高考数学一轮复习 15 不等式选讲考点及自测 理 新人教A版.doc

不等式选讲 考点梳理1绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解法不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想2绝对值的三角不等式(1)定理1：若a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：设a，b，c是实数，则|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立推论1：|a|b|ab|.推论2：|a|b|ab|.考点自测1不等式|x8|x4|2的解集为_解析令：f(x)|x8|x4|当x4时，f(x)42；当4x8时，f(x)2x122，得x5，4x5；当x8时，f(x)42不成立故原不等式的解集为：x|x5答案x|x52(2012湖南)不等式|2x1|2|x1|0的解集为_解析可根据绝对值不等式的性质进行变换，化绝对值不等式为一元一次不等式求解原不等式即|2x1|2|x1|，两端平方后解得12x3，即x.答案3已知关于x的不等式|x1|x|k无解，则实数k的取值范围是_解析|x1|x|x1x|1，当k1时，不等式|x1|x|k无解，故k1.答案(，1)4若不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为_解析由|3xb|4，得x，即解得5b7.答案(5,7)5(2012陕西)若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案2,4 考向一含绝对值不等式的解法【例1】设函数f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式f(x)2；(2)求函数yf(x)的最小值解(1)f(x)|2x1|x4|当x时，由f(x)x52得，x7.x7；当x4时，由f(x)3x32，得x，x4；当x4时，由f(x)x52，得x3，x4.故原不等式的解集为.(2)画出f(x)的图象如图：f(x)min. (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法【训练1】 (2012新课标全国)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1x|x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围是3,0考向二绝对值不等式的证明【例2】已知函数f(x)ax2xa(1x1)，且|a|1，求证：|f(x)|.证明1x1，|x|1.又|a|1，|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|2. 证明绝对值不等式主要有三种方法：(1)利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通不等式再证明；(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明；(3)转化为函数问题，数形结合进行证明【训练2】 设函数f(x)x22x，实数a满足|xa|1.求证：|f(x)f(a)|2|a|3.证明|f(x)f(a)|x2a22(ax)|(xa)(xa)2(ax)|xa|xa2|xa2|xa2a2|xa|2|a|22|a|3. 考向三含绝对值的恒成立问题【例3】已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围解法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围是(，5法二(1)同法一(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围是(，5 (1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法(2)f(x)a恒成立f(x)maxa恒成立f(x)mina.【训练3】 (2012辽宁)已知f(x)|ax1|(ar)，不等式f(x)3的解集为x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范围解(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集为x|2x1，所以当a0时，不合题意当a0时，x，得a2.(2)记h(x)f(x)2f，则h(x)所以|h(x)|1，因此k1.故k的取值范围是1，) (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1不等式|2x1|3的解集为_解析当2x10，即x时，不等式变为2x13，得x2，x2.当2x10即x时，不等式变为(2x1)3即x1，1x，综上不等式解集为x|1x2答案(1,2)2已知x0，则函数yx(1x2)的最大值为_解析yx(1x2)，y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2).2x2(1x2)(1x2)2，y23.当且仅当2x21x2，即x时取等号y.y的最大值为.答案3(2011江西)对于xr，不等式|x10|x2|8的解集为_解析法一(零点分段法)由题意可知，或或解得x0，故原不等式的解集为x|x0法二(几何意义法)如图，在数轴上令点a、b的坐标分别为10，2，在x轴上任取一点p，其坐标设为x，则|pa|x10|，|pb|x2|，观察数轴可知，要使|pa|pb|8，则只需x0.故原不等式的解集为x|x0答案x|x04(2011陕西)若不等式|x1|x2|a对任意xr恒成立，则a的取值范围是_解析由于|x1|x2|(x1)(x2)|3.所以只需a3即可答案(，35若不等式|x1|x3|a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_解析当a0时，显然成立； 当a0时，|x1|x3|的最小值为4，a4.a2.综上可知a的取值范围是(，0)2答案(，0)26设x，y，zr，若x2y2z24，则x2y2z的最小值为_时，(x，y，z)_.解析(x2y2z)2(x2y2z2)12(2)2224936，x2y2z最小值为6，此时.又x2y2z24，x，y，z.答案67若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_解析a对任意x0恒成立，设ux3，只需a恒成立即可x0，u5(当且仅当x1时取等号)由u5，知0，a.答案8已知h0，a，br，命题甲：|ab|2h：命题乙：|a1|h且|b1|h，则甲是乙的_条件解析|ab|a11b|a1|b1|2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件答案必要不充分二、解答题(共20分)9(10分)对于任意实数a(a0)和b，不等式|ab|a2b|a|(|x1|x2|)恒成立，试求实数x的取值范围解原不等式等价于|x1|x2|，设t，则原不等式变为|t1|2t1|x1|x2|对任意t恒成立因为|t1|2t1|在t时取到最小值为.所以有|x1|x2|解得x.10(10分)(2012福建)已知函数