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广东省江门市普通高中2015届高三 上学期调考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知r为实数集,a=x|2x33x,b=x|x2,则ab=()ax|x2bx|x3cx|2x3dr2(5分)i是虚数单位,则=()a1bicidi3(5分)已知三个实数:、c=log3,它们之间的大小关系是()aabcbacbcbcadbac4(5分)已知是非零向量,则“”是“”成立的()a充分非必要条件b必要非充分条件c非充分非必要条件d充要条件5(5分)如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆,则该几何体的体积为()a4b8c2d46(5分)在abc中,a、b、c的对边分别为a、b、c,若a=75,b=60,c=10,则b=()a5b5c10d107(5分)在同一直角坐标系中,直线=1与圆x2+y2+2x4y4=0的位置关系是()a直线经过圆心b相交但不经过圆心c相切d相离8(5分)已知函数f(x)=ax33x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是()a(2,+)b(1,+)c(,2)d(,1)二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分(一)必做题(913题)9(5分)双曲线9x216y2=144的离心率等于10(5分)abc是等腰直角三角形,已知a(1,1),b(1,3),abbc,点c在第一象限,点(x,y)在abc内部,则点c的坐标为,z=2xy的最大值是11(5分)如图,在正方体abcda1b1c1d1中,m、n分别是cd、cc1的中点,则异面直线a1m与dn所成的角的大小是12(5分)若f(x)=,则f(x)的最小值是13(5分)已知数列an满足a1=,an=1(n1),计算并观察数列an的前若干项,根据前若干项的变化规律推测,a2015=三.选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14(5分)计算定积分:15已知定义在区间(,)上的函数f(x)=xsinx+cosx,则f(x)的单调递增区间是三、解答题:本大题共6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(12分)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),xr(1)求f(x)的最小正周期t和最大值m;(2)若,求cos的值17(14分)已知an是等差数列,a2=3,a3=5(1)求数列an的通项公式;(2)对一切正整数n,设bn=,求数列bn的前n项和sn18(14分)如图,在四棱锥pabcd中,底面abcd是正方形,侧棱pd底面abcd,pd=dc,e是pc的中点,作efpb交pb于点f(1)证明pa平面edb;(2)证明pb平面efd; (3)求二面角cpbd的大小19(12分)一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比,如果此船速度是10km/h,那么每小时的燃料费是80元已知船航行时其他费用为500元/时,在100km航程中,航速多少时船行驶总费用最少?此时总费用多少元?20(14分)在平面直角坐标系xoy中,点a,b的坐标分别是(0,3),(0,3)直线am,bm相交于点m,且它们的斜率之积是(1)求点m的轨迹l的方程;(2)若直线l经过点p(4,1),与轨迹l有且仅有一个公共点,求直线l的方程21(14分)已知函数f(x)=x3+ax21(ar是常数)(1)设a=3,x=x1、x=x2是函数y=f(x)的极值点,试证明曲线y=f(x)关于点对称;(2)是否存在常数a,使得x,|f(x)|33恒成立?若存在,求常数a的值或取值范围;若不存在,请说明理由(注:曲线y=f(x)关于点m对称是指,对于曲线y=f(x)上任意一点p,若点p关于m的对称点为q,则q在曲线y=f(x)上)广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知r为实数集,a=x|2x33x,b=x|x2,则ab=()ax|x2bx|x3cx|2x3dr考点:并集及其运算 专题:集合分析:求出不等式2x33x的解集a,再由并集的运算求出ab解答:解:由2x33x得,x3,则a=x|x3,又b=x|x2,则ab=x|x3,故选:b点评:本题考查并集及其运算,属于基础题2(5分)i是虚数单位,则=()a1bicidi考点:复数代数形式的乘除运算 专题:数系的扩充和复数分析:利用复数代数形式的乘除运算法则求解解答:解:=故选:d点评:本题考查复数的乘除运算,是基础题,解题时要注意运算法则的合理运用3(5分)已知三个实数:、c=log3,它们之间的大小关系是()aabcbacbcbcadbac考点:对数值大小的比较 