最新题库大全高考数学 试题分项专题10 圆锥曲线 理.doc

用心 爱心 专心 1 20122012 年高考数学选择试题分类汇编年高考数学选择试题分类汇编 圆锥曲线圆锥曲线 一 选择题一 选择题 2012 2012 年高考新课标全国卷理科年高考新课标全国卷理科 8 8 等轴双曲线c的中心在原点 焦点在x轴上 c与抛物 线xy16 2 的准线交于 a b两点 4 3ab 则c的实轴长为 a2 b 2 2 c d 2012 2012 年高考新课标全国卷理科年高考新课标全国卷理科 4 4 设 12 ff是椭圆 22 22 1 0 xy eab ab 的左 右焦点 p为直线 3 2 a x 上一点 21 f pf是底角为30 的等腰三角形 则e的离心率为 a 1 2 b 2 3 c d 2012 2012 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 8 8 如图 f1 f2分别是双曲线 c 22 22 1 xy ab a b 0 的左右焦点 b是虚轴的端点 直线f1b与 c的两条渐近线分别交于p q两点 线段pq的垂直平分线与x 轴交于点m 若 mf2 f1f2 则 c 的离心率是 a 2 3 3 b 6 2 c 2 d 3 用心 爱心 专心 2 2012 2012 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 10 10 已知椭圆 c 的离心率为 双曲线 x y 1 的渐近线与椭圆有四个交点 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16 则椭圆 c 的方程为 2012 2012 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 8 8 双曲线 22 2 1 4 xy b 的右焦点与抛物线xy12 2 的焦点重合 则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 a 5 b 24 c 3 d 5 用心 爱心 专心 3 2012 2012 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 9 9 过抛物线 2 4yx 的焦点f的直线交抛物线于 a b两点 点o是 原点 若3af 则aob 的面积为 a 2 2 b 2 c 3 2 2 d2 2 2012 2012 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 5 5 已知双曲线 c 2 2 x a 2 2 y b 1 的焦距为 10 点 p 2 1 在 c 的 渐近线上 则 c 的方程为 a 2 20 x 2 5 y 1 b 2 5 x 2 20 y 1 c 2 80 x 2 20 y 1 d 2 20 x 2 80 y 1 答案 a 解析 设双曲线 c 2 2 x a 2 2 y b 1 的半焦距为c 则210 5cc 又 c 的渐近线为 b yx a 点 p 2 1 在 c 的渐近线上 12 b a a 即2ab 又 222 cab 2 5 5ab c 的方程为 2 20 x 2 5 y 1 考点定位 本题考查双曲线的方程 双曲线的渐近线方程等基础知识 考查了数形结合的 用心 爱心 专心 4 思想和基本运算能力 是近年来常考题型 2012 2012 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 3 3 椭圆的中心在原点 焦距为 4 一条准线为4x 则该椭圆的 方程为 a 22 1 1612 xy b 22 1 168 xy c 22 1 84 xy d 22 1 124 xy 2012 2012 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 8 8 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点o 并且经过点 0 2 my 若点m到该抛物线焦点的距离为3 则 om a 2 2 b 2 3 c 4 d 2 5 2012 2012 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 8 8 已知 12 f f为双曲线 22 2c xy 的左右焦点 点p在c上 用心 爱心 专心 5 12 2 pfpf 则 12 cosfpf a 1 4 b 3 5 c 3 4 d 4 5 二 填空题二 填空题 2012 2012 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 12 12 在直角坐标系 xoy 中 直线 l 过抛物线 4x 的焦点 f 且与该 撇物线相交于 a b 两点 其中点 a 在 x 轴上方 若直线 l 的倾斜角为 60 则 oaf 的面积为 2012 2012 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 15 15 已知p q为抛物线 2 2xy 上两点 点p q的横坐标分别为 4 2 过p q分别作抛物线的切线 两切线交于a 则点a的纵坐标为 用心 爱心 专心 6 20122012 年高考江苏卷年高考江苏卷 8 8 在平面直角坐标系xoy中 若双曲线 22 2 1 4 xy mm 的离心率为5 则m的值为 2012 2012 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 16 16 定义 曲线 c 上的点到直线l的距离的最小值称为曲线 c 到直 线l的距离 已知曲线 c1 y x 2 a到直线l y x的距离等于 c2 x 2 y 4 2 2 到 直线l y x的距离 则实数a 用心 爱心 专心 7 2012 2012 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 13 13 椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的左 右顶点分别是a b 左 右 焦点分别是f1 f2 若 af1 f1f2 f1b 成等比数列 则此椭圆的离心率为 答案 5 5 解析 利用椭圆及等比数列的性质解题 由椭圆的性质可知 1 afac 12 2ffc 1 fbac 又已知 1 af 12 ff 1 fb成等比数列 故 2 2 ac acc 即 222 4acc 则 22 5ac 故 5 5 c e a 即椭圆的离心率为 5 5 考点定位 本题着重考查等比中项的性质 以及椭圆的离心率等几何性质 同时考查了函 数与方程 转化与化归思想 求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 a c的方程 然 后化为有关 a c的齐次式方程 进而转化为只含有离心率e的方程 从而求解方程即可 体 现考纲中要求掌握椭圆的基本性质 来年需要注意椭圆的长轴 短轴长及其标准方程的求解 等 2012 2012 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 14 14 如图 双曲线 22 22 1 0 xy a b ab 的两顶点为 a1 a2 虚轴两端 用心 爱心 专心 8 点为 b1 b2 两焦点为 f1 f2 若以 a1a2为直径的圆内切于菱形 f1b1f2b2 切点分别为 a b c d 则 双曲线的离心率 e 菱形 f1b1f2b2的面积 s1与矩形 abcd 的面积 s2的比值 1 2 s s 20122012 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 14 14 过抛物线 2 2yx 的焦点f作直线交抛物线于 a b两点 若 25 12 abafbf 则af 用心 爱心 专心 9 2012 2012 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 15 15 椭圆 22 1 43 xy 的左焦点为f 直线xm 与椭圆相交于点a b 当fab 的周长最大时 fab 的面积是 三 解答题三 解答题 20122012 年高考江苏卷年高考江苏卷 1919 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系xoy中 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 1 0 fc 2 0 f c 已知 1 e 和 3 2 e 都在椭圆上 其 中e为椭圆的离心率 1 求椭圆的离心率 2 设a b是椭圆上位于x轴上方的两点 且直线 1 af 与直线 2 bf平行 2 af与 1 bf交于点p i 若 12 6 2 afbf 求直线 1 af的斜率 ii 求证 12 pfpf 是定值 用心 爱心 专心 10 用心 爱心 专心 11 2012 2012 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 19 19 本小题共 14 分 已知曲线 22 528cm xmym r 1 若曲线c是焦点在x轴上的椭圆 求m的取值范围 2 设4m 曲线c与y轴的交点为a b 点a位于点b的上方 直线 4ykx 与 曲线c交于不同的两点m n 直线1y 与直线bm交于点g 求证 a g n 三点共线 用心 爱心 专心 12 2012 2012 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 20 20 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xoy 中 已知椭圆 c1 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率 e 2 3 且椭圆 c 上的点到 q 0 2 的距离的最大值为 3 1 求椭圆 c 的方程 2 在椭圆 c 上 是否存在点 m m n 使得直线 l mx ny 1 与圆 o x2 y2 1 相交于不同 的两点 a b 且 oab 的面积最大 若存在 求出点 m 的坐标及相对应的 oab 的面积 若 不存在 请说明理由 用心 爱心 专心 13 2012 2012年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科21 21 本小题满分13分 设a是单位圆x2 y2 1上的任意一点 i是过点a与x轴垂直的直线 d是直线i与x轴的交点 点m在直线l上 且满足丨dm丨 m丨da丨 m 0 且m 1 当点a在圆上运动时 记点m的轨迹 为曲线c i 求曲线c的方程 判断曲线c为何种圆锥曲线 并求焦点坐标 过原点且斜率为k的直线交曲线c于p q两点 其中p在第一象限 它在y轴上的射 影为点n 直线qn交曲线c于另一点h 是否存在m 使得对任意的k 0 都有pq ph 若存在 求m的值 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心 15 用心 爱心 专心 16 2012 2012 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 21 21 6 8 14 分 海事救援船对一艘失事船进行定位 以失事船的 当前位置为原点 以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系 以 1 海里为单位长度 则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里a处 如图 现假设 失事船的移动路径可视为 抛物线 2 49 12 xy 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援 救援船出发t小时后 失事 船所在位置的横坐标为 t 7 1 当5 0 t时 写出失事船所在位置p的纵坐标 若此时两船恰好会合 求 救援船速度的大小和方向 2 