最新题库大全高考数学 试题分项专题08 立体几何 理.doc

2013最新题库大全2009-2012年数学（理）高考试题分项专题08 立体几何一、选择题:(2012年高考北京卷理科7)某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ） (2012年高考福建卷理科4)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）a球 b三棱锥 c正方体 d圆柱 (2012年高考广东卷理科6)某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ） (2012年高考浙江卷理科10)已知矩形abcd，ab1，bc将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻着，在翻着过程中，（ ）a存在某个位置，使得直线ac与直线bd垂直b存在某个位置，使得直线ab与直线cd垂直c存在某个位置，使得直线ad与直线bc垂直d对任意位置，三直线“ac与bd”，“ab与cd”，“ad与bc”均不垂直【答案】b【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项c是正确的 (2012年高考湖南卷理科3)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ） (2012年高考湖北卷理科10)我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积v，求其直径d的一个近似公式.人们还用过一些类似的近似公式。根据x=3.14159.判断，下列近似公式中最精确的一个是( )a b c d (2012年高考新课标全国卷理科7)如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） (2012年高考江西卷理科10)如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点e是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为（ ） (2012年高考新课标全国卷理科11)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ） (2012年高考安徽卷理科6)设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且,则“”是“”的（ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 即不充分不必要条件【答案】【解析】 如果；则与条件相同. (2012年高考四川卷理科6)下列命题正确的是（ ）a、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行b、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行c、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行d、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 (2012年高考陕西卷理科5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）（a） （b） （c） （d） (2012年高考重庆卷理科9)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】取长的棱的中点与长为的端点；则.15(2012年高考全国卷理科4)已知正四棱柱中，为的中点，则直线 与平面的距离为（ ）a2 b c d11二、填空题:.(2012年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥abc，点p，a，b，c都在半径为的求面上，若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为_.(2012年高考辽宁卷理科13)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_。22012年高考天津卷理科10)个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为 .（2012年高考江苏卷7）如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3.(2012年高考山东卷理科14)如图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，e,f分别为线段aa1,b1c上的点，则三棱锥d1-edf的体积为_。 (2012年高考上海卷理科8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . (2012年高考上海卷理科14)如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 . (2012年高考全国卷理科16)三菱柱abc-a1b1c1中，底面边长和侧棱长都相等， baa1=caa1=60则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为_. (2012年高考安徽卷理科12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是544正视图侧视图俯视图2【答案】92【解析】该几何体是底面是直角梯形，高是4的直四棱柱，表面积是92.三、解答题:(2012年高考广东卷理科18)（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥p-abcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，点 e在线段pc上，pc平面bde。（2012年高考江苏卷16） （本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点d 不同于点c），且为的中点求证：（1）平面平面； （2）直线平面ade (2012年高考北京卷理科16)（本小题共14分） 如图1，在rtabc中，c=90，bc=3，ac=6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de=2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd,如图2.