无锡市2001-2012年中考数学试题分类解析专题4：图形的变换.doc

2001-2012年江苏无锡中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题4：图形的变换1、 选择题1.（江苏省无锡市2006年3分）探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是【 】【答案】A。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】根据观察图形可知箭头的方向每4次重复一遍，除尽，2004所在的位置与图中的4所在的位置相同。因此从2004到2005再到2006的箭头方向为：故选A。2. 3. （江苏省2009年3分）如图，在方格纸中，将图中的三角形甲平移到图中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是【 】A先向下平移3格，再向右平移1格B先向下平移2格，再向右平移1格C先向下平移2格，再向右平移2格D先向下平移3格，再向右平移2格【答案】D。【考点】平移的性质。【分析】根据图形，对比图与图中位置关系可知：平移是先向下平移3格，再向右平移2格。故选D。3. （江苏省无锡市2002年3分）我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形如图，图是由若干个小正方体所搭成的几何体，图是从图的上面看这个几何体所看到的图形，那么从图的左面看这个几何体所看到的图形是【 】A B C D 【答案】B。【考点】简单组合体的三视图。【分析】找到从左面看所得到的图形即可：从左面看可看到左边3个正方形，右边一个正方形。故选B。4. （江苏省无锡市2005年3分）一空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体是【 】A、圆柱 B、圆锥 C、球 D、长方体【答案】A。【考点】由三视图判断几何体。【分析】根据主视图和左视图为矩形可判断出这个几何体是柱体；根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱。故选A。5. （江苏省无锡市2005年3分）如图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是【 】A、 B、 C、 D、【答案】B。【考点】几何体的展开图【分析】根据三棱锥的图形特点，可得展开图为B。故选B。6. （江苏省无锡市2006年3分）现有边长相等的正三角形、正方形、正六进形、正八边形形状的地砖，如果选择其中的两钟铺满平整的地面，那么选择的两种地砖形状不能是【 】A正三角形与正方形B正三角形与正六边形C正方形与正六边形D正方形与正八边形【答案】C。【考点】平面镶嵌（密铺），多边形内角和定理。【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件，分别计算即可求出答案：A、正三角形的每个内角是60，正方形的每个内角是90，360+290=360，成立；B、正六边形的每个内角是120，正三角形的每个内角是60度，2120+260=360，或120+460=3600，成立；C、正方形的每个内角是90，正六边形的每个内角是120，90m+120n=360，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；D、正方形的每个内角为900，正八边形的每个内角为1350，900+13502=3600，成立。故选C。7. （江苏省无锡市2007年3分）如图是一个圆柱体和一长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图为【 】上面【答案】C。【考点】简单组合体的三视图。【分析】找到从上面看所得到的图形即可：从上面可看到一个长方形里有一个圆，故选C。8. （江苏省无锡市2008年3分）如图，OAB绕点O逆时针旋转800到OCD的位置，已知AOB=450，则AOD等于【 】【答案】D。【考点】旋转的性质。【分析】旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角BOD即为旋转角，利用角的和差关系求解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，DOB为旋转角，即DOB=80，AOD=DOBAOB=8045=35。故选D。9. （江苏省2009年3分）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有【 】A1个B2个C3个D4个【答案】B。【考点】简单几何体的三视图。【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体。故选B。二、填空题1. （江苏省无锡市2003年3分）如图所示的某种玩具是由两个正方体用胶水粘合而成的，它们的棱长分别为1分米和2分米.为了美观，现要在其表面喷涂油漆，已知喷涂1平分分米需用油漆5克，那么喷涂这个玩具共需油漆 克.【答案】140。【考点】几何体的表面积。【分析】根据题意先求出玩具的表面积，然后再求需要的油漆质量：玩具的表面积为：6（22）+4（11）=28平方分米，喷涂这个玩具共需油漆285=140克。2. （江苏省无锡市2005年2分）一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是 个单位.。【答案】50。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】由题意可知，如图，第1、2次落点处离O点的距离是1个单位，第3、4次落点处离O点的距离是2个单位，第5、6次落点处离O点的距离是3个单位，以此类推，找出规律，第次落下时，落点处离O点的距离是个单位。