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船 用心 爱心 专心 17 2012 2012 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 19 19 本小题满分 13 分 如图 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x e的左 焦点为 1 f 右焦点为 2 f 离心率 2 1 e 过 1 f的直线交椭圆于ba 两点 且 2 abf 的周 长为 8 求椭圆e的方程 设动直线mkxyl 与椭圆e有且只有一个公共点p 且与直线4 x相交于 点q 试探究 在坐标平面内是否存在定点m 使得以pq为直径的圆恒过点m 若存在 求 出点m的坐标 若不存在 说明理由 用心 爱心 专心 18 2012 2012 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 22 22 4 6 6 16 分 在平面直角坐标系xoy中 已知双曲线 1 c 12 22 yx 1 过 1 c的左顶点引 1 c的一条渐进线的平行线 求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三 角形的面积 2 设斜率为 1 的直线l交 1 c于p q两点 若l与圆1 22 yx相切 求证 oqop 3 设椭圆 2 c 14 22 yx 若m n分别是 1 c 2 c上的动点 且onom 求 证 o到直线mn的距离是定值 用心 爱心 专心 19 用心 爱心 专心 20 2012 2012 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 21 21 本小题满分 13 分 在平面直角坐标系xoy中 f是抛物线 2 2c xpy 0 p 的焦点 m是抛物线 c上 位于第一象限内的任意一点 过 m f o三点的圆的圆心为q 点q到抛物线c的准 线 的距离为 3 4 求抛物线c的方程 是否存在点m 使得直线mq与抛物线c相切于点 m若存在 求出点m的坐标 若不存在 说明理由 若点m的横坐标为2 直线 1 4 l ykx 与抛物线c有两个不同的交点 a b l与 圆q有两个不同的交点 d e 求当12 2 k 时 22 abde 的最小值 用心 爱心 专心 21 2012 2012 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 21 21 本小题满分 15 分 如图 椭圆 c 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率为 1 2 其左焦点到点p 2 1 的距离为10 不过原点o的直线l与 c 相交于 a b两点 且线段ab被直线op平分 求椭圆 c 的方程 求 abp的面积取最大时直线l的方程 用心 爱心 专心 22 9 2012 2012 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 20 20 本小题满分 12 分 如图 椭圆 22 0 22 1 b 0 a b xy ca ab 为常数 动圆 222 111 c xytb ta 点 12 a a分别为 0 c的左 右顶点 用心 爱心 专心 23 1 c与 0 c相交于 a b c d四点 1 求直线 1 aa与直线 2 a b交点m的轨迹方程 2 设动圆 222 22 c xyt与 0 c相交于 a b c d四点 其中 2 0 a b的左 右顶点 分别为 a b 点 p 在椭圆上且异于 a b两点 o为坐标原点 用心 爱心 专心 27 若直线ap与bp的斜率之积为 1 2 求椭圆的离心率 若 apoa 证明 直线op的斜率k满足 3k 2012 2012 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 20 20 本小题满分 13 分 如图 12 0 0 fcf c 分别是椭圆 22 22 1 0 xy cab ab 的左 右焦点 过点 1 f作x轴的垂线交椭圆的上半 部 分于点p 过点 2 f作直线 2 pf的垂线交直线 2 a x c 于点q i 若点q的坐标为 4 4 求椭圆c的方程 ii 证明 直线pq与椭圆c只有一个交点 用心 爱心 专心 28 2012 2012 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 21 21 本小题满分 12 分 如图 动点m到两定点 1 0 a 2 0 b构成mab 且2mbamab 设动点m的 轨迹为c 求轨迹c的方程 设直线2yxm 与y轴交于点p 与轨迹c相 交于点qr 且 pqpr 求 pr pq 的取值范围 用心 爱心 专心 29 用心 爱心 专心 30 2012 2012 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 21 21 本小题满分 13 分 在直角坐标系 xoy 中 曲线 c1的点均在 c2 x 5 2 y2 9 外 且对 c1上任意一点 m m 到 直线 x 2 的距离等于该点与圆 c2上点的距离的最小值 求曲线 c1的方程 设 p x0 y0 y0 3 为圆 c2外一点 过 p 作圆 c2的两条切线 分别与曲线 c1相交 于点 a b 和 c d 证明 当 p 在直线 x 4 上运动时 四点 a b c d 的纵坐标之积为定 值 用心 爱心 专心 31 2012 2012 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 22 22 本小题满分 14 分 已知a为正实数 n为自然数 抛物线 2 2 n a yx 与x轴正半轴相交于点a 设 f n为该抛物线在点a处的切线在y轴上的截距 用a和n表示 f n 求对所有n都有 3 3 1 11 f nn f nn 成立的a的最小值 当01a 时 比较 1 1 2 n k f kfk 与 27 1 4 0 1 