(i)求证：a1c平面bcde；(ii)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；(iii)线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由 (2012年高考福建卷理科18)（本小题满分13分）如图，在长方体中，为中点。（）求证：；（）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。（）若二面角的大小为，求的长. 66 (2012年高考湖北卷理科19)（本小题满分12分）如图1，acb=45，bc=3，过动点a作adbc，垂足d在线段bc上且异于点b，连接ab，沿ad将abd折起，使bdc=90（如图2所示），（1）当bd的长为多少时，三棱锥a-bcd的体积最大；（2）当三棱锥a-bcd的体积最大时，设点e，m分别为棱bc，ac的中点，试在棱cd上确定一点n，使得enbm，并求en与平面bmn所成角的大小 (2012年高考上海卷理科19)（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小. (2012年高考浙江卷理科20) (本小题满分15分)如图，在四棱锥pabcd中，底面是边长为的菱形，且bad120，且pa平面abcd，pa，m，n分别为pb，pd的中点()证明：mn平面abcd；() 过点a作aqpc，垂足为点q，求二面角amnq的平面角的余弦值 (2012年高考山东卷理科18)（本小题满分12分） (2012年高考新课标全国卷理科19)（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，是棱的中点，（1）证明：（2）求二面角的大小。 (2012年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，.()证明：丄；（）求二面角的正弦值；（）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长. (2012年高考安徽卷理科18)（本小题满分12分）平面图形如图4所示，其中是矩形，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。（）证明：； （）求的长；（）求二面角的余弦值。 (2012年高考江西卷理科19)（本题满分12分）在三棱柱abc-a1b1c1中，已知ab=ac=aa1=，bc=4，在a1在底面abc的投影是线段bc的中点o。（1）证明在侧棱aa1上存在一点e，使得oe平面bb1c1c，并求出ae的长；（2）求平面与平面bb1c1c夹角的余弦值。 (2012年高考四川卷理科19) (本小题满分12分) (2012年高考湖南卷理科18)（本小题满分12分） 如图5，在四棱锥p-abcd中，pa平面abcd，ab=4，bc=3，ad=5，dab=abc=90，e是cd的中点.（）证明：cd平面pae；（）若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥p-abcd的体积.(2012年高考全国卷理科18)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） (2012年高考重庆卷理科19)（本小题满分12分（）小问4分（）小问8分） 如图，在直三棱柱 中，ab=4，ac=bc=3，d为ab的中点（）求点c到平面 的距离;（）若,求二面角 的平面角的余弦值。 (2012年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）（）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真；（）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）172011年高考数学试题分类汇编立体几何一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是(a)3 (b)2 (c)1 (d)0【答案】a【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以.2.(2011年高考浙江卷理科3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4.(2011年高考安徽卷理科6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （a） 48 (b)32+8 (c) 48+8 (d) 80【答案】c【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，。故【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。5.(2011年高考辽宁卷理科8)如图，四棱锥s-abcd的底面为正方形，sd底面abcd，则下列结论中不正确的是（ ）(a) acsb (b) ab平面scd (c) sa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角 (d)ab与sc所成的角等于dc与sa所成的角答案： d解析：对于a:因为sd平面abcd，所以dsac.因为四边形abcd为正方形，所以acbd，故ac平面abd,因为sb平面abd,所以acsb，正确.对于b：因为ab/cd,所以ab/平面scd.对于c:设.因为ac平面abd，所以sa和sc在平面sbd内的射影为so，则aso和cso就是sa与平面sbd所成的角和sc与平面sbd所成的角，二者相等，正确.故选d.6.(2011年高考辽宁卷理科12)已知球的直径sc=4，a,b是该球球面上的两点，ab=，则棱锥s-abc的体积为（ ）（a） （b） （c） （d）1第6题图答案：d解析：由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所以，左视图是d.点评：本题考查三视图、直观图及他们之间的互化，同时也考查空间想象能力和推理能力，要求有扎实的基础知识和基本技能。