初一数学竞赛系列讲座角的认识.doc

清华北大家教中心初一数学竞赛系列讲座(13)角的认识一、 知识要点具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等。二、 例题精讲例1 如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线， OD平分AOD，OE在BOC内，BOEEOC，DOE70，求EOC的度数。分析：易得EOCBOC，而BOC +AOB180，结合OD平分AOB，可作BOC平分线，结合DOE可求出BOC，从而求EOC的度数解：作BOC平分线OF，则BOFCOFBOCOD平分AOBAODDOBAOB又BOC +AOB180DOB+BOF90即DOF90EOFDOF-DOE20又EOFBOF-BOE而BOFBOC，BOEBOCEOFBOC-BOCBOCBOC6EOF120EOCBOC12080即EOC80例2 一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（）A锐角B直角C钝角D不能确定分析：设该锐角为a，它的余角（90-a）的补角b应为180-（90-a）90+a，b与a的差（90+a）-a90故选B例3 已知a的余角是b的补角的，b110，求a的范围。分析：显然a是锐角，由互余和互补的定义及条件可求出a与b的关系，再由b的范围，可求出a的范围。解：a的余角为90-a，b的补角为180-b由题意，得90-a（180-b）b5a-270b1105a-270110 a76又由条件知a为锐角a90故a的范围是76a90评注：本例把a转化到b进而求出a的范围。要把相关概念进解透彻，否则就会忽略a90这一条件。例4 当时间是2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？解：时针每小时转1大格，即30，所以每分针转0.5，而分针每分转6，当时针指向整点时，分针指向12点。因此，我们以指向12点作为角的始边，在2点32分时，时针与12点构成的角度是230+320.576分针与12点构成的角度是326192，从而，2点32分时，时针与分针的夹角是192-76116评注：（1）当时针与分针所转过的角度的差大于180时，则需用360减去这个角，例如：2点50分时，按上述方法求得的角是506-(230+500.5)=300-85=215180则时针与分针的夹角为360-215145（2）对于确定的时间，例如x点y分时，试写出用x、y表示时针与分针的夹角的表达式。例5 如图射线OA表示北偏东60，射线OB表示东南方向，BOC是AOB的余角，射线OD是射线OC的反向延长线，写出射线OD所表示的方向。解：AOB=30+45=75AOB的余角BOC=90-75=15OC表示南偏东30，OC的反向延长线OD所表示方向是北偏西30评注：如果本例没有给出图形，那么按题意，射线OC就有在AOB外部和内部两种不同位置，求OD的方向也就需要分两种情况求解。例6 如图，OA1，OA2，OA10是以O为端点的十条射线，A1OA1090，则图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有多少个？解法一：以O为端点，以十条射线OA1，OA2，OA10的任意两条为边组成的角，取决于从十条射线OA1，OA2，OA10中选出两条配成的对数。共有9+8+7+6+5+4+3+2+145对，所以图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有45个。评注：在数图形的角的总数时，和数线段一样，关键仍是做到不重不漏，因此，必须按照一定的规律去数。解法二：也可化为数线段的问题。如图作一直线，分别交OA1，OA2，OA10于A1，A2，A10，则每一个角对应于A1 A10上的某一条线段。反过来，A1 A10上的每一条线段又对应于某一个角，如A4OA6，它对应线段A4A6，而线段A4A6恰好对应线段于A4OA6，因此，要数图中角的个数，只要数A1 A10上的线段数即可，而A1 A10上的线段数有9+8+7+6+5+4+3+2+145条因此，图中共有45个角例7 求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。证明：如图，AB、CD相交于O，则AOC与BOD成对顶角。设OE、OF分别为AOC、BOD的平分线， AOE=AOC BOF=BOD 且 AOC=BOD AOE=BOF又 BOF+FOD+DOA=180 AOE+FOD+DOA=180即 EOF=180 OE、OF在同一直线上。评注：与对顶角有关的问题比较多，解这类题时，主要运用对顶角的定义来解题例8 已知：直角AOB，以点O为端点在AOB的内部画出1995条射线，以OA、OB及这些射线为边的锐角的个数是多少？解：设以O为端点在AOB的内部画出的1995条射线逆时针方向分别为射线OP1，OP2，OP3，OP1995则以OA为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP1，OP2，OP3，OP1995）以OP1为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP2，OP3，OP1995，OB）以OP2为始边，逆时针方向旋转，形成1994个锐角（终边分别为射线OP3，OP4，OP1995，OB）以OP1995为始边，逆时针方向旋转，形成1个锐角（终边为射线OB）共有1995+1995+1994+1993+2+11993005（个）三、 巩固练习选择题1、两个角的补角互余，则这两个角的和的大小是A.180 B.135 C. 270 D.902、如图，OM是AOB的平分线，射线OC在BOM内部，ON是BOC的平分线，已知AOC80，则MON为（）A30B40C45D503、已知一个直角以为端点在的内部画10条射线，以以及这些射线为边构成的锐角的个数是（ ）个。（A）110 （B）132 （C）66 （D）654、O是直线AB上的一点，AOD120，COAB于O ，OE是BOD的平分线，则图中彼此互补的角共有（）A4对B5对C6对D7对5、一张长方形的纸如图将角折起到处，作EFB的平分线，则的大小是（ ） （A）锐角 （B）直角 （C）钝角 （D）无法确定6、当时间是3点40分时，时针与分针的夹角度数是（）A110B130C120D150 第5题填空题7已知角a的补角等于角a的3.5倍，则角a等于度。8如图，是一条直线，OB、OD分别是角平分线则图中的钝角共有个。9不相等的两角和的两边分别平行，其中角比角的3倍少20，则的大小是。 第8题10、船停在海面上，从船上看，灯塔的方向在北偏东30，那么，从灯塔看，船的方向在 。11、O为平面上一点，过O在这个平面上引2001条不同的直线l1，l2，l3，12001，则可形成 对以O为顶点的对顶角。12、图中三角形的个数是。解答题 13、一个角的余角的2倍和它的补角的互为补角，求这个角的度数。 (第12题)14、如图所示的五角星形中共可数出多少个三角形。15、ABC是锐角三角形，D、E、F分别为BC、AC、AB上的点，连DE、EF、DF，图中大于0小于180的角有多少个？ 第15 题16、如图，求A+B+C+D+E+F的值。17、如图，BE、DE是ABC、ADC的角平分线 求证：E=(A+C)18、某人下午6点多钟外出买东西，看表上的时针与分针的夹角是110，近7点钟返回时，发现时针与分针的夹角