ff n ff a的大小 并说明理由 用心 爱心 专心 32 用心 爱心 专心 33 用心 爱心 专心 34 2012 2012 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 19 19 本小题满分 12 分 已知椭圆 2 2 1 1 4 x cy 椭圆 2 c以 1 c的长轴为短轴 且与 1 c有相同的离心率 1 求椭圆 2 c的方程 2 设 o 为坐标原点 点 a b 分别在椭圆 1 c和 2 c上 2oboa 求直线ab的方程 用心 爱心 专心 35 2012 2012 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 21 21 本小题满分 12 分 注意 在试卷上作答无效 已知抛物线 2 1 c yx 与圆 222 1 1 0 2 mxyrr 有一个公共点a 且在 a处两曲线的切线为同一直线l 1 求r 2 设m n是异于l且与c及m都相切的两条直线 m n的交点为d 求d到l的距 离 用心 爱心 专心 36 用心 爱心 专心 37 2012 2012 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 20 20 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 如图 设椭圆的中心为原点 o 长轴在 x 轴上 上顶点为a 左右焦点分别为 21 f f 线段 12 of of的中点分别为 21 b b 且 21b ab 是面积为 4 的直角三角形 求该椭圆的离心率和标准方程 过 1 b做直线l交椭圆于 p q 两点 使 22 qbpb 求直线l的方程 用心 爱心 专心 38 20112011 年高考数学选择试题分类汇编年高考数学选择试题分类汇编 圆锥曲线圆锥曲线 一 选择题一 选择题 1 1 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 8 8 已知双曲线已知双曲线 22 22 1 0b0 xy a ab 的两条渐近线均和圆的两条渐近线均和圆 c c 22 650 xyx 相切相切 且双曲线的右焦点为圆且双曲线的右焦点为圆 c c 的圆心的圆心 则该双曲线的方程为则该双曲线的方程为 a a 22 1 54 xy b b 22 1 45 xy c c 22 1 36 xy d d 22 1 63 xy 用心 爱心 专心 39 3 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 7 7 设直线 l 过双曲线 c 的一个焦点 且与 c 的一条对称 轴垂直 l 与 c 交于 a b 两点 ab为 c 的实轴长的 2 倍 则 c 的离心率为 a 2 b 3 c 2 d 3 答案 b 解析 由题意知 ab为双曲线的通径 所以 aba a b 4 2 2 2 2 2 a b 又31 2 2 a b e 故选 b 点评 本题考查双曲线标准方程和简单几何性质 通过通经与长轴的 4 倍的关系可以计算出 离心率的关键 2 2 a b 的值 从而的离心率 4 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 8 8 已知椭圆 22 1 22 1 0 xy cab ab 与双曲线 2 2 2 1 4 y cx 有公共的焦点 2 c的一条渐近线与以 1 c的长轴为直径的圆相交于 a b两点 用心 爱心 专心 40 若 1 c恰好将线段ab三等分 则 a 2 13 2 a b 2 13a c 2 1 2 b d 2 2b 答案 c 解析 由 1 c恰好将线段 ab 三等分得 1 3 3 a a x xx x 由 22 2 5 5 a yx xa xy 5 15 xa 2 5 15 ya 52 5 1515 a a 在椭圆上 22 22 52 5 1515 1 a a ab 22 11ab 又 22 5 ab 2 1 2 b 故选 c 5 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 2 2 双曲线xy 的实轴长是 a 2 b c 4 d 4 答案 a 命题意图 本题考查双曲线的标准方程 考查双曲线的性质 属容易题 解析 xy 可变形为 22 1 48 xy 则 2 4a 2a 24a 故选 c 6 2011 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 5 5 设双曲线 01 9 2 2 2 a y a x 的渐近线方程为023 yx 则a的值为 a 4 b 3 c 2 d 1 用心 爱心 专心 41 8 2011 2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 2 2 设抛物线的顶点在原点 准线方程为2x 则抛物线的方程 是 a 2 8yx b 2 8yx c 2 4yx d 2 4yx 答案 b 解析 设抛物线方程为 2 yax 则准线方程为 4 a x 于是2 4 a 8a 9 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 10 10 在抛物线 2 5 0 yxaxa 上取横坐标为 1 4x 2 2x 的两点 过这两点引一条割线 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 22 5536xy 相切 则抛物线顶点的坐标为 a 2 9 b 0 5 c 2 9 d 1 6 用心 爱心 专心 42 10 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 10 10 已知抛物线 c 2 4yx 的焦点为 f 直线24yx 与 c 交于 a b 两点 则cosafb a 4 5 b 3 5 c 3 5 d 4 5 答案 d 解析 2 4 1 0 yxf 得 准线方程为1x 由 2 4 1 2 4 4 24 yx ab yx 得 则 