8(2011年高考江西卷理科8)已知，是三个相互平行的平面平面，之间的距离为，平面，之间的距离为直线与，分别相交于，那么“=”是“”的 a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c充分必要条件 d既不充分也不必要条件【答案】c【解析】过点作平面的垂线g,交平面，分别于点a、b两点,由两个平面平行的性质可知,所以,故选c.332正视图侧视图俯视图图19. (2011年高考湖南卷理科3)设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 a. b. c. d. 答案：b解析：由三视图可以还原为一个底面为边长是3的正方形，高为2的长方体以及一个直径为3的球组成的简单几何体，其体积等于。故选b评析：本小题主要考查球与长方体组成的简单几何体的三视图以及几何体的体积计算.10.(2011年高考广东卷理科7)如图l3某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ） a. b. c. d.【解析】b.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱，。所以选b11.(2011年高考陕西卷理科5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（a）（b） （c）（d）【答案】a【解析】：由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、高为2，所以体积为故选a12.(2011年高考重庆卷理科9)高为的四棱锥s-abcd的底面是边长为1的正方形，点s、a、b、c、d均在半径为1的同一球面上，则底面abcd的中心与顶点s之间的距离为（a） （b） （c）1 （d）解析：选c. 设底面中心为g，球心为o，则易得，于是，用一个与abcd所在平面距离等于的平面去截球，s便为其中一个交点，此平面的中心设为h，则，故，故13(2011年高考四川卷理科3)，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) (a)， （b），(c) ，共面 （d），共点，共面【答案】c【解析】如图，作于，由为直二面角，得平面，进而,又,于是平面。故为到平面的距离。在中，利用等面积法得15. (2011年高考全国卷理科11)已知平面截一球面得圆m，过圆心m且与成，二面角的平面截该球面得圆n，若该球的半径为4，圆m的面积为4，则圆n的面积为 (a) (b) (c) (d)【答案】d【解析】：由圆的面积为得，在 故选d 16(2011年高考北京卷理科7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是a8 b c10 d【答案】c二、填空题:1.(2011年高考辽宁卷理科15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_.答案： 解析：设正三棱柱的侧棱长和底面边长为a，则由，解得a=2，正三棱柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同，故该矩形的面积是.2. (2011年高考全国新课标卷理科15)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。答案: 解析：如图，连接矩形对角线的交点和球心,则，,四棱锥的高为,所以，体积为点评：本题考查多面体和旋转体的有关概念和性质以及体积的计算。关键是确定棱锥高的大小，正确运用公式求解。3(2011年高考天津卷理科10)一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为_ 【答案】【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为3m,宽为2m,高为1m),上面有一个圆锥(底面半径为1,高为3),所以其体积为.4. (2011年高考四川卷理科15)如图，半径为r的球o中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 . 答案：解析：时，则5.(2011年高考全国卷理科16)己知点e、f分别在正方体abcd-a1b2c3d4的棱bb1 、cc1上，且b1e=2eb, cf=2fc1，则面aef与面abc所成的二面角的正切值等于 .6(2011年高考福建卷理科12)三棱锥p-abc中，pa底面abc，pa=3，底面abc是边长为2的正三角形，则三棱锥p-abc的体积等于_。【答案】7(2011年高考上海卷理科7)若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 。【答案】；三、解答题:1. (2011年高考山东卷理科19)（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形abcd为平行四边形，acb=，平面，ef，.=.（)若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小【解析】（)连结af,因为ef，ef=f,所以平面efg平面abcd,又易证,所以,即,即,又m为ad的中点,所以,又因为d，所以m,所以四边形amgf是平行四边形,故gmfa,又因为平面,fa平面,所以平面.（）取ab的中点o,连结co,因为,所以coab,又因为平面，co平面,所以co,又ab=a,所以co平面,在平面abef内,过点o作ohbf于h,连结ch,由三垂线定理知: chbf,所以为二面角-的平面角.设=,因为acb=，=,co=,连结fo,容易证得foea且,所以,所以oh=,所以在中,tancho=,故cho=,所以二面角-的大小为.2.(2011年高考浙江卷理科20)（本题满分15分）如图，在三棱锥中，d为bc的中点，po平面abc，垂足o落在线段ad上，已知bc=8，po=4，ao=3，od=2（）证明：apbc；（）在线段ap上是否存在点m，使得二面角a-mc-为直二面角？若存在，求出am的长；若不存在，请说明理由。【解析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分法一：（）证明：如图，以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则，由此可得 ，所以 ，即（）解：设 ，则，设平面的法向量，平面的法向量 由 得 即 ，可取 由即得可取，由得解得 ，故 综上所述，存在点m 符合题意，法二（）证明：又因为所以平面故（）如图，在平面内作由（）知得平面，又平面所以平面平面在中，得在中，在中，所以得，在中，得又从而，所以综上所述，存在点m 符合题意，.3.