦茨曲线和绝对不平等线 OHL 完全重合 时 不平等面积扩大为整个直角三角形 OHL 的面积 该 面积被称为 完全不平等面积0 由此可见 洛伦茨曲线 所表达的经济含义 2 基尼系数 211 基尼系数的几何计算法 基尼系数 Gini Coefficient 是根据洛伦茨曲线计算 出来的反映收入分配平等程度的指标 这是由 20 世纪意 大利经济学家基尼 G Gini 于 1912 年首次采用 在图 5洛伦茨曲线的图中 我们用 A 表示不平等面 积 A B 表示完全不平等面积 不平等面积与完全不平 等面积之比 称为基尼系数 又称为洛伦茨系数 若记 G 为基尼系数 则 G A A B 下面利用几何的方法推导 基尼系数计算公式 由图 5 知 将洛伦茨曲线用各个散点相连的折线代 替 在下凸程度不严重的情况下 误差很小 由于几何 计算法比较简单 便利 在收入分配比较均衡的条件下 可近似计算基尼系数 下面我们用面积相等的变换关系 来推导基尼系数几何计算法的公式 由图 5 知 图 5 基尼系数面积示意图 A S OL M 2S阴 2S矩形 A S OLM 1 2 x1y1 1 2 x2 x1 y2 y1 1 2 xn xn 1 yn yn 1 x1 yn y1 x2 x1 yn y2 xn 1 xn 2 yn yn 1 其中 xi yi i 1 2 n 表示总体单位总量分组的累 计百分比和总体标志总量分组的累计百分比 且 xn 1 yn 1 由于 S OLM 1 2 A B 1 2 依此类推 得 G x1y2 x2y1 x2y3 x3y2 xn 1yn xnyn 1 xnyn 1 由于xn 1 yn 1 所以 基尼系数计算公式为 G E n 1 i 1 xiyi 1 xi 1yi 为了便于记忆 我们把 xiyi 1 xi 1yi 写成二阶行列式 xiyi xi 1yi 1 则基尼系数计算公式为 G E n 1 i 1 xiyi xi 1yi 1 其中 xi yi xi 1 yi 1 是洛 伦茨曲线上除去原点 O 以外任意相邻的前后两点 如果总体单位总量分组相等 即 x1 x2 x1 x3 x2 xn xn 1 1 n 时 因为 yn 1 所以 G 1 n 2 n n y1 y2 yn 1 yn 1 1 1 n 2 nE n i 1 yi 其中 yi i 1 2 n 表示总体标志总量分组的累计百分 比 且 yn 1 212 基尼系数的曲线拟合法 实际上 洛伦茨曲线是一种趋势曲线 最佳的趋势 曲线才具有代表性 当点 xi yi i 1 2 n 分布形态近 似于指数曲线时 故可对其拟合指数曲线方程 即 建 立数学模型 yc axb 但这时的趋势曲线有无数条可供选 择 而且家庭户数累计百分比与对应的收入累计百分比 110 第 28 卷 第 11 期 2009 年 11月工业技术经济 Vol128 No 111 总第 193 期 的有序数对 xi yi 不一定都在曲线上 这时就要求找 到使趋势值与实际值误差最小的曲线方程 我们利用最 小平方法是可以做到的 现在 我们借助于统计学中有 关直线趋势方程的求法来探讨洛伦茨曲线的模型 在统 计学中 如果时间数列的逐期增长量大致相等 则现象 呈现出近似于直线形式的变动趋势 应采用直线趋势模 型予以拟合 6 用公式可表示为 yc a bt 式中 yc 为趋势值 t 为时间变量 a b 是两个待定参数 依最 小平方法的要求 趋势值 yc与实际观察值 y 离差的平方 和等于最小值Q 即 Q E yc y 2 最小值 将所 设的模型 yc a bt 代入公式中 则 Q a b E a bt y 2 最小值时 求 a b 的值 这是一个关于 a b 的二元函数求极值问题 其必要条件是它对 a b 的一阶 偏导数等于零 即 5Q 5a 2E a bt y 1 0 5Q 5b 2E a bt y t 0 由此可得 b nEty EtEy nEt2 Et 2 a Ey n b Et n y b t 7 1 下面我们讨论洛伦茨曲线的模型 yc axb 两边取常 用对数 得 lgyc lga blgx 这与 yc a t 比较 洛伦茨曲线的模型转化为变量 的对数直线型 lgyc相当于 yc 于是 我们在公式 1 中 用 lgy 代替 y 用 lgx 代替 t 用 lga 代替 a 所以 就 通过洛伦茨曲线指数曲线方程求得基尼系数为 G A A B 1 2 a b 1 1 2 1 2a b 1 下面我们根据前面的表 1 某年美国居民家庭收入 分配资料 利用曲线拟合法计算基尼系数 计算过程见 表 2 表 2 指数曲线方程拟合计算表 家庭户数 累计比率 x 收入累计 比率 y lgxlgylgx lgxlgx lgy 01130102 0188606 11698970178509611505384 0130109 0152288 11045760127340201546804 01460119 0133724 01721250111373201243235 0160131 0122185 01508640104921701112841 01720145 0114267 01346790102035401049475 01880168 0105552 01167490100308201009299 01960185 0101773 01070580100031401001251 