专题:函数的性质及应用分析:根据指数函数和对数函数的图象和性质,以0和1作为中间量,可比较出a,b,c的大小解答:解:30=1、0=1、c=log3log31=0,abc,故选:a点评:本题考查的知识点是指数式与对数式的大小比较,熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质,是解答的关键4(5分)已知是非零向量,则“”是“”成立的()a充分非必要条件b必要非充分条件c非充分非必要条件d充要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题:简易逻辑分析:根据“”成立,得到()=0,结合是非零向量,推出,根据充要条件的判定方法可得结论解答:解:,()=0,是非零向量,故选:d点评:题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系,以及必要条件、充分条件与充要条件的判断,属于基础题5(5分)如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆,则该几何体的体积为()a4b8c2d4考点:由三视图求面积、体积 专题:空间位置关系与距离分析:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为半圆的圆锥,求出几何体的体积即可解答:解:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为半圆的圆锥,该几何体的体积为v几何体=s底面h=3=2故选:c点评:本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,解题时应根据三视图,得出该几何体是什么几何图形6(5分)在abc中,a、b、c的对边分别为a、b、c,若a=75,b=60,c=10,则b=()a5b5c10d10考点:正弦定理 专题:解三角形分析:由a与b的度数求出c的度数,根据sinb,sinc,以及c的值,利用正弦定理求出b的值即可解答:解:在abc中,a=75,b=60,c=10,c=45,由正弦定理=得:b=5,故选:b点评:此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键7(5分)在同一直角坐标系中,直线=1与圆x2+y2+2x4y4=0的位置关系是()a直线经过圆心b相交但不经过圆心c相切d相离考点:直线与圆的位置关系 专题:直线与圆分析:求出圆心到直线的距离大于零且小于半径,可得直线和圆相交但不经过圆心解答:解:圆x2+y2+2x4y4=0,即 (x+1)2+(y2)2=9,表示以(1,2)为圆心、半径等于3的圆由于圆心到直线=1的距离为=23,故直线和圆相交但不经过圆心,故选:b点评:本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题8(5分)已知函数f(x)=ax33x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是()a(2,+)b(1,+)c(,2)d(,1)考点:函数零点的判定定理 专题:综合题;导数的概念及应用分析:分类讨论:当a0时,容易判断出不符合题意;当a0时,由于而f(0)=10,x+时,f(x),可知:存在x00,使得f(x0)=0,要使满足条件f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则必须极小值f()0,解出即可解答:解:当a=0时,f(x)=3x2+1=0,解得x=,函数f(x)有两个零点,不符合题意,应舍去;当a0时,令f(x)=3ax26x=3ax(x)=0,解得x=0或x=0,列表如下: x (,0) 0(0,)(,+) f(x)+ 0 0+ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增x,f(x),而f(0)=10,存在x0,使得f(x)=0,不符合条件:f(x)存在唯一的零点x0,且x00,应舍去当a0时,f(x)=3ax26x=3ax(x)=0,解得x=0或x=0,列表如下: x (,)(,0)0(0,+) f(x) 0+ 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减而f(0)=10,x+时,f(x),存在x00,使得f(x0)=0,f(x)存在唯一的零点x0,且x00,极小值f()0,化为a24,a0,a2综上可知:a的取值范围是(,2)故选:c点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分(一)必做题(913题)9(5分)双曲线9x216y2=144的离心率等于考点:双曲线的简单性质 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:双曲线方程化为标准方程,可得a=5,b=3,c=4,从而可求双曲线的离心率解答:解:双曲线9x216y2=144可化为,所以a=4,b=3,c=5,所以离心率e=故答案为:点评:本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,确定双曲线的几何量是关键10(5分)abc是等腰直角三角形,已知a(1,1),b(1,3),abbc,点c在第一象限,点(x,y)在abc内部,则点c的坐标为(3,3),z=2xy的最大值是3考点:简单线性规划 