高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性课件 文.ppt

第二节导数与函数的单调性 总纲目录 教材研读 函数的导数与单调的关系 考点突破 考点二含参数的函数的单调性 考点一不含参数的函数的单调性 考点三已知函数的单调性求参数 函数的导数与单调性的关系函数y f x 在某个区间内可导 1 若f x 0 则f x 在这个区间内 单调递增 2 若f x 0 则f x 在这个区间内 单调递减 3 若f x 0 则f x 在这个区间内是 常数函数 教材研读 1 函数y f x 的导函数y f x 的图象如图所示 则下面判断正确的是 a 在区间 3 1 上f x 是增函数b 在区间 1 3 上f x 是减函数c 在区间 4 5 上f x 是增函数d 在区间 3 5 上f x 是增函数 答案c由图象可知 当x 4 5 时 f x 0 故f x 在 4 5 上是增函数 c 2 函数f x cosx x在 0 上的单调性是 a 先增后减b 先减后增c 单调递增d 单调递减 答案d 在 0 上 f x sinx 1 0 f x 在 0 上单调递减 故选d d 3 函数f x x3 3x 1的单调增区间是 a 1 1 b 1 c 1 d 1 1 答案df x 3x2 3 由f x 0得 x1 故f x 的单调增区间为 1 1 故选d d 4 函数y x2 lnx的单调递减区间为 0 1 答案 0 1 解析由题意知函数的定义域为 0 由y x 0 x 0 解得0 x 1 所以函数的单调递减区间为 0 1 5 若函数f x kx lnx在区间 1 上单调递增 则k的取值范围是 答案 1 解析依题意得f x k 0在 1 上恒成立 即k 在 1 上恒成立 x 1 0 1 k 1 典例1 2018河北唐山质检 求函数f x lnx x2 x 的单调区间 考点突破 考点一不含参数的函数的单调性 解析因为f x lnx x2 x 且定义域为 0 所以f x x 1 方法技巧导数法求函数单调区间的一般步骤 提醒 1 求函数的单调区间时 一定要先确定函数的定义域 否则极易出错 如本例易忽视定义域为 0 而导致解题错误 2 个别导数为0的点不影响函数在该区间上的单调性 如函数f x x3 f x 3x2 0 x 0时 f x 0 但f x x3在r上是增函数 1 1函数y 4x2 的单调增区间为 a 0 b c 1 d 答案b由y 4x2 得y 8x 令y 0 即8x 0 解得x 函数y 4x2 的单调增区间为 故选b b 1 2已知定义在区间 上的函数f x xsinx cosx 则f x 的单调递增区间是 答案和 解析f x sinx xcosx sinx xcosx 令f x xcosx 0 则其在区间 上的解集为和 即f x 的单调递增区间为和 典例2设f x ex ax2 x 1 a 0 试讨论f x 的单调性 考点二含参数的函数的单调性 解析f x ex ax2 x 1 ex 2ax 1 ex ax2 2a 1 x 2 ex ax 1 x 2 aex x 2 当a 时 f x ex x 2 2 0恒成立 函数f x 在r上单调递增 当02 令f x aex x 2 0 得x 2或x 易错警示解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 1 研究含参数的函数的单调性问题 要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论 2 划分函数的单调区间时 要在函数定义域内讨论 还要确定导数为0的点和函数的间断点 2 1讨论函数f x a 1 lnx ax2 1的单调性 解析f x 的定义域为 0 f x 2ax 当a 1时 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 当a 0时 f x 0 故f x 在上单调递减 在上单调递增 典例3已知函数f x lnx g x ax2 2x a 0 1 若函数h x f x g x 存在单调递减区间 求a的取值范围 2 若函数h x f x g x 在 1 4 上单调递减 求a的取值范围 考点三已知函数的单调性求参数 解析 1 h x lnx ax2 2x x 0 所以h x ax 2 因为h x 在 0 上存在单调递减区间 所以当x 0 时 ax 2 有解 令g x 所以只要a g x min即可 而g x 1 所以g x min 1 所以a 1且a 0 2 因为h x 在 1 4 上单调递减 所以当x 1 4 时 h x ax 2 0恒成立 即a 恒成立 所以a g x max 因为x 1 4 所以 而g x 1 所以g x max 此时x 4 所以a 且a 0 方法技巧根据函数单调性求参数的一般思路 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 不恒为零 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 3 函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题 3 1已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在区间 1 上为增函数 求a的取值范围 2 若f x 在区间 1 1 上为减函数 求a的取值范围 3 若f x 的单调递减区间为 1 1 求a的值 解析 1 因为f x 3x2 a 且f x 在区间 1 上为增函数 所以f x 0在 1 上恒成立 即3x2 a 0在 1 上恒成立 所以a 3x2在 1 上恒成立 所以a 3 即