22 1212 3 5abxxyy 由抛物线的定义得2 5afbf 由余弦定理得 222 52 3 5 4 cos 2 5 55 afb 故选 d 11 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 7 7 设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 f1 f2 若曲线 r 上存在点 p 满足 1122 pfffpf 4 3 2 则曲线 r 的离心率等于 a 13 22 或 b 2 3 或 2 c 1 2 或2 d 23 32 或 答案 a 二 填空题二 填空题 1 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 13 13 已知点 2 3 在双曲线 c 1 b y a x 2 2 2 2 a 0 b 0 上 用心 爱心 专心 43 c 的焦距为 4 则它的离心率为 3 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 14 14 若椭圆 22 22 1 xy ab 的焦点在x轴上 过点 1 1 2 作圆 22 1xy的切线 切点分别为 a b 直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程 是 答案 22 1 54 xy 解析 因为一条切线为 x 1 且直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 所以椭圆的右焦 点为 1 0 即1c 设点 p 1 1 2 连结 op 则 op ab 因为 1 2 op k 所以2 ab k 又因 为直线 ab 过点 1 0 所以直线 ab 的方程为220 xy 因为点 0 b在直线 ab 上 所以 2b 又因为1c 所以 2 5a 故椭圆方程是 22 1 54 xy 4 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 14 14 在平面直角坐标系xoy中 椭圆c的中心为原点 用心 爱心 专心 44 焦点 12 f f在 x轴上 离心率为 2 2 过l的直线 交于 a b两点 且 2 abfa的周长为 16 那么c的方程为 答案 1 816 22 yx 解析 由椭圆的的定义知 4 164 aac 又因为离心率22 2 2 c a c 8 222 cab因此 所求椭圆方程为 1 816 22 yx 点评 本题考查椭圆的定义 标准方程以及简单的几何性质 要注意把握 5 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 15 15 设圆c位于抛物线 2 2yx 与直线3x 所组成的封闭区域 包含边界 内 则圆c的半径能取到的最大值为 解析 61 为使圆c的半径取到最大值 显然圆心应该在 x 轴上且与直线3x 相切 设圆c的半径为r 则圆c的方程为 2 22 3xryr 将其与 2 2yx 联立得 2 22960 xrxr 令 2 224 960rr 并由0r 得 61r 6 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 14 14 双曲线 22 xy 1p4 6436 上一点到双曲线右焦点的距离是 那么点p 到左准线的距离是 答案 16 解析 由双曲线第一定义 pf1 pf2 16 因 pf2 4 故 pf1 20 pf1 12 舍去 设 p 到左准线的距离是 d 由第二定义 得 2010 8d 解得16d 7 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 15 15 已知f1 f2分别为双曲线c 2 9 x 2 27 y 1 的左 右焦点 点 a c 点 m 的坐标为 2 0 am 为 f1af2 的平分线 则 af2 答案 6 用心 爱心 专心 45 解析 12 6 0 6 0 ff 由角平分线的性质得 11 22 8 2 4 affm afmf 又 12 2 36afaf 2 6af 8 2011 2011 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 14 14 曲线 c 是平面内与两个定点 f1 1 0 和 f 2 1 0 的 距离的积等于常数 1 2 aa的点的轨迹 给出下列三个结论 曲线 c 过坐标原点 曲线 c 关于坐标原点对称 若点 p 在曲线 c 上 则 f1pf2的面积大于 2 1 a 2 其中 所有正确结论的序号是 答案 9 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 3 3 设m为常数 若点 0 5 f是双曲线 22 1 9 yx m 的一个焦点 则m 答案 16 三 解答题三 解答题 1 1 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 22 22 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知动直线已知动直线l与椭圆与椭圆 c c 22 1 32 xy 交于交于 p p 11 x y q q 22 xy两不同点 且两不同点 且 opq opq 的面积的面积 opq s 6 2 其中其中 o o 为坐标原点为坐标原点 证明 证明 22 12 xx 和和 22 12 yy 均为定值均为定值 设线段 设线段 pqpq 的中点为的中点为 m m 求 求 ompq 的最大值 的最大值 椭圆 椭圆 c c 上是否存在点上是否存在点 d e gd e g 使得 使得 6 2 odeodgoeg sss 若存在 判断若存在 判断 degdeg 的形状 若不存在 请说明理由的形状 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心 46 2 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为 