专题:不等式的解法及应用分析:根据等腰直角三角形的定义先求出c的坐标,利用线性规划的知识即可得到结论解答:解:a(1,1),b(1,3),abbc,点c在第一象限,|ab|=31=2,设c(x,y),则x0,y0,abc是等腰直角三角形,|bc|=|x1|=2,解得x=3或x=1(舍),即c(3,3),由z=2xy得y=2xz,平移直线y=2xz,由图象可知当直线y=2xz经过点c时,直线y=2xz的截距最小,此时z最大,此时z=2xy=233=3,故答案为:(3,3),3点评:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键11(5分)如图,在正方体abcda1b1c1d1中,m、n分别是cd、cc1的中点,则异面直线a1m与dn所成的角的大小是90考点:异面直线及其所成的角 专题:计算题分析:以d为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量的方法求出与夹角求出异面直线a1m与dn所成的角解答:解:以d为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为2,则d(0,0,0),n(0,2,1),m(0,1,0),a1(2,0,2),=(0,2,1),=(2,1,2)=0,所以,即a1mdn,异面直线a1m与dn所成的角的大小是90,故答案为:90点评:本题考查空间异面直线的夹角求解,采用了向量的方法向量的方法能降低空间想象难度,但要注意有关点,向量坐标的准确否则容易由于计算失误而出错12(5分)若f(x)=,则f(x)的最小值是1考点:函数的最值及其几何意义 专题:函数的性质及应用分析:根据分段函数的表达式,分别求出对应的取值范围即可得到结论解答:解:作出函数f(x)的图象如图:当x0,f(x)=x0,当x0时,f(x)=x22x=(x1)211,故当x=1时,函数f(x)取得最小值为1,故答案为:1点评:本题主要考查函数最值的求解,根据分段函数的表达式结合函数的性质是解决本题的关键13(5分)已知数列an满足a1=,an=1(n1),计算并观察数列an的前若干项,根据前若干项的变化规律推测,a2015=5考点:归纳推理 专题:计算题;推理和证明分析:确定数列an是以3为周期的周期数列,即可得出结论解答:解:a1=,an=1,a2=5,a3=,a4=,数列an是以3为周期的周期数列,a2015=a2=5,故答案为:5点评:本题考查归纳推理,确定数列an是以3为周期的周期数列是解题的关键三.选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14(5分)计算定积分:2考点:定积分 专题:导数的概念及应用分析:根据的导数为得到原函数是,写出当自变量取两个不同的值时,对应的函数值,让两个数字相减得到结果解答:解:=42=2故答案为:2点评:本题考查定积分,关键是求出原函数,属于一道基础题15已知定义在区间(,)上的函数f(x)=xsinx+cosx,则f(x)的单调递增区间是,考点:两角和与差的正弦函数 专题:导数的综合应用;三角函数的图像与性质分析:根据求导公式和题意求出f(x),结合定义域和余弦函数的性质求出f(x)0是x的范围,奇求出函数f(x)的单调递增区间解答:解:由题意得,f(x)=sinx+xcosxsinx=xcosx,根据余弦函数的性质得,当或时,f(x)0,所以f(x)的单调递增区间是和,故答案为:和点评:本题考查余弦函数的性质,以及导数与函数的单调性关系,属于中档题三、解答题:本大题共6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(12分)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),xr(1)求f(x)的最小正周期t和最大值m;(2)若,求cos的值考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质分析:(1)化简可得f(x)=,可求最小正周期,最大值;(2)依题意得,即,从而可求,解答:解:(1)f(x)=sin2x+1cos2x(2分),=(4分)最小正周期(5分),最大值(6分)(2)依题意,(7分)即(8分),(10分)(12分)点评:本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,属于基本知识的考查17(14分)已知an是等差数列,a2=3,a3=5(1)求数列an的通项公式;(2)对一切正整数n,设bn=,求数列bn的前n项和sn考点:数列的求和 专题:等差数列与等比数列分析:(1)根据等差数列的通项公式由条件即可求出首项a1=1,公差d=2,所以可得到an=2n1;(2)根据an先求出bn并将它变成,看到该通项之后,可以想到能否在求和中使得一些项前后抵消,并且通过求前几项的和会发现是可以的,并且是有规律的,根据这个规律即可求出bn的前n项和sn解答:解:(1)由得,a1=1,d=2;an=1+2(n1)=2n1;(2)=;sn=b1+b2+b3+bn=;通过前几项的求和规律知:若n为奇数,则;若n为偶数,则点评:考查等差数列的通项公式,以及裂项的方法求数列前n项和,以及通过前几项求和的规律找到求数列前n项和的方法18(14分)如图,在四棱锥pabcd中,底面abcd是正方形,侧棱pd底面abcd,pd=dc,e是pc的中点,作efpb交pb于点f(1)证明pa平面edb;(2)证明pb平面efd; (3)求二面角cpbd的大小考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定 