(2011年高考辽宁卷理科18)（本小题满分12分）如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qa=ab=pd.（i）证明：平面pqc平面dcq（ii）求二面角q-bp-c的余弦值. 即，.故平面dcq，又平面pqc，所以平面pqc平面dcq.4.(2011年高考安徽卷理科17)（本小题满分12分）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,，都是正三角形。（）证明直线；（ii）求棱锥f-obed的体积。【命题意图】：本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力。（1）【证法一】： 同理可证， 【解题指导】：空间线线、线面、面面位置关系的证明方法，一是要从其上位或下位证明，本题的第一问方法一，是从其上位先证明面面平行，再借助面面平行的性质得到线面平行，再借助线面平行的性质得到线线平行；二是借助中位线定理等直接得到；三是借助空间向量直接证明。求不规则的几何体体积或表面积，通常采用分割或补齐成规则几何体即可。求解过程要坚持“一找二证三求”的顺序和原则防止出错。5. (2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab=60,ab=2ad,pd底面abcd.()证明：pabd；()若pd=ad，求二面角a-pb-c的余弦值。分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。解：(1)证明：在三角形abd中，因为该三角形为直角三角形，所以,（2）建立如图的坐标系，设点的坐标分别是则，设平面pab的法向量为，所以， 取得，同理设平面pbc的法向量为， 取得，于是，因此二面角的余弦值是。点评：该题考查空间内的垂直关的证明，空间角的计算。考查定理的理解和运用，空间向量的运用。同时也考察了空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。解题时要注意法向量的计算和运用这一关键。6. (2011年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长所以二面角的正弦值为.（）由n为棱的中点,得,设,则,由平面,得,即,解得,故,因此,所以线段的长为.7. (2011年高考江西卷理科21)（本小题满分14分）（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的，使得且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足： 求该正四面体的体积解析：如图，将此正四面体补形为正方体（如图），分别取ab、cd、的中点e、f、，平面与是分别过点、的两平行平面，若其距离为1，则正四面体满足条件，右图为正方体的下底面，设正方体的棱长为，若，因为，在直角三角形ade中，amde，所以，所以，又正四面体的棱长为，所以此正四面体的体积为本题考查立体几何中的面面关系、正四面体及体积计算 8(2011年高考湖南卷理科19)（本小题满分12分）如图5，在圆锥中，已知=，o的直径,是的中点，为的中点（）证明：平面 平面;（）求二面角的余弦值.解法1：连结oc，因为又底面o，ac底面o，所以，因为od，po是平面pod内的两条相交直线，所以平面pod，而平面pac，所以平面pod平面pac。（ii）在平面pod中，过o作于h，由（i）知，平面所以平面pac，又面pac，所以在平面pao中，过o作于g，连接hg，则有平面ogh，从而，故为二面角bpac的平面角。在在在在所以故二面角bpac的余弦值为解法2：（i）如图所示，以o为坐标原点，ob、oc、op所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，设是平面pod的一个法向量，则由，得所以设是平面pac的一个法向量，则由，得所以得。因为所以从而平面平面pac。（ii）因为y轴平面pab，所以平面pab的一个法向量为由（i）知，平面pac的一个法向量为,设向量的夹角为，则由图可知，二面角bpac的平面角与相等，所以二面角bpac的余弦值为9. (2011年高考广东卷理科18)如图5，在椎体中，是边长为1的棱形，且,分别是的中点，（1） 证明：（2）求二面角的余弦值。【解析】法一：（1）证明：取ad中点g，连接pg，bg，bd。因pa=pd，有，在中，有为等边三角形，因此，所以平面pbg又pb/ef，得，而de/gb得ad de，又，所以ad 平面def。 （2），为二面角padb的平面角，在在法二：（1）取ad中点为g，因为又为等边三角形，因此，从而平面pbg。延长bg到o且使得po ob，又平面pbg，po ad，所以po 平面abcd。以o为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线ob，op分别为轴，z轴，平行于ad的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。设由于得平面def。 （2）取平面abd的法向量设平面pad的法向量由取10. (2011年高考湖北卷理科18)（本小题满分12分）如图，已知，本棱柱abc-a1b1c1的各棱长都是4，e是bc的中点，动点f在侧棱cc1上，且不与点c重合.() 当cf=1时，求证：efa1e()设二面角c-af-e的大小为，求的最小值.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 解析：过e点作enac于n，连结ef.（）如图1，连结nf、ac1，由直线柱的性质知，底面abc侧面a1c，又底面abc侧面a1c=ac，且en底面abc，所以en侧面a1c，nf为ef在侧面内的射影.在rtcen中，cn=cos600=1.则由，得，又，故作，由三垂线定理知.（）如图2。连结af，过n作nmaf于m，连结me，由（）知en侧面a1c。根据三垂线定理得emaf,所以emaf，所以是二面角的平面角，即.设则.在中.在中，故，又，.故当，即当时，达到最小值，.此时f与c1重合.11.(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分）如图：在，沿把折起，使（）证明：平面；（）设。