高考数学 易错点点睛与高考突破 专题09 圆锥曲线.doc

2013年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题09 圆锥曲线1.对椭圆相关知识的考查 2.对双曲线相关知识的考查 3.对抛物线相关知识的考查 4.对直线与圆锥曲线相关知识的考查 5.对轨迹问题的考查 6.考察圆锥曲线中的定值与最值问题 7.椭圆 8.双曲线 9.抛物线 10.直线与圆锥曲线 11.轨迹问题 12.圆锥曲线中的定值与最值问题在近几年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线考查的较少且难度很小，这与考试说明中a级要求相符合预计在2013年的高考题中：(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及(2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的混合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解具体有以下几点要重点关注：(1)圆锥曲线的几何性质，如a，b，c，p的几何意义以及离心率的值或范围的求解；(2)在解答题中出现的简单的直线与椭圆位置关系问题；(3)以椭圆为背景考查直线方程、圆的方程以及直线和圆的几何特征的综合问题；(4)在解析几何中综合出现多字母的等式的化简，这类问题难度很高题型一 圆锥曲线的定义及应用 例1.已知点为椭圆的左焦点,是此椭圆上的动点,是一定点,则的最大值和最小值分别为.已知双曲线的虚轴长为,离心率为,、分别是它的左、右焦点,若过的直线与双曲线的左支交于、两点,且是与的等差中项,则.题型二 圆锥曲线的标准方程例2、已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点.图求椭圆的离心率；设,又,为与不在轴上的两个交点,若的重心在抛物线上,求和的方程.题型三 圆锥曲线的几何性质例3、如图,已知为椭圆的左焦点,过点作斜率为(为半焦距)的直线交椭圆于点、两点.图 若直线的倾斜角为,求证：(为椭圆的离心率)； 若,且,求椭圆的离心率的取值范围.,解不等式,得,故椭圆的离心率的取值范围为.易错点：问题中忽视斜率的正负,会导致的符号出错；问题中不适时联想平几性质，解题思路将受阻.题型四 以圆锥曲线为载体的探索性问题例4、已知椭圆：的离心率为,过右焦点的直线与相交于、两点.当的斜率为时,坐标原点到的距离为.求、的值；上是否存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立？若存在,求出所有的点的坐标与的方程.若不存在,说明理由.由,得,.得,【难点突破】难点l椭圆 1以椭圆两焦点为直径端点的圆，交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于( ) a【解析】 利用正六边形的性质，求出交点坐标，代入椭圆方程中，可求e 【答案】c 设椭圆方程为在椭圆上， 2设f1、f2为椭圆的两个焦点，椭圆上有一点p与这两个焦点张成90度的角，且pf1f2pf2f1，若椭圆离心率为，则pf1f2：pf2f1为( ) a1：5 b1：3 c1：2 d1：l【解析】求角的比，联想到运用正弦定理，转化为焦半径的比，再利用合比性质解三角形【答案】a 提示：设pf1f2=，则pf2f1=90-,00)的准线l与x轴相交于点a，|of|=2|fa|，过点a的直线与椭圆相交于p、q两点(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若=0，求直线pq的方程； (3)设=(1)，过点p且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点m，证明=-yly2=k2(x1-3)(x2-3)=k2x1x2-3(x1+x2)+9 难点2双曲线 1双曲线=1的左右焦点分别为f1、f2、p是双曲线右支上一点，i为pf1f2的内心，pi交x轴于q点，若|f1q|=|pf2|，则i分线段pq的比为 ( ) a2 b 2.设a是双曲线(a0，b0)的右顶点,p是双曲线上除顶点外的任一点，过a作两渐近线的平行线分别交直线op于q和r两点(1)求证：|op|2=|oq|or|；(2)试确定双曲线上是否存在这样的点p，使得aqr的面积等于,如果存在，则求出点p的坐标；如果不存在，请说明理由-）3已知焦点在x轴上的双曲线c的两条渐近线过坐标原点且两条渐近线与以点a（0）为圆心，1为半径的圆相切，又知c的一个焦点与a关于直线y=x对称。（）求双曲线c的方程；（）设直线y=mx+1与双曲线c的左支交于a、b两点，另一直线l经过m（-2，0）及ab的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；（）若q是双曲线c上的任一点，f1f2为双曲线c的左、右两个焦点，从f1引f1qf2的平分线的垂线，垂足为n，试求点n的轨迹方程。m（1，），-2（m-）2+(-2+,1)b(-,-2-)（2，+）。2过抛物线x2=4y上不同两点a、b分别作抛物线的切线相交于p点，papb=0 (1)求点p的轨迹方程； (2)已知点f(0，1)，是否存在实数入使得+()2=0?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由由 得：故点p的轨迹方程是y=-1(xk).(2)由（1）得：3.自点a(0,-1)向抛物线c:y=x2作切线ab，切点为b，且点b在第一象限，再过线段ab的中点m作直线l与抛物线c交于不同的两点e、f，直线af、ae分别交抛物线c于p、q两点。