广东省江门市普通高中高三数学上学期调考试卷 理（含解析）.doc

广东省江门市普通高中2015届高三 上学期调考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知r为实数集，a=x|2x33x，b=x|x2，则ab=（）ax|x2bx|x3cx|2x3dr2（5分）i是虚数单位，则=（）a1bicidi3（5分）已知三个实数：、c=log3，它们之间的大小关系是（）aabcbacbcbcadbac4（5分）已知是非零向量，则“”是“”成立的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c非充分非必要条件d充要条件5（5分）如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）a4b8c2d46（5分）在abc中，a、b、c的对边分别为a、b、c，若a=75，b=60，c=10，则b=（）a5b5c10d107（5分）在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x4y4=0的位置关系是（）a直线经过圆心b相交但不经过圆心c相切d相离8（5分）已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）a（2，+）b（1，+）c（，2）d（，1）二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（913题）9（5分）双曲线9x216y2=144的离心率等于10（5分）abc是等腰直角三角形，已知a（1，1），b（1，3），abbc，点c在第一象限，点（x，y）在abc内部，则点c的坐标为，z=2xy的最大值是11（5分）如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是cd、cc1的中点，则异面直线a1m与dn所成的角的大小是12（5分）若f（x）=，则f（x）的最小值是13（5分）已知数列an满足a1=，an=1（n1），计算并观察数列an的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=三.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14（5分）计算定积分：15已知定义在区间（，）上的函数f（x）=xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），xr（1）求f（x）的最小正周期t和最大值m；（2）若，求cos的值17（14分）已知an是等差数列，a2=3，a3=5（1）求数列an的通项公式；（2）对一切正整数n，设bn=，求数列bn的前n项和sn18（14分）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中点，作efpb交pb于点f（1）证明pa平面edb；（2）证明pb平面efd； （3）求二面角cpbd的大小19（12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元已知船航行时其他费用为500元/时，在100km航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？20（14分）在平面直角坐标系xoy中，点a，b的坐标分别是（0，3），（0，3）直线am，bm相交于点m，且它们的斜率之积是（1）求点m的轨迹l的方程；（2）若直线l经过点p（4，1），与轨迹l有且仅有一个公共点，求直线l的方程21（14分）已知函数f（x）=x3+ax21（ar是常数）（1）设a=3，x=x1、x=x2是函数y=f（x）的极值点，试证明曲线y=f（x）关于点对称；（2）是否存在常数a，使得x，|f（x）|33恒成立？若存在，求常数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由（注：曲线y=f（x）关于点m对称是指，对于曲线y=f（x）上任意一点p，若点p关于m的对称点为q，则q在曲线y=f（x）上）广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知r为实数集，a=x|2x33x，b=x|x2，则ab=（）ax|x2bx|x3cx|2x3dr考点：并集及其运算 专题：集合分析：求出不等式2x33x的解集a，再由并集的运算求出ab解答：解：由2x33x得，x3，则a=x|x3，又b=x|x2，则ab=x|x3，故选：b点评：本题考查并集及其运算，属于基础题2（5分）i是虚数单位，则=（）a1bicidi考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数代数形式的乘除运算法则求解解答：解：=故选：d点评：本题考查复数的乘除运算，是基础题，解题时要注意运算法则的合理运用3（5分）已知三个实数：、c=log3，它们之间的大小关系是（）aabcbacbcbcadbac考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质，以0和1作为中间量，可比较出a，b，c的大小解答：解：30=1、0=1、c=log3log31=0，abc，故选：a点评：本题考查的知识点是指数式与对数式的大小比较，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，是解答的关键4（5分）已知是非零向量，则“”是“”成立的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c非充分非必要条件d充要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据“”成立，得到（）=0，结合是非零向量，推出，根据充要条件的判定方法可得结论解答：解：，（）=0，是非零向量，故选：d点评：题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题5（5分）如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）a4b8c2d4考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，求出几何体的体积即可解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，该几何体的体积为v几何体=s底面h=3=2故选：c点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出该几何体是什么几何图形6（5分）在abc中，a、b、c的对边分别为a、b、c，若a=75，b=60，c=10，则b=（）a5b5c10d10考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由a与b的度数求出c的度数，根据sinb，sinc，以及c的值，利用正弦定理求出b的值即可解答：解：在abc中，a=75，b=60，c=10，c=45，由正弦定理=得：b=5，故选：b点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键7（5分）在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x4y4=0的位置关系是（）a直线经过圆心b相交但不经过圆心c相切d相离考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：求出圆心到直线的距离大于零且小于半径，可得直线和圆相交但不经过圆心解答：解：圆x2+y2+2x4y4=0，即 （x+1）2+（y2）2=9，表示以（1，2）为圆心、半径等于3的圆由于圆心到直线=1的距离为=23，故直线和圆相交但不经过圆心，故选：b点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题8（5分）已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）a（2，+）b（1，+）c（，2）d（，1）考点：函数零点的判定定理 专题：综合题；导数的概念及应用分析：分类讨论：当a0时，容易判断出不符合题意；当a0时，由于而f（0）=10，x+时，f（x），可知：存在x00，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则必须极小值f（）0，解出即可解答：解：当a=0时，f（x）=3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a0时，令f（x）=3ax26x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下： x （，0） 0（0，）（，+） f（x）+ 0 0+ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增x，f（x），而f（0）=10，存在x0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x00，应舍去当a0时，f（x）=3ax26x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下： x （，）（，0）0（0，+） f（x） 0+ 0 f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减而f（0）=10，x+时，f（x），存在x00，使得f（x0）=0，f（x）存在唯一的零点x0，且x00，极小值f（）0，化为a24，a0，a2综上可知：a的取值范围是（，2）故选：c点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（913题）9（5分）双曲线9x216y2=144的离心率等于考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：双曲线方程化为标准方程，可得a=5，b=3，c=4，从而可求双曲线的离心率解答：解：双曲线9x216y2=144可化为，所以a=4，b=3，c=5，所以离心率e=故答案为：点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，确定双曲线的几何量是关键10（5分）abc是等腰直角三角形，已知a（1，1），b（1，3），abbc，点c在第一象限，点（x，y）在abc内部，则点c的坐标为（3，3），z=2xy的最大值是3考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：根据等腰直角三角形的定义先求出c的坐标，利用线性规划的知识即可得到结论解答：解：a（1，1），b（1，3），abbc，点c在第一象限，|ab|=31=2，设c（x，y），则x0，y0，abc是等腰直角三角形，|bc|=|x1|=2，解得x=3或x=1（舍），即c（3，3），由z=2xy得y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点c时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大，此时z=2xy=233=3，故答案为：（3，3），3点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键11（5分）如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是cd、cc1的中点，则异面直线a1m与dn所成的角的大小是90考点：异面直线及其所成的角 专题：计算题分析：以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线a1m与dn所成的角解答：解：以d为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为2，则d（0，0，0），n（0，2，1），m（0，1，0），a1（2，0，2），=（0，2，1），=（2，1，2）=0，所以，即a1mdn，异面直线a1m与dn所成的角的大小是90，故答案为：90点评：本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确否则容易由于计算失误而出错12（5分）若f（x）=，则f（x）的最小值是1考点：函数的最值及其几何意义 专题：函数的性质及应用分析：根据分段函数的表达式，分别求出对应的取值范围即可得到结论解答：解：作出函数f（x）的图象如图：当x0，f（x）=x0，当x0时，f（x）=x22x=（x1）211，故当x=1时，函数f（x）取得最小值为1，故答案为：1点评：本题主要考查函数最值的求解，根据分段函数的表达式结合函数的性质是解决本题的关键13（5分）已知数列an满足a1=，an=1（n1），计算并观察数列an的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=5考点：归纳推理 专题：计算题；推理和证明分析：确定数列an是以3为周期的周期数列，即可得出结论解答：解：a1=，an=1，a2=5，a3=，a4=，数列an是以3为周期的周期数列，a2015=a2=5，故答案为：5点评：本题考查归纳推理，确定数列an是以3为周期的周期数列是解题的关键三.