ykxm 由题意知 m0 将其代入 22 1 32 xy 得 222 23 63 2 0kxkmxm 其中 2222 3612 23 2 0 k mkm 即 22 32km 又 2 1212 22 63 2 2323 kmm xxx x kk 所以 22 222 1212 2 2 6 32 1 41 23 km pqkxxx xk k 因为点 o 到直线l的距离为 2 1 m d k 所以 1 2 opq spq d 22 2 2 2 12 6 32 1 223 1 kmm k k k 用心 爱心 专心 47 22 2 6 32 23 mkm k 又 6 2 opq s 整理得 22 322 km 且符合 式 此时 2 2222 121212 22 63 2 2 23 2323 kmm xxxxx x kk 222222 121212 222 3 3 4 2 333 yyxxxx 综上所述 2222 1212 3 2 xxyy 结论成立 ii 解法一 1 当直线l的斜率存在时 由 i 知 11 6 2 2 2 omxpqy 因此 6 26 2 ompq 2 当直线l的斜率存在时 由 i 知 12 3 22 xxk m 222 1212 22 222 1212 2222 222 22 2222 332 2222 916211 3 22442 24 32 2 21 1 1 2 2 23 yyxxkkm kmm mmm xxyykm om mmmm kmm pqk kmm 所以 22 22 111 3 2 2 2 ompq mm 22 22 2 11 3 2 11 32 25 24 mm mm 所以 5 2 ompq 当且仅当 22 11 32 2m mm 即时 等号成立 用心 爱心 专心 48 综合 1 2 得 om pq 的最大值为 5 2 解法二 由 i 得 222222222222 12121212 222222 1212 1212 3 3 3 2 2 2 3 1 2 5 1 2 uxuxxxvyvyyy uxxvyy u x xv y y 解得 因此只能从中选取只能从中选取 因此 d e g 只能在 6 1 2 这四点中选取三个不同点 而这三点的两两连线中必有一条过原点 与 6 2 odeodgoeg sss 矛盾 所以椭圆 c 上不存在满足条件的三点 d e g 2 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 20 20 本小题满分 12 分 如图 已知椭圆 c1 的中心在原点 o 长轴左 右端点 m n 在 x 轴上 椭圆 c2 的短轴为 mn 且 c1 c2 的离心率都为 e 直线 l mn l 与 c1 交于两点 与 c2 交于两点 这四点按 纵坐标从大到小依次为 a b c d 用心 爱心 专心 49 i 设 1 2 e 求bc与ad的比值 ii 当 e 变化时 是否存在直线 l 使得 bo an 并说明理由 解得 22 222 1abe ta abe 因为 ta 又01e 所以 2 2 1 1 e e 解得 2 1 2 e 用心 爱心 专心 50 所以当 2 0 2 e 时 不存在直线 l 使得 bo an 当 2 1 2 e 时 存在 直线 l 使得 bo an 2 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 21 21 本小题满分 13 分 设 点a的坐标为 1 1 点b在抛物线yx 上运动 点q满足bqqa uuu ruur 经 过q点与x轴垂直的直线交抛物线于点m 点p满足qmmp uuuruuu r 求点p的轨迹方程 命题意图 本题考查直线和抛物线的方程 平面向量的概念 性质与运算 动点轨迹方 程等基本知识 考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力 全面考核综合数学素养 解析 由qmmp uuuruuu r 知 q m p 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上 故可设 p x y q x y m x x 则 xyyx 即 yxyxxy 再设 b x y 由bqqa uuu ruur 即 xx yyxy 解得 xx yy 将 代入 式 消去y 得 xx yxy 又点 b 在抛物线yx 上 所以yx 再将 式代入得 xyx 即 xyxx 即 用心 爱心 专心 51 xy 因为 等式两边同时约去 得 xy 这就是所求的点p的轨迹方程 解题指导 向量与解析几何相结合时 关键是找到表示向量的各点坐标 然后利用相关 点代入法或根与系数关系解决问题 此外解析几何中的代数式计算量都是很大的 计算时应 细致加耐心 3 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 20 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系 xoy 中 已知点 a 0 1 b 点在直线 y 3 上 m 点满足 mb oa ma ab mb ba m 点的轨迹为曲线 c 求 c 的方程 p 为 c 上的动点 l 为 c 在 p 点处得切线 求 o 点到 l 距离的最小值 点评 此题考查曲线方程的求法 直线方程 点到直线的距离 用不等式求最值以及导数的 应用等 要把握每一个环节的关键 4 4 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 18 18 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 用心 爱心 专心 52 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoy中 点中 点 p a b 0 ab 为动点 为动点 12 f f分别为椭圆分别为椭圆 22 22 1 xy ab 的的 左右焦点 已知左右焦点 已知 12 fpf为等腰三角形 为等腰三角形 求椭圆的离心率 求椭圆的离心率e 设直线 设直线 