所以，第100次落下时，落点处离O点的距离是50个单位。3. （江苏省无锡市2005年2分）用同一种正多边形地砖镶嵌成平整的地面，那么这种正多边形地砖的形状可以是 . （只需写出一种即可）【答案】正三角形（答案不唯一）。【考点】平面镶嵌（密铺）【分析】能砖镶嵌成平整的地面的正多边形，其内角应能整除360度，所以，正三角形的每个内角是60，能整除3600，6个能密铺；正方形的每个内角是90，4个能密铺；正六边形的每个内角是120，能整除360，3个能密铺。4. （2012江苏无锡2分）如图，ABC中，C=30将ABC绕点A顺时针旋转60得到ADE，AE与BC交于F，则AFB= 【答案】90。【考点】旋转的性质，三角形外角性质。【分析】根据旋转的性质可知CAF=60，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和的性质，得：CFA=C+CAF=90。6. （2012江苏无锡2分） 如图，ABC中，ACB=90，AB=8cm，D是AB的中点现将BCD沿BA方向平移1cm，得到EFG，FG交AC于H，则GH的长等于 cm【答案】3。【考点】直角三角形斜边上中线的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】由ACB=90，AB=8，D是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，得AD=BD=CD=AB=4。然后由平移的性质得GHCD，因此AGHADC。 。 又EFG由BCD沿BA方向平移1cm得到的， AG=41=3。，解得GH=3。三、解答题1. （2001江苏无锡6分）根据题意，完成下列填空：如图，L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3直线L3，那么这3条直线最多可有 个交点；如果在这个平面内再画第4条直线L4，那么这4条直线最多可有 个交点由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有 个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有 个交点（用含n的代数式表示）【答案】解：3，6，15，。【考点】分类归纳（图形的变化类），相交线。【分析】要探讨直线的交点的最多个数，尽量让每两条直线相交，产生不同的交点三条直线相交交点最多为：1+2=3；四条直线相交交点最多为：1+2+3=6；六条直线相交交点最多为：1+2+3+4+5=15；n条直线相交交点最多为：1+2+3+n=。2. （2001江苏无锡6分）已知：如图，弓形AmB小于半圆，它所在圆的圆心为O，半径为13，弦AB的长为24；C是弦AB上的一动点（异于A、B），过C作AB的垂线交弧AB于点P，以PC为直径的圆交AP于点D；E是AP的中点，连接OE（1）当点D、E不重合时（如图1），求证：OECD；（2）当点C是弦AB的中点时（如图2），求PD的长；（3）当点D、E重合时，请你推断PAB的大小为多少度（只需写出结论，不必给出证明） 【答案】解：（1）证明：CP是直径，CDP=90。OE过圆心O，AE=PE，OEAP。OECD。（2）连接OC、AO，AC=BC，OCAB。PCAB，P、C、O三点共线。AB=24，AC=12。又OA=13，由勾股定理得：OC=。PC=135=8。由勾股定理得：AP=。由切割线定理得：AC2=ADAP，AD=。答：PD的长是。（3）PAB=45。【考点】圆周角定理，垂径定理，平行线的判定，勾股定理，切割线定理，等腰三角形的的性质【分析】（1）根据圆周角定理求出CDP=90，根据垂径定理求出OEAP，即可推出答案。（2）根据垂径定理求出OCAB，根据勾股定理求出OC、AP，由切割线定理求出AD，计算APAD即可。【注：没学切割线定理可通过证明ADCACP求解】（3）由AD=PD和CDAP得AC=PC，又由PCAB得ACP是等腰直角三角形的性质，从而PAB=45。3. （江苏省无锡市2004年6分）国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种. 国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个44的小方格棋盘，图中的“皇后Q”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q”，她所在的位置可用“（2，3）”来表示，请说明“皇后Q”所在的位置“（2，3）”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置.如图丙也是一个44的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后Q”，使这四个“皇后Q”之间互不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母Q即可）.【答案】解：如图，“皇后Q”所在的位置“（2，3）”的意义；“皇后”能控制她所在的3行与2列中的每一个小方格，以及“斜”方向的两条直线上的每一个小方格。棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置为：（1，1），（1，3），（2，4），（4，4）。作图如上。【考点】作图应用与设计作图。【分析】根据所给的方法画出Q控制的路线，得到不被控制的点的坐标。互相不受控制，那么这四个点应在不在相同的行，相同的列和同一正方形的对角线上。4.（江苏省无锡市2004年6分）现有足够的22，33的正方形和23的矩形图片A、B、C（如图），现从中各选取若干个图片拼成不同的图形.请你在下面给出的方格纸中，按下列要求分别画出一种示意图（说明：下面给出的方格纸中，每个小正方形的边长均为1. 拼出的图形，要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠.画图必须保留拼图的痕迹）选取A型、B型两种图片各1块，C型图片2块，在下面的图1中拼成一个正方形；选取A型4块，B型图片1块，C型图片4块，在下面的图2中拼成一个正方形；选取A型3块，B型图片1块，再选取若干块C型图片，在下面的图3中拼成一个距形. 【答案】解：画图如下： 【考点】作图应用与设计作图。【分析】正方形面积为4+9+26=25，那么新正方形的边长为5 正方形面积为44+9+46=49，那么新正方形的边长为7取A型图片3块，B型图片1块，此时面积为34+9=16，没有相等的边，组成的为不规则的图形，所以应再添加4个6，组成面积和为40的矩形，边长为5，8。5.（江苏省无锡市2004年10分）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）.（1）如果M为CD边的中点，求证：DEDMEM=345；（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.【答案】解：（1）证明：设正方形边长为a，DE为x，则DM=，EM=EA=ax在RtDEM中，D=90，DE2+DM2=EM2，即x2+（）2=（ax）2，解得，。EM= ax=。DE：DM：EM=。（2）CMG的周长与点M的位置无关。理由如下；设CM=x，DE=y，AB=2a，DM=2ax，EM=2ay。EMG=90，DME+CMG=900。DME+DEM=90，DEM=CMG。又D=C=90，DEMCMG。即。在RtDEM中，DM2+DE2=EM2，即（2ax）2y2=（2ay）2，整理得4axx2=4ay。CMG的周长为CM+MG+CG=。所以CMG的周长为4a，与点M的位置无关。【考点】翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，代数式化简。【分析】（1）设正方形边长为a，DE为x，则根据折叠知道DM=，EM=EA=ax，然后在RtDEM中就可以求出x，这样用a表示了DE，DN，EM，即可求出它们的比值。（2）CMG的周长与点M的位置无关。设CM=x，DE=y，则DM=2ax，EM=2ay。根据正方形的性质和折叠可以证明DEMCMG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，MG分别用x，y分别表示，CMG的周长也用x，y表示，然后在RtDEM中根据勾股定理可以得到4axx2=4ay，结合CMG的周长，就可以判断CMG的周长与点M的位置无关。6.（江苏省无锡市2004年10分）已知，如图，RtABC中，B=90，A=30，BC=6. 点O从A点出发，沿AB以每秒的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点. 过E作EGDE交射线BC于G.（1）若E与B不重合，问t为何值时，BEG与DEG相似？（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上？当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒种时，S取得最大值？最大值为多少？【答案】解：（1）连接OD，DFAC切O于点D，ODAC。在RtOAD中，A=30，OA=t，。又FOD=9030=60，AED=30，AD=ED=。DEEG，BEG=60。BEGDEG。B=GED=90，若EGD=30，则BGD=60=ACB这是不可能的，EGD=60。DGBC，DGAB。在RtDEG中，DEG=90，DE=，DG=t。在RtABC中，A=30，BC=6，AC=12，AB=6。CD=。DGAB，即，解得。当t为秒时，BEG与EGD相似。（2）AC切O于点D，ODAC。在RtOAD中，A=30，OA=t，AED=30。DEEG。BEG=60。在RtBC中，B=90，A=30，BC=6，AB=6，BE=。RtBEG中，BEG=60，。当06，即t4时，点G在线段BC上；当6，即0t时，点G在线段BC的延长线上。（3）过点D作DMAB于M。在RtADM中，A=30，DM=AD=。 。所以当t=秒时，s取得最大值，最大值为。【考点】二次函数综合题，切线的性质，三角形外角定理，等腰三角形的判定，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。【分析】（1）连接OD，DF，由切线的性质得ODAC，则AOD=60，AED=30。由DEG=90得BEG=60，因此本题可分两种情况进行讨论：当EDC=60，ECD=30时，BGD=BGE+EGD=60这样BGD和ACB相等，那么DG和AC应该平行，显然这种情况是不成立的当DGE=60时，可在RtAOD中，根据A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于A=AED=30，那么AD=DE，可在RtDEG中，用AD的长表示出DG，从而根据DGAB得出的关于CD，AD，DG，AB的比例关系式即可求出此时t的值。（2）求出BG的表达式，然后令BGBC，即可得出G在BC延长线上时t的取值范围。（3）由于四边形CGED不是规则的四边形，因此其面积可用来求得在前两问中已经求得AD，AE，BE，BG的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积据此可求出S，t的函数关系式根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值。7. （江苏省无锡市2005年4分）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.（1）将图1中的格点ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到A1B1C1，请你在图1中画出A1B1C1.