专题:空间位置关系与距离;空间角分析:方法一:(1)连结ac,ac交bd于o,连结eo,利用三角形中位线的性质,可得paeo,利用线面平行的判定可得结论;(2)证明depc,bc平面pdc,de平面pbc,可得depb,利用线面垂直的判定定理,可得pb平面efd;(3)确定efd是二面角cpbd的平面角,利用正弦函数即可求解;方法二:建立空间直角坐标系,d为坐标原点,设dc=a(1)连结ac,ac交bd于g,连结eg,证明,这表明paeg,可得结论;(2)利用向量的数量积公式,证明pbde,再利用线面垂直的判定定理,可得结论;(3)确定efd是二面角cpbd的平面角,利用向量的夹角公式,即可解决解答:方法一:(1)证明:连结ac,ac交bd于o,连结eo底面abcd是正方形,点o是ac的中点在pac中,eo是中位线,paeo而eo平面edb且pa平面edb,所以,pa平面edb(2)证明:pd底面abcd且dc底面abcd,pddcpd=dc,可知pdc是等腰直角三角形,而de是斜边pc的中线,depc 同样由pd底面abcd,得pdbc底面abcd是正方形,有dcbc,bc平面pdc而de平面pdc,bcde 由和推得de平面pbc而pb平面pbc,depb又efpb且deef=e,所以pb平面efd(3)解:由(2)知,pbdf,故efd是二面角cpbd的平面角由(2)知,deef,pddb设正方形abcd的边长为a,则,在rtpdb中,在rtefd中,所以,二面角cpbd的大小为;方法二:如图所示建立空间直角坐标系,d为坐标原点,设dc=a(1)证明:连结ac,ac交bd于g,连结eg依题意得底面abcd是正方形,g是此正方形的中心,故点g的坐标为且,这表明paeg而eg平面edb且pa平面edb,pa平面edb(2)证明;依题意得b(a,a,0),又,故pbde由已知efpb,且efde=e,所以pb平面efd(3)解:设点f的坐标为(x0,y0,z0),则(x0,y0,z0a)=(a,a,a)从而x0=a,y0=a,z0=(1)a所以由条件efpb知,即,解得点f的坐标为,且,即pbfd,故efd是二面角cpbd的平面角,且,所以,二面角cpbd的大小为点评:本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算能力,属于中档题19(12分)一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比,如果此船速度是10km/h,那么每小时的燃料费是80元已知船航行时其他费用为500元/时,在100km航程中,航速多少时船行驶总费用最少?此时总费用多少元?考点:基本不等式在最值问题中的应用 专题:计算题;应用题;导数的综合应用;不等式的解法及应用分析:设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k,由条件求得k,设航速为xkm/h时,总费用为y元,求得y=80x+,可由基本不等式或函数的导数,即可得到最小值解答:解:设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k,则80=k102,解得,设航速为xkm/h时,总费用为y元,则=(方法一)令,解得x=25(负值舍去),当0x25时,y0,x25时,y0,x=25是极小值点,也是最小值点,此时(元)(方法二)x0,=4000(元),等号成立当且仅当,解得x=25(负值舍去)答:航速为25km/h时,总费用最少,此时总费用为4000元点评:本题考查函数的最值的应用题,考查运用导数求最值,运用基本不等式求最值,考查运算能力,属于中档题20(14分)在平面直角坐标系xoy中,点a,b的坐标分别是(0,3),(0,3)直线am,bm相交于点m,且它们的斜率之积是(1)求点m的轨迹l的方程;(2)若直线l经过点p(4,1),与轨迹l有且仅有一个公共点,求直线l的方程考点:轨迹方程;直线的一般式方程 专题:计算题分析:(1)求m点的轨迹方程,所以设m(x,y),根据直线am,bm的斜率之积是,即可求得关于x,y的等式,即点m的轨迹方程:x2+2y2=18;(2)若直线l不存在斜率,则容易判断它和轨迹l有两个交点,不合题意;存在斜率时设斜率为k,然后根据直线l经过点p可写出直线l的方程,将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程,让该方程有一个解求k即可得到直线l的方程解答:解:(1)设m(x,y),则:(x0);点m的轨迹方程为:x2+2y2=18(x0);(2)若直线l不存在斜率,则方程为:x=4;x=4带入轨迹方程可得y=1,即直线l和轨迹l
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