高考数学一轮复习 第8章《空间向量及其运算》名师首选学案 新人教A版.doc

学案43空间向量及其运算导学目标： 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系自主梳理1空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中，具有_和_的量叫做空间向量(2)相等向量：方向_且模_的向量(3)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是_(4)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得pxayb，推论的表达式为xy或对空间任意一点o有，_或xyz，其中xyz_.(5)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p_，把e1，e2，e3叫做空间的一个基底2空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab_.(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，若b0，则ab_，_，_，ab_(a，b均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|_，cosa，b_.若a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则|_.3利用空间向量证明空间中的位置关系若直线l，l1，l2的方向向量分别为v，v1，v2，平面，的法向量分别为n1，n2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下：平行垂直直线与直线l1l2v1v2v1v2(为非零实数)l1l2v1v2v1v20直线与平面lvn1vn10lvxv1yv2其中v1，v2为平面内不共线向量，x，y均为实数lvn1vn1(为非零实数)平面与平面n1n2n1n2(为非零实数)n1n2n1n20自我检测1若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且ab，则x_，y_.2如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点，若a，b，c，则用a，b，c表示为_3在平行六面体abcdabcd中，已知badaabaad60，ab3，ad4，aa5，则|_.4下列4个命题：若pxayb，则p与a、b共面；若p与a、b共面，则pxayb；若xy，则p、m、a、b共面；若p、m、a、b共面，则xy.其中真命题是_(填序号)5a(1,0,1)，b(4,4,6)，c(2,2,3)，d(10,14,17)这四个点_(填共面或不共面).探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形oabc中，m为bc的中点，n为ac的中点，p为oa的中点，q为ob的中点，若aboc，求证：pmqn.变式迁移1如图，在正四面体abcd中，e、f分别为棱ad、bc的中点，则异面直线af和ce所成角的余弦值为_探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形abcd与正方形abef相交于ab，ebc90，点m、n分别在bd、ae上，且andm.(1)求证：mn平面ebc；(2)求mn长度的最小值变式迁移2如图所示，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1，m是线段ef的中点求证：(1)am平面bde；(2)am面bdf.探究点三利用向量法解探索性问题例3如图，平面pac平面abc，abc是以ac为斜边的等腰直角三角形，e，f，o分别为pa，pb，ac的中点，ac16，papc10.(1)设g是oc的中点，证明fg平面boe；(2)在aob内是否存在一点m，使fm平面boe？若存在，求出点m到oa，ob的距离；若不存在，说明理由变式迁移3已知在直三棱柱abca1b1c1中，底面是以abc为直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，d为a1c1的中点，e为b1c的中点(1)求直线be与a1c所成的角的余弦值；(2)在线段aa1上是否存在点f，使cf平面b1df？若存在，求出af；若不存在，请说明理由1向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法2利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系(3)根据运算结果解释相关几何问题课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1下列命题：若a、b、c、d是空间任意四点，则有0；|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点o与不共线的三点a、b、c，若xyz(其中x、y、zr)则p、a、b、c四点共面其中不正确命题的序号为_2若a、b、c、d是空间中不共面的四点，且满足0，0，0，则bcd的形状是_三角形3. 如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角等于_4设点c(2a1，a1,2)在点p(2,0,0)、a(1，3,2)、b(8，1,4)确定的平面上，则a_.5在直角坐标系中，a(2,3)，b(3，2)，沿x轴把直角坐标系折成120的二面角，则ab的长度为_6.如图所示，已知空间四边形abcd，f为bc的中点，e为ad的中点，若()，则_.7在正方体abcda1b1c1d1中，给出以下向量表达式：()；()；()2；().其中能够化简为向量的是_(填所有正确的序号)8如图所示，pd垂直于正方形abcd所在平面，ab2，e为pb的中点，cos，若以da，dc，dp所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点e的坐标为_二、解答题(共42分)9(14分) 如图所示，已知abcda1b1c1d1是棱长为3的正方体，点e在aa1上，点f在cc1上，且aefc11.(1)求证：e、b、f、d1四点共面；(2)若点g在bc上，bg，点m在bb1上，gmbf，垂足为h，求证：em平面bcc1b1.10(14分)如图，四边形abcd是边长为1的正方形，md平面abcd，nb平面abcd，且mdnb1，e为bc的中点(1)求异面直线ne与am所成角的余弦值；(2)在线段an上是否存在点s，使得es平面amn？