（2）在图2中画出一个与格点DEF相似但相似比不等于1的格点三角形.【答案】（1）（2）答案不唯一。【考点】作图（平移变换和相似变换）。【分析】根据平移作图的规律作图即可；做个位似图形即可，相似比可以是1：2等等（答案不唯一）。作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形。 作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：先确定图形的位似中心；利用相似图形的比例关系作出关键点的对应点；按原图形中的方式顺次连接对应点要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧。8.（江苏省无锡市2005年10分）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（1）将PAB绕点B顺时针旋转90到PCB的位置（如图1）.设AB的长为a，PB的长为b（ba），求PAB旋转到PCB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；若PA=2，PB=4，APB=135，求PC的长.（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.【答案】解：（1）PAB绕点B顺时针旋转90得到PCB，。又AB=a，BD=b， 。连接PP，根据旋转的性质可知：BP=BP，PBP=90；PBP为等腰直角三角形，BPP=45。BPA=BPC=135，BPP=45，PPC=90。在RtPPC中，PP=，PC=PA=2，根据勾股定理可得PC=6。（2）将PAB绕点B顺时针旋转90到PCB的位置，连接PP。同（1）可知：BPP是等腰直角三角形，即。PA2+PC2=2PB2=PP2，PCP=90。PBP=PCP=90，在四边形BPCP中，BPC+BPC=180。BPA=BPC，BPC+APB=180，即点P在对角线AC上。【考点】旋转的性质，扇形面积的计算，勾股定理和逆定理，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】（1）PAB旋转到PCB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形OAC与小扇形BPP的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度。（2）连接PP，证PBP为等腰直角三角形，从而可在RtPPC中，用勾股定理求得PC=6；将PAB绕点B顺时针旋转90到PCB的位置，由勾股定理逆定理证出PCP=90，再证BPC+APB=180，即点P在对角线AC上。9.（江苏省无锡市2005年8分）已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.（2）若k=2，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）. 10.（江苏省无锡市2006年9分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB8cm，CD2cm，AD6cm。点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）设P、Q同时出发并运动了t秒。（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）过D作DEAB于E，过C作CFAB于F，如图1。ABCD是等腰梯形，四边形CDEF是矩形。DE=CF。又AD=BC，RtADERtBCF。AE=BF。 又CD=2cm，AB=8cm，EF=CD=2cm。若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形。CQ=t，DQ=EP=2t。AP=AEEP，解得。（2）存在。理由如下：在RtADE中，。当S四边形PBCQ时， 如图2，若点Q在CD上，即0t2，则CQ=t，BP=82tS四边形PBCQ，解得t=3（不合点Q在CD的条件，舍去）。如图3，若点Q在AD上，即2t4。过点Q作HGAB于G，交CD的延长线于H，由图1知，则A=60。在RtAQG中，AQ=8t，QG=AQsin60，在RtQDH中，QDH=60，DQ=t2，。由题意知，S四边形PBCQ，即，解之得（不合题意，舍去），。存在，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半。【考点】动点问题，等腰梯形和直角梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解方程，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）通过构造全等三角形RtADERtBCF证明AE=BF。，建立等量关系求解即可。 （2）分点Q在CD上和在AD上两种情况讨论即可。11.（江苏省无锡市2006年7分）图1是“口子窖”酒的一个由铁皮制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的盒子（如图2），侧面是矩形或正方形经测量，底面六边形有三条边的长是9cm，有三条边的长是3cm，每个内角都是120，该六棱校的高为3cm。现沿它的侧棱剪开展平，得到如图3的平面展开图。（1）制作这种底盒时，可以按图4中虚线裁剪出如图3的模片。现有一块长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁皮，请问能否按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请你说明理由；（2）如果用一块正三角形铁皮按图5中虚线裁剪出如图3的模片，那么这个正三角形的边长至少应为cm。（说明：以上裁剪均不计接缝处损耗。）