【解析】：（）折起前，当 。（）由及（）知两两垂直，不妨设为坐标原点，以轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得夹角的余弦值为12.(2011年高考重庆卷理科19)本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分。如图，在四面体中，平面 , ,=,= （）若=2，=2，求四边形的体积。 （）若二面角-为，求异面直线与所成角的余弦值。 （）如图所示设g、h分别为变cd，bd的中点，则fg/ad,gh/bc,从而是异面直线与所成角或其补角。设e为边ab的中点，则ef/bc,由，知，又由（）有df平面，故由三垂线定理知,所以为二面角-的平面角,由题设知，设ad=a，则df=adsincad=在中，从而因，故bd=ad=a.从而，在中，,又,从而在中，因fg=fh，由余弦定理得,故异面直线与所成角的余弦值为.13(2011年高考四川卷理科19) (本小题共l2分) 如图，在直三棱柱ab-a1b1c1中 bac=90，ab=ac=aa1 =1d是棱cc1上的一p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点，且pb1平面bda(i)求证：cd=c1d：(ii)求二面角a-a1d-b的平面角的余弦值； ()求点c到平面b1dp的距离 (3)因为，所以,在中，14.(2011年高考全国卷理科19)如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.（）证明：;（)求与平面所成角的大小.【解析】（）：连结bd过d作，在，在，同理可证（）过做平面，如图建立空间直角坐标系，可计算平面的一个法向量是，所以与平面所成角为15.(2011年高考安徽卷江苏16)如图，在四棱锥中，平面pad平面abcd，ab=ad，bad=60，e、f分别是ap、ad的中点.求证：（1）直线ef平面pcd；（2）平面bef平面pad【解析】证明: （1）因为e、f分别是ap、ad的中点,所以efpd,又因为ef平面pcd,pd平面pcd,所以直线ef平面pcd；（2）设ab=ad=,则af=,又因为bad=60，所以在中,由余弦定理得：bf=，所以，所以bfaf，因为平面pad平面abcd，交线为ad，平面abcd，所以bf平面pad，因为平面bef，所以平面bef平面pad.16(2011年高考北京卷理科16)（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面（）若求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长.证明：（）因为四边形abcd是菱形，所以acbd.又因为pa平面abcd.所以pabd.所以bd平面pac.（）设acbd=o.因为bad=60，pa=pb=2,所以bo=1，ao=co=.如图，以o为坐标原点，建立空间直角坐标系oxyz，则p（0，2），a（0，0），b（1，0，0），c（0，0）.所以设pb与ac所成角为，则.17(2011年高考福建卷理科20)（本小题满分14分）如图，四棱锥p-abcd中，pa底面abcd，四边形abcd中，abad，ab+ad=4，cd=，（i）求证：平面pab平面pad；（ii）设ab=ap （i）若直线pb与平面pcd所成的角为，求线段ab的长； （ii）在线段ad上是否存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等？说明理由。在中，de=，设ab=ap=t，则b（t，0，0），p（0，0，t）由ab+ad=4，得ad=4-t，所以，（i）设平面pcd的法向量为，由，得取，得平面pcd的一个法向量，使得点g到点p，c，d的距离都相等。从而，在线段ad上不存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等。解法二：（i）同解法一。（ii）（i）以a为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz（如图）在平面abcd内，作ce/ab交ad于e，则。在平面abcd内，作ce/ab交ad于点e，则在中，de=，设ab=ap=t，则b（t，0，0），p（0，0，t）由ab+ad=4，得ad=4-t，所以，（ii）假设在线段ad上存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等，由gc=cd，得，从而，即设，在中，这与gb=gd矛盾。所以在线段ad上不存在一个点g，使得点g到点b，c，d的距离都相等，从而，在线段ad上不存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等。18(2011年高考上海卷理科21)（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。（1）设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。求证：；（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。解：设正四棱柱的高为。 连，底面于， 与底面所成的角为，即 ，为中点，又， 是二面角的平面角，即 ，。 建立如图空间直角坐标系，有设平面的一个法向量为， ，取得 点到平面的距离为，则。2010年高考数学试题分类汇编立体几何（2010浙江理数）（6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（a）若，则 （b）若，则（c）若，则 （d）若，则解析：选b，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题（2010全国卷2理数）（11）与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点（a）有且只有1个 （b）有且只有2个（c）有且只有3个 （d）有无数个（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（a）1 （b） （c）2 （d）3【答案】c【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选c.