110000 合 计 2118394 41559474176959491957613 b 8 919576 211839 415595 8 417696 211839 2 210877 lga 415595 8 210877 2 11839 8 010000215 a 1 所以 拟合的指 数曲线最佳 方程为 yc x210877 这时实际值与趋势值 理论值 之间的差距为最 小 如下表所示 表 3 家庭户数 累计比率 收入累计 比率 趋势值 实际值与 趋势值的差 xy yc y yc 01130 10200001014130100587 0130 10900001080980100902 01460 11900001197670100767 01600 13100001344220103422 01720 14500001503670105367 续 表 家庭户数 累计比率 收入累计 比率 趋势值 实际值与 趋势值的差 0188016800001765760108576 0196018500001918310106831 1110000011000000100000 所以 基尼系数为 G 1 2a b 1 1 2 1 210877 1 013523 基尼系数的计算方法除了上面的两种方法外 还有 其他各种方法 如 间接拟合法 就是先拟合求出收入 分配的概率密度函数 再根据概率密度函数导出洛伦茨 曲线 根据同一资料 采用不同的思路和方法求得的基尼 系数值不完全相等 所以我们要根据资料的特点 计算 的便利等来灵活选用 是准确计算基尼系数的重要前提 只有代表性的基尼系数 才能具有它的经济价值 才能 为国家制定经济调控政策提供可靠的依据 111 第 28 卷 第 11 期 2009 年 11月工业技术经济 Vol128 No 111 总第 193 期 3 基尼系数的作用 311 基尼系数的合理标准 按照国际惯例 基尼系数在 012 以下 表示居民之 间收入分配 高度平均0 012 013 之间表示 相对平 均0 013 014之间表示 比较合理0 014 016 之间表 示 差距偏大0 016 以上为 高度不平均0 同时 国 际上通常把基尼系数为 014 作为收入分配贫富差距的 警戒线0 8 但是 各国 各地区的具体情况千差万别 居民的承受能力及社会价值观念都不尽相同 所以这种 数量界限只能用作宏观调控的参照系 而不能成为禁锢 和教条 我国的基尼系数在 2003 年为 01461 已经超过 国际警戒线 014 这是改革开放以来坚持 效率优先 兼顾公平0 分配原则的负面影响 造成了人们在分配领 域中事实上的贫富不均 9 突出表现在 收入份额差距 和城乡居民收入差距进一步扩大 东西部地区居民收入 差距过大 西部地区长期以来被整体视为中国的落后区 域 处于中国经济发展的 低谷0 313 基尼系数的局限性 31311 基尼系数计算的前提条件 基尼系数是对收入分配平均程度的整体评价 它只 能对总体的公平程度作出判断 而无法考察各组或各层 次因素对总体公平程度的影响 由于基尼系数考虑了全 部居民的收入状况 任何一组或某一层次居民收入的变 化 都会影响 G 值的大小 因此 同一资料 分组不 同 计算 G 值的结果也会不同 这说明了基尼系数的大 小要受到分组不同的影响 所以 在实际应用时 正确 合理地分组 并保证各分组之间的可比性 是准确计算 基尼系数的重要前提 31312 基尼系数的合理评价 基尼系数的大小对一个国家和地区贫富差距准确计 算本身并没有错 而是使用它的人们对基尼系数的评价 出现了错误 国际上对基尼系数界定以及规定基尼系数 014 为警戒线 只能作为评价收入分配是否合理的一个 重要依据 但不能作为唯一依据 这是因为 1 各地 区的自然条件 经济发展程度 人民的生活水平 部门 行业的结构特点等等各不相同 互有差别 就工资差别 形成的原因上来分析 这些差别又可分为补偿性工资差 别 竞争性工资差别和垄断性工资差别 10 如果仅用一 个固定的G 值界限来统一衡量不同地区收入分配的平均 程度 显然是不恰当的 2 基尼系数是一个结构相对 指标 仅靠相对指标说明社会经济现象是不全面的 它 把现象的绝对水平在对比过程中抽象化了 掩盖了现象 之间绝对量上的差别 从而看不出现象原有的规模和水 平 其结果就可能出现 一个大的相对数往往是两个小 的绝对数之比 一个小的相对数往往是两个大的绝对数 之比 如 在计算工业产品产量增长率时 甲企业为 20 10 100 200 而乙企业为 15000 10000 100 150 从相对数来看 甲企业的增长速度比乙企业的增长速度 快 但 从绝对数看 甲企业为 20 10 10 吨 而 乙企业为 15000 10000 5000 吨 相差 500 倍 因 此 运用相对指标研究具体问题时 必须联系其背后掩 盖的绝对水平和绝对差异 把它们结合起来分析 才能 全面深入地说明问题 得出正确的结论 我们要重视基 尼系数的变化 找出原因并作为调整经济政策的重要依 据 4 结 语 综上所述 洛伦茨曲线和基尼系数是从不同的角度 反映了一个国家或地区的贫富差距 前者为定性判断 后者为定量分析 通过对洛伦茨曲线的绘制 对基尼系 数计算公式的推导 使我们更加深入了解这两个指标的 真实含义 基尼系数的偏大要引起我们足够的重视 虽 然它不是影响社会稳定