【答案】（1）能。理由如下：如图所示，根据所构造的30度的直角三角形图4中长方形的宽为：，长方形的长为：，。，。因此长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁皮，能按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒。 （2）。【考点】矩形的性质，等边三角形的性质，几何体的展开图，估算无理数的大小。【分析】（1）结合图形，根据图2中的数值，运用正方形的各个角是90和六边形的各个角是120，可以通过作水平线、铅垂线得到30的直角三角形，计算得到所需的长方形的长和宽，再进一步比较其和现在的长方形的长和宽的大小，从而得到结论。（2）同样结合图中的数据，作出水平线和铅垂线，构造30度的直角三角形、正方形和等边三角形，进行计算： 如图所示，等边三角形的边长是。12. （江苏省无锡市2007年6分）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和13. （江苏省无锡市2008年3分）如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）【答案】解：如图所示（答案不唯一）【考点】几何体的展开图。【分析】根据正方体的表面展开图的11种方法，从中选取符合题意的解题。14 .（江苏省2009年10分）（1）观察与发现小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图）小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由（2）实践与运用将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图）；再展平纸片（如图）求图中的大小【答案】解：（1）同意。理由如下：如图，设与交于点。由折叠知，平分，。又由折叠知，。，即为等腰三角形。（2）由折叠知，四边形是正方形，。又由折叠知，。【考点】折叠问题，对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，正方形的判定和性质。【分析】（1）由折叠对称的性质，可得和，从而可得，根据等腰三角形等角对等边的判定得到为等腰三角形的结论。 （2）由折叠对称的性质，可得和平分，从而，因此。15.(江苏省无锡市2011年6分)如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动 (1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图； (2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S【答案】解：(1) 点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图如图： (2) 弧AA1与AD，A1D围成图形的面积为：圆的面积（半径为1）=；弧A1A2与A1D，DN，A2N围成图形的面积为：圆的面积（半径为）正方形的面积（边长为1）=；弧A2A3与A2N，NA3围成图形的面积为：圆的面积（半径为1）=； 其他三块小面积分别与以上三块相同。 所点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S为： 。【考点】等腰梯形的性质.图形的翻转，扇形面积，尺规作图。【分析】(1) 先找出正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚时的中心和半径即可逐步而得：以D为圆心，AD=1为半径画弧，交MN于点M（与点A重合）； 以DN的中点E（ED=1）为圆心， EA=为半径画弧，和相交于A1（与点C重合）；以N为圆心，NE =1为半径画弧，和相交于A2，与NP相交于A3；以P为圆心，A1P =1为半径画弧；在PQ上取F使PF=AD=1，以F为圆心，为半径画弧，和相交于A4；在PQ上取G使FG=AD=1，以G为圆心， 1为半径画弧，和相交于A5，交PQ于A6（与点Q重合）。则点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图为弧A（M）A1A2A3A4A5A6（Q）。 (2)求面积S只要把一个个小面积进行计算，然后相加即可。16. ( 江苏省无锡市2010年10分)（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）【答案】解：（1）AE=MC，BE=BM。 BEM=EMB=45。 AEM=135。 CN平分DCP，PCN=45。AEM=MCN=135。在AEM和MCN中：，AEMMCN（ASA）。AM=MN。 （2）仍然成立。理由如下： 在边AB上截取AE=MC，连接ME。ABC是等边三角形，AB=BC，B=ACB=60。ACP=120。AE=MC，BE=BM。BEM=EMB=60。AEM=120。CN平分ACP，PCN=60。AEM=MCN=120。CMN=180AMNAMB=180BAMB=BAM，AEMMCN（ASA），AM=MN。 （3）。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，正多边形的内角和定理。【分析】证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全等。（1）给出了线段EM，即想提示考试证明AEMMCN题目中的条件知，只需再找一角即可。（2）解法同（1），在AB上构造出线段AE=MC，连接ME进一步证明AEMMCN。（3）是将（1）（2）中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：AMN与正多边形的内角度数相等。17. ( 江苏省无锡市2010年10分)如图