（2010辽宁理数）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 (a)（0,） (b)（1,） (c) (,） (d) （0,）(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a0;综上分析可知a（0,）（2010江西理数）10.过正方体的顶点a作直线l，使l与棱,所成的角都相等，这样的直线l可以作a.1条 b.2条 c.3条 d.4条【答案】d【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点a位于三条棱之间的直线有一条体对角线ac1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。 （2010北京理数）(8)如图，正方体abcd-的棱长为2，动点e、f在棱上，动点p，q分别在棱ad，cd上，若ef=1，e=x，dq=y，d（，大于零），则四面体pe的体积（）与，都有关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关答案：d（2010北京理数）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 答案：c（2010四川理数）（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点m，n，那么m、n两点间的球面距离是（a） （b） （c） （d）（2010广东理数）6.如图1， abc为三角形，/, 平面abc且3= =ab,则多面体abc -的正视图（也称主视图）是6d（2010全国卷1理数）（7）正方体abcd-中，b与平面ac所成角的余弦值为（a） （b） （c） （d）2010年高考数学试题分类汇编立体几何 （2010浙江理数）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是_ .解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题（2010辽宁理数）（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_.【答案】【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为（2010江西理数）16.如图，在三棱锥中，三条棱，两两垂直，且,分别经过三条棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则，的大小关系为 。【答案】 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。 （2010北京理数）（14）如图放置的边长为1的正方形pabc沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 （2010四川理数）（15）如图，二面角的大小是60，线段.，与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 .解析：过点a作平面的垂线，垂足为c，在内过c作l的垂线.垂足为d连结ad，有三垂线定理可知adl，cd故adc为二面角的平面角，为60又由已知，abd30连结cb，则abc为与平面所成的角w_w_w.k*s 5*u.c o*m设ad2，则ac，cd1ab4sinabc答案：（2010天津理数）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 【答案】【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积v=2+ = 【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体 （2010湖南理数）13图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 （2010湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm。13.【答案】4【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.（2010福建理数）12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 2010年高考数学试题分类汇编立体几何 （2010浙江理数）（20）（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。设=（x,y,z）为平面的一个法向量， -2x+2y+2z=0所以 6x=0.取，则。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为（）解：设则， 因为翻折后，与重合，所以， 故， ，得， 经检验，此时点在线段上，所以。方法二：（）解：取线段的中点,的中点,连结。 因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。（）解：设, 因为翻折后，与重合，所以， 而， 得，经检验，此时点在线段上，所以。（2010全国卷2理数）（19）如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力. （2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）已知三棱锥pabc中，paabc，abac，pa=ac=ab，n为ab上一点，ab=4an,m,s分别为pb,bc的中点.（）证明：cmsn；（）求sn与平面cmn所成角的大小.证明：设pa=1，以a为原点，射线ab，ac，ap分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则p（0,0,1），c（0,1,0），b（2,0,0），m（1,0,），n（,0,0），s（1,0）.4分（）,因为，所以cmsn 6分（）, （2010江西理数）20. （本小题满分12分）如图bcd与mcd都是边长为2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，。（1） 求点a到平面mbc的距离；（2） 求平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值。【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体