高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示课件 新人教B版选修21.ppt

第三章3 2空间向量在立体几何中的应用 3 2 2平面的法向量与平面的向量表示 学习目标1 理解平面的法向量的概念 会求平面的法向量 2 会用平面的法向量证明平面与平面平行 垂直 3 理解并会应用三垂线定理及其逆定理 证明有关垂直问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一平面的法向量 思考 平面的法向量有何作用 是否唯一 平面的法向量与空间一点可以确定一个平面 利用平面的法向量可以判断直线与平面 平面与平面的位置关系 平面的法向量不唯一 它们都是共线的 答案 梳理平面的法向量已知平面 如果 则向量n叫做平面 的法向量或说向量n与平面 正交 向量n的基线与平面 垂直 知识点二平面的向量表示 设a是空间任一点 n为空间内任一非零向量 则适合条件的点m的集合构成的图形是过空间内一点a并且与n垂直的平面 这个式子称为一个平面的向量表示式 知识点三两平面平行或垂直的判定及三垂线定理 1 两平面平行或垂直的判定方法设n1 n2分别是平面 的法向量 则容易得到 或 与 重合 2 三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直 则它也和这条斜线垂直 n1 n2 n1 n2 0 n1 n2 题型探究 类型一求平面的法向量 例1如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 pa 平面abcd e为pd的中点 ab ap 1 ad 试建立恰当的空间直角坐标系 求平面ace的一个法向量 解答 因为pa 平面abcd 底面abcd为矩形 所以ab ad ap两两垂直 设n x y z 为平面ace的法向量 引申探究若本例条件不变 试求直线pc的一个方向向量和平面pcd的一个法向量 解答 设平面pcd的法向量为n x y z 利用待定系数法求平面法向量的步骤 1 设向量 设平面的法向量为n x y z 反思与感悟 5 赋非零值 取其中一个为非零值 常取 1 6 得结论 得到平面的一个法向量 跟踪训练1如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 平面pab 平面abcd pab是边长为1的正三角形 abcd是菱形 abc 60 e是pc的中点 f是ab的中点 试建立恰当的空间直角坐标系 求平面def的法向量 解答 因为pa pb f为ab的中点 所以pf ab 又因为平面pab 平面abcd 平面pab 平面abcd ab pf 平面pab 所以pf 平面abcd 因为ab bc abc 60 所以 abc是等边三角形 所以cf ab 以f为坐标原点 建立空间直角坐标系 如图所示 设平面def的法向量为m x y z 类型二利用空间向量证明平行问题 例2已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 e f分别是bb1 dd1的中点 求证 1 fc1 平面ade 证明 设n1 x1 y1 z1 是平面ade的法向量 建立如图所示空间直角坐标系dxyz 则有d 0 0 0 a 2 0 0 c 0 2 0 c1 0 2 2 e 2 2 1 f 0 0 1 b1 2 2 2 令z1 2 则y1 1 所以n1 0 1 2 又因为fc1 平面ade 所以fc1 平面ade 令z2 2 得y2 1 所以n2 0 1 2 因为n1 n2 所以平面ade 平面b1c1f 2 平面ade 平面b1c1f 证明 反思与感悟 利用向量证明平行问题 可以先建立空间直角坐标系 求出直线的方向向量和平面的法向量 然后根据向量之间的关系证明平行问题 跟踪训练2如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd pb与底面所成的角为45 底面abcd为直角梯形 abc bad 90 pa bc ad 1 问在棱pd上是否存在一点e 使ce 平面pab 若存在 求出e点的位置 若不存在 请说明理由 解答 分别以ab ad ap为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 p 0 0 1 c 1 1 0 d 0 2 0 存在e点 当点e为pd中点时 ce 平面pab 类型三三垂线定理及应用 例3在正方体abcd a1b1c1d1中 o为底面abcd的中心 e为cc1的中点 求证 eo 平面a1db 证明 方法一取f g分别为dd1和ad的中点 连接ef fg go ac 由正方体的性质知fg为eo在平面add1a1内的射影 又a1d fg a1d eo 三垂线定理 又ac bd co为eo在平面abcd内的射影 eo bd 三垂线定理 又a1d bd d eo 平面a1db 方法二连接ac a1o a1e a1c1 设正方体棱长为2 由方法一已证bd oe 反思与感悟 利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直是一种常用方法 其基本环节有三个 跟踪训练3如图 已知po 平面abc 且o为 abc的垂心 求证 ab pc 证明 po 平面abc o为垂足 pc在平面abc内的射影为oc 又o为 abc的垂心 ab oc 据三垂线定理得ab pc 当堂训练 1 若直线l 且l的方向向量为 2 m 1 平面 的法向量为 则m为a 4b 6c 8d 8 答案 解析 2 3 4 5 1 2 若两个不同平面 的法向量分别为u 1 2 1 v 3 6 3 则a b c 相交但不垂直d 以上均不正确 v 3u v u 故 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 3 若a 1 2 3 是平面 的一个法向量 则下列向量中能作为平面 的法向量的是a 0 1 2 b 3 6 9 c 1 2 3 d 3 6 8 向量 1 2 3 与向量 3 6 9 共线 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 5 在正方体abcd a1b1c1d1中 平面acd1的一个法向量为 1 1 1 答案 不唯一 答案 解析 2 3 4 5 1 不妨设正方体的棱长为1 建立空间直角坐标系 如图 则各点坐标为a 1 0 0 c 0 1 0 d1 0 0 1 设平面acd1的一个法向量为a x y z 规律与方法 1 用法向量来解决平面与平