难点 4直线与圆锥曲线1直线y=x+3与曲线的公共点的个数是 （ ）a1 b2 c3 d42过椭圆的右焦点f作直线l交椭圆于m、n两点，设（）求直线l的斜率k；（）设m、n在椭圆右准线上的射影分别为m1、n1，求的值。3已知圆m:x2+y2-6x+a=0(a0,定义运算“”x1x2=(x1+x2)2,定义运算“”x1x2=(x1-x2)2(1)若x0,求动点p（x，的轨迹c的方程；）(2)已知直线l:y=x+1与（1）中的轨迹c交于a（x1,y1）,b(x2,y2)两点，若试求a的值；(3)设p（x,y）是平面上任一点，定义：d1(p)=在轨迹c上是否存在两点a1、a2，使其满足d1(ai)=d2(ai)(i=1,2),若存在，请求出d1(a1)+d1(a2)的值；若不存在，请说明理由。4设g、m分别为不等边abc的重心与外心，a（-1，0）、b（1，0），且。求点c的轨迹e的过程；若直线l过点（0，1），并与曲线e交于p、q两点，且满足，求直线l的方程。【解析】（1）由三角形重心与外心的性质求点c的轨迹e的方程；（2）设而不求的方法求直线l的方程。难点 6 圆锥曲线中的定值与最值问题1若f1、f2中二次曲线c：（为参数）的焦点，p为曲线c上一点，当pf1f2的面积为时，的值为 （ ） a0 b-1 c1 d-2【解析】将参数方程化为普通方程，再运用性质可求。【答案】b 曲线方程为=1，设p（x,y），由sf1pf2=代入求得|x|=,不妨取p（），有.2已知=（2，0），动点m到定直线y=1的距离等于d，并且满足，其中o是坐标原点，k是参数。求动点m的轨迹方程；当k=，求的最大值与最小值；（3）如果动点m的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足，求k的取值范围.3已知opq的面积为s，且以o为中心，p为焦点的椭圆经过点q。当m（1，2）时，求的最大值，并求出此时的椭圆c方程；在（1）的条件下，过点p的直线l与椭圆c相交于m、n两点，与椭圆c对应于焦点p的准线相交于d点，请找出1、2之间的关系，并证明你的结论。设l与椭圆的两交点为m（x1,y1）、n(x2,y2)则x1+x2=的距离与到直线k距离之比为定值.|pa|+|pb|=4，m=|pa|pb|当且仅当|pa|=|pb|时取等号。此时m的最大值为4，p为椭圆短轴的两个端点，坐标为p（0，）或p（0，-）由解得|pa|=5/2，|pb|=3/2，又|ab|=2，在pab中，cosapb=【易错点点睛】易错点1 对椭圆相关知识的考查 1设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若flpf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( ) 3从集合1，2，3，11中任选两个元素作为椭圆方程=1中的m和n，则能组成落在矩形区域b=(x，y)x|11，且|y|0，且x1+x2=，由n(1，3)是线段ab的中点，得，a(k-3)=k2+3解得k=-1，代入得，12，即的取值范围是(12，+)于是，直线ab的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0解法2：设a(x1，y1)、b(x2，y2)，则有 (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0依题意，x1x2，kab=-n(1，3)是ab的中点，x1+x2=2，yl+y2=6，从而kab=-1 又由n(1，3)在椭圆内，312+32=12， 的取值范围是(12，)直线ab的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0 式成立，即a、b、c、d四点共圆解法2：由()解法1及12， cd垂直平分ab，直线cd方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-=0将直线ab的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得 4x2-8x+16-=0解和式可得 xl，2=不妨设a(1+【特别提醒】 1重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形3注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等易错点2 对双曲线相关知识的考查1已知双曲线x2-=1的焦点为f1、f2，点m在双曲线上且，则点m到x轴的距离为 ( )2已知双曲线=1(a0，b0)的右焦点为f，右准线与一条渐近线交于点a，oaf的面积为(o为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( ) a30 b45 c60 d90【错误解答】 b【易错点点睛】把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角【正确解答】 d 由题意得a()soaf=c，则两条渐近线为了y=x与y=-x则求两条渐近线的夹角为90 3双曲线=1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0,b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(-1，0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围【特别提醒】 1注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e1，必须明确焦点与准线的对应性 2由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏 3掌握参数a、b、c、e的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用易错点3 对抛物线相关知识的考查。 