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14（5分）计算定积分：2考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：根据的导数为得到原函数是，写出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减得到结果解答：解：=42=2故答案为：2点评：本题考查定积分，关键是求出原函数，属于一道基础题15已知定义在区间（，）上的函数f（x）=xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是，考点：两角和与差的正弦函数 专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质分析：根据求导公式和题意求出f（x），结合定义域和余弦函数的性质求出f（x）0是x的范围，奇求出函数f（x）的单调递增区间解答：解：由题意得，f（x）=sinx+xcosxsinx=xcosx，根据余弦函数的性质得，当或时，f（x）0，所以f（x）的单调递增区间是和，故答案为：和点评：本题考查余弦函数的性质，以及导数与函数的单调性关系，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），xr（1）求f（x）的最小正周期t和最大值m；（2）若，求cos的值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）化简可得f（x）=，可求最小正周期，最大值；（2）依题意得，即，从而可求，解答：解：（1）f（x）=sin2x+1cos2x（2分），=（4分）最小正周期（5分），最大值（6分）（2）依题意，（7分）即（8分），（10分）（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查17（14分）已知an是等差数列，a2=3，a3=5（1）求数列an的通项公式；（2）对一切正整数n，设bn=，求数列bn的前n项和sn考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据等差数列的通项公式由条件即可求出首项a1=1，公差d=2，所以可得到an=2n1；（2）根据an先求出bn并将它变成，看到该通项之后，可以想到能否在求和中使得一些项前后抵消，并且通过求前几项的和会发现是可以的，并且是有规律的，根据这个规律即可求出bn的前n项和sn解答：解：（1）由得，a1=1，d=2；an=1+2（n1）=2n1；（2）=；sn=b1+b2+b3+bn=；通过前几项的求和规律知：若n为奇数，则；若n为偶数，则点评：考查等差数列的通项公式，以及裂项的方法求数列前n项和，以及通过前几项求和的规律找到求数列前n项和的方法18（14分）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中点，作efpb交pb于点f（1）证明pa平面edb；（2）证明pb平面efd； （3）求二面角cpbd的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：方法一：（1）连结ac，ac交bd于o，连结eo，利用三角形中位线的性质，可得paeo，利用线面平行的判定可得结论；（2）证明depc，bc平面pdc，de平面pbc，可得depb，利用线面垂直的判定定理，可得pb平面efd；（3）确定efd是二面角cpbd的平面角，利用正弦函数即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，d为坐标原点，设dc=a（1）连结ac，ac交bd于g，连结eg，证明，这表明paeg，可得结论；（2）利用向量的数量积公式，证明pbde，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；（3）确定efd是二面角cpbd的平面角，利用向量的夹角公式，即可解决解答：方法一：（1）证明：连结ac，ac交bd于o，连结eo底面abcd是正方形，点o是ac的中点在pac中，eo是中位线，paeo而eo平面edb且pa平面edb，所以，pa平面edb（2）证明：pd底面abcd且dc底面abcd，pddcpd=dc，可知pdc是等腰直角三角形，而de是斜边pc的中线，depc 同样由pd底面abcd，得pdbc底面abcd是正方形，有dcbc，bc平面pdc而de平面pdc，bcde 由和推得de平面pbc而pb平面pbc，depb又efpb且deef=e，所以pb平面efd（3）解：由（2）知，pbdf，故efd是二面角cpbd的平面角由（2）知，deef，pddb设正方形abcd的边长为a，则，在rtpdb中，在rtefd中，所以，二面角cpbd的大小为；方法二：如图所示建立空间直角坐标系，d为坐标原点，设dc=a（1）证明：连结ac，ac交bd于g，连结eg依题意得底面abcd是正方形，g是此正方形的中心，故点g的坐标为且，这表明paeg而eg平面edb且pa平面edb，pa平面edb（2）证明；依题意得b（a，a，0），又，故pbde由已知efpb，且efde=e，所以pb平面efd（3）解：设点f的坐标为（x0，y0，z0），则（x0，y0，z0a）=（a，a，a）从而x0=a，y0=a，z0=（1）a所以由条件efpb知，即，解得点f的坐标为，且，即pbfd，故efd是二面角cpbd的平面角，且，所以，二面角cpbd的大小为点评：本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题19（12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元已知船航行时其他费用为500元/时，在100km航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：计算题；应用题；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，由条件求得k，设航速为xkm/h时，总费用为y元，求得y=80x+，可由基本不等式或函数的导数，即可得到最小值解答：解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，则80=k102，解得，设航速为xkm/h时，总费用为y元，则=（方法一）令，解得x=25（负值舍去），当0x25时，y0，x25时，y0，x=25是极小值点，也是最小值点，此时（元）（方法二）x0，=4000（元），等号成立当且仅当，解得x=25（负值舍去）答：航速为25km/h时，总费用最少，此时总费用为4000元点评：本题考查函数的最值的应用题，考查运用导数求最值，运用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题20（14分）在平面直角坐标系xoy中，点a，b的坐标分别是（0，3），（0，3）直线am，bm相交于点m，且它们的斜率之积是（1）求点m的轨迹l的方程；（2）若直线l经过点p（4，1），与轨迹l有且仅有一个公共点，求直线l的方程考点：轨迹方程；直线的一般式方程 专题：计算题分析：（1）求m点的轨迹方程，所以设m（x，y），根据直线am，bm的斜率之积是，即可求得关于x，y的等式，即点m的轨迹方程：x2+2y2=18；（2）若直线l不存在斜率，则容易判断它和轨迹l有两个交点，不合题意；存在斜率时设斜率为k，然后根据直线l经过点p可写出直线l的方程，将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程，让该方程有一个解求k即可得到直线l的方程解答：解：（1）设m（x，y），则：（x0）；点m的轨迹方程为：x2+2y2=18（x0）；（2）若直线l不存在斜率，则方程为：x=4；x=4带入轨迹方程可得y=1，即直线l和轨迹l