若存在，求线段as的长；若不存在，请说明理由11. (14分)如图所示，已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a，点m、n分别是ab、cd的中点(1)求证：mnab，mncd；(2)求mn的长；(3)求异面直线an与cm所成角的余弦值学案43空间向量及其运算答案自主梳理1(1)大小方向(2)相同相等(3)存在实数，使ba(4)xy1(5)xe1ye2ze32(1)a1b1a2b2a3b3(2)aba1b1a2b2a3b3 (r)ab0a1b1a2b2a3b30(3)自我检测1.解析ab，x，y.2abc解析ac(ab)abc.3.解析，|2222222324252234cos 60245cos 60235cos 6097，|.4解析正确中若a、b共线，p与a不共线，则pxayb就不成立正确中若m、a、b共线，点p不在此直线上，则xy不正确5共面解析(3,4,5)，(1,2,2)，(9,14,16)，设xy，即(9,14,16)(3xy,4x2y,5x2y)，从而a、b、c、d四点共面课堂活动区例1解题导引欲证ab，只要把a、b用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明ab0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法证明如图所示.设a，b，c.()(bc)，()(ac)，a(bc)(bca)，b(ac)(acb)c(ab)c(ab)c2(ab)2(|2|2)|，0.即，故pmqn.变式迁移1解析设，为空间一组基底，则，().222222.又|，|2.cos，.异面直线af与ce所成角的余弦值为.例2解题导引如图所示，建立坐标系后，要证mn平行于平面ebc，只要证的横坐标为0即可(1)证明如图所示，以、为单位正交基底建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，d(1,1,0)，e(0,0,1)，b(0,0,0)，设，则(1,1,0)(0，1,0)(1,0,1)(0，1，)01，10，0，且的横坐标为0.平行于平面ybz，即mn平面ebc.(2)解由(1)知| ，当时，mn取得长度的最小值为.变式迁移2证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设acbdn，连结ne.则点n、e的坐标分别为、(0,0,1).又点a、m的坐标分别为(，0)、，.且ne与am不共线neam.又ne平面bde，am平面bde，am平面bde.(2)由(1)得，d(，0,0)，f(，1)，b(0，0)，(0，1)，(，0,1)0，0.，即amdf，ambf.又dfbff，且df，bf在平面bdf内，am平面bdf.例3解题导引建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标第(1)题证明与平面boe的法向量n垂直，即n0即可第(2)题设出点m的坐标，利用n即可解出，然后检验解的合理性(1)证明如图，连结op，以点o为坐标原点，分别以ob，oc，op所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系oxyz.则o(0,0,0)，a(0，8,0)，b(8,0,0)，c(0,8,0)，p(0,0,6)，e(0，4,3)，f(4,0,3)由题意，得g(0,4,0)因为(8,0,0)，(0，4,3)，所以平面boe的法向量n(0,3,4)由(4,4，3)，得n0.又直线fg不在平面boe内，所以fg平面boe.(2)解设点m的坐标为(x0，y0,0)，则(x04，y0，3)因为fm平面boe，所以n，因此x04，y0，即点m的坐标是.在平面直角坐标系xoy中，aob的内部区域可表示为不等式组经检验，点m的坐标满足上述不等式组所以，在aob内存在一点m，使fm平面boe.由点m的坐标，得点m到oa，ob的距离分别为4，.变式迁移3解(1)以点b为原点，以ba、bc、bb1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则b(0,0,0)，b1(0,0,3a)，abc为等腰直角三角形，abbcaca，a(a,0,0)，c(0，a,0)，c1(0，a,3a)，e，a1(a,0,3a)，(a，a，3a)，cos，.直线be与a1c所成的角的余弦值为.(2)假设存在点f，使cf平面b1df，并设(0,0,3a)(0,0,3a) (00，同理，0，0.bdc为锐角三角形360解析如图建立坐标系，设abbcaa12，则e(0,1,0)，f(0,0,1)，c1(2,0,2)，(0，1,1)，(2,0,2)，cos，.ef与bc1所成的角是60.416解析由12得：(2a1，a1,2)1(1，3,2)2(6，1，4)，解得a16.52解析过a、b分别作aa1x轴，bb1x轴，垂足分别为a1和b1，则aa13，a1b15，bb12，22222325222232cos 6044.|2.6.解析，又，2，()，.7解析()；()；()22；()().8(1,1,1)解析设dpy0，则a(2,0,0)，b(2,2,0)，p(0,0，y)，e，(0,0，y)，.cos，.解得y2，e(1,1,1)9证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则(3,0,1)，(0,3,2)，(3,3,3)(3分)所以.故、共面又它们有公共点b，e、b、f、d1四点共面(7分)(2)设m(0,0，z)，则.而(0,3,2)，由题设，得3z20，得z1.(10分)m(0,0,1)，(3,0,0)又(0,0,3)，(0,3,0)，0，0，从而mebb1，mebc.又bb1bcb，me平面bcc1b1.(14分)10.解(1)如图所示，以点d为坐标原点，建立空间直角坐标系dxyz.依题意，得d(0,0,0)，a(1,0,0)，m(0,0,1)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，n(1,1,1)，e.(2分)，(1,0,1)(4分)cos，异面直线ne与am所成角的余弦值为.(7分)(2)假设在线段an上存在点s，使得es平面amn.(0,1,1)，可设(0，)，又，.(9分)由es平面amn，得即(11分)故，此时，|.经检验，当as时，es平面amn.故线段an上存在点s，使得es平面amn，此时as.(14分)11(1)证明设p，q，r.由题意可知：|p|q|r|a，且p、q、r三向量两两夹角均为60.()(qrp)，(2分)(q