1过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于a、b两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( )a.有且仅只有一条 b有且仅有两条c.有无穷多条 d不存在 3如图，过抛物线y2=2px(p0)上一定点p(x0，y0)(y00)，作两条直线分别交抛物线于a (x1，y1)，b(x2，y2) (1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点f的距离； ()当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线ab的斜率是非零常数 【错误解答】 (1)当y=时，x=又抛物线的准线方程为x=-p，由抛物线定义得，所求距离为()设直线pa的斜率为kpa，直线pb的斜率为kpb由y21=2px1,y20=2px0相减得(yl-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0) 故kpa= (x1x0)相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，所以将yl+y2=-2y0(y00)代入得所以kab是非零常数 4在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2上异于坐标原点o的两不同动点a、b满足aobo(如图所示)(1)求aob的重心c(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程； ()aob的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由oaob【错误解答】（）设aob的重心为g(x,y)a(x1,y1)b(x2,y2)则所以aob的面积存在最小值，最小值为1。【特别提醒】用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。易错点4对直线与圆锥曲线的关系的考查 1设双曲线c：(a0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点a、b， (1)求双曲线c的离心率e的取值范围； ()设直线l与y轴的交点为p，且，求a的值(x1,y1-1)=(x2,y2-1)由此得x1=x2，由于x1，x2都是方程的根，且1-a20，所以x2=-，消x2，得-，由a0，所以a=2给定抛物线c：y2=4x，f是c的焦点，过点f的直线l与c相交于a、b两点 (1)设l的斜率为1，求与夹角的大小； ()设，若4，9，求l在y轴上截距的变化范围【正确解答】 (1)c的焦点为f(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为了y=x-1将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有xl+x2=6，x1x2=1 3已知椭圆c：(ab0)的左、右焦点为fl、f2，离心率为e直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点a、b，m是直线l与椭圆c的一个公共点，p是点fl关于直线l的对称点为p，设 (1)证明：=1-e2； ()确定的值，使得pf1f2是等腰三角形 【错误解答】 ()要使pf1f2为等腰三角形必有三种情况： (1)当|pf1|=|f1f2|时设点p的坐标是(x0，y0) 则 解得由|pf1|=|f1f2| 得2+别是(-，0)，(0，a)，设m的坐标是(x0，y0)，由 得()， 所以 因为点m在椭圆上，所以=1， 即 e4-2(1-)e2+(1-)2=0，解得e2=1- 即=1-e24抛物线c的方程为y=ax2(a0)，过抛物线c上一点p(x0，y0)(x00)作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线c于a(x1，y1)b(x2，y2)两点(p、a、b三点互不相同)，且满足k2+k1=0(0且-1) ()求抛物线c的焦点坐标和准线方程； ()设直线ab上一点m满足=，证明线段pm的中点在y轴上 ()当a=1时，若点p的坐标为(1，-1)，求pab为钝角时点a的纵坐标y1的取值范围【错误解答】 (1)抛物线c的方程y=ax2(a0)得，焦点坐标为(，0)准线方程为x=-x0，即xm+x0=0所以线段pm的中点在y轴上 ()因为点p(1，-1)在抛物线y=ax2上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x2由式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1=-(k1+1)2将=1代入式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=- (k2+1)2【特别提醒】 1判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组，判断方程组解的组数，对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断，而直线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定，不可混淆 2涉及弦长的问题中，应熟练地利用韦达定理，设而不求计算弦长，不要蛮算，以免出现差错 3涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化。