2 pf与椭圆相交于与椭圆相交于 a b两点 两点 m是直线是直线 2 pf上的点 满足上的点 满足2am bm 求点求点m的轨迹方程 的轨迹方程 解 由 知2 3ac bc 可得椭圆方程为 222 3412xyc 直线 2 pf方程为 3 yxc a b 两点的坐标满足方程组 222 3412 3 xyc yxc 消去 y 并整理 得 2 580 xcx 解得 12 8 0 5 c xx 得方程组的解 1 1 0 3 x yc 2 1 8 5 3 3 5 c x yc 不妨设 83 3 55 c ac 0 3 bc 设点m的坐标为 x y 则 83 3 55 c amxyc 3 bmx yc 由 3 yxc 得 3 3 cxy 于是 8 3383 3 3 15555 y amyxx bmxx 由2am bm 即 用心 爱心 专心 53 8 3383 3 32 15555 y yx xxx 化简得 2 1816 3150 xxy 将 2 1815 16 3 x y x 代入 3 3 cxy 得 2 105 0 16 x c x 所以0 x 因此 点m的轨迹方程是 2 1816 3150 0 xxyx 5 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 21 21 本题满分 15 分 已知抛物线 1 c 2 xy 圆 2 c 22 4 1xy 的圆心为点 m 求点 m 到抛物线 1 c的准 线的距离 已知点 p 是抛物线 1 c上一点 异于原点 过点 p 作圆 2 c的两条切 线 交抛物线 1 c于 a b 两点 若过 m p 两点的直线l垂直于 ab 求直线 l的方程 解析 由 2 xy 得准 线方程为 1 4 y 由 22 4 1xy 得 m 0 4 点 m 到抛 物线 1 c的准 线的距离为 117 4 44 设点 2 00 p x x 2 11 a x x 2 22 b x x 由题意得 00 0 1 xx 12 xx 设过点 p的圆 2 c的切线方程为 2 00 yxk xx 即 2 00 ykxxkx 则 2 00 2 4 1 1 kxx k 即 22222 0000 1 2 4 4 10 xkxxkx 设pa pb的斜率为 12 k k 12 kk 则 12 k k是上述方 程的两个不相等的根 2 00 12 2 0 2 4 1 xx kk x 22 0 12 2 0 4 1 1 x kk x 将代入 2 yx 得 22 00 0 xkxkxx 由于 0 x是方程的根故 110 xkx 220 xkx 所以 22 12 12 12 ab xx kxx xx 用心 爱心 专心 54 2 00 1200 2 0 2 4 22 1 xx kkxx x 2 0 0 4 mp x k x 由mpab 得 22 000 0 2 00 2 4 4 2 1 1 abmp xxx kkx xx 解得 2 0 23 5 x 点p的坐标为 23 23 55 直线l的方程为 3 115 4 115 yx 6 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 20 20 本小题满分 13 分 000 p xyxa 是双曲线 e 22 22 1 0 0 xy ab ab 上一点 m n 分别是双曲线 e 的 左 右顶点 直线 pm pn 的斜率之积为 1 5 1 求双曲线的离心率 2 过双曲线 e 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 a b 两点 o 为坐标原点 c 为双 曲线上一点 满足ocoaob 求 的值 所以 222 1212 5 xxyya 又 a b 两点在双曲线上 所以 222222 11221212 5 5 210 xyxyx xy ya 所以 22 2222 12 5 210 4 ca aaxc xca 用心 爱心 专心 55 又 2 2 6 5 c a 所以 2 5200 所以0 或4 7 2011 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 21 21 本小题满分 13 分 如图 7 椭圆 0 1 2 2 2 2 1 ba b y a x c 的离心率为 2 3 x轴被曲线 bxyc 2 2 截得的线段长等于 1 c的长半轴长 求 1 c 2 c的方程 设 2 c与y轴的交点为m 过坐标原点o的直线l与 2 c相交于点a b 直线ma mb分别与 1 c相交于点d e 证明 memd 记mab mde 的面积分别为 21 s s 问 是否存在直线l 使得 32 17 2 1 s s 请说 明理由 解 由题意知 2 3 a c e 从而ba2 又ab 2 解得1 2 ba 故 1 c 2 c的方程分别为1 4 2 2 y x 1 2 xy 由题意知 直线l的斜率存在 设为k 则直线l的方程为kxy 由 1 2 xy kxy 得01 2 kxx 设 11 y xa 22 y xb 则 21 x x是上述方程的两 个实根 于是 21 kxx 1 21 xx 又点 1 0 m 所以 用心 爱心 专心 56 21 2121 2 21 21 2 2 1 1 11111 xx xxkxxk xx kxkx x y x y kk mbma 1 1 1 22 kk 故mbma 即memd 因此 17 4 4 64 1 2 1 2 1 2 1 k k s s 由题意知 32 17 17 4 4 64 1 2 1 2 1 k k 解得4 2 1 k或 4 1 2 1 k 用心 爱心 专心 57 又由点ba 的坐标可知 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 k k k k k k k 所以 2 3 k 故满足条件的直线l存在 且有两条 其方程分别为xy 2 3 和xy 2 3 评析 本大题主要考查抛物线 椭圆的标准方程的求法以及直线与抛物线 椭圆的位置关系 突出解析几何的基本思想和方法的考查 如数形结合思想 坐标化方法等 8 8 2011 