高考数学 常见难题大盘点 应用性问题.doc

2013高考数学常见难题大盘点：应用性问题1. 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%） （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？分析：本题命题意图是考查函数、不等式的解法等基础知识，考查运用数学知识分析解决问题的能力。解析（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ，则2006年全球太阳电池的年生产量为 (兆瓦) （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则解得因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 点评：审清题意，理顺题目中各种量的关系是解决本题的关键。2. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件（）求该分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润最大，并求出的最大值分析：本题命题意图是考查函数的解析式的求法、利用导数求最值、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力解析：（）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：（），令得或（不合题意，舍去），在两侧的值由正变负所以（1）当即时， （2）当即时， ，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）点评：准确进行导数运算，掌握运用导数判断函数单调性及求函数极值、最值的方法是解决此题的关键。3. 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1r）a1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1r）a2，以tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出tn与tn1（n2）的递推关系式；（）求证：tnanbn，其中an是一个等比数列，bn是一个等差数列.分析：本小题命题意图主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生的阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学的知识分析和解决实际问题的能力。解析：（1）我们有（）（2），对反复使用上述关系式，得： 。在式两边同乘以，得：由，得，即 。如果记，则，其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公差的等差数列。 点评：掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、以及求和方法是解决此题的关键。4. 如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于a1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的b1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达a1处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的b1处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？（07山东理）分析：本题命题意图是通过实际问题考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的能力以及分析解决问题的能力。解析：如图，连结， 是等边三角形，在中，由余弦定理得，因此乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行海里.点评：连接，构造两个可解的三角形与是处理此题的关键，此外，还可连接来解。5. 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有a、b两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为a级时，产品为一等品，其余均为二等品.工序产品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8概率 （）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为a级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率p甲、p乙； （）已知一件产品的利润如表二所示，用、等级产品一等二等甲5（万元）2.5（万元）乙2.5（万元）1.5（万元）利润 分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （i）的条件下，求、的分布列及e、e； （）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资. 金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（ii）的条件下，x、y为何 值时，最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示）分析：本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力解析（）解：（）解：随机变量、的分别列是52.5p0.680.322.51.5p0.60.4 （）解：由题设知目标函数为 作出可行域（如图），作直线 将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点m点与原点距离最大，此时取最大值. 解方程组得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 .点评：6. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345p0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润。（）求事件a：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（）求的分布列及期望。分析：本题命题意图是主要考察对立事件的概率以及分布列及期望的知识，考查学生的阅读理解能力及分析解决问题能力。解析：（）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，（）的可能取值为元，元，元，的分布列为（元）点评：掌握对立事件的概率和为1，学会用间接法求解概率问题。7. 某人在一山坡p处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高bc=80（米），塔所在的山高ob=220（米），oa=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点p在直线l上，与水平地面的夹角为 , 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角bpc最大（不计此人的身高）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则a（200，0），b（0，220），c（0，300）， 直线l的方程为即 设点p的坐标为（x，y）， 则 由经过两点的直线的斜率公式 由直线pc到直线pb的角的公式得，要使tanbpc达到最大，只须达到最小，由均值不等式当且仅当时上式取得等号，故当x=320时tanbpc最大，这时，点p的纵坐标y为 由此实际问题知，所以tanbpc最大时，bpc最大，故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角bpc最大.mxy8. 如图，设曲线在点处的切线轴所围成的三角形面积为，求（1）切线的方程；2）求证（1）解： ，切线的斜率为故切线的方程为，即（2）证明：令，又令，从而的最大值为，即点评：应用导数法求函数的最值，并结合函数图象，可快速获解，也充分体现了求导法在证明不等式中的优越性。9. 对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称“不友好”的.现在有两个函数与，给定区间.（1）若与在区间