易错点5 对轨迹问题的考查 1已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是 ( ) a.2 b c18+12 d21【错误解答】 c 【易错点点睛】对双曲线的定义理解不够深刻 【正确解答】 b 设双曲线方程为=1，由题意得则a=b=，则双曲线方程为=1,由得a（3，2），故交点到原点的距离为 2已知点a（-2，0）、b(3，0)，动点p(x，y)满足=x2，则点p的轨迹是 ( ) a. 圆 b椭圆 c双曲线 d抛物线 (1)分别用不等式组表示 w1和w2； ()若区域中的动点p(x,y)到l1，l2的距离之积等于d2，求p点的轨迹c的方程； ()设不过原点o的直线l与()中的曲线c相交于ml，m2两点，且与l1，l2分别交于m3，m4两点，求证om1m2的重心与om3m3的重心重合【错误解答】 (1)w1=(x,y)|ykx x0| ()直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0由题意得 =d2即=d2由及 得x3=,x4=从而x3+x4=x1+x2，所以y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2，于是om1m2的重心与om3m4的重心也重合 4已知椭圆=1(ab0)的左、右焦点分别是f1(-c，0)、f2(c，0)，q是椭圆外的动点，满足=2a，点p是线段f1q与该椭圆的交点，点t在线段f2q上，并且满足=0，|0 (1)设x为点p的横坐标，证明|=a+； ()求点t的轨迹c的方程； ()试问：在点t的轨迹c上，是否存在点m，使f1mf2的面积s=b2，若存在，求f1mf2的正切值；若不存在，请说明理由由=2a得(x+c)2+y2=4a2将代入，可得x2+y2=a2综上所述，点t的轨迹c的方程是x2+y2=a2 ()解法一：c上存在点m(x0，y0)使s=b2的充要条件是 (1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来，实质上是一个翻译过程，故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键，往往和研究曲线几何性质，讨论直线与曲线位置关系等联系在一起(2)求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除易错点6考查圆锥曲线中的定值与最值问题 1如图，点a、b分别是椭圆=1长轴的左、右端点，点f是椭圆的右焦点点p在椭圆上，且位于x轴的上方，papf (1)求点p的坐标； (2)设m椭圆长轴ab上的一点，m到直线ap的距离等于|mb|，求椭圆上的点到点m的距离d的最小值2如图，直线y= x严与抛物线y=x2-4交于a、b两点，线段ab的垂直平分线与直线y=-5交于点q(1)求点q的坐标 (2)当p为抛物线上位于线段ab下方(含点a、b)的动点时，求opq面积的最大值3设椭圆方程为x2+=1，过点m(0，1)的直线l交椭圆于点a、b、o是坐标原点，点p满足，点n的坐标为(，)，当l绕点m旋转时，求： ()动点户的轨迹方程； ()的最小值与最大值【错误解答】 (1)若l的斜率存在，设为k，则l：y =kx+1代入4x2+y2=4中得，4x2+y2-y=0 当k不存在时，a、b中点为坐标原点(0，0)，也满足方程，所以点p的轨迹方程为 4x2+y2-y=04如图，p是抛物线c：y=x2上点，直线l过点p且与抛物线c交于另一点q (1)若直线l与过点p的切线垂直，求线段pq中点 m的轨迹方程； ()若直线l不过原点且与x轴交于点s，与y轴交于点t，试求的取值范围y1、y2可取一切不相等的正数， 的取值范围是(2，+)方法二：当b0时，=|b|+22；当b0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()a4 b3c2 d14方程为1(ab0)的椭圆左顶点为a，左、右焦点分别为f1、f2，d是它短轴上的一个顶点，若32，则该椭圆的离心率为()a. b.c. d.【答案】d【解析】32，2()，2，即ac4c，e.5如图，正六边形abcdef的两个顶点a、d为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是()a.1 b.1c. d.6设f为抛物线y22px(p0)的焦点，a，b，c为该抛物线上三点，当0，且|3时，此抛物线的方程为()ay22x by24xcy26x dy28x7已知抛物线c：y24x的焦点为f，直线y2x4与c交于a，b两点，则cosafb()a. b. c d8已知f是抛物线y2x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|bf|3，则线段ab的中点到y轴的距离为()a. b1c. d.【答案】c【解析】如图所示：|af|ak|，|bf|bm|ak|bm|af|bf|3ab的中点p到准线的距离|pn|(|ak|bm|)点p到y轴的距离为.9.已知椭圆c1：1(ab0)与双曲线c2：x21 有公共的焦点，c1的一条渐近线与以c1的长轴为直径的圆相交于a，b两点若c1 恰好将线段ab三等分，则()aa2