2015-2016学年《空间向量在立体几何中的综合应用》导学案.pptx

第7课时空间向量在立体几何中的综合应用 1 理解用空间向量判断立体几何中的平行与垂直关系的方法 2 掌握运用空间向量求立体几何中的线线角 线面角 面面角 或二面角 的方法 3 掌握运用空间向量求立体几何中的点 线 面相互之间的距离的方法 4 熟悉空间向量作为工具在立体几何中的常规运用 前面我们学习了空间向量在立体几何中的应用 分析了空间向量的平行与垂直关系 解决了求空间角 空间距离等问题 这说明空间向量与立体几何之间有着不可分割的联系 我们需要熟悉并掌握空间向量 这一讲我们就来进一步探讨空间向量在立体几何中的综合应用问题 1 x y z 数量积 任取 a b a m m n a b a m m n 平面角 其补角 端点 模 点面 点面 1 C 2 点A n n 1 2n B 1 n n 则 的最小值是 A 12B 22C 2D 不存在 解析 1 n 1 2n n 2 1 n 2 1 2n 2 n2 6 n 12 2 12 当n 12时 的最小值为22 B 3 在空间中 已知平面 过点 3 0 0 和点 0 4 0 及z轴上一点 0 0 a a 0 如果平面 与平面xOy的夹角为45 则a 解析 平面xOy的法向量为n 0 0 1 设平面 的法向量为u x y z 则 3 4 0 3 0 即3x 4y az 取z 1 则u 3 4 1 cos 1 29 216 1 22 又 a 0 a 125 125 4 在长方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是面对角线B1D1 A1B上的点 且D1E 2EB1 BF 2FA1 求证 EF AC1 解析 如图所示 以D为原点 DA DC DD1所在的直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设DA a DC b DD1 c 则A a 0 0 C1 0 b c E 23a 23b c F a 3 23c 3 3 3 1 a b c 13 1 又FE与AC1不共线 EF AC1 C 7 用向量解决折叠 翻转模型中的立体几何问题如图 在直角梯形ABCD中 ADC 90 CD AB AB 4 AD CD 2 M为线段AB的中点 将 ADC沿AC折起 使平面ADC 平面ABC 得到几何体D ABC 如图 所示 1 求证 BC 平面ACD 2 求二面角A CD M的余弦值 解析 1 在图 中 可得AC BC 22 从而AC2 BC2 AB2 故AC BC 取AC的中点O 连接DO 则DO AC 平面ADC 平面ABC 平面ADC 平面ABC AC DO 平面ACD DO 平面ABC DO BC 又AC BC AC DO O BC 平面ACD 2 法一 建立如图所示空间直角坐标系 则M 0 2 0 C 2 0 0 D 0 0 2 2 2 0 2 0 2 设n1 x y z 为平面CDM的法向量 则 1 0 1 0 即2x 2y 0 2x 2z 0 解得 令x 1 可得n1 1 1 1 又n2 0 1 0 为平面ACD的一个法向量 cos 1 2 1 2 13 33 二面角A CD M的余弦值为33 法二 如图 取AC的中点N DC的中点G 连接MN NG GM 易知MN BC 又BC 平面ACD MN 平面ACD 又CD 平面ACD MN CD 又NG为 ACD的中位线 AD DC NG DC NG MN N DC 平面MNG NGM即为二面角A CD M的平面角 在Rt ADC中 易知AC 22 在Rt ABC中 易知BC 22 MN 2 在Rt MNG中 NG 1 MN 2 MG 3 故cos NGM 13 33 二面角A CD M的余弦值为33 B 1 设平面 内两向量a 1 2 1 b 1 1 2 则下列向量中是平面 的法向量的是 A 1 2 5 B 1 1 1 C 1 1 1 D 1 1 1 解析 平面 的法向量应当与a b都垂直 可以检验知B选项适合 A 3 若a 1 2 0 b 2 1 x 且以a b为邻边的平行四边形的面积为35 则实数x的值为 解析 易知a b相互垂直 因此以a b为邻边的平行四边形为矩形 由题意可知5 5 2 35 解得x 2 2 4 已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长均为a D是侧棱CC1的中点 求平面AB1D与平面ABC所成二面角 锐角 的余弦值 解析 以B为原点 过点B与BC垂直的直线为x轴 BC所在的直线为y轴 BB1所在的直线为z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则B 0 0 0 C 0 a 0 B1 0 0 a C1 0 a a A 32a 12a 0 A1 32a 12a a D 0 a 12a 故 1 32a 12a a 1D 0 a 12a 设平面AB1D的法向量为n x y z 则 1 0 1D 0 即32ax 12ay az 0 12az 0 得x 3y z 2y 取y 1 则n 3 1 2 平面ABC的法向量是 1 0 0 a 平面AB1D与平面ABC所成二面角 锐角 的余弦值为cos 1 22 2013年 广东卷 如图甲 在等腰直角三角形ABC中 A 90 BC 6 D E分别是AC AB上的点 CD BE 2 O为BC的中点 将 ADE沿DE折起 得到如图乙所示的四棱锥A BCDE 其中A O 3 1 证明 A O 平面BCDE 2 求二面角A CD B的平面角的余弦值 解析 1 如图 连接OD 在 OCD中 OC 3 CD 2 DCO 45 OD2 CD2 OC2 2CD OCcos45 5 又A D AD 6 22 2 22 A O 3 OD2 A O2 A D2 A OD 90 A O OD O为BC中点 且 ABC为等腰直角三角形 折起后 有A C A B A O BC 又OD BC O A O 平面BCDE 2 取DE的中点F 连接OF 则OB OF 由 1 知OA OB OA OF 分别以OF OB OA 所在的直线为x y z轴建立空间直角坐标系 则A 0 0 3 C 0 3 0 D 1 2 0 0 3 3 1 2 3