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 19 19 设圆设圆 c c 与两圆与两圆 2222 54 54xyxy 中中的一的一 个内切 另一个外切个内切 另一个外切 1 1 求 求 c c 的圆心轨迹的圆心轨迹 l l 的方程的方程 2 2 已知点 已知点 3 5 4 5 5 55 mf 0 且且 p p 为为 l l 上动点 求上动点 求mpfp 的最大值及此的最大值及此 时点时点 p p 的坐标的坐标 解析解析 1 解 设 c 的圆心的坐标为 x y 由题设条件知 2222 5 5 4 xyxy 化简得 l 的方程为 2 2 1 4 x y 2 解 过 m f 的直线l方程为2 5 yx 将其代入 l 的方程得 2 1532 5840 xx 解得 1212 6 514 56 52 514 5 2 5 515551515 xxlltt 故与交点为 用心 爱心 专心 58 因 t1在线段 mf 外 t2在线段 mf 内 故 11 2 mtftmf 22 2 mtftmf 若 p 不在直线 mf 上 在mfp 中有 2 mpfpmf 故 mpfp 只在 t1点取得最大值 2 9 2011 2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 20 20 本小题满分 13 分 平面内与两定点 12 0 0 0 aaa aa连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹 加 上 a1 a2两点所在所面的曲线 c 可以是圆 椭圆或双曲线 求曲线 c 的方程 并讨论 c 的形状与 m 的位置关系 当 m 1 时 对应的曲线为 c1 对给定的 1 0 0 m 对应的曲线为 c2 设 f1 f2是 c2的两个焦点 试问 在 c1上 是否存在点 n 使得 f1nf2的面 积 2 sm a 若存在 求 12 tanf nf的值 若不存在 请说明理由 当10m 时 曲线 c 的方程为 22 22 1 xy ama c 是焦点在 x 轴上的椭 圆 当 0m 时 曲线 c 的方程为 22 22 1 xy ama c 是焦点在 x 轴上的双曲线 用心 爱心 专心 59 由 知 当1m 时 c1的方程为 222 xya 当 1 0 0 m 时 c2的两个焦点分别为 1 1 0 fam 2 1 0 f am 对于给定的 1 0 0 m c1上存在点 000 0 n xyy使得 2 sm a的充要条件是 222 000 2 0 0 1 21 2 xyay am ym a 由 得 0 0ya 由 得 0 1 m a y m 当0 1 m a a m 即1 5 0 2 m 或 15 0 2 m 时 存在点 n 使 2 sm a 当 1 m a a m 即 15 1 2 m 或 15 2 m 时 不存大满足条件的点 n 当 1515 00 22 m 时 由 100 1 nfamxy 200 1 nfamxy 可得 2222 1200 1 nf nfxm ayma 令 1122 nfr nfr 12 fnf 则由 2 121 2cos nf nfrrma 可得 2 1 2 cos ma rr 从而 2 2 1 2 1sin1 sintan 22cos2 ma srrma 于是由 2 sm a 可得 22 1 tan 2 mam a 即 2 tan m m 用心 爱心 专心 60 综上可得 当 15 0 2 m 时 在 c1上 存在点 n 使得 2 sm a 且 12 tan2f nf 当 15 0 2 m 时 在 c1上 存在点 n 使得 2 sm a 且 12 tan2fnf 当 1515 1 22 m 时 在 c1上 不存在满足条件的点 n 10 2011 2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 17 17 本小题满分 12 分 如图 设p是圆珠笔 22 25xy 上的动点 点 d 是p在 x 轴上的投影 m 为pd 上一点 且 4 5 mdpd 当p的在圆上运动时 求点 m 的轨迹 c 的方程 求过点 3 0 且斜率为 4 5 的直线被 c 所截线段的 长 度 解析 设 m 的坐标为 x y p p的坐标为 pp xy 由已知得 5 4 p p xx yy p在圆上 22 5 25 4 xy 即 c 的方程为 22 1 2516 xy 过点 3 0 且斜率为 4 5 的直线方程为 4 3 5 yx 设直线与 c 的交点为 22 a x y b xy 将直线方程 4 3 5 yx 代入 c 的方程 得 22 3 1 2525 xx 即 2 380 xx 12 341341 22 xx 线段ab 的长度为 222 121212 16 1 25 abxxyyxx 4141 41 255 用心 爱心 专心 61 注 求 ab 长度时 利用韦达定理或弦长公式求得正确结果 同样给分 11 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 20 20 本小题满分 12 分 第一问 4 分 第二问 8 分 如图 20 椭圆的中心为原点 o 离心率 2 2 e 一条准线的方程为2 2x 求该椭圆的标准方程 设动点 p 满足2opomon 其中 m n 是椭圆上的点 直线 om 与 on 的斜率 之积为 1 2 问 是否存在两个定点 12 ff 使得 12 pfpf 为定值 若存在 求 12 ff 的坐标 若不存在 说明理由 解析 由 2 2 2 2 2 aa e cc 解得 222 2 2 2acbac 故椭圆的标准方程为 22 1 42 xy 设 p x y 1122 m x yn xy 则由2opomon 得 1122 2 x yx yxy 即 1212 2 2xxxyyy 因为点 m n 在椭圆 22 1 42 xy 上 所以 2222 1122 24 24xyxy 故 222222 12121212 244244xyxxx xyyy y 2222 11221212 24242